Луитцен Эгбертус Ян Брауэр

Оглавление:

Луитцен Эгбертус Ян Брауэр
Луитцен Эгбертус Ян Брауэр
Anonim

Это файл в архиве Стэнфордской энциклопедии философии.

Луитцен Эгбертус Ян Брауэр

Впервые опубликовано ср 26 марта 2003 г.; основная редакция вс 25 сентября 2005 г.

Голландский математик и философ, который жил с 1881 по 1966 год. Его традиционно называют «LEJ Brouwer», с полными инициалами, но его друзья называли «Bertus».

В классической математике он основал современную топологию, установив, например, топологическую инвариантность размерности и теорему о неподвижной точке. Он также дал первое правильное определение размерности.

В философии его детищем является интуиционизм, ревизионистская основа математики. Интуиционизм рассматривает математику как свободную деятельность ума, независимую от какого-либо языка или платонического царства объектов, и поэтому основывает математику на философии ума. Последствия двояки. Во-первых, это приводит к форме конструктивной математики, в которой большая часть классической математики отвергается. Во-вторых, опора на философию разума вводит особенности, которые отсутствуют в классической математике, а также в других формах конструктивной математики: в отличие от них, интуиционистская математика не является надлежащей частью классической математики.

  • 1. Человек
  • 2. Хронология
  • 3. Краткая характеристика интуиционизма Брауэра
  • 4. Брауэр развитие интуиционизма
  • Библиография
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Человек

Брауэр учился в (муниципальном) университете Амстердама, где его самыми важными преподавателями были Дидерик Кортевег (из уравнения Кортевега-де Фриза) и, особенно философски, Геррит Мэннури. Основными учениками Брауэра были Мауриц Белинфанте и Аренд Хейтинг; последний, в свою очередь, был учителем Анны Троельстры и Дирка ван Далена. На занятиях Брауэра также присутствовал Макс Эйве, более поздний чемпион мира по шахматам, который опубликовал теоретическую статью по шахматам с интуиционистской точки зрения (Эйве, 1929), и который намного позже выступил с похоронной речью Брауэра. Среди помощников Брауэра были Хейтинг, Ханс Фройденталь, Карл Менгер и Витольд Гуревич, последние двое из которых не были склонны к интуиции. Самый влиятельный сторонник БрауэраИнтуиционизмом за пределами Нидерландов в течение ряда лет был Герман Вейль.

Брауэр, кажется, был независимым и блестящим человеком с высокими моральными стандартами, но с преувеличенным чувством справедливости, делавшим его порой драчливым. Как следствие, в своей жизни он энергично сражался во многих сражениях.

С 1914 по 1928 год Брауэр был членом редколлегии Mathematische Annalen, а также был одним из основателей Compositio Mathematica, который впервые появился в 1934 году.

Он был членом, среди прочего, Королевской голландской академии наук, Королевского общества в Лондоне, Preußische Akademie der Wissenschaften в Берлине и Akademie der Wissenschaften в Геттингене.

Брауэр получил почетные докторские степени в университетах Осло (1929) и Кембриджа (1954), а в 1932 году стал рыцарем Ордена голландского льва.

Архив Брауэра хранится на философском факультете Утрехтского университета, Нидерланды. Издание переписки и рукописей находится в стадии подготовки.

2. Хронология

1881 27 февраля, родился в Овершье (с 1941 года часть Роттердама), Нидерланды.

1897 г. поступает в Амстердамский университет для изучения математики и физики.

1904 Получает докторскую степень (степень магистра) по математике; первая публикация (о вращениях в четырехмерном пространстве); женится на Лиз де Холль (род. 1870). У них не было бы детей, но у Лиз была дочь от более раннего брака. Они переезжают в Бларикум, недалеко от Амстердама, где они будут жить до конца своих дней, хотя у них также были дома в других местах.

1907 Получает докторскую степень с диссертацией Over de Grondslagen der Wiskunde (Об основах математики) под руководством Кортевега в Университете Амстердама. Это отмечает начало его интуиционистской реконструкции математики. Позже в том же году жена Брауэра заканчивает школу и становится фармацевтом. Всю свою жизнь Брауэр вел для нее бухгалтерию и заполнял налоговые декларации, а иногда помогал за прилавком.

1908 Первое участие в международной конференции, Четвертой Международной конференции математиков в Риме.

1909-1913 гг. В очень продуктивные четыре года Брауэр основывает современную топологию как главу классической математики. Основные характеристики: инвариантность размерности, теорема о неподвижной точке, степень отображения, определение размерности. Пауза в его интуиционистской программе.

1909 г. становится приват-доцентом (неоплачиваемым преподавателем) в Амстердамском университете. Инаугурационная лекция «Het Wezen der Meetkunde» («Природа геометрии»).

1909 Встреча Гильберта на голландском морском курорте Схевенинген. Брауэр восхищается Гильбертом и описывает их встречу в письме к другу как «прекрасный новый луч света в моей жизни» (Brouwer & Adama van Scheltema, 1984, с.100). Двадцать лет спустя отношения Брауэра с Гильбертом испортились.

1911 Первое появление имен «формализм» и «интуиционизм» в трудах Брауэра в рецензии на книгу Геррита Маннури «Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik» («Методологические и философские замечания по элементарной математике») с 1909 года.

1912 Избран членом Королевской академии наук (во время Второй мировой войны «Голландская академия наук», затем «Королевская голландская академия наук»).

1912 Назначен профессором-экстраординариусом в области «теории множеств, теории функций и аксиоматики». Его философская инаугурационная лекция «Intuitionisme en Formalisme» переводится на английский как «Интуиционизм и формализм» и, таким образом, становится в 1913 году первой публикацией об интуиционизме на этом языке.

1913 Назначен полным профессором ординарием, сменившим Кортевега, который щедро предложил освободить свой стул для этой цели.

1914 г. Приглашен в состав редколлегии Mathematische Annalen; принимает честь

1918 Брауэр начинает систематическую интуиционистскую реконструкцию математики своей работой «Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten». Эрстер Тейл, Аллгемейн Менгенлехре. («Основополагающая теория множеств, независимая от принципа исключенного середины. Часть первая, Общая теория множеств».)

1919 Получает предложения о профессорстве в Геттингене и в Берлине; отклоняет оба.

1920 Начало «Grundlagenstreit» (Основополагающих дебатов) с лекции Брауэра в «Naturforscherversammlung» в Бад-Наухайме, опубликованной в 1921 году как «Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?» («У каждого действительного числа есть десятичное расширение?»); усиленная защитой интуиционизма Вейля в 1921 году, «Uber die neue Grundlagenkrise der Mathematik» («О новом фундаментальном кризисе математики»); Гильберт ответил в 1922 году «Neubegründung der Mathematik» («Новое основание математики»).

1920 «Интуиционистская теория» («Интуиционистская теория множеств») - первая часть интуиционистской математики в широко читаемом международном журнале Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922 Совместно с Герритом Маннури, автором Фредериком ван Эеденом и другими авторами создается «Signifische Kring» («Значительный круг»), общество, нацеленное на духовный и политический прогресс посредством языковой реформы, начиная с идей, заложенных Викторией Леди Уэлби в своей статье «Смысл, смысл и интерпретация» (Welby, 1896). Круг завершает свои встречи в 1926 году, но Маннури продолжает свою работу.

1926 лекция в Геттингене; в результате группового ужина в доме Эмми Нетер, Гильберт и Брауэр (на короткий период) снова в хороших отношениях.

Серия лекций 1927 года в Берлине; его более поздний помощник Фройденталь находится в аудитории. Газета Berliner Tageblatt предлагает провести публичную дискуссию между Брауэром и Гильбертом, которая должна быть проведена на ее страницах, но по какой-то причине этого не произошло. Брауэр также не заканчивает книгу, которую ему предлагает написать немецкий издатель Вальтер де Грюйтер. Лекции и неполная книга публикуются посмертно (Брауэр, 1992).

1928, 10 и 14 марта: две лекции в Вене. Гедель в аудитории, как и Витгенштейн. Говорят, что первая лекция заставила Витгенштейна вернуться к философии. Брауэр проводит день с Витгенштейном.

1928 апрель: беседы с Гуссерлем, который находится в Амстердаме с лекцией.

1928 Конфликт из-за Болонской конференции. Немецкие математики, впервые после окончания Первой мировой войны, снова допущены на международную конференцию, но не совсем на равных. Брауэр настаивает на том, что это несправедливо и что, если с немцами не будут обращаться лучше, конференцию следует бойкотировать. Гильберт, который не разделяет эту точку зрения, очень огорчен действиями Брауэра и присутствует на конференции в качестве лидера немецкой делегации, крупнейшего подарка.

1928-1929 «Mathematische Annalenstreit», конфликт в редакции Mathematische Annalen. Гильберт, думая, что он скоро умрет, чувствует необходимость убедиться, что после его смерти Брауэр не станет слишком влиятельным, и незаконным образом исключит его из правления. [Мотивация Гильберта, описанная здесь, описана в письмах близких ему людей: Каратеодори Эйнштейну, 20 октября 1928 года; Блюменталь издателю и редактору Mathematische Annalen, 16 ноября 1928 года; Родился Эйнштейн, 20 ноября 1928 года. Копии этих писем находятся в архиве Брауэра в Утрехтском университете. Соответствующие цитаты из них можно найти в van Dalen, 2005, p. 604 и р. 613]. Эйнштейн, также член правления, отказывается поддержать действия Гильберта и не хочет иметь ничего общего со всем этим делом;большинство других членов совета не хотят раздражать Гильберта, выступая против него. Брауэр яростно протестует. В итоге вся доска распускается и сразу же собирается без Брауэра, в сильно уменьшенном размере (в частности, падение Эйнштейна и Каратеодори). Конфликт оставляет Брауэра психически разбитым и изолированным, и заканчивает очень творческое десятилетие в его работе. Теперь, когда два главных участника больше не могут его продолжать, «Грандлагенштрайт» окончен. Теперь, когда два главных участника больше не могут его продолжать, «Грандлагенштрайт» окончен. Теперь, когда два главных участника больше не могут его продолжать, «Грандлагенштрайт» окончен.

1928–1930 гг. Конфликт с Карлом Менгером из-за приоритета первого правильного определения понятия измерения.

Август 1929 года: кража портфеля Брауэра на трамвае в Брюсселе и его математической тетради. Когда ни полиция, ни частный детектив, нанятый для этой цели, не могут найти его снова, он отчаянно пытается когда-либо восстановить его содержимое. Позднее Брауэр сказал, что эта потеря способствовала смещению его основного интереса с математики на философию.

1929 г. Начинается подготовка к созданию нового математического журнала.

1934 Появление первого номера собственного международного журнала Брауэра под названием Compositio Mathematica.

1934 г. Серия лекций в Женеве.

1935–1941 годы Член муниципального совета Бларикум для местной нейтральной партии (в 1939 году он побеждает на выборах, получив 310 из 1601 голоса).

1940-1945 Во время немецкой оккупации Нидерландов во Второй мировой войне Брауэр оказывает сопротивление и пытается помочь своим еврейским друзьям и ученикам. В 1943 году он советует студентам подписать декларацию о верности, требуемую немцами. Часть его объяснения после войны заключается в том, что подписание предоставит студентам относительный мир, необходимый для создания и проведения мероприятий сопротивления. Он встречен со скептицизмом. Из-за этого и некоторых подобных, возможно, неудачных попыток проницательности во время оккупации, после освобождения он временно отстранен на несколько месяцев. Глубоко обиженный Брауэр рассматривает эмиграцию в Южную Африку или США.

1942 Опубликует три короткие заметки о интуиционистских основах, впервые с 1933 года.

1945-1950 Конфликт из-за журнала Compositio Mathematica. Журнал не появился во время войны, и делается попытка вернуть его к жизни. Трудности при сборке новой редакции возникают из-за испорченной репутации Брауэра. В конце концов, имя Брауэра остается на титульном листе, но в действительности он удаляется с доски журнала, который он основал.

1947-1951 Ежегодная серия лекций в Кембридже, Англия. Брауэр планирует превратить их в книгу, но этого не происходит. Однако он завершает пять из запланированных шести глав, и они публикуются посмертно (Brouwer, 1981).

1948 Возобновляет его основополагающую программу с бумагой, которая использует понятие субъекта создания. Начало другого творческого периода.

1949 год Противодействует плану публикации своих сборников на том основании, что у него нет времени писать аннотации, отражающие его оригинал, а также его нынешние взгляды на них, что, по его мнению, было бы научно ответственным делом.

1951 г. Уходит из Амстердамского университета. Охлаждение его отношений с Арендом Хейтингом, его преемником на посту директора Математического института, в результате разногласий по поводу точной роли, которую еще мог играть отставной Брауэр.

1952 Лекции в Лондоне и в Кейптауне.

1953 Лекции в Хельсинки, где он останавливается у фон Райта. Лекционный тур по США (в том числе MIT, Принстон, Университет Висконсин-Мэдисон, Беркли, Чикаго) и Канаде (Канадский математический конгресс в Кингстоне, Онтарио). В Принстоне он посещает Гедель.

1955 г. Публикует свою последнюю новую статью (на основе его лекции на конференции Boole в Дублине годом ранее).

1959 Смерть миссис Брауэр, 89 лет. Брауэр отклоняет предложение на 1 год в Университете Британской Колумбии в Ванкувере.

1962 Брауэру предлагается должность в Монтане.

2 декабря 1966 года. Умирает в Бларикуме, Нидерланды, 85 лет, когда его сбивает машина перед его домом.

3. Краткая характеристика интуиционизма Брауэра

Основываясь на своей философии разума, на которой Кант и Шопенгауэр были основными факторами, Брауэр охарактеризовал математику прежде всего как свободную деятельность точного мышления, деятельность, основанную на чистой интуиции (внутреннего) времени. Никакая независимая сфера объектов и никакой язык не играют фундаментальной роли. Таким образом он стремился избежать Сциллы платонизма (с ее эпистемологическими проблемами) и Харибды формализма (с его бедностью содержания). Поскольку, по мнению Брауэра, не существует детерминанта математической истины вне мышления, суждение становится истинным только тогда, когда субъект испытывает свою истину (выполняя соответствующую ментальную конструкцию); так же,суждение становится ложным только тогда, когда субъект испытывает свою ложь (понимая, что соответствующая ментальная конструкция невозможна). Следовательно, Брауэр может утверждать, что «нет неопытных истин» (Брауэр, 1975, с. 488).

Брауэр был готов следовать своей философии разума до ее окончательных выводов; была ли восстановленная математика совместимой или несовместимой с классической математикой, было второстепенным вопросом, и никогда не было решающим. Придавая таким образом приоритет философии над традиционной математикой, он показал себя ревизионистом. И действительно, в то время как интуиционистская арифметика является подсистемой классической арифметики, в анализе ситуация иная: не весь классический анализ интуитивистски приемлем, но и не весь интуиционистский анализ классически приемлем. Брауэр искренне принял это следствие.

4. Брауэр развитие интуиционизма

Маленькая книга Брауэра «Жизнь, искусство и мистика 1905 года», хотя и не развивает свои основы математики как таковой, является ключом к тем основам, которые были разработаны в его диссертации, над которой он работал в то же время и которая была закончена два года спустя. Среди множества других вещей, таких как пресловутые взгляды на общество и женщин в частности, книга содержит его основные идеи о разуме, языке, онтологии и эпистемологии.

Эти идеи были применены к математике в его диссертации О Грондслагене дер Вискунде (Об основах математики), защищенной в 1907 г.; это общая философия, а не парадоксы, которые инициируют развитие интуиционизма (как только это началось, решения парадоксов появились). Как и Кант, Брауэр основывает математику на чистой интуиции времени (в то время как он отвергает чистую интуицию пространства).

Брауэр считает, что математика является по существу безъязыковой деятельностью, и этот язык может дать описание математической деятельности только после факта. Это приводит его к отрицанию аксиоматических подходов к любой основополагающей роли в математике. Кроме того, он истолковывает логику как изучение закономерностей в лингвистическом исполнении математической деятельности, и поэтому логика зависит от математики (как изучение закономерностей), а не наоборот. Именно эти соображения побуждают его ввести различие между математикой и метаматематикой (для чего он использовал термин «математика второго порядка»), которое он объяснил Гильберту в беседах в 1909 году.

С этой точки зрения Брауэр намеревается реконструировать канторовскую теорию множеств. Когда попытка (в черновике диссертации) придать конструктивный смысл второму числовому классу Кантора (классу всех счетно-бесконечных ординалов) и высшим классам еще больших ординалов не удалась, он понимает, что это невозможно, и отвергает высшее числовые классы, оставляя только все конечные порядковые числа и незаконченную или открытую коллекцию счетно бесконечных порядковых чисел. Таким образом, вследствие своих философских взглядов он сознательно откладывает часть общепринятой математики. Вскоре он сделал бы то же самое с принципом логики, принципом исключенного среднего (PEM), но в диссертации он по-прежнему считает это правильным, но бесполезным, интерпретируя p ∨ ¬ p как ¬ p → ¬ p.

В «De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes» («Ненадежность логических принципов») 1908 года Брауэр формулирует в общих чертах свою критику PEM: хотя в простой форме p ∨ ¬ p принцип никогда не приведет к противоречие, есть примеры этого, для которых, конструктивно говоря, нет никакой положительной причины, чтобы считать их верными. Брауэр называет некоторые. Поскольку они в строгом смысле не опровергают PEM, они известны как «слабые контрпримеры». Для дальнейшего обсуждения этой темы см. Дополнительный документ:

Слабые контрпримеры

Инновация, которая дает интуиционизму гораздо более широкий диапазон, чем другие разновидности конструктивной математики (включая ту, что есть в диссертации Брауэра), является последовательностью выбора. Это потенциально бесконечные последовательности чисел (или других математических объектов), выбранные один за другим отдельным математиком. Последовательности выбора впервые появились как интуитивно приемлемые объекты в рецензии на книгу 1914 года; принцип, который делает их математически понятными, принцип непрерывности, был сформулирован в заметках Брауэра о лекциях 1916 года. Основное использование последовательностей выбора - реконструкция анализа; точки на континууме (действительные числа) отождествляются с последовательностями выбора, удовлетворяющими определенным условиям. Выбранные последовательности собираются вместе с помощью устройства, называемого «распространение»,которая выполняет функцию, аналогичную функции канторовского множества в классическом анализе, и первоначально Брауэр даже использует слово «Menge» («набор») для спредов. Брауэр разрабатывает теорию спредов и теорию множеств точек на ее основе в статье из 1918/1919 гг. «Begründung der Mengenlehre unabhängig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten» («Основание теории множеств независимо от принципа исключенного»). Средний ).

Ответ на вопрос в названии статьи Брауэра «Каждое вещественное число имеет десятичное расширение?» (1921) оказывается нет. Брауэр демонстрирует, что можно построить последовательности выбора, удовлетворяющие условию Коши, которые в своем точном развитии зависят от еще не раскрытой проблемы. Никакое десятичное разложение не может быть построено, пока открытая проблема не будет решена; по строгому конструктивистскому взгляду Брауэра это означает, что десятичного расширения не существует до тех пор, пока открытая проблема не будет решена. В этом смысле можно построить действительные числа (т. Е. Сходящиеся последовательности выбора), которые не имеют десятичного разложения.

В 1923 году, снова используя последовательности выбора и открытые проблемы, Брауэр разрабатывает общую методику, теперь известную как «Брауверские контрпримеры», для генерации слабых контрпримеров к классическим принципам («Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik», «О Значение принципа исключенного среднего в математике ».

Основные теоремы интуиционистского анализа - теорема о бруске, теорема Фана и теорема о непрерывности - содержатся в «Uber Definitionsbereiche von Funktionen» («Об областях определения функций») 1927 года. Первые две - структурные теоремы о спредах; третий (не путать с принципом непрерывности для последовательностей выбора) утверждает, что каждая полная функция [0,1] → continuous непрерывна и даже равномерно непрерывна. Фактически, теорема о веере является следствием теоремы о стержне; в сочетании с принципом непрерывности, который не является классически верным, он дает теорему непрерывности. В классическом анализе обе части этой теоремы были бы ложными. С другой стороны, теоремы Бара и Фэна являются классически верными, хотя классические и интуиционистские доказательства для них не являются взаимозаменяемыми. Классические доказательства интуитивно неприемлемы из-за того, что они зависят от принципа исключенного среднего; Интуиционистские доказательства классически неприемлемы, поскольку они зависят от размышлений о структуре ментальных доказательств. В этом размышлении Брауэр ввел понятие «полностью анализируемой» или «канонической» формы доказательства, которая будет принята гораздо позже Мартином-Лёфом и Дамметтом. В сноске Брауэр упоминает, что такие доказательства, которые он отождествляет с ментальными объектами в уме субъекта, часто бесконечны.который будет принят гораздо позже Мартином-Лёфом и Дамметтом. В сноске Брауэр упоминает, что такие доказательства, которые он отождествляет с ментальными объектами в уме субъекта, часто бесконечны.который будет принят гораздо позже Мартином-Лёфом и Дамметтом. В сноске Брауэр упоминает, что такие доказательства, которые он отождествляет с ментальными объектами в уме субъекта, часто бесконечны.

«Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus» («Интуиционистские размышления о формализме») 1928 года выявляет и обсуждает четыре ключевых различия между формализмом и интуиционизмом, причем все они имеют отношение либо к роли PEM, либо к связи между математикой и языком. (Именно здесь Брауэр в сноске ссылается на упомянутые выше разговоры с Гильбертом 1909 года.) Брауэр подчеркивает, как он это делал в своей диссертации, что формализм предполагает содержательную математику на метауровне. Здесь же он представляет свой первый сильный контрпример, опровержение одной формы PEM, показывая, что неверно, что каждое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным. Для дальнейшего обсуждения этой темы см. Дополнительный документ:

Сильные Контрпримеры

Из двух лекций, проведенных в Вене в 1928 году - «Математик, Wissenschaft und Sprache» («Математика, наука и язык») и «Die Struktur des Kontinuums» («Структура континуума») - первая носит философский характер в то время как второй более математический. В «Математике, естествознании и языке» Брауэр излагает свои общие взгляды на отношения между тремя предметами, упомянутыми в названии, следуя генетическому подходу и подчеркивая роль воли. Более длинная версия этой лекции была представлена на голландском языке в 1932 году как «Willen, Weten, Spreken» («Воля, Знание, Язык»); он содержит первые явные замечания о понятии, которое существовало с самого начала, теперь известном как «идеализированный математик» или «создающий субъект».

Лекция «Сознание, философия и математика» 1948 года еще раз рассказывает о философии духа Брауэра и некоторых ее последствиях для математики. Сравнение с «Жизнью, искусством и мистикой», первой венской лекцией, и «Виллен, Вэтен, Спрекен» показывает, что общая философия Брауэра за эти годы значительно развилась, но только глубоко.

В 1949 году Брауэр (1949a) публикует первый пример нового класса сильных контрпримеров, класса, отличающегося от более раннего сильного контрпримера (1928, см. Выше) тем типом аргумента, который теперь называется «создание». предметный аргумент », включает в себя существенную ссылку на временную структуру математической деятельности создающего субъекта (Heyting, 1956, гл. III и VIII; van Atten, 2003, гл. 4 и 5).

Пример Брауэра показывает, что существует случай, когда принцип двойного отрицания в виде ∀ x ∈ (¬¬ P (x) → P (x)) приводит к противоречию («Не неэквивалентность ван де Конструктиве ан де де»). Negatieve Orderelatie in het Continuum »,« Неэквивалентность отношения конструктивного и отрицательного порядка на континууме »). Первая публикация этого нового класса сильных контрпримеров (и сильных контрпримеров в целом) на английском языке должна была ждать до 1954 года, в «Примере противоречивости в классической теории функций». Этот полемический заголовок следует понимать следующим образом: если придерживаться буквы классической теории, но в ее интерпретации заменять интуитионистские понятия своими классическими аналогами, возникает противоречие. Так что это не контрпример в строгом смысле слова,скорее результат не интерпретируемости. Поскольку интуиционистская логика, формально говоря, является частью классической логики, а интуиционистская арифметика - частью классической арифметики, существование сильных контрпримеров должно зависеть от существенно неклассического ингредиента, и это, конечно, последовательности выбора.

Создающий предметный аргумент после более раннего введения последовательностей выбора и доказательства теоремы о барах является новым шагом в использовании субъективных аспектов интуиционизма. Нет принципиальной причины, почему это должно быть последним.

Библиография

Тексты Брауэра

Почти все работы Брауэра можно найти в

  • Брауэр, LEJ, 1975, Собрание сочинений 1. Философия и основы математики, А. Хейтинг (ред.), Амстердам: Северная Голландия.
  • Брауэр, LEJ, 1976, Собрание сочинений 2. Геометрия, анализ, топология и механика, H. Freudenthal (ed.), Амстердам: Северная Голландия.

В «Собрании сочинений» статьи на голландском языке переведены на английский, а на французском или немецком - нет. Английские переводы некоторых из них можно найти в

  • van Heijenoort, J., ed., 1967, From Frege to Gödel. Справочник по математической логике, 1879-1931, Кембридж (Массачусетс): издательство Гарвардского университета.
  • Mancosu, P., ed., 1998, От Гильберта до Брауэра. Дебаты об основах математики в 1920-х годах, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.

Английский перевод маленькой книги Брауэра «Левен», «Kunst en Mystiek» 1905 года, в сборнике которого есть только выдержки,

Брауэр, LEJ, 1996, «Жизнь, искусство и мистицизм», Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389-429. Переведенный Вальтером ван Стигтом, который представляет введение на с. 381-387

Берлинские лекции 1927 года были опубликованы в

Брауэр, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag

Кембриджские лекции 1946-1951 гг., Которые рекомендуются как собственное введение Брауэра в интуиционизм, были опубликованы как

Брауэр, LEJ, 1981, Кембриджские лекции Брауэра по интуиционизму, Д. ван Дален (ред.), Кембридж: издательство Кембриджского университета

Особый биографический интерес, но еще не переведенный, представляет переписка Брауэра и его друга, социалистического поэта К. С. Адама ван Шельтема, которая охватывает 1898-1924 годы:

Брауэр, LEJ & Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (ed.), Амстердам: De Arbeiderspers

Процитированные первичные тексты другими

  • Эйве, М., 1929, «Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel», Нед. Акад. Wetensch. Proc. 32: 633-644.
  • Гильберт Д., 1922, Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Английский перевод «Новое основание математики: первый доклад» в (Mancosu 1998).
  • Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
  • Welby, V., 1896, «Смысл, значение и интерпретация», Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186-202.
  • Weyl, H., 1921, «Uber die neue Grundlagenkrise der Mathematik», Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Английский перевод «О новом фундаментальном кризисе математики» в (Mancosu 1998).

Вторичная литература

  • Ван Аттен, М., 2004, Он Брауэр, Белмонт (Калифорния): Уодсворт.

    Философское введение в интуиционизм, предложенное Брауэром, с обширными трактовками доказательства теоремы о баре, субъекта создания и интерсубъективности

  • Ван Дален, Д., 1990, «Война лягушек и мышей, или кризис Mathematische Annalen», Математический интеллект, 12 (4): 17-31.
  • Ван Дален, Д., 1999/2005, Мистик, Геометр и Интуиционист, 2 тома, Оксфорд: Кларендон Пресс.

    Стандартная биография Брауэра. Том 1, Рассветная революция, охватывает 1881-1928 годы, том 2, Надежда и разочарование, охватывает 1929-1966 годы

  • van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Эен Биография. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Амстердам: Берт Баккер.

    Популярная биография в 1 томе на голландском языке

  • Даммет, М., 1977, Элементы интуиционизма, Оксфорд: издательство Оксфордского университета. 2-е исправленное издание, 2000, Оксфорд: Кларендон Пресс.

    Обзор интуиционизма. С философской точки зрения это кажется ближе к Витгенштейну, чем к Брауэру

  • Хесселинг, Д. Е., 2003, Гномы в тумане. Прием интуиционизма Брауэра в 1920-х годах, Базель: Биркхаузер.

    , Подробное историческое обсуждение реакций на зрелый интуиционизм Брауэра в ходе основополагающих дебатов

  • Хейтинг, А., 1956, Интуиционизм. Введение, Амстердам: Северная Голландия. 2-е исправленное издание, 1966 г. 3-е, исправленное издание, 1971 г.

    Вероятно, самая влиятельная книга на эту тему из когда-либо написанных. В стиле, который является более приземленным и вселенским, чем Брауэр, Хейтинг представляет интуиционистские версии различных базовых предметов в повседневной математике. У Брауэра и Хейтинга есть некоторые философские разногласия, которые влияют на их понимание некоторых аспектов интуиционистской математики. Комментариев Брауэра к этой книге пока нет

  • Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paris: Vrin.

    Обзор интуиционизма, близость к Брауэру и хорошее понимание исторического фона понятия Брауэра об интуиции

  • Placek, T., 1999, математический интуиционизм и интерсубъективность, Dordrecht: Kluwer.

    Сравнение аргументов в пользу интуиционизма, выдвинутых, соответственно, Брауэром, Хейтингом и Дамметтом, в частности, относительно возможности интерсубъективной валидности интуиционистской математики

  • van Stigt, W., 1990, Интуиционизм Брауэра, Амстердам: Северная Голландия.

    Содержит интересные философские дискуссии и дает английские переводы материалов из архива Брауэра. Биографический очерк был заменен (van Dalen, 1999/2005) и (van Dalen, 2001)

Другие интернет-ресурсы

  • Обзор гномов Хесселинга в тумане в Бюллетене символической логики (Постскриптум)
  • Библиография Брауна Дирка ван Далена (Постскриптум)

[Пожалуйста, свяжитесь с автором с дальнейшими предложениями.]