Пересмотр Теории Истины

Оглавление:

Пересмотр Теории Истины
Пересмотр Теории Истины

Видео: Пересмотр Теории Истины

Видео: Пересмотр Теории Истины
Видео: Андрей Баумейстер Краткое введение в теорию истины | ознакомительная лекция онлайн-курса 2024, Март
Anonim

Это файл в архиве Стэнфордской энциклопедии философии.

Пересмотр Теории Истины

Впервые опубликовано пт 15 декабря 1995 г.; основная редакция пт 28 июля 2006 г.

Рассмотрим следующее предложение:

(1) не соответствует действительности. (1)

Давно известно, что предложение (1) порождает парадокс, так называемый парадокс лжеца: кажется невозможным последовательно утверждать, что (1) верно, и невозможно последовательно утверждать, что (1) не соответствует действительности. (Подробности см. В разделе 1 ниже.) Учитывая такой парадокс, можно скептически относиться к понятию правды или, по крайней мере, к перспективам научного представления правды. Большим достижением Альфреда Тарского было показать, как противопоставить этому скептицизму формальное определение истины для широкого класса формализованных языков. Тарски, однако, не показал, как дать определение истины для языков (таких как английский), которые содержат свои собственные предикаты истины. Он думал, что это невозможно сделать именно из-за парадокса лжеца. Он считал, что любой язык с его собственным предикатом истины будет непоследовательным, если он подчиняется правилам стандартной классической логики и способен ссылаться на свои собственные предложения.

Учитывая тесную связь между значением и истиной, широко распространено мнение, что любая семантика для языка L, т. Е. Любая теория значения для L, будет тесно связана с теорией истины для L: действительно, обычно считается, что что-то подобно теории правды Тарского для L будет центральной частью семантики для L. Таким образом, невозможность дать тарскую теорию истины для языков с их собственными предикатами истины угрожает проекту предоставления семантики для языков с их собственными предикатами истины.

Нам пришлось ждать, пока в работе Крипке 1975 года и Мартина и Вудраффа 1975 года не будет систематического формального предложения семантики для языков с их собственными предикатами истины. Основная мысль проста: принять оскорбительные предложения, такие как (1), чтобы они не были ни правдой, ни ложью. Крипке, в частности, показывает, как реализовать эту мысль для широкого спектра языков, фактически используя семантику с тремя значениями: true, false и none. [1] Можно с уверенностью сказать, что подходы Крипкеана заменили тарский пессимизм как новую ортодоксальность языков с их собственными предикатами истины.

Одним из главных конкурентов трехзначной семантики является Ревизионная теория истины, или RTT, независимо разработанная Хансом Герцбергером и Анилом Гуптой и впервые представленная в публикациях в Herzberger 1982a и 1982b, Gupta 1982 и Belnap 1982 - первые монографии на эту тему - Якуб 1993 и locus classicus, Gupta & Belnap 1993. RTT разработан для того, чтобы смоделировать тип рассуждений, к которым приводит предложение лжеца, в двухзначном контексте. Центральной идеей является идея процесса пересмотра: процесс, с помощью которого мы пересматриваем гипотезы о истинности одного или нескольких предложений. Цель настоящей статьи - обрисовать пересмотренную теорию истины. Мы действуем следующим образом:

  • 1. Полуформальное введение
  • 2. Обрамление проблемы

    • 2.1 Истинные языки
    • 2.2 Наземные модели
    • 2.3 Парадокс лжеца (снова)
  • 3. Основные понятия РТТ

    • 3.1 Пересмотр правил
    • 3.2 Ревизионные последовательности
  • 4. Интерпретация формализма

    • 4.1 Значение Т
    • 4.2. «Iff» в Т-бикондиционалах
    • 4.3 Парадоксальные рассуждения
    • 4.4. Значение тезиса
    • 4.5 Супервентность семантики
    • 4.6 Якуб интерпретация формализма
  • 5. Дальнейшие вопросы

    • 5.1 Трехзначная семантика
    • 5.2 Поправки к RTT
    • 5.3 Теория пересмотра для заданных по кругу понятий
    • 5.5 Приложения
    • 5.5 Открытый вопрос
  • Библиография
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Полуформальное введение

Давайте внимательнее посмотрим на предложение (1), данное выше:

(1) не соответствует действительности. (1)

Будет полезно сделать парадоксальные рассуждения явными. Во-первых, предположим, что

(1) не соответствует действительности. (2)

Кажется, что интуитивный принцип, касающийся истины, состоит в том, что для любого предложения p мы имеем так называемое T-бикондиционное

«р» верно, если р. (3)

(Здесь мы используем «iff» как сокращение для «тогда и только тогда».) В частности, мы должны иметь

«(1) неверно» верно, если (1) неверно. (4)

Таким образом, из (2) и (4) получаем

«(1) неверно» верно. (5)

Тогда мы можем применить идентичность,

(1) = '(1) не соответствует действительности.' (6)

сделать вывод, что (1) верно. Это все показывает, что если (1) не верно, то (1) верно. Аналогично, мы также можем утверждать, что если (1) верно, то (1) не верно. Итак, (1) кажется верным и не верным: отсюда и парадокс. Как указывалось выше, трехзначный подход к парадоксу предполагает, что предложение лжеца (1) не является ни истинным, ни ложным. Точно, как, или даже, если этот шаг блокирует вышеупомянутые рассуждения, вопрос для обсуждения. RTT предназначен не для того, чтобы блокировать рассуждения вышеупомянутого типа, а для их моделирования или большей части. [2] Как указывалось выше, центральной идеей является идея процесса пересмотра: процесс, с помощью которого мы пересматриваем гипотезы об истинности одного или нескольких предложений.

Рассмотрим рассуждения относительно предложения лжеца (1) выше. Предположим, что мы предполагаем, что (1) неверно. Затем, с применением соответствующей T-двухусловной, мы могли бы пересмотреть нашу гипотезу следующим образом:

Гипотеза: (1) не соответствует действительности.
Т-biconditional: «(1) неверно» верно, если (1) неверно.
Следовательно: «(1) неверно» верно.
Известная личность: (1) = «(1) неверно».
Вывод: (1) это правда.
Новая пересмотренная гипотеза: (1) это правда.

Мы могли бы продолжить процесс пересмотра, еще раз пересмотрев нашу гипотезу следующим образом:

Новая гипотеза: (1) это правда.
Т-biconditional: «(1) неверно» верно, если (1) неверно.
Следовательно: «(1) не верно» не верно.
Известная личность: (1) = «(1) неверно».
Вывод: (1) не соответствует действительности.
Новая новая пересмотренная гипотеза: (1) не соответствует действительности.

Поскольку процесс пересмотра продолжается, мы переключаемся между принятием предложения лжеца, чтобы быть правдой, а не правдой.

Пример 1.1

Стоит посмотреть, как работает такой вид ревизии в случае с несколькими предложениями. Давайте применим идею пересмотра к следующим трем предложениям:

(8) верно или (9) верно. (7)
(7) это правда. (8)
(7) не соответствует действительности. (9)

Неформально мы можем рассуждать следующим образом. Либо (7) верно, либо (7) неверно. Таким образом, либо (8) верно, либо (9) верно. Таким образом, (7) верно. Таким образом, (8) верно и (9) не верно, а (7) все еще верно. Итерируя процесс еще раз, мы снова получаем (8) верно, (9) не верно, и (7) верно. Более формально рассмотрим любую начальную гипотезу h 0 о значениях истинности (7), (8) и (9). Либо h 0 говорит, что (7) верно, либо h 0 говорит, что (7) не верно. В любом случае мы можем использовать T-бикондицион, чтобы сгенерировать нашу пересмотренную гипотезу h 1: если h 0 говорит, что (7) верно, то h 1 говорит, что «(7) истинно», то есть, что (8) правда; а если h 0говорит, что (7) верно, тогда h 1 говорит, что «(7) не верно» верно, то есть что (9) верно. Таким образом, h 1 говорит, что либо (8) верно, либо (9) верно. Таким образом, h 2 говорит, что «(8) верно или (9) верно» верно. Другими словами, h 2 говорит, что (7) верно. Таким образом, независимо от того, с какой гипотезой h 0 мы начинаем, две итерации процесса пересмотра приводят к гипотезе, что (7) верно. Точно так же три или более итераций процесса пересмотра приводят к гипотезе, что (7) верно, (8) верно и (9) ложно - независимо от нашей первоначальной гипотезы. В разделе 3 мы рассмотрим этот пример в более формальном контексте.

Следует отметить, что в примере 1.1 процесс пересмотра дает стабильные значения истинности для всех трех предложений. Понятие предложения, стабильно верного во всех ревизионных последовательностях, будет центральным понятием для RTT. Теоретико-ревизионная трактовка в этом случае контрастирует с трехзначным подходом: в большинстве способов реализации трехзначной идеи все три предложения (7), (8) и (9) оказываются не правда ни ложь [3] В этом случае RTT, возможно, лучше отражает правильные неформальные рассуждения, чем трехзначный подход: RTT присваивает предложениям (7), (8) и (9) истинные значения, которые были им присвоены неформальными рассуждениями, приведенными в начале примера.

2. Обрамление проблемы

2.1 Истинные языки

Цель RTT состоит в том, чтобы дать отчет о наших часто нестабильных и часто парадоксальных рассуждениях об истине - двузначном счете, который присваивает предложениям стабильные классические значения истины, когда интуитивное рассуждение назначило бы стабильные классические значения истины. Мы представим формальную семантику для формального языка: мы хотим, чтобы этот язык имел и предикат истины, и ресурсы для ссылки на его собственные предложения.

Давайте рассмотрим язык первого порядка L с соединительными символами &, ∨ и ¬, квантификаторами ∀ и ∃, знаком равенства =, переменными и некоторым набором имен, функциональных символов и символов отношений. Мы скажем, что L является языком правды, если он имеет различимый предикат T и кавычки 'и', которые будут использоваться для формирования имен кавычек: если A - это предложение L, то 'A' - это имя. Пусть Отправлено L = {A: A является предложением L}.

2.2 Наземные модели

Помимо предиката истины, мы будем предполагать, что наш язык интерпретируется полностью классически. Таким образом, мы представим T- свободный фрагмент языка истинности L базовой моделью, т. Е. Классической интерпретацией T- свободного фрагмента L. К Т свободного от фрагмента L, мы имеем в виду первого порядка языка L - который имеет те же имена, функциональные символы и символы отношений, как L, кроме одноместного предиката Т. Поскольку L - имеет те же имена, что и L, включая те же имена кавычек, L - будет иметь имя кавычки 'A' для каждого предложения A в L. Таким образом, T x T x не является предложением L -, но ∀ x T x '- это имя L -, а ∀ x (x =' T x T x ') - это предложение L -. Учитывая модель площадки, мы рассмотрим перспективу обеспечения удовлетворяющей интерпретации Т. Наиболее очевидным желанием является то, чтобы базовая модель, расширенная для включения интерпретации T, удовлетворяла T-бикондиционалам Тарского, т. Е. Бикондиционалам вида

T  'A' если A

для каждого A ∈ Sent L. Для уточнения позвольте наземной модели для L быть классической моделью M = <D, I> для T -свободного фрагмента L, удовлетворяющей следующему:

  1. D - непустая область дискурса;
  2. Я назначаю функцию

    1. каждому имени L член D;
    2. для каждого n -ного символа функции из L функция от D n до D; и
    3. каждому n -ному символу отношения, отличному от T, функции L от D n до одного из двух значений истинности в наборе { t, f }; [4]
  3. Отправлено L ∈ D; и
  4. I ('A') = A для любого A ∈ Переданные L.

В пунктах (1) и (2) просто указывается, что такое M для классической модели T -свободного фрагмента L. Пункты (3) и (4) гарантируют, что L при интерпретации может говорить о своих собственных предложениях. Учитывая наземную модель M для L и имя, функциональный символ или символ отношения X, мы можем думать о I (X) как об интерпретации или, если позаимствовать термин из Гупты и Белнапа, о значении X. Гупта и Белнап характеризуют значение выражения или концепции в мире w как «абстрактное нечто, несущее всю информацию обо всех экстенсиональных отношениях выражения [или концепции] в w». Если мы хотим интерпретировать T x как «x is true», то, учитывая наземную модель M, мы хотели бы найти соответствующее значение или подходящий диапазон значений для T.

2.3 Парадокс лжеца (снова)

Мы могли бы попытаться присвоить T классическое значение, дополнив М к классической модели М «= <D», I '> для всех L, в том числе Т. Напомним, что мы хотим, чтобы M 'удовлетворял T-бикондиционалам: наиболее очевидная мысль здесь состоит в том, чтобы понимать «iff» как стандартную, условно истинную бикондиционность. К сожалению, не каждая наземная модель M = <D, I> может быть расширена до такой M '. Рассмотрим язык истинности L с именем λ и основную модель M = <D, I> такую, что I (λ) = ¬ T λ. И предположим, что M 'является классическим расширением M на все L. Так как M 'является расширением M, я и я' согласны на все имена L. Так

I '(λ) = I (λ) = ¬ Т λ = I (' ¬ Т λ ') = I '(' ¬ Т λ').

Таким образом, предложения T λ и T  '¬ T λ' имеют одинаковое значение истинности в M '. Так что Т-двусмысленный

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

ложно в M '. Это формализация парадокса лжеца с предложением ¬ T λ в качестве предложения обидчика.

В семантике языков, способных выражать свои собственные понятия истинности, T, как правило, не будет иметь классического значения; и «iff» в T-бикондиционалах не будет читаться как классическое бикондиционное. Мы рассмотрим эти предложения в разделе 4 ниже.

3. Основные понятия РТТ

3.1 Пересмотр правил

В разделе 1 мы неофициально обрисовали в общих чертах основную мысль RTT, а именно, что мы можем использовать T-бикондиционалы для генерации правила пересмотра - правила пересмотра гипотезы о расширении предиката истинности. Здесь мы формализуем это понятие и проработаем пример из Раздела 1.

В общем, пусть L - язык правды, а M - базовая модель для L. Гипотеза - это функция h: D → { t, f }. Гипотеза будет в действительности быть гипотетической классической интерпретацией Т. Давайте поработаем с примером, который фиксирует парадокс лжеца и Пример 1.1 из Раздела 1. Мы приведем пример формально, но полуформальным образом, для перехода от одного предполагаемого расширения T к другому.

Пример 3.1

Предположит, что L содержит четыре без кавычки имен, a, b, g и А и никаких других, чем предиката T. Также предположим, что M = <D, I> выглядит следующим образом:

D знак равно Отправлено L
I (α) знак равно T β ∨ T γ
Я (β) знак равно T α
I (γ) знак равно ¬ T α
Я (λ) знак равно ¬ T λ

Будет удобно

A быть приговором T β ∨ T γ
В быть приговором T α
С быть приговором ¬ T α
Икс быть приговором ¬ T λ

Таким образом:

D знак равно Отправлено L
I (α) знак равно A
Я (β) знак равно В
I (γ) знак равно С
Я (λ) знак равно Икс

Предположим, что гипотеза h 0 предполагает, что A ложно, B истинно, C ложно и X истинно. таким образом

h 0 (A) знак равно е
h 0 (B) знак равно T
h 0 (C) знак равно е
h 0 (X) знак равно е

Теперь мы будем участвовать в некоторых полуформальных рассуждениях, исходя из гипотезы h 0. Среди четырех предложений, A, B, C и X, H 0 помещает только B в расширении T. Таким образом, исходя из h 0, заключаем, что

¬ T α поскольку референт α не находится в расширении T
T β поскольку референт β находится в расширении T
¬ T γ поскольку референт γ не находится в расширении T
¬ T λ так как референт Й не в продолжении Т.

T-бикондиционные для четырех предложений A, B, C и X следующие:

(T A) A верно, если T β ∨ T γ
(T B) B верно тогда и только тогда, когда T α
С) С истинно тогда и только тогда ¬ Т α
(T X) X истинно тогда и только тогда ¬ T λ

Таким образом, исходя из h 0, заключаем, что

А это правда
Б не правда
C это правда
X это правда

Это производит нашу новую гипотезу h 1:

ч 1 (А) знак равно T
ч 1 (б) знак равно е
ч 1 (с) знак равно T
ч 1 (х) знак равно T

Давайте еще раз пересмотрим нашу гипотезу. Так что теперь мы будем участвовать в некоторых полуформальных рассуждениях, основываясь на гипотезе h 1. Гипотеза ч 1 ставит А, С и Х, но не В, в продолжении Т. Таким образом, исходя из h 1, заключаем, что

T α так как референт а находится в расширении T
¬ T β поскольку референт β находится в расширении T
T γ поскольку референт γ не находится в расширении T
T λ поскольку референт λ не находится в расширении T

Напомним T-бикондиционность для четырех предложений A, B, C и X, приведенных выше. Исходя из h 1 и этих Т-бикондиционалов, мы заключаем, что

А это правда
Б это правда
С не соответствует действительности
Х не верно

Это производит нашу новую новую гипотезу h 2:

ч 2 (а) знак равно T
ч 2 (б) знак равно T
ч 2 (с) знак равно е
ч 2 (х) знак равно е

Формализуем полуформальные рассуждения, проведенные в примере 3.1. Во- первых, мы предположили, что некоторые предложения были, или не были, в продолжении Т. Рассмотрим обычную классическую модель теории. Предположим, что наш язык имеет предикат G и имя a, и что у нас есть модель M = <D, I>, которая помещает референт внутри расширения G:

I (G) (I (α)) = t

Затем мы заключаем, классически, что предложение Ga верно в M. Будет полезно иметь некоторые обозначения для классического значения истинности предложения S в классической модели M. Мы напишем Val M (S). В этом случае Val M (Ga) = t. В примере 3.1 мы начали не с классической модели всего языка L, а только с классической модели T -свободного фрагмента L. Но затем мы добавили гипотезу, чтобы получить классическую модель всего L. Давайте используем обозначение M + h для классической модели всех L, которую вы получаете, когда вы расширяете M, присваивая T расширение через гипотезу h. После того, как вы присвоили расширение предикату T Вы можете вычислить значения истинности различных предложений L. То есть для каждого предложения S из L мы можем вычислить

Val M + h (S)

В примере 3.1 мы начали с гипотезы h 0 следующим образом:

h 0 (A) знак равно е
h 0 (B) знак равно T
h 0 (C) знак равно е
h 0 (X) знак равно е

Затем мы рассчитали следующим образом:

Val M + h 0 (T α) знак равно е
Val M + h 0 (T β) знак равно T
Val M + h 0 (T γ) знак равно е
Val M + h 0 (T λ) знак равно е

И тогда мы пришли к следующему выводу:

Val M + h 0 (A) знак равно Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B) знак равно Val M + h 0T α) = f
Val M + h 0 (C) знак равно Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X) знак равно Val M + h 0T λ) = t

Эти выводы породили нашу новую гипотезу, ч 1:

ч 1 (А) знак равно T
ч 1 (б) знак равно е
ч 1 (с) знак равно T
ч 1 (х) знак равно T

Обратите внимание, что, в общем,

h 1 (S) = Val M + h 0 (S).

Теперь мы готовы определить правило пересмотра, данное наземной моделью M = <D, I>. В общем случае, учитывая гипотезу h, пусть M + h = <D, I '> будет моделью L, которая согласуется с M на T -свободном фрагменте L, и которая такова, что I' (T) = h. Так что M + h - это просто классическая модель для всего L. Для любой модели M + h всех L и любого предложения A, если L, пусть Val M + h (A) будет обычным классическим истинным значением A в M + h.

Определение 3.2.

Предположим, что L - язык истинности, а M = <D, I> - базовая модель для L. Правило пересмотра, τ M, является функцией отображения гипотез в гипотезы следующим образом:

τ M (h) (d) знак равно {

t, если d ∈ D является предложением L и Val M + h (d) = t

f, в противном случае

Предложение «иначе» говорит нам, что если d не является предложением L, то после одного применения ревизии мы придерживаемся гипотезы о том, что d неверно. [5] Отметим, что в примере 3.1 h 1 = τ M (h 0) и h 2 = τ M (h 1). Мы часто отбрасываем подписанную букву «М», когда из контекста становится ясно, какая базовая модель является предметом спора.

3.2 Ревизионные последовательности

Давайте возьмем пример 3.1 и посмотрим, что происходит, когда мы повторяем применение правила пересмотра.

Пример 3.3 (пример 3.2 продолжение)

Напомним, что L содержит четыре без кавычки имена, a, b, g и А и никакие другие, чем предиката T. Также напомним, что M = <D, I> выглядит следующим образом:

D знак равно Отправлено L
I (α) знак равно A знак равно T β ∨ T γ
Я (β) знак равно В знак равно T α
I (γ) знак равно С знак равно ¬ T α
Я (λ) знак равно Икс знак равно ¬ T λ

В следующей таблице показано, что происходит с повторными применениями правила пересмотра τ M к гипотезе h 0 из примера 3.1. В этой таблице мы будем писать τ вместо τ M:

S ч 0 (с) τ (h 0) (S) τ 2 (h 0) (S) τ 3 (h 0) (S) τ 4 (h 0) (S)
A е T T T T
В T е T T T
С е T е е е
Икс е T е T е

Таким образом, h 0 генерирует ревизионную последовательность (см. Определение 3.7 ниже). И A и B стабильно верны в этой последовательности ревизий (см. Определение 3.6 ниже), в то время как C стабильно ложно. Неудивительно, что предложение лжеца X не является ни стабильно верным, ни стабильно ложным: предложение лжеца нестабильно. Подобный расчет показал бы, что A стабильно верно, независимо от исходной гипотезы: таким образом, A категорически верно (см. Определение 3.8).

Прежде чем дать точное определение последовательности ревизий, приведем пример, в котором мы хотели бы вынести процесс ревизии за пределы конечных этапов: h, τ 1 (h), τ 2 (h), τ 3 (h) и т. Д. на.

Пример 3.4

Предположим, что L содержит имена nonquote & alpha; 0, α 1, α 2, α 3, …, и унарные предикаты G и T. Теперь мы определим наземную модель M = <D, I>, где имя α 0 относится к некоторой тавтологии, и где

имя α 1 относится к предложению T α 0,

имя α 2 относится к предложению T α 1,

имя a 3 относится к предложению T a 2

Более формально, пусть A 0 будет предложением T α 0 ∨ ¬ T α 0, а для каждого n ≥ 0 пусть A n +1 будет предложением T α n. Таким образом, A 1 - это предложение T α 0, а A 2 - это предложение T α 1, а A 3 - это предложение T α 2 и т. Д. Наша наземная модель M = <D, I> выглядит следующим образом:

D знак равно Отправлено L
I (α n) знак равно А н
I (G) (A) = т тогда и только тогда A = A n для некоторого n

Таким образом, расширением G является следующий набор предложений: {A 0, A 1, A 2, A 3,…} = {(T α 0 ∨ ¬ T α 0), T α 0, T a 1, T a 2, T a 3,…}. Наконец, пусть B будет предложением ∀ x (Gx ⊃ T x). Пусть h будет любая гипотеза, для которой мы имеем, для каждого натурального числа n,

h (A n) = h (B) = f.

Следующая таблица показывает, что происходит с повторными применениями правила пересмотра τ M к гипотезе h. В этой таблице мы будем писать τ вместо τ M:

S ч (с) т (ч) (с) τ 2 (ч) (с) τ 3 (ч) (с) τ 4 (ч) (с)
А 0 е T T T T
А 1 е е T T T
А 2 е е е T T
А 3 е е е е T
А 4 е е е е е
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
В е е е е е

В 0 - й стадии, каждая п находится за пределами предполагаемого расширения T. Но с п - й ступени и далее, А п находится в гипотетическом расширении Т. Таким образом, для каждого n предложение A n в конце концов стабильно выдвигается как истинное. Несмотря на это, не существует конечной стадии, на которой все A n предполагаются истинными: в результате предложение B = ∀ x (Gx ⊃ T x) остается ложным на каждой конечной стадии. Это предполагает расширение процесса следующим образом:

S ч (с) τ (ч) (с) τ 2 (ч) (с) τ 3 (ч) (с) ω ω + 1 ω + 2
А 0 е T T T T T T
А 1 е е T T T T T
А 2 е е е T T T T
А 3 е е е е T T T
А 4 е е е е T T T
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
вертикальная-точка
В е е е е е T T

Таким образом, если мы позволим процессу пересмотра выйти за пределы конечных этапов, то предложение B = ∀ x Gx ⊃ T x) будет устойчиво верно начиная с ω + 1- го этапа и далее. □

В примере 3.4 интуитивный вердикт состоит в том, что каждый A n должен не только получать стабильное значение истинности t, но и предложение B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Единственный способ обеспечить это - вынести процесс пересмотра за пределы конечных этапов. Таким образом, мы рассмотрим последовательности ревизий, которые являются очень длинными: последовательность ревизий будет иметь не только ый этап для каждого конечного числа n, но и η- й этап для каждого порядкового номера η. (Следующий абзац должен помочь читателю, незнакомому с порядковыми номерами.)

Один из способов думать о порядковых числах заключается в следующем. Начните с конечных натуральных чисел:

0, 1, 2, 3,…

Добавьте число, ω, больше, чем все эти, но не непосредственный преемник любого из них:

0, 1, 2, 3,…, ω

А затем возьмем преемника ω, его преемника и т. Д.

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Затем добавьте число ω + ω или ω × 2, большее, чем все из них (и снова, не являясь непосредственным преемником любого из них), и начните снова, повторяя этот процесс снова и снова:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

вертикальные точки
вертикальные точки

В конце этого мы добавляем порядковый номер ω × ω или ω 2:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω 2, ω 2 +1,…

Порядковые числа имеют следующую структуру: каждый порядковый номер имеет непосредственного преемника, известного как порядковый номер преемника; и для любой бесконечно возрастающей последовательности порядковых чисел существует предельный порядковый номер, который больше, чем все члены последовательности, и который не является непосредственным преемником какого-либо члена последовательности. Таким образом, следующие порядковые порядки являются следующими: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω 2 +8; и следующие предельные ординалы: ω, ω × 2, ω 2, (ω 2 + ω) и т. д. При заданном предельном ординале η последовательность S объектов является длинной η-последовательности, если существует объект S δ для каждый ординал δ <η. Мы будем обозначать класс ординалов как On. Любая последовательность объектов S является последовательностью On-long, если существует объект S δ для каждого ординала δ.

При оценке того, получает ли предложение устойчивое значение истинности, RTT учитывает последовательности гипотез длины On. Поэтому предположим, что S является последовательностью гипотез On-long, и пусть ζ и η лежат в пределах ординалов. Ясно, что для того, чтобы S представлял процесс пересмотра, нам нужно, чтобы ζ + 1- я гипотеза была сгенерирована из ζ- й гипотезы правилом пересмотра. Поэтому мы настаиваем на том, что S ζ + 1 = τ M (S ζ). Но что мы должны делать на предельной стадии? То есть как мы должны установить S η (δ), когда η является предельным порядковым числом? Очевидно, что любой объект, который является стабильно истинным [ложным] до этой стадии, должен быть истинным [ложным] на этой стадии. Итак, рассмотрим пример 3.2. Предложение А 2например, верно до ω- й стадии; поэтому мы устанавливаем A 2, чтобы быть правдой на ω- й стадии. Для объектов, которые не стабилизируются до этой стадии, Гупта и Белнап 1993 применяют либеральную политику: при построении последовательности ревизий S, если значение объекта d ∈ D не стабилизировалось к тому времени, когда вы достигли предельной стадии η, тогда вы можете установить S η (δ) в зависимости от того, какой из t или f вам нравится. Прежде чем дать точное определение последовательности ревизий, мы продолжим с примера 3.3, чтобы увидеть применение этой идеи.

Пример 3.5 (пример 3.3 продолжение)

Напомним, что L содержит четыре без кавычки имена, a, b, g и А и никакие другие, чем предиката T. Также напомним, что M = <D, I> выглядит следующим образом:

D знак равно Отправлено L
I (α) знак равно A знак равно T β ∨ T γ
Я (β) знак равно В знак равно T α
I (γ) знак равно С знак равно ¬ T α
Я (λ) знак равно Икс знак равно ¬ T λ

В следующей таблице показано, что происходит с повторными применениями правила пересмотра τ M к гипотезе h 0 из примера 3.1. Для каждого ординала η мы обозначим η- ю гипотезу через S η (подавляя индекс M на τ). Таким образом, S 0 = h 0, S 1 = τ (h 0), S 2 = τ 2 (h 0), S 3 = τ 3 (h 0) и S ω, ω- я гипотеза, определяется некоторым образом от гипотез, ведущих к нему. Итак, начиная с ч 0 из примера 3.3 наша последовательность изменений начинается следующим образом:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S)
A е T T T T
В T е T T T
С е T е е е
Икс е T е T е

Что происходит на ω- ом этапе? A и B стабильно верны до ω- й стадии, а C стабильно ложны до ω- й стадии. Поэтому на ω- м этапе мы должны иметь следующее:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S) S ω (S)
A е T T T T T
В T е T T T T
С е T е е е е
Икс е T е T е ?

Но запись для S ω (X) может быть либо t, либо f. Другими словами, исходная гипотеза h 0 порождает как минимум две ревизионные последовательности. Каждая ревизионная последовательность S, имеющая h 0 в качестве исходной гипотезы, должна иметь S ω (A) = t, S ω (B) = t и S ω (C) = f. Но существует некоторая ревизионная последовательность S с исходной гипотезой h 0 и с S ω (X) = t; и есть некоторая ревизионная последовательность S ', с h 0 в качестве исходной гипотезы и с S ω'(X) = f. □

Теперь мы готовы определить понятие последовательности изменений:

Определение 3.6.

Предположим, что L - язык истинности, а M = <D, I> - наземная модель. Предположим, что S является последовательностью гипотез On-long. Тогда мы говорим, что d ∈ D стабильно t [ f] в S, если для некоторого ординала θ имеем

S ζ (d) = t [ f], для каждого ординала ζ ≥ θ.

Предположим, что S является η-длинной последовательностью гипотезы для некоторого предельного ординала η. Тогда мы говорим, что d ∈ D стабильно t [ f] в S, если для некоторого ординала θ <η имеем

S ζ (d) = t [ f] для любого ординала ζ такого, что ζ ≥ θ и ζ <η.

Если S - последовательность гипотез On-long, а η - предельный ординал, то S | η - начальный сегмент S до, но не включая η. Обратите внимание, что S | η - η-длинная последовательность гипотез.

Определение 3.7.

Пусть L - язык истинности, а M = <D, I> - наземная модель. Предположим, что S является последовательностью гипотез On-long. S - это ревизионная последовательность для M iff

  • S ζ + 1 = τ M (S ζ), для каждого ζ ∈ On, и
  • для каждого предельного ординала η и каждого d ∈ D, если d стабильно t [ f] в S | η, то S η (d) = t [ f].

Определение 3.8.

Предположим, что L - язык истинности, а M = <D, I> - наземная модель. Мы говорим, что предложение A категорически верно [ложно] в M, если A стабильно t [ f] в каждой последовательности ревизий для M. Мы говорим, что A категорически в M, если A либо категорически верно, либо категорически ложно в M.

Теперь проиллюстрируем эти концепции на примере. Пример также иллюстрирует новую концепцию, которая будет определена позже.

Пример 3.9

Предположим, что L является языком истина, содержащая имена nonquote р, α 0, α 1, α 2, α 3, …, и унарные предикаты G и T. Пусть B будет предложение

T β ∀ x x y (G x & T x & Gy & y T x = y).

Пусть A 0 будет предложение ∃ х (Сх & ¬ Т х). И для каждого n ≥ 0 пусть A n +1 будет предложением T α n. Рассмотрим следующую наземную модель M = <D, I>

D знак равно Отправлено L
Я (β) знак равно В
I (α n) знак равно А н
I (G) (A) = т тогда и только тогда A = A n для некоторого n

Таким образом, расширением G является следующий набор предложений: {A 0, A 1, A 2, A 3,…} = { T α 0, T α 1, T α 2, T α 3,…}. Пусть h будет любая гипотеза, для которой мы имеем, h (B) = f и для каждого натурального числа n,

h (A n) = f.

И пусть S будет ревизионной последовательностью, исходная гипотеза которой h, то есть S 0 = h. В следующей таблице указаны некоторые значения S γ (C) для предложений C ∈ {B, A 0, A 1, A 2, A 3,…}. В верхнем ряду мы указываем только порядковый номер, представляющий этап в процессе пересмотра.

0 1 2 3 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω × 2 (Ω × 2) + 1 (Ω × 2) + 2
В е е е е е T T T T T T
А 0 е T T T T е T T T е T
А 1 е е T T T T е T T T е
А 2 е е е T T T T е T T T
А 3 е е е е T T T T T T T
А 4 е е е е T T T T T T T
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки
вертикальные точки

Стоит противопоставить поведение предложения B и предложения A 0. Из со + 1 - й стадии на, Б стабилизируется как верно. Фактически, B стабильно верно в каждой последовательности ревизий для M. Таким образом, B категорически верно в M. Предложение A 0, однако, никогда не стабилизируется полностью: оно обычно верно, но в течение нескольких конечных этапов предельного ординала предложение A 0 может быть ложным. В этих обстоятельствах мы говорим, что A 0 почти стабильно верно (см. Определение 3.10 ниже). Фактически, A 0 почти стабильно верно в каждой последовательности ревизий для M. □

Пример 3.9 иллюстрирует не только понятие стабильности в последовательности ревизий, но также почти стабильность, которую мы сейчас определяем:

Определение 3.10.

Предположим, что L - это язык истинности, а M = <D, I> - наземная модель. Предположим, что S является последовательностью гипотез On-long. Тогда мы говорим, что d ∈ D почти устойчиво t [ f] в S, если для некоторого ординала θ мы имеем

для каждого ζ ≥ θ существует натуральное число n такое, что для каждого m ≥ n S ζ + m (d) = t [ f].

Гупта и Белнап 1993 характеризуют разницу между стабильностью и почти стабильностью следующим образом: «Упроститель стабильности требует, чтобы элемент [в нашем случае - предложение] установился до значения x [в нашем случае - значения истинности] после того, как некоторые начальные колебания говорят до [ординал η]… Напротив, близкая стабильность допускает флуктуации и после η, но эти флуктуации должны быть ограничены конечными областями сразу после предельных ординалов »(стр. 169). Гупта и Белнап 1993 представляют две теории истины, T * и T #, основанные на стабильности и почти стабильности. Теоремы 3.12 и 3.13 ниже иллюстрируют преимущество системы T #, то есть системы, основанной на почти устойчивости.

Определение 3.11.

Предположим, что L - это язык истинности, а M = <D, I> - наземная модель. Мы говорим, что предложение A верно в M как T *, если A стабильно верно в каждой последовательности ревизий. И мы говорим, что предложение A допустимо в M с помощью T #, если A почти стабильно верно в каждой последовательности ревизий.

Теорема 3.12

Предположим, что L - язык истинности, а M = <D, I> - наземная модель. Тогда для каждого предложения A из L справедливо следующее в M с помощью T #:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Теорема 3.13

Существует язык истинности L и базовая модель M = <D, I>, а также предложение A из L, такое, что T не справедливо в M из T *:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Гупта и Белнап 1993, раздел 6C, отмечают аналогичные преимущества T # над T *. Например, T # делает, а T * нет, проверяет следующие семантические принципы:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Гупта и Белнап остаются неуклонными в отношении того, какой из T # и T * (и еще одна альтернатива, которую они определяют, T c) предпочтительнее.

4. Интерпретация формализма

Основными формальными понятиями RTT являются понятие правила пересмотра (определение 3.2), т. Е. Правила пересмотра гипотез; и последовательность редакции (определение 3.7), последовательность гипотез, сгенерированных в соответствии с соответствующим правилом редакции. Используя эти понятия, мы можем, учитывая основную модель, указать, когда предложение является стабильным или почти стабильным, истинным или ложным в определенной последовательности ревизий. Таким образом, мы могли бы определить две теории истины, T * и T #, основанные на стабильности и почти стабильности. Последняя идея заключается в том, что каждая из этих теорий выносит вердикт, по которому предложения языка категорически утверждаются с учетом базовой модели.

Обратите внимание, что мы могли бы использовать теоретико-ревизионные понятия, чтобы сделать довольно тонкие различия между предложениями: некоторые предложения нестабильны в каждой последовательности ревизий; другие стабильны в каждой последовательности ревизий, хотя стабильно верны в одних и стабильно ложны в других; и так далее. Таким образом, мы можем использовать теоретико-ревизионные идеи, чтобы дать детальный анализ состояния различных предложений и взаимосвязей различных предложений друг с другом.

Напомним предложение, сделанное в конце раздела 2:

В семантике языков, способных выражать свои собственные понятия истинности, T, как правило, не будет иметь классического значения; и «iff» в T-бикондиционалах не будет читаться как классическое бикондиционное.

Гупта и Белнап заполняют эти предложения следующим образом.

4.1 Значение Т

Во-первых, они предполагают, что значение T, заданное наземной моделью M, является самим правилом пересмотра τ M. Как было отмечено в предыдущем параграфе, мы можем дать мелкозернистый анализ состояния и взаимосвязей предложения на основе представлений, полученных непосредственно и естественно из правила пересмотра т М. Таким образом, τ M является хорошим кандидатом на значение T, так как оно кажется «абстрактным чем-то, что несет всю информацию обо всех [ T 's] экстенсиональных отношениях» в M. (См. Описание Гуптой и Белнапом значения выражения, приведенное выше в разделе 2).

4.2. «Iff» в Т-бикондиционалах

Гупта и Белнап, связанные с предложением относительно «iff» в T-бикондиционалах, заключаются в том, что вместо того, чтобы быть классическим бикондиционным, этот «iff» является отличительным биконусловием, используемым для определения ранее неопределенного понятия. В 1993 году Гупта и Белнап представляют ревизионную теорию истины как частный случай ревизионной теории циркулярно определенных понятий. Предположим, что L - это язык с унарным предикатом F и двоичным предикатом R. Рассмотрим новую концепцию, выраженную предикатом G, введенную через такое определение:

Gx = df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Предположим, что мы начинаем с области дискурса D и интерпретации предиката F и символа отношения R. Теоретическая трактовка понятий Гуптой и Белнапом, введенная таким образом циркулярно, позволяет дать категорические вердикты для определенного d ∈ D о том, удовлетворяет ли d классу G. Другие объекты будут нестабильны относительно G: мы сможем категорически утверждать, что ни d не удовлетворяет G, ни d не удовлетворяет G. В случае истины Гупта и Белнап берут множество Т-бикондиционалов вида

T  'A' = df A (10)

вместе, чтобы дать определение понятия истины. Это их лечение «= ф.р. » (в «» тогда и только тогда из дефиниционного введения концепции), вместе с Т-biconditionals вида (10), которые определяют правила пересмотра Т М.

4.3 Парадоксальные рассуждения

Вспомните лжецовское предложение (1) из начала этой статьи:

(1) не соответствует действительности (1)

В разделе 1 мы утверждали, что RTT предназначен для того, чтобы моделировать, а не блокировать, парадоксальные рассуждения относительно (1). Но мы отметили в сноске 2, что RTT избегает противоречий в этих ситуациях. Есть два способа увидеть это. Во-первых, в то время как RTT одобряет

(1) верно, если (1) не верно,

соответствующее «iff» не является материальным двухусловным, как объяснено выше. Таким образом, из этого не следует, что оба (1) верны и (1) не верны. Во-вторых, обратите внимание, что ни при какой гипотезе мы не можем сделать вывод, что оба (1) верны, а (1) не верны. Если мы твердо помним, что теоретические рассуждения являются гипотетическими, а не категориальными, то мы не выведем никаких противоречий из существования предложения, такого как (1), выше.

4.4. Значение тезиса

Предложения Гупты и Белнапа, касающиеся значения Т и толкования «ифф» в Т-бикондиционалах, хорошо согласуются с двумя тесно связанными интуициями, сформулированными в Гупта и Белнап 1993. Первая слабо выраженная интуиция состоит в том, что «Т -бикондиционалы аналитичны и фиксируют значение «истина» (с. 6). Более плотно выраженным становится «Тезис о значении» (стр. 31): «Т-бикондиционалы фиксируют значение истины в каждом мире [где мир представлен наземной моделью]». [6] С учетом пересмотр теоретико-обработкой определением «тогда и только тогда», и дал землю модель М, Т-biconditionals (10) делает, как уже отмечалось, исправить предложенное значение Т, т.е. правилу пересмотра т М.

4.5 Супервентность семантики

Вторая интуиция - это превосходство значения истины. Это потомок предложенного М. Кремером 1988 года супервентности семантики. Идея проста: какие предложения подпадают под понятие «истина» должны быть зафиксированы с помощью (1) интерпретации несемантического словаря и (2) эмпирических фактов. В некруглых случаях эта интуиция особенно сильна: стандартного толкования «снег» и «белый» и эмпирического факта, что снег белый, достаточно, чтобы определить, что предложение «снег является белым» подпадает под понятие истинности. Превосходство значения истины заключается в том, что значение истины, какой бы она ни была, фиксируется наземной моделью М. Ясно, что RTT удовлетворяет этому принципу.

Стоит посмотреть, как теория правды может нарушить этот принцип. Рассмотрим предложение, рассказывающее правду, т. Е. Предложение, которое говорит о себе, что это правда:

(11) верно (11)

Как отмечалось выше, трехзначная семантика Крипке допускает три значения истинности: true (t), false (f) и no (n). Учитывая основную модель M = <D, I> для языка истинности L, возможные варианты интерпретации T являются трехзначными, то есть функциями h: D → {  t, f, n  }. Учитывая трехзначную интерпретацию T и схему для оценки значения истинности составных предложений с точки зрения их частей, мы можем указать значение истинности Val M + h (A) = t, f или n, для каждого предложения A из L. Центральная теорема трехзначной семантики состоит в том, что для любой базовой модели M существует трехзначная интерпретация h для T, так что для каждого предложения A имеем Val M + h (T  'A') = Val М + Н (А). [7] Мы будем называть такую интерпретацию T приемлемой. Наша точка зрения такова: если есть рассказчик правды, как в (11), то существует не только одна приемлемая интерпретация T; их три: один, согласно которому (11) является истинным, другой согласно которому (11) является ложным, и один согласно которому (11) не является ни тем, ни другим. Таким образом, не существует единой «правильной» интерпретации T дана модель основания М. Таким образом, трехзначная семантика, кажется, нарушает супервентность семантики. [8]

RTT не присваивает значение правды рассказчику правды (11). Скорее, он дает анализ того типа рассуждений, которые можно использовать в отношении рассказчика правды: если мы начнем с гипотезы h, согласно которой (11) верно, то после пересмотра (11) остается верным. И если мы начнем с гипотезы h, согласно которой (11) неверно, то после пересмотра (11) оно останется неверным. И это все, что оставляет нам понятие истины. Учитывая такое поведение (11), RTT говорит нам, что (11) не является ни категорически истинным, ни категорически ложным, но это сильно отличается от вердикта о том, что (11) не является ни истинным, ни ложным.

4.6 Якуб интерпретация формализма

Отметим альтернативную интерпретацию ревизионно-теоретического формализма. Якуб 1993 согласен с Гуптой и Белнапом в том, что Т-бикондиционалы являются скорее дефиниционными, чем материальными бикондиционалами, и поэтому концепция истины является круговой. Но Якуб интерпретирует эту циркулярность особым образом. Он утверждает, что

поскольку условия истинности некоторых предложений подразумевают ссылку на истину существенным, неустранимым образом, эти условия могут возникнуть или потерпеть неудачу только в мире, в котором уже есть расширение предиката истины. Следовательно, для того чтобы процесс пересмотра определил расширение предиката истины, должно быть указано начальное расширение предиката. Это много следует из круглости и бивалентности. (1993, 40)

Как Гупт и Белнап, Якуб не постулирует не привилегированное расширения для T. Как и Гупта и Белнап, он рассматривает ревизионные последовательности расширений T, каждая из которых генерируется исходным гипотетическим расширением, как «способная приспосабливать (и диагностировать) различные типы проблемных и беспроблемных предложений рассматриваемых языков» (1993 г.). 41). Но, в отличие от Гупты и Белнапа, из этих соображений он приходит к выводу, что «истина в двухвалентном языке не супервентна» (1993, 39). Он объясняет в сноске: чтобы истина была выше, статус истины каждого предложения должен быть «полностью определен несемантическими фактами». Якуб явно не использует понятие значения понятия. Но Якуб, кажется, привержен утверждению, что значение T - то есть то, что определяет статус истинности каждого предложения - задается самой конкретной последовательностью ревизии. И никакая последовательность пересмотра не определяется несемантическими фактами, т. Е. Только базовой моделью: последовательность пересмотра определяется, в лучшем случае, наземной моделью и исходной гипотезой. [9]

5. Дальнейшие вопросы

5.1 Трехзначная семантика

Мы дали только самое краткое изложение трехзначной семантики в нашем обсуждении супервентности значения истины выше. Учитывая язык истинности L и основную модель M, мы определили приемлемую трехзначную интерпретацию T как интерпретацию h: D → {  t, f, n  }, такую что Val M + h (T 'A') = Val M + h (A) для каждого предложения A в L. В целом, учитывая модель грунта М, существует множество приемлемых интерпретации Т. Предположим, что каждый из них действительно является действительно приемлемой интерпретацией. Тогда трехзначная семантика нарушает супервентность значения T, Предположим, с другой стороны, что для каждой модели М заземления, можно выделить привилегированное приемлемую интерпретацию в качестве правильной интерпретации Т. Гупта и Белнап приводят ряд соображений против так называемой трехзначной семантики. (См. Gupta & Belnap 1993, Глава 3.) Один из основных аргументов заключается в том, что центральная теорема, то есть то, что для каждой базовой модели существует приемлемая интерпретация, справедлива только тогда, когда базовый язык явно обеднен определенными способами: например, трехзначный подход не работает, если у языка есть связка ~ со следующей таблицей истинности:

A ~ A
T е
е T
N T

Единственный оператор отрицания, который может обрабатывать трехзначный подход, имеет следующую таблицу истинности:

A ¬ A
T е
е T
N T

Но рассмотрите лжеца, который говорит о себе, что это «не» верно, в этом последнем смысле «не». Гупта и Белнап настаивают на том, что это предложение «перестает быть интуитивно парадоксальным» (1993, 100). Заявленное преимущество RTT заключается в его способности описывать поведение действительно парадоксальных предложений: настоящий лжец нестабилен при семантической оценке: «Независимо от того, какой мы предполагаем его ценность, семантическая оценка опровергает нашу гипотезу». Трехзначная семантика может обрабатывать только «слабого лжеца», т. Е. Предложение, которое только слабо отрицает себя, но не гарантирует парадоксальности: «Здесь есть вид лжеца, но они обманывают».

5.2 Поправки к RTT

Мы отмечаем три способа изменить RTT. Во-первых, мы могли бы наложить ограничения на приемлемость гипотез. Например, Гупта и Белнап 1993 вводят теорию истины T c, основанную на непротиворечивых гипотезах: гипотеза h непротиворечива, если множество {A: h (A) = t } является полным непротиворечивым набором предложений. Относительные достоинства T *, T # и T c обсуждаются в Gupta & Belnap 1993, глава 6.

Во-вторых, мы могли бы принять более строгую лимитную политику, чем Гупта и Белнап. Напомним вопрос, заданный в Разделе 3: Как мы должны установить S η (d), когда η является предельным порядковым числом? Мы дали частичный ответ: любой объект, который является стабильно истинным [ложным] до этой стадии, должен быть истинным [ложным] на этой стадии. Мы также отметили, что для объекта d ∈ D, который не стабилизируется до стадии η, Гупта и Белнап 1993 позволяют нам установить S η (d) как t или f. В аналогичном контексте Герцбергер 1982a и 1982b присваивает значение f нестабильным объектам. И Гупта первоначально предположил, в Gupta 1982, что нестабильные элементы получают любое значение, которое они получили в начальной гипотезе S 0.

Эти первые два способа внесения изменений в RTT оба, по сути, ограничивают понятие последовательности ревизий, накладывая ограничения на то, какие из наших последовательностей ревизий действительно считаются приемлемыми последовательностями ревизий. Ограничения в некотором смысле локальны: первое ограничение достигается путем наложения ограничений на использование гипотез, а второе ограничение достигается путем наложения ограничений на то, что происходит в предельных ординалах. Третий вариант заключался бы в том, чтобы наложить больше глобальных ограничений на то, какие предполагаемые последовательности ревизий считаются приемлемыми. Фактически, Якуб 1993 предлагает предельное правило, согласно которому приемлемые вердикты по нестабильным предложениям на некоторой предельной стадии η зависят от вердиктов, вынесенных на других предельных стадиях. Якуб утверждает, что эти ограничения позволяют нам избежать определенных «артефактов». Например, предположим, что наземная модель M = <D, I>имеет двух независимых лжецов, имея два имени α и β, где I (α) = ¬ T α и I (β) = ¬ T β. Якуб утверждает, что это просто «артефакт» семантики ревизий, наивно представленный, что существуют последовательности ревизий, в которых предложение ¬ T α ≡ ¬ T β стабильно верно, поскольку оба лжеца независимы. Его глобальные ограничения разработаны, чтобы исключить такие последовательности. (См. Chapuis 1996 для дальнейшего обсуждения.)

5.3 Теория пересмотра для заданных по кругу понятий

Как указывалось в нашем обсуждении, в разделе 4 «iff» в T-бикондиционалах, Гупта и Белнап представляют RTT как частный случай теории пересмотра концепций с круговым определением. Чтобы пересмотреть пример из Раздела 4. Предположим, что L - это язык с унарным предикатом F и двоичным предикатом R. Рассмотрим новую концепцию, выраженную предикатом G, введенную через определение D, например:

Gx = df A (x, G)

где A (x, G) - формула

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

В этом контексте базовая модель - это классическая модель языка L = <D, I>: мы начинаем с области дискурса D и интерпретации предиката F и символа отношения R. Мы хотели бы распространить M на интерпретацию языка L + G. Таким образом, в этом контексте гипотеза будет рассматриваться как гипотетическое расширение для вновь введенной концепции G. Формально гипотеза - это просто функция h: D → { t, f }. Учитывая гипотезу h, мы считаем M + h классической моделью M + h = <D, I '>, где I' интерпретирует F и R так же, как I, и где I '(G) = h. Учитывая гипотетическую интерпретацию h для G, мы генерируем новую интерпретацию G следующим образом: и объект d ∈ D находится в новом расширении G на тот случай, если определяющая формула A (x, G) верна для d в модели M + ч. Формально мы используем основную модель M и определение D, чтобы определить правило пересмотра, D, M, отображая гипотезы в гипотезы, то есть гипотетические интерпретации G в гипотетические интерпретации G. В частности, для любой формулы B с одной свободной переменной x и d ∈ D мы можем определить значение истинности Val M + h, d (B) стандартным способом. Затем,

δ D, M (h) (d) = Val M + h, d (A)

Учитывая правило пересмотра δ D, M, мы можем обобщить понятие последовательности пересмотра, которая теперь последовательность гипотетических расширений G, а не Т. Мы можем обобщить понятие предложения B, являющегося стабильно верным, почти стабильно верным и т. Д., Относительно последовательности ревизий. Гупта и Белнап представляют системы S * и S #, аналогичные T * и T #, следующим образом: [10]

Определение 5.1.

  • Предложение Б действует на определение D в первом модели М в системе S * (обозначение М ⊨ *, D В) тогда и только тогда B стабильно верно по отношению к каждой последовательности пересмотра для правила пересмотра & delta; D, M.
  • Предложение Б действует на определение D в первом модели М в системе S # (обозначение M ⊨ #, D B), тогда и только тогда B практически стабильно верно по отношению к каждой последовательности пересмотра для правила пересмотра & delta; D, M.
  • Предложение B верно для определения D в системе S * (обозначения ⊨ *, D B) тогда и только тогда, когда для всех классических наземных моделей M мы имеем M ⊨ *, D B.
  • Предложение B верно для определения D в системе S # (обозначение ⊨ #, D B) тогда и только тогда, когда для всех классических наземных моделей M мы имеем M ⊨ #, D B.

Один из открытых вопросов Гупты и Белнапа состоит в том, существует ли полное исчисление для этих систем: то есть, является ли для каждого определения D любой из следующих двух наборов предложений рекурсивно аксиоматизируемым: {B: ⊨ *, D B} и {B: ⊨ #, D B}. Кремер 1993 доказывает, что ответ «нет»: он показывает, что существует определение D, такое, что каждый из этих наборов предложений имеет сложность не менее Π 1 2, тем самым устанавливая нижний предел сложности S * и S #. (Antonelli 1994b и 2002 показывают, что это также верхний предел.)

В доказательстве Кремера используется тесная связь между круговыми определениями, понимаемыми как пересмотр, - теоретически, и круговыми определениями, понимаемыми как индуктивные определения: теория индуктивных определений была достаточно хорошо понятна в течение некоторого времени. В частности, Кремер доказывает, что каждое индуктивно определенное понятие может быть определено теоретически ревизией. Выразительная сила и другие аспекты теоретического пересмотра круговых определений являются темой многих интересных работ: см. Welch 2001, Löwe 2001, Löwe and Welch 2001 и Kühnberger et al. 2005.

5.5 Приложения

Учитывая общую теоретико-ревизионную трактовку Гупты и Белнапа круговых определений, для которой их трактовка истины является частным случаем, можно ожидать, что теоретико-ревизионные идеи будут применены к другим понятиям. Антонелли 1994a применяет эти идеи к необоснованным множествам: необоснованное множество X можно рассматривать как круговое, поскольку для некоторых X 0,…, X n мы имеем X ∈ X 0 ∈… ∈ X n ∈ X И Chapuis 2003 применяет теоретико-ревизионные идеи для рационального принятия решений.

5.5 Открытый вопрос

Мы закрываем открытым вопросом о T * и T #. Напомним определение 3.11, выше, которое определяет, когда предложение A языка истинности L является действительным в основной модели M как T * или как T #. Мы будем говорить, что A действительна с помощью T * [альтернативно, с помощью T #], если A действительна в наземной модели M с помощью T * [альтернативно, с помощью T #] для каждой наземной модели M. Наш открытый вопрос заключается в следующем: какова сложность набора предложений, допустимых с помощью T * [ T #]?

Библиография

  • Антонелли, Г. А., 1994, «Сложность пересмотра», Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
  • Антонелли Г. А., 1994, «Необоснованные множества с помощью правил пересмотра», Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
  • Антонелли Г. А., 2002, «Сложность пересмотра, пересмотренный», Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
  • Белнап, Н., 1982, «Правило пересмотра теории истины Гупты», журнал «Философская логика», 11: 103–116.
  • Chapuis, A., 1996, «Альтернативные теории истины», Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
  • Chapuis, A., 2003, «Применение круговых определений: рациональное решение», в Löwe, Malzkorn, and Räsch (eds.), Основы формальных наук II: Приложения математической логики в философии и лингвистике, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
  • Гупта А., 1982, «Правда и парадокс», журнал «Философская логика», 11: 1–60.
  • Гупта, А., и Белнап, Н., 1993, пересмотр теории истины, Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
  • Hammer, E., 2003, «Теория пересмотра истины», Стэнфордская энциклопедия философии (издание 2003 года), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
  • Герцбергер Х. Г., 1982, «Заметки о наивной семантике», журнал «Философская логика», 11: 61–102.
  • Herzberger, HG, 1982, «Наивная семантика и парадокс лжеца», Journal of Philosophy, 79: 479–497.
  • Кремер, М., 1988, «Крипке и логика истины», журнал «Философская логика», 17: 225–78.
  • Кремер, П., 1993, «Системы Гупта-Белнапа S # и S * не являются аксиоматизируемыми», Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
  • Крипке С., 1975, «Контур теории истины», «Философский журнал», 72: 690–716.
  • Кюнбергер К., Лёве Б., Меллерфельд М. и Уэлч П., 2005, «Сравнение индуктивного и кругового определений: параметры, сложность и игры», Studia Logica, 81: 79–98.
  • Löwe, B., 2001 «Ревизионные последовательности и компьютеры с бесконечным количеством времени», Журнал логики и вычислений, 11: 25–40.
  • Löwe, B., и Welch, P., 2001, «Теоретико-множественная абсолютность и пересмотр теории истины», Studia Logica, 68/1: 21–41.
  • Martin, R. и Woodruff, P., 1975, «О представлении« True-in-L »в L», Philosophia, 5: 217–221.
  • Уэлч, П., 2001, «О ревизионных теориях Гупта-Белнапа об истине, крипкановских фиксированных точках и следующем стабильном множестве», Бюллетень символической логики, 7: 345–360.
  • Якуб, А., 1993, Лжец говорит правду: защита ревизионной теории истины, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.

Другие интернет-ресурсы

Рекомендуем: