Теория множеств

Оглавление:

Теория множеств
Теория множеств

Видео: Теория множеств

Видео: Теория множеств
Видео: Лекция 1. Теория множеств 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Теория множеств

Впервые опубликовано ср 8 октября 2014 г.; существенная редакция вт 12 февраля 2019 г.

Теория множеств - это математическая теория хорошо определенных коллекций, называемых множествами объектов, которые называются членами или элементами множества. Теория чистого множества имеет дело исключительно с множествами, поэтому рассматриваются только те множества, членами которых также являются множества. Теория наследственно-конечных множеств, а именно тех конечных множеств, элементы которых также являются конечными множествами, элементы которых также конечны и т. Д., Формально эквивалентна арифметике. Итак, суть теории множеств - это изучение бесконечных множеств, и поэтому ее можно определить как математическую теорию фактического, а не потенциального бесконечного.

Понятие множества настолько просто, что его вводят неформально и считают самоочевидным. Однако в теории множеств, как обычно в математике, множества задаются аксиоматически, поэтому их существование и основные свойства постулируются соответствующими формальными аксиомами. Аксиомы теории множеств подразумевают существование вселенной с множеством теорий, настолько богатой, что все математические объекты могут быть истолкованы как множества. Кроме того, формальный язык теории чистых множеств позволяет формализовать все математические понятия и аргументы. Таким образом, теория множеств стала стандартной основой для математики, поскольку каждый математический объект можно рассматривать как множество, и каждая теорема математики может быть логически выведена в исчислении предикатов из аксиом теории множеств.

Оба аспекта теории множеств, а именно как математическая наука о бесконечности и как основание математики, имеют философское значение.

  • 1. Истоки
  • 2. Аксиомы теории множеств

    2.1 Аксиомы ZFC

  • 3. Теория трансфинитных ординалов и кардиналов

    3.1 Кардиналы

  • 4. Вселенная (V) всех множеств
  • 5. Установите теорию как основу математики

    • 5.1 Метаматематика
    • 5.2. Феномен неполноты
  • 6. Теория множеств континуума

    • 6.1 Описательная теория множеств
    • 6.2 Определенность
    • 6.3 Континуальная гипотеза
  • 7. Конструктивная вселенная Гёделя
  • 8. Принудительное

    8.1 Другие применения принуждения

  • 9. Поиск новых аксиом
  • 10. Большие кардиналы

    • 10.1 Внутренние модели больших кардиналов
    • 10.2 Последствия крупных кардиналов
  • 11. Принудительные аксиомы
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Истоки

Теория множеств, как отдельная математическая дисциплина, начинается с работы Георга Кантора. Можно сказать, что теория множеств родилась в конце 1873 года, когда он сделал удивительное открытие, что линейный континуум, то есть действительная линия, не является счетным, то есть его точки не могут быть подсчитаны с использованием натуральных чисел. Таким образом, хотя множество натуральных чисел и множество действительных чисел бесконечно, вещественных чисел больше, чем натуральных, что открыло путь к исследованию различных размеров бесконечности. См. Статью о раннем развитии теории множеств для обсуждения происхождения теоретико-множественных идей и их использования различными математиками и философами до и около времени Кантора.

Согласно Кантору, два набора (A) и (B) имеют одинаковый размер или количество элементов, если они являются биектируемыми, т. Е. Элементы (A) можно поместить один в один соответствие с элементами (B). Таким образом, множество (mathbb {N}) натуральных чисел и множество (mathbb {R}) действительных чисел имеют разные мощности. В 1878 году Кантор сформулировал знаменитую гипотезу континуума (СН), в которой утверждается, что каждый бесконечный набор действительных чисел либо счетен, т. Е. Имеет ту же мощность, что и (mathbb {N}), либо имеет такую же мощность, что и (mathbb {R},). Другими словами, существует только два возможных размера бесконечных множеств действительных чисел. СН - самая известная проблема теории множеств. Сам Кантор посвятил этому много усилий, как и многие другие ведущие математики первой половины двадцатого века, такие как Гильберт,который перечислил КХ как первую проблему в своем знаменитом списке из 23 нерешенных математических задач, представленном в 1900 году на Втором международном конгрессе математиков в Париже. Попытки доказать CH привели к крупным открытиям в теории множеств, таких как теория конструктивных множеств и техника принуждения, которые показали, что CH не может быть ни доказан, ни опровергнут из обычных аксиом теории множеств. По сей день CH остается открытым. По сей день CH остается открытым. По сей день CH остается открытым.

В начале некоторые несоответствия или парадоксы возникли из-за наивного использования понятия множества; в частности, из обманчиво естественного предположения о том, что каждое свойство определяет набор, а именно набор объектов, обладающих этим свойством. Одним из примеров является парадокс Рассела, также известный Цермело:

рассмотреть свойство наборов не быть членами самих себя. Если свойство определяет набор, назовите его (A), тогда (A) является членом самого себя тогда и только тогда, когда (A) не является членом самого себя.

Таким образом, некоторые коллекции, такие как коллекция всех множеств, коллекция всех порядковых чисел или коллекция всех кардинальных чисел, не являются наборами. Такие коллекции называются собственными классами.

Чтобы избежать парадоксов и поставить его на твердую основу, теория множеств должна быть аксиоматизирована. Первая аксиоматизация была связана с Цермело (1908) и возникла в результате необходимости изложить основные теоретико-множественные принципы, лежащие в основе его доказательства принципа упорядочения Кантора. Аксиоматизация Цермело избегает парадокса Рассела с помощью аксиомы Отделения, которая сформулирована как количественная оценка свойств множеств, и, таким образом, это утверждение второго порядка. Дальнейшая работа Сколема и Френкеля привела к формализации аксиомы Отделения в терминах формул первого порядка вместо неформального понятия свойства, а также к введению аксиомы Замены, которая также формулируется как аксиома схема для формул первого порядка (см. следующий раздел). Аксиома замены необходима для правильного развития теории трансфинитных ординалов и кардиналов с использованием трансфинитной рекурсии (см. Раздел 3). Также необходимо доказать существование таких простых множеств, как множество наследственно конечных множеств, т. Е. Тех конечных множеств, элементы которых конечны, элементы которых также конечны и т. Д.; или для доказательства основных теоретико-множественных фактов, таких как то, что каждое множество содержится в транзитивном множестве, т. е. в множестве, содержащем все элементы его элементов (см. Матиас 2001 о слабых сторонах теории множеств Цермело). Дальнейшее добавление фон Неймана аксиомы Основания привело к стандартной системе аксиом теории множеств, известной как аксиомы Цермело-Френкеля плюс Аксиома выбора, или ZFC. Также необходимо доказать существование таких простых множеств, как множество наследственно конечных множеств, т. Е. Тех конечных множеств, элементы которых конечны, элементы которых также конечны и т. Д.; или для доказательства основных теоретико-множественных фактов, таких как то, что каждое множество содержится в транзитивном множестве, т. е. в множестве, содержащем все элементы его элементов (см. Матиас 2001 о слабых сторонах теории множеств Цермело). Дальнейшее добавление фон Неймана аксиомы Основания привело к стандартной системе аксиом теории множеств, известной как аксиомы Цермело-Френкеля плюс Аксиома выбора, или ZFC. Также необходимо доказать существование таких простых множеств, как множество наследственно конечных множеств, т. Е. Тех конечных множеств, элементы которых конечны, элементы которых также конечны и т. Д.; или для доказательства основных теоретико-множественных фактов, таких как то, что каждое множество содержится в транзитивном множестве, т. е. в множестве, содержащем все элементы его элементов (см. Матиас 2001 о слабых сторонах теории множеств Цермело). Дальнейшее добавление фон Неймана аксиомы Основания привело к стандартной системе аксиом теории множеств, известной как аксиомы Цермело-Френкеля плюс Аксиома выбора, или ZFC.или для доказательства основных теоретико-множественных фактов, таких как то, что каждое множество содержится в транзитивном множестве, т. е. в множестве, содержащем все элементы его элементов (см. Матиас 2001 о слабых сторонах теории множеств Цермело). Дальнейшее добавление фон Неймана аксиомы Основания привело к стандартной системе аксиом теории множеств, известной как аксиомы Цермело-Френкеля плюс Аксиома выбора, или ZFC.или для доказательства основных теоретико-множественных фактов, таких как то, что каждое множество содержится в транзитивном множестве, т. е. в множестве, содержащем все элементы его элементов (см. Матиас 2001 о слабых сторонах теории множеств Цермело). Дальнейшее добавление фон Неймана аксиомы Основания привело к стандартной системе аксиом теории множеств, известной как аксиомы Цермело-Френкеля плюс Аксиома выбора, или ZFC.

Другие аксиоматизации теории множеств, такие как аксиоматизация фон Неймана-Бернайса-Гёделя (NBG) или Морса-Келли (М. К.), также допускают формальную трактовку собственных классов.

2. Аксиомы теории множеств

ZFC - это система аксиом, сформулированная в логике первого порядка с равенством и только с одним двоичным символом отношения (in) для членства. Таким образом, мы пишем (A / in B), чтобы выразить, что (A) является членом множества (B). Увидеть

Дополнение по теории базовых множеств

для дальнейших деталей. Смотрите также

Дополнение к теории множеств Цермело-Френкеля

для формализованной версии аксиом и дальнейших комментариев. Ниже неофициально излагаем аксиомы ZFC.

2.1 Аксиомы ZFC

  • Расширение: Если два набора (A) и (B) имеют одинаковые элементы, то они равны.
  • Нулевое множество: существует множество, обозначаемое ({ varnothing}) и называемое пустым множеством, в котором нет элементов.
  • Пара: для любых множеств (A) и (B) существует множество, обозначаемое ({A, B }), которое содержит (A) и (B) как его единственные элементы. В частности, существует множество ({A }), в котором (A) является единственным элементом.
  • Набор мощности: для каждого набора (A) существует множество, обозначаемое (mathcal {P} (A)) и называемое набором мощности (A), элементами которого являются все подмножества (А).
  • Объединение: для каждого множества (A) существует множество, обозначаемое (bigcup A) и называемое объединением (A), элементами которого являются все элементы элементов (A).).
  • Бесконечность: существует бесконечное множество. В частности, существует множество (Z), которое содержит ({ varnothing}) и такое, что если (A / in Z), то (bigcup {A, {A } } in Z).
  • Разделение: для каждого набора (A) и каждого заданного свойства существует набор, содержащий именно те элементы (A), которые имеют это свойство. Свойство задается формулой (varphi) языка теории множеств первого порядка.

    Таким образом, Разделение - это не отдельная аксиома, а схема аксиомы, то есть бесконечный список аксиом, по одному для каждой формулы (varphi).

  • Замена: Для каждой заданной определяемой функции с набором предметной области (A) существует множество, элементами которого являются все значения функции.

    Замена также является аксиомной схемой, поскольку определяемые функции задаются формулами.

  • Основание: Каждое непустое множество (A) содержит (in) - минимальный элемент, то есть такой элемент, что ни один элемент из (A) ему не принадлежит.

Это аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля, или ZF. Аксиомы Null Set и Pair следуют из других аксиом ZF, поэтому они могут быть опущены. Кроме того, замена подразумевает разделение.

Наконец, есть Аксиома выбора (AC):

Выбор: для каждого множества (A) попарно непересекающихся непустых множеств существует множество, которое содержит ровно один элемент из каждого множества в (A).

AC был, в течение длительного времени, спорная аксиомы. С одной стороны, это очень полезно и широко используется в математике. С другой стороны, это имеет довольно неинтуитивные последствия, такие как парадокс Банаха-Тарского, который говорит, что единичный шар можно разбить на конечное число фигур, которые затем можно переставить, чтобы сформировать два единичных шара. Возражения против аксиомы возникают из-за того, что она утверждает существование множеств, которые не могут быть явно определены. Но доказательство Гёделем в 1938 году его непротиворечивости по отношению к непротиворечивости ZF развеяло все подозрения, оставленные по этому поводу.

Аксиома выбора по модулю ZF эквивалентна принципу упорядоченности, который утверждает, что каждое множество может быть упорядоченным, т. Е. Линейным, так как каждое непустое подмножество имеет минимальный элемент.

Хотя это и не является формально необходимым, кроме символа (in) обычно для удобства используются другие вспомогательные определенные символы. Например, (A / subseteq B) выражает, что (A) является подмножеством (B), т. Е. Каждый член (A) является членом (B). Другие символы используются для обозначения наборов, полученных путем выполнения основных операций, таких как (A / cup B), который обозначает объединение (A) и (B), т. Е. Набор, элементы которого являются элементами (A) и (B); или (A / cap B), что обозначает пересечение (A) и (B), т. е. множества, элементы которого являются общими для (A) и (B). Упорядоченная пара ((A, B)) определяется как множество ({ {A }, {A, B } }). Таким образом, две упорядоченные пары ((A, B)) и ((C, D)) равны тогда и только тогда, когда (A = C) и (B = D). А декартово произведение (A / times B) определяется как множество всех упорядоченных пар ((C,D)) такие, что (C / in A) и (D / in B). Для любой формулы (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)) и множеств (A, B_1, / ldots, B_n) можно сформировать множество всех этих элементов (A) которые удовлетворяют формуле (varphi (x, B_1, / ldots, B_n)). Этот набор обозначается через ({a / in A: / varphi (a, B_1, / ldots, B_n) }). В ZF легко доказать, что все эти множества существуют. См. Приложение к теории базовых множеств для дальнейшего обсуждения.

3. Теория трансфинитных ординалов и кардиналов

В ZFC можно развить канторовскую теорию трансфинитных (то есть бесконечных) порядковых и кардинальных чисел. Следуя определению, данному фон Нейманом в начале 1920-х годов, порядковые номера или, если коротко, порядковые номера, получаются, начиная с пустого набора и выполняя две операции: выбор непосредственного преемника и переход к пределу. Таким образом, первый порядковый номер ({ varnothing}). Для данного ординала (alpha) его непосредственным преемником, обозначаемым (alpha +1), является множество (alpha / cup { alpha }). И учитывая непустое множество (X) ординалов, такое что для каждого (alpha / in X) преемник (alpha +1) также находится в (X), каждый получает предел порядковый номер (bigcup X). Показано, что каждый ординал (строго) упорядочен по (in), т. Е. Линейно упорядочен по (in), и бесконечной (in) - убывающей последовательности не существует. Кроме того, каждое упорядоченное множество изоморфно единственному порядковому номеру, называемому его типом порядка.

Обратите внимание, что каждый порядковый номер является множеством своих предшественников. Однако класс (ON) всех ординалов не является множеством. В противном случае (ON) будет порядковым номером больше всех порядковых чисел, что невозможно. Первый бесконечный ординал, который является множеством всех конечных ординалов, обозначается греческой буквой омега ((omega)). В ZFC каждый отождествляет конечные ординалы с натуральными числами. Таким образом, ({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2) и т. д., следовательно, (omega) - это просто множество (mathbb {N}) натуральных чисел.

Можно распространить операции сложения и умножения натуральных чисел на все ординалы. Например, ординал (alpha + / beta) является типом порядка упорядочения, полученного путем объединения упорядоченного набора типов порядка (alpha) и упорядоченного набора порядка -тип (бета). Последовательность ординалов, упорядоченная по (in), начинается следующим образом

0, 1, 2,…, (n),…, (omega), (omega + 1), (omega + 2),…, (omega + / omega),…, (N / cdot / omega),…, (omega / cdot / omega),…, (omega ^ n),…, (omega ^ / omega) …

Ординалы удовлетворяют принципу трансфинитной индукции: предположим, что (C) - это класс ординалов, такой что всякий раз, когда (C) содержит все ординалы (beta), меньшие чем некоторый ординал (alpha), тогда (alpha) также находится в (C). Тогда класс (C) содержит все ординалы. Используя трансфинитную индукцию, можно доказать в ZFC (и нужна аксиома замещения) важный принцип трансфинитной рекурсии, который гласит, что для любой определяемой функции класса (G: V / to V) можно определить класс -функция (F: ON / to V) такая, что (F (alpha)) - это значение функции (G), применяемой к функции (F), ограниченное (alpha). Например, используется трансфинитная рекурсия для правильного определения арифметических операций сложения, произведения и возведения в степень по порядковым номерам.

Напомним, что бесконечное множество счетно, если оно биектабельно, т. Е. Его можно поместить в однозначное соответствие с (omega). Все ординалы, показанные выше, являются либо конечными, либо счетными. Но множество всех конечных и счетных ординалов также является ординалом, называемым (omega_1), и не является счетным. Точно так же множество всех ординалов, которые являются биектируемыми с некоторым порядковым числом, меньшим или равным (omega_1), также является ординалом, называемым (omega_2), и не является биектируемым с (omega_1), и скоро.

3.1 Кардиналы

Кардинал - это ординал, который не является биектальным с меньшим порядковым числом. Таким образом, каждый конечный ординал является кардиналом, а (omega), (omega_1), (omega_2) и т. Д. Также являются кардиналами. Бесконечные кардиналы представлены буквой aleph ((aleph)) ивритского алфавита, а их последовательность проиндексирована ординалами. Начинается так

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2),…, (aleph_ / omega), (aleph _ { omega +1}),…, (aleph _ { omega + / omega}),…, (aleph _ { omega ^ 2}),…, (aleph _ { omega ^ / omega}),…, (aleph _ { omega_1}),…, (aleph _ { omega_2}),…

Таким образом, (omega = / aleph_0), (omega_1 = / aleph_1), (omega_2 = / aleph_2) и т. Д. Для каждого кардинала есть больший и предел возрастающей последовательности кардиналов тоже кардинал. Таким образом, класс всех кардиналов - это не множество, а правильный класс.

Бесконечный кардинал (kappa) называется регулярным, если он не является объединением менее (kappa) меньших кардиналов. Таким образом, (aleph_0) является регулярным, как и все бесконечные кардиналы-последователи, такие как (aleph_1). Нерегулярные бесконечные кардиналы называются единственными. Первым единичным кардиналом является (aleph_ / omega), так как он представляет собой объединение счетного множества меньших кардиналов, а именно (aleph_ / omega = / bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

Совокупность кардинала (kappa), обозначаемого (cf (kappa)), является наименьшим кардиналом (lambda) таким, что (kappa) является объединением (lambda)) - много меньших порядковых чисел. Таким образом, (cf (aleph_ / omega) = / aleph_0).

По AC (в форме принципа упорядоченности) каждое множество (A) может быть упорядоченным, следовательно, оно биектабельно с единственным кардиналом, называемым мощностью (A). Для двух кардиналов (kappa) и (lambda) сумма (kappa + / lambda) определяется как мощность множества, состоящего из объединения любых двух непересекающихся множеств, одно из которых имеет мощность (каппа) и кардинальность (лямбда). И произведение (kappa / cdot / lambda) определяется как мощность декартового произведения (kappa / times / lambda). Операции суммы и произведения бесконечных кардиналов тривиальны, так как если (kappa) и (lambda) бесконечные кардиналы, то (kappa + / lambda = / kappa / cdot / lambda = максимум { каппа, / лямбда }).

Напротив, кардинальное возведение в степень весьма нетривиально, даже если значение простейшего нетривиального бесконечного экспонента, а именно (2 ^ { aleph_0}), не известно и не может быть определено в ZFC (см. Ниже). Кардинал (kappa ^ / lambda) определяется как мощность декартового произведения (lambda) копий (kappa); эквивалентно, как мощность множества всех функций из (lambda) в (kappa). Теорема Кёнига утверждает, что (kappa ^ {cf (kappa)}> / kappa), из чего следует, что cofinality кардинала (2 ^ { aleph_0}) должен быть неисчислимым. Но это, по сути, все, что ZFC может доказать о значении экспоненты (2 ^ { aleph_0}).

В случае возведения в степень единичных кардиналов у ZFC есть намного больше, чтобы сказать. В 1989 году Шела доказал замечательный результат: если (aleph_ / omega) является сильным пределом, то есть (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), для каждого (n <\ omega), затем (2 ^ { aleph_ / omega} <\ aleph _ { omega_4}) (см. Shelah (1994)). Методика, разработанная Шелахом для доказательства этой и аналогичных теорем в ZFC, называется теорией pcf (для возможных конечностей) и нашла множество применений в других областях математики.

4. Вселенная (V) всех множеств

Апостериори, аксиомы ZF, отличные от экстенсиональности, которая не нуждается в обосновании, поскольку она просто устанавливает определяющее свойство множеств, могут быть оправданы их использованием при построении совокупной иерархии множеств. А именно, в ZF мы определяем с помощью трансфинитной рекурсии класс-функцию, которая присваивает каждому порядковому номеру (alpha) множество (V_ / alpha), заданное следующим образом:

  • (V_0 = { varnothing})
  • (V _ { alpha +1} = / mathcal {P} (V_ / alpha))
  • (V_ / alpha = / bigcup _ { beta <\ alpha} V_ / beta), когда (alpha) - предельный порядковый номер.

Аксиома Power Set используется для получения (V _ { alpha +1}) из (V_ / alpha). Замена и объединение позволяют сформировать (V_ / alpha) для (alpha) предельного ординала. Действительно, рассмотрим функцию, которая назначает каждому (beta <\ alpha) множество (V_ / beta). Заменяя, совокупность всех (V_ / beta) для (beta <\ alpha) является набором, поэтому аксиома объединения, примененная к этому набору, дает (V_ / alpha). Аксиома Бесконечности необходима для доказательства существования (omega) и, следовательно, трансфинитной последовательности ординалов. Наконец, аксиома Основания эквивалентна, предполагая другие аксиомы, утверждению, что каждый набор принадлежит некоторому (V_ / alpha), для некоторого ординала (alpha). Таким образом, ZF доказывает, что теоретическая вселенная множества, обозначаемая (V), является объединением всех (V_ / alpha), (alpha) ординалов.

Собственный класс (V) вместе с соотношением (in) удовлетворяет всем аксиомам ZFC и, таким образом, является моделью ZFC. Это намеченная модель ZFC, и можно думать, что ZFC предоставляет описание (V), однако описание является весьма неполным, как мы увидим ниже.

Одним из важных свойств (V) является так называемый принцип отражения. А именно, для каждой формулы (varphi (x_1, / ldots, x_n)) ZFC доказывает, что существует некоторая (V_ / alpha), которая ее отражает, то есть для каждого (a_1, / ldots, a_n / in V_ / alpha),

(varphi (a_1, / ldots, a_n)) выполняется в (V) тогда и только тогда, когда (varphi (a_1, / ldots, a_n)) выполняется в (V_ / alpha).

Таким образом, (V) не может быть охарактеризовано ни одним предложением, поскольку любое предложение, истинное в (V), также должно быть истинным в некотором начальном сегменте (V_ / alpha). В частности, ZFC не является конечной аксиоматизируемой, поскольку в противном случае ZFC докажет, что для неограниченного числа ординалов (alpha), (V_ / alpha) является моделью ZFC, что противоречит второй теореме Гёделя о неполноте (см. Раздел 5.2), Принцип отражения отражает сущность теории множеств ZF, поскольку, как показал Леви (1960), аксиомы экстенсиональности, разделения и основания вместе с принципом отражения сформулированы как схема аксиомы, утверждающая, что каждая формула отражается некоторым набором. который содержит все элементы и все подмножества его элементов (обратите внимание, что (V_ / alpha) похожи на это), эквивалентно ZF.

5. Установите теорию как основу математики

Каждый математический объект может рассматриваться как набор. Например, натуральные числа отождествляются с конечными порядковыми номерами, поэтому (mathbb {N} = / omega). Множество целых чисел (mathbb {Z}) может быть определено как множество классов эквивалентности пар натуральных чисел в отношении эквивалентности ((n, m) эквивалент (n ', m')), если и только если (n + m '= m + n'). Отождествляя каждое натуральное число (n) с классом эквивалентности пары ((n, 0)), можно естественным образом расширить операции суммы и произведения натуральных чисел на (mathbb {Z}) (см. Enderton (1977) для деталей и Levy (1979) для другой конструкции). Кроме того, можно определить рациональные числа (mathbb {Q}) как множество классов эквивалентности пар ((n, m)) целых чисел, где (m / ne 0), в соответствии с отношением эквивалентности ((n, m) экв (n ', m')) тогда и только тогда, когда (n / cdot m '= m / cdot n'). Опять же, операции (+) и (cdot) над (mathbb {Z}) могут быть естественным образом расширены до (mathbb {Q}). Кроме того, порядок (leq _ { mathbb {Q}}) на рациональных числах определяется следующим образом: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) тогда и только тогда, когда существует (t / in / mathbb {Q}) такой, что (s = r + t). Действительные числа могут быть определены как отрезки Дедекинда от (mathbb {Q}), а именно, действительное число задается парой ((A, B)) непустых непересекающихся множеств, таких что (A / cup B = / mathbb {Q}) и (a / leq _ { mathbb {Q}} b) для всех (a / in A) и (b / in B). Затем можно снова расширить операции (+) и (cdot) на (mathbb {Q}), а также упорядочить (leq _ { mathbb {Q}}), на набор действительных чисел (mathbb {R}).операции (+) и (cdot) над (mathbb {Z}) могут быть естественным образом расширены до (mathbb {Q}). Кроме того, порядок (leq _ { mathbb {Q}}) на рациональных числах определяется следующим образом: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) тогда и только тогда, когда существует (t / in / mathbb {Q}) такой, что (s = r + t). Действительные числа могут быть определены как отрезки Дедекинда от (mathbb {Q}), а именно, действительное число задается парой ((A, B)) непустых непересекающихся множеств, таких что (A / cup B = / mathbb {Q}) и (a / leq _ { mathbb {Q}} b) для всех (a / in A) и (b / in B). Затем можно снова расширить операции (+) и (cdot) на (mathbb {Q}), а также упорядочить (leq _ { mathbb {Q}}), на набор действительных чисел (mathbb {R}).операции (+) и (cdot) над (mathbb {Z}) могут быть естественным образом расширены до (mathbb {Q}). Кроме того, порядок (leq _ { mathbb {Q}}) на рациональных числах определяется следующим образом: (r / leq _ { mathbb {Q}} s) тогда и только тогда, когда существует (t / in / mathbb {Q}) такой, что (s = r + t). Действительные числа могут быть определены как отрезки Дедекинда от (mathbb {Q}), а именно, действительное число задается парой ((A, B)) непустых непересекающихся множеств, таких что (A / cup B = / mathbb {Q}) и (a / leq _ { mathbb {Q}} b) для всех (a / in A) и (b / in B). Затем можно снова расширить операции (+) и (cdot) на (mathbb {Q}), а также упорядочить (leq _ { mathbb {Q}}), на набор действительных чисел (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) тогда и только тогда, когда существует (t / in / mathbb {Q}) такое, что (s = r + t). Действительные числа могут быть определены как отрезки Дедекинда от (mathbb {Q}), а именно, действительное число задается парой ((A, B)) непустых непересекающихся множеств, таких что (A / cup B = / mathbb {Q}) и (a / leq _ { mathbb {Q}} b) для всех (a / in A) и (b / in B). Затем можно снова расширить операции (+) и (cdot) на (mathbb {Q}), а также упорядочить (leq _ { mathbb {Q}}), на набор действительных чисел (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) тогда и только тогда, когда существует (t / in / mathbb {Q}) такое, что (s = r + t). Действительные числа могут быть определены как отрезки Дедекинда от (mathbb {Q}), а именно, действительное число задается парой ((A, B)) непустых непересекающихся множеств, таких что (A / cup B = / mathbb {Q}) и (a / leq _ { mathbb {Q}} b) для всех (a / in A) и (b / in B). Затем можно снова расширить операции (+) и (cdot) на (mathbb {Q}), а также упорядочить (leq _ { mathbb {Q}}), на набор действительных чисел (mathbb {R}).а также порядок (leq _ { mathbb {Q}}) для набора действительных чисел (mathbb {R}).а также порядок (leq _ { mathbb {Q}}) для набора действительных чисел (mathbb {R}).

Подчеркнем, что не утверждается, что, например, действительные числа являются отрезками Дедекинда рациональных чисел, поскольку они также могут быть определены с использованием последовательностей Коши или другими различными способами. Что важно с фундаментальной точки зрения, так это то, что теоретико-множественная версия (mathbb {R}) вместе с обычными алгебраическими операциями удовлетворяет категориальным аксиомам, которым удовлетворяют действительные числа, а именно заполнить заказанное поле. Метафизический вопрос о том, что такое действительные числа, здесь не имеет значения.

Алгебраические структуры также можно рассматривать как наборы, так как любое (n) - арное отношение к элементам набора (A) можно рассматривать как набор (n) - кортежей ((a_1, / ldots, a_n)) элементов (A). И любая (n) - арная функция (f) на (A) со значениями на некотором множестве (B) может рассматриваться как множество (n + 1) - кортежей (((a_1, / ldots, a_n), b)) так, что (b) является значением (f) на ((a_1, / ldots, a_m)). Так, например, группа - это просто тройка ((A, +, 0)), где (A) - непустое множество, (+) - двоичная функция на (A), ассоциативно, (0) является элементом (A) таким, что (a + 0 = 0 + a = a), для всех (a / in A) и для каждого (a / in A) существует элемент (A), обозначаемый (- a), такой, что (a + (- a) = (- a) + a = 0). Кроме того, топологическим пространством является просто множество (X) вместе с топологией (tau) на нем, т.е.(tau) - это подмножество (mathcal {P} (X)), содержащее (X) и ({ varnothing}), и замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений. Любой математический объект всегда можно рассматривать как набор или соответствующий класс. Свойства объекта могут быть затем выражены на языке теории множеств. Любое математическое утверждение может быть формализовано на язык теории множеств, и любая математическая теорема может быть получена, используя исчисление логики первого порядка, из аксиом ZFC или из некоторого расширения ZFC. Именно в этом смысле теория множеств обеспечивает основу для математики. Свойства объекта могут быть затем выражены на языке теории множеств. Любое математическое утверждение может быть формализовано на язык теории множеств, и любая математическая теорема может быть получена, используя исчисление логики первого порядка, из аксиом ZFC или из некоторого расширения ZFC. Именно в этом смысле теория множеств обеспечивает основу для математики. Свойства объекта могут быть затем выражены на языке теории множеств. Любое математическое утверждение может быть формализовано на язык теории множеств, и любая математическая теорема может быть получена, используя исчисление логики первого порядка, из аксиом ZFC или из некоторого расширения ZFC. Именно в этом смысле теория множеств обеспечивает основу для математики.

Основополагающая роль теории множеств для математики, хотя и значительна, ни в коем случае не является единственным оправданием для ее изучения. Идеи и методы, разработанные в рамках теории множеств, такие как бесконечная комбинаторика, принуждение или теория больших кардиналов, превратили ее в глубокую и увлекательную математическую теорию, достойную самостоятельного изучения и имеющую важные приложения практически во всех областях математики.,

5.1 Метаматематика

Замечательный факт, что практически вся математика может быть формализована в ZFC, делает возможным математическое изучение самой математики. Таким образом, любые вопросы о существовании некоторого математического объекта или доказуемости гипотезы или гипотезы могут быть даны с математически точной формулировкой. Это делает возможным метаматематику, а именно математическое изучение самой математики. Таким образом, вопрос о доказуемости или недоказуемости любого данного математического утверждения становится разумным математическим вопросом. Столкнувшись с открытой математической проблемой или гипотезой, имеет смысл спросить о ее доказуемости или недоказуемости в формальной системе ZFC. К сожалению, ответ может быть ни один, потому что ZFC, если он последовательный, неполный.

5.2. Феномен неполноты

Теорема Гёделя о полноте для логики первого порядка подразумевает, что ZFC непротиворечива, т. Е. Никакое противоречие не может быть выведено из него, если и только если у него есть модель. Модель ZFC - это пара ((M, E)), где (M) - непустое множество, а (E) - бинарное отношение на (M), такое что все аксиомы ZFC истинны, когда интерпретируются в ((M, E)), т. е. когда переменные, которые появляются в аксиомах, охватывают элементы (M), а (in) интерпретируется как (E). Таким образом, если (varphi) является предложением языка теории множеств и можно найти модель ZFC, в которой выполняется (varphi), то его отрицание (neg / varphi) не может быть доказано в ZFC. Следовательно, если можно найти модель (varphi), а также модель (neg / varphi), то (varphi) не доказуемо и не опровергнуто в ZFC, и в этом случае мы говорим, что (varphi) неразрешима вили не зависит от ZFC.

В 1931 году Гедель объявил о своих поразительных теоремах о неполноте, которые утверждают, что любая разумная формальная система математики обязательно является неполной. В частности, если ZFC непротиворечив, то в ZFC есть неразрешимые предложения. Более того, из второй теоремы Гёделя о неполноте следует, что формальное (арифметическое) утверждение (CON (ZFC)), которое утверждает, что ZFC непротиворечиво, хотя верно, не может быть доказано в ZFC. И не может его отрицание. Таким образом, (CON (ZFC)) неразрешимо в ZFC.

Если ZFC непротиворечив, то он не может доказать существование модели ZFC, поскольку в противном случае ZFC докажет свою собственную непротиворечивость. Таким образом, доказательство непротиворечивости или неразрешимости данного предложения (varphi) всегда является относительным доказательством непротиворечивости. То есть каждый предполагает, что ZFC непротиворечив, следовательно, у него есть модель, а затем он строит другую модель ZFC, где предложение (varphi) истинно. Мы увидим несколько примеров в следующих разделах.

6. Теория множеств континуума

С Кантора и примерно до 1940 года теория множеств развивалась главным образом вокруг изучения континуума, то есть реальной линии (mathbb {R}). Главной темой было изучение так называемых свойств регулярности, а также других структурных свойств просто определяемых множеств действительных чисел, области математики, известной как теория описательных множеств.

6.1 Описательная теория множеств

Теория дескриптивных множеств - это изучение свойств и структуры определимых множеств действительных чисел и, в более общем смысле, определимых подмножеств (mathbb {R} ^ n) и других польских пространств (т. Е. Топологических пространств, гомеоморфных отделимое полное метрическое пространство), такое как пространство Бэра (mathcal {N}) всех функций (f: / mathbb {N} to / mathbb {N}), пространство комплексных чисел, Гильберт пространство и сепарабельные банаховы пространства. Простейшими наборами действительных чисел являются базовые открытые множества (т. Е. Открытые интервалы с рациональными конечными точками) и их дополнения. Множества, которые получают за счетное число шагов, начиная с базовых открытых множеств и применяя операции взятия дополнения и формирования счетного объединения ранее полученных множеств, являются борелевскими множествами. Все борелевские множества регулярны, т.е.они наслаждаются всеми классическими свойствами регулярности. Одним примером свойства регулярности является измеримость Лебега: множество вещественных чисел измеримо по Лебегу, если оно отличается от борелевского множества нулевым множеством, а именно, множеством, которое может быть покрыто наборами основных открытых интервалов произвольно малой общей длины, Таким образом, тривиально каждое борелевское множество измеримо по Лебегу, но более сложные, чем борелевские, не могут быть. Другими классическими свойствами регулярности являются свойство Бэра (множество вещественных значений обладает свойством Бэра, если оно отличается от открытого множества скудным множеством, а именно множеством, которое является счетным объединением множеств, не плотных в любом интервале), и свойство совершенного множества (множество вещественных чисел имеет свойство совершенного множества, если оно либо счетно, либо содержит совершенное множество, а именно непустое замкнутое множество без изолированных точек). В ZFC можно доказать, что существуют нерегулярные наборы вещественных чисел, но для этого необходим AC (Solovay 1970).

Аналитические множества, также называемые (mathbf { Sigma} ^ 1_1), являются непрерывными изображениями борелевских множеств. А коаналитические или (mathbf { Pi} ^ 1_1) множества являются дополнениями к аналитическим множествам.

Начиная с аналитических (или со-аналитических) наборов и применяя операции проекции (из пространства произведений (mathbb {R} times / mathcal {N}) в (mathbb {R})) и дополнение, каждый получает проективные множества. Проективные множества образуют иерархию возрастающей сложности. Например, если (A / subseteq / mathbb {R} times / mathcal {N}) является коаналитическим, то проекция ({x / in / mathbb {R}: / существует y / in / \ mathcal {N} ((x, y) in A) }) - проективное множество на следующем уровне сложности выше коаналитических множеств. Эти наборы называются (mathbf { Sigma} ^ 1_2), а их дополнения называются (mathbf { Pi} ^ 1_2).

Проективные множества очень естественно возникают в математической практике, поскольку оказывается, что множество (A) вещественных чисел проективно тогда и только тогда, когда оно определимо в структуре.

(mathcal {R} = (mathbb {R}, +, / cdot, / mathbb {Z}).)

То есть в языке есть формула первого порядка (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)) для такой структуры, что для некоторых (r_1, / ldots, r_n / in / mathbb {R }), [A = {x / in / mathbb {R}: / mathcal {R} models / varphi (x, r_1, / ldots, r_n) }.)

ZFC доказывает, что каждый аналитический набор и, следовательно, каждый со-аналитический набор измерим по Лебегу и обладает свойством Бэра. Это также доказывает, что каждое аналитическое множество обладает свойством совершенного множества. Но свойство совершенного множества для коаналитических множеств подразумевает, что первый несчетный кардинал, (aleph_1), является большим кардиналом в конструктивной вселенной (L) (см. Раздел 7), а именно так называемый недоступный кардинал (см. раздел 10), из чего следует, что в ZFC невозможно доказать, что каждое со-аналитическое множество обладает свойством совершенного множества.

Теория проективных множеств сложности, большей, чем соаналитическая, полностью не определена ZFC. Например, в (L) существует множество (mathbf { Sigma} ^ 1_2), которое не измеримо по Лебегу и не обладает свойством Бэра, тогда как если выполняется аксиома Мартина (см. Раздел 11), то каждый такой набор имеет те свойства регулярности. Однако существует аксиома, называемая аксиомой проективной детерминированности, или PD, которая согласуется с ZFC, по модулю согласованности некоторых крупных кардиналов (фактически это следует из существования некоторых крупных кардиналов) и подразумевает, что все проективные множества регулярны. Более того, PD решает практически все вопросы о проективных множествах. См. Запись о больших кардиналах и определенности для получения дополнительной информации.

6.2 Определенность

Свойство регулярности множеств, которое включает в себя все другие классические свойства регулярности, это свойство определения. Для простоты мы будем работать с пространством Бэра (mathcal {N}). Напомним, что элементы (mathcal {N}) являются функциями (f: / mathbb {N} to / mathbb {N}), то есть последовательностями натуральных чисел длины (omega), Пространство (mathcal {N}) топологически эквивалентно (т. Е. Гомеоморфно) множеству иррациональных точек (mathbb {R}). Итак, поскольку нас интересуют свойства регулярности подмножеств (mathbb {R}), а счетные множества, такие как множество рациональных чисел, с точки зрения этих свойств пренебрежимо малы, мы можем также работать с (mathcal {N}) вместо (mathbb {R}).

Учитывая (A / subseteq / mathcal {N}), игра, связанная с (A), обозначаемая ({ mathcal G} _A), имеет двух игроков, I и II, которые играют альтернативно (n_i / in / mathbb {N}): я играю (n_0), затем я играю (n_1), потом я играю (n_2) и так далее. Итак, на этапе (2k) игрок I играет (n_ {2k}), а на этапе (2k + 1) игрок II играет (n_ {2k + 1}). Мы можем визуализировать запуск игры следующим образом:

(Mathbf {I}) (N_0) (N_2) (N_4) (cdots) (П- {2k}) (cdots)
(Mathbf {II}) (N_1) (N_3) (cdots) (cdots) (П- {2k + 1}) (cdots)

После бесконечного количества ходов два игрока производят бесконечную последовательность натуральных чисел (n_0, n_1, n_2, / ldots). Игрок I выигрывает игру, если последовательность принадлежит (A). В противном случае игрок II выигрывает.

Игра ({ mathcal {G}} _ A) определяется, если для одного из игроков существует выигрышная стратегия. Стратегия выигрыша для одного из игроков, скажем, для игрока II, представляет собой функцию (sigma) из набора конечных последовательностей натуральных чисел в (mathbb {N}), так что если игрок играет согласно к этой функции, т. е. она играет (sigma (n_0, / ldots, n_ {2k})) в (k) -й ход, она всегда выигрывает игру, независимо от того, что делает другой игрок, Мы говорим, что подмножество (A) из (mathcal {N}) определяется тогда и только тогда, когда определяется игра ({ mathcal {G}} _ A).

В ZFC можно доказать - и использование AC необходимо - что существуют неопределенные множества. Таким образом, Аксиома Определенности (AD), которая утверждает, что все подмножества (mathcal {N}) определены, несовместима с AC. Но Дональд Мартин доказал в ZFC, что каждый борелевский набор определен. Кроме того, он показал, что если существует большой кардинал, называемый измеримым (см. Раздел 10), то определяются даже аналитические множества. Аксиома проективной детерминированности (ПД) утверждает, что каждый проективный набор определен. Оказывается, что PD подразумевает, что все проективные множества вещественных чисел регулярны, и Вудин показал, что в некотором смысле PD решает практически все вопросы о проективных множествах. Более того, ПД, кажется, необходим для этого. Другая аксиома, (AD ^ {L (Bbb R)}), утверждает, что AD имеет место в (L (Bbb R)),который является наименее транзитивным классом, который содержит все ординалы и все действительные числа и удовлетворяет аксиомам ZF (см. раздел 7). Таким образом, (AD ^ {L (Bbb R)}) означает, что каждый набор вещественных чисел, принадлежащих (L (Bbb R)), является регулярным. Кроме того, поскольку (L (Bbb R)) содержит все проективные множества, (AD ^ {L (Bbb R)}) влечет PD.

6.3 Континуальная гипотеза

Гипотеза о континууме (СН), сформулированная Кантором в 1878 году, утверждает, что каждый бесконечный набор действительных чисел имеет либо (aleph_0), либо такую же мощность, как (mathbb {R}). Таким образом, CH эквивалентен (2 ^ { aleph_0} = / aleph_1).

Кантор доказал в 1883 году, что замкнутые множества действительных чисел обладают свойством совершенного множества, из чего следует, что каждое несчетное замкнутое множество действительных чисел имеет ту же мощность, что и (mathbb {R}). Таким образом, CH справедливо для замкнутых множеств. Более тридцати лет спустя Павел Александров распространил результат на все борелевские множества, а затем Михаил Суслин на все аналитические множества. Таким образом, все аналитические множества удовлетворяют СН. Однако попытки доказать, что коаналитические множества удовлетворяют CH, не увенчаются успехом, так как это невозможно доказать в ZFC.

В 1938 году Гёдель доказал соответствие CH с ZFC. Предполагая, что ZF непротиворечив, он построил модель ZFC, известную как конструктивная вселенная, в которой содержится CH. Таким образом, доказательство показывает, что если ZF согласован, то ZF вместе с AC и CH. Следовательно, предполагая, что ZF согласован, AC не может быть опровергнут в ZF, а CH не может быть опровергнут в ZFC.

См. Запись о гипотезе континуума для текущего состояния проблемы, включая последние результаты Вудина.

7. Конструктивная вселенная Гёделя

Конструктивная вселенная Гёделя, обозначаемая (L), определяется трансфинитной рекурсией на ординалах, аналогично (V), но на последующих этапах вместо того, чтобы брать набор степеней (V_ / alpha) для получения (V _ { alpha +1}), каждый принимает только те подмножества (L_ / alpha), которые определены в (L_ / alpha), используя элементы (L_ / alpha) в качестве параметров. Таким образом, позволяя (mathcal {P} ^ {Def} (X)) обозначить множество всех подмножеств (X), определенных в структуре ((X, / in)), через Формула языка теории множеств, использующая элементы (X) в качестве параметров определения, позволим

  • (L_0 = { varnothing})
  • (L _ { alpha +1} = / mathcal {P} ^ {Def} (L_ / alpha))
  • (L_ / lambda = / bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ / alpha), когда (lambda) - предельный порядковый номер.

Тогда (L) является объединением всех (L_ / alpha), для (alpha) ординала, т. Е. (L = / bigcup _ { alpha / in ON} L_ / alpha), Гедель показал, что (L) удовлетворяет всем аксиомам ZFC, а также CH. Фактически, оно удовлетворяет Обобщенной гипотезе континуума (GCH), а именно (2 ^ { aleph_ / alpha} = / aleph _ { alpha +1}), для каждого порядкового числа (alpha).

Утверждение (V = L), называемое аксиомой конструктивности, утверждает, что каждое множество принадлежит (L). Это верно в (L), следовательно, оно согласуется с ZFC и подразумевает как AC, так и GCH.

Собственный класс (L) вместе с отношением (in), ограниченным (L), является внутренней моделью ZFC, то есть транзитивной (т. Е. Содержит все элементы своих элементов) класс, который содержит все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZFC. На самом деле это самая маленькая внутренняя модель ZFC, как и любая другая внутренняя модель.

В более общем смысле для любого набора (A) можно построить наименьшую транзитивную модель ZF, содержащую (A) и все ординалы, аналогично (L), но теперь начнем с транзитивного замыкания. of ({A }), т. е. наименьшее транзитивное множество, которое содержит (A) вместо ({ varnothing}). Получающаяся модель (L (A)), однако, не обязательно должна быть моделью АС. Одна очень важная такая модель - это (L (mathbb {R})), наименьшая транзитивная модель ZF, которая содержит все ординалы и все действительные числа.

Теория конструктивных множеств многим обязана работе Рональда Дженсена. Он разработал так называемую теорию тонкой структуры (L) и выделил некоторые комбинаторные принципы, такие как алмаз ((diamondsuit)) и квадрат ((Box)), которые можно использовать для переноса из сложных конструкций несчетных математических объектов. Теория тонкой структуры играет также важную роль в анализе больших (L) -подобных моделей, таких как (L (mathbb {R})) или внутренних моделей для больших кардиналов (см. Раздел 10.1).

8. Принудительное

В 1963 году, спустя двадцать пять лет после того, как Гёдель доказал согласованность CH и AC, относительно согласованности ZF, Пол Коэн (1966) доказал последовательность отрицания CH, а также отрицания AC относительно консистенции ZF. Таким образом, если ZF непротиворечив, то CH неразрешим в ZFC, а AC неразрешим в ZF. Чтобы достичь этого, Коэн разработал новую и чрезвычайно мощную технику, называемую форсированием, для расширения счетных транзитивных моделей ZF.

Поскольку аксиома (V = L) подразумевает AC и CH, любая модель отрицания AC или CH должна нарушать (V = L). Итак, давайте проиллюстрируем идею форсирования в случае построения модели для отрицания (V = L). Начнем с транзитивной модели (M) ZFC, которую мы можем считать без ограничения общности моделью (V = L). Чтобы нарушить (V = L), нам нужно расширить (M), добавив новый набор (r), так что в расширенной модели (r) не будет конструируемым. Поскольку все наследственно-конечные множества конструируемы, мы стремимся добавить бесконечное множество натуральных чисел. Первая проблема, с которой мы сталкиваемся, заключается в том, что (M) может содержать уже все подмножества (omega). К счастью, по теореме Левенгейма-Сколема для логики первого порядка (M) имеет счетную элементарную подмодель (N). Итак, поскольку нас интересуют только утверждения, которые имеют место в (M),и не в самом (M), мы можем также работать с (N) вместо (M), и поэтому мы можем предположить, что само (M) счетно. Тогда, поскольку (mathcal {P} (omega)) неисчислимо, существует множество подмножеств (omega), которые не принадлежат (M). Но, к сожалению, мы не можем просто выбрать любое бесконечное подмножество (r) из (omega), которое не принадлежит (M), и добавить его в (M). Причина в том, что (r) может кодировать много информации, поэтому при добавлении в (M) (M) больше не является моделью ZFC или все еще является моделью (V). = L). Чтобы избежать этого, нужно выбирать (r) с большой осторожностью. Идея состоит в том, чтобы выбрать (r) общего над (M), что означает, что (r) строится из своих конечных приближений таким образом, что у него нет какого-либо свойства, определяемого в (M).) и можно избежать. Например,рассматривая (r) как бесконечную последовательность натуральных чисел в возрастающем порядке, можно избежать свойства (r), содержащего только конечное число четных чисел, поскольку при любом конечном приближении к (r) - т. е. любая конечная возрастающая последовательность натуральных чисел - всегда можно расширить ее, добавив больше четных чисел, так что в конце конструкции (r) будет содержаться бесконечно много четных чисел; в то время как свойства содержания числа 7 не могут быть исключены, потому что, когда конечное приближение к (r) содержит число 7, оно остается там независимо от того, как протекает построение (r). Поскольку (M) счетно, существуют такие общие (r). Тогда расширенная модель (M [r]), которая включает в себя (M) и содержит новый набор (r), называется общим расширением (M). Поскольку мы предположили, что (M) является транзитивной моделью (V = L),модель (M [r]) есть просто (L_ / alpha (r)), где (alpha) - верхняя точка ординалов из (M). Тогда можно показать, используя принудительное соотношение между конечными приближениями к (r) и формулами на языке теории множеств, расширенными так называемыми именами множеств в общем расширении, что (M [r]) является модель ZFC и (r) не конструктивна в (M [r]), поэтому аксиома конструктивности (V = L) не выполняется.

В общем случае принудительное расширение модели (M) получается добавлением к (M) общего подмножества (G) некоторого частично упорядоченного множества (mathbb {P}), принадлежащего (M). В приведенном выше примере (mathbb {P}) будет множеством всех конечных возрастающих последовательностей натуральных чисел, рассматриваемых как конечные приближения к бесконечной последовательности (r), упорядоченные по (subseteq); и (G) будет множеством всех конечных начальных сегментов (r).

В случае доказательства непротиворечивости отрицания CH начинается с модели (M) и добавляет (aleph_2) новые подмножества (omega), так что в общем расширении CH выходит из строя. В этом случае нужно использовать соответствующий частичный порядок (mathbb {P}), чтобы (aleph_2) из (M) не свернулся, т. Е. Он совпадает с (aleph_2) общего расширения, и, следовательно, универсальное расширение (M [G]) будет удовлетворять предложению, в котором говорится, что существуют (aleph_2) действительные числа.

8.1 Другие применения принуждения

Помимо CH, многие другие математические гипотезы и проблемы о континууме и других бесконечных математических объектах были показаны неразрешимыми в ZFC с использованием техники принуждения.

Одним из важных примеров является гипотеза Суслина (SH). Кантор показал, что каждое линейно упорядоченное множество (S) без конечных точек, которое является плотным (т. Е. Между любыми двумя различными элементами (S) есть еще один), полно (т.е. каждое подмножество (S) ограниченное выше имеет супремум) и со счетным плотным подмножеством изоморфно вещественной прямой. Суслин предположил, что это все еще верно, если ослабить требование о том, что счетное плотное подмножество является ccc, т. Е. Каждый набор попарно непересекающихся интервалов является счетным. В начале 1970-х Томас Джек создал последовательный контрпример с использованием принуждения, а Рональд Дженсен показал, что контрпример существует в (L). Примерно в то же время,Роберт Соловей и Стэнли Тенненбаум (1971) впервые разработали и использовали метод итеративного принуждения для создания модели, в которой удерживается SH, демонстрируя тем самым ее независимость от ZFC. Чтобы удостовериться, что SH хранится в общем расширении, нужно уничтожить все контрпримеры, но, уничтожив один конкретный контрпример, можно непреднамеренно создать новые, и поэтому нужно форсировать снова и снова; на самом деле нужно идти как минимум (omega_2) - много шагов. Вот почему принудительная итерация необходима.на самом деле нужно идти как минимум (omega_2) - много шагов. Вот почему принудительная итерация необходима.на самом деле нужно идти как минимум (omega_2) - много шагов. Вот почему принудительная итерация необходима.

Среди других известных математических задач, которые были показаны неразрешимыми в ZFC благодаря технике принуждения, особенно с использованием итеративного форсирования и иногда в сочетании с большими кардиналами, мы можем упомянуть проблему измерения и гипотезу Бореля в теории мер, гипотезу Капланского о банаховых алгебрах и Проблема Уайтхеда в теории групп.

9. Поиск новых аксиом

В результате 50-летнего развития техники принуждения и ее применения ко многим открытым задачам в математике, теперь есть буквально тысячи вопросов практически во всех областях математики, которые были показаны независимо от ZFC. К ним относятся практически все вопросы о структуре бесчисленных множеств. Можно сказать, что феномен неразрешимости распространен до такой степени, что исследование несчетного стало почти невозможным только в ZFC (см., Однако, Shelah (1994) для замечательных исключений).

Это вызывает вопрос об истинности значений утверждений, которые не определены ZFC. Нужно ли довольствоваться тем, что они неразрешимы? Имеет ли смысл вообще спрашивать об их истинной ценности? Есть несколько возможных реакций на это. Одним из них является позиция скептика: утверждения, которые неразрешимы в ZFC, не имеют однозначного ответа; и они могут даже быть по своей сути неопределенными. Другая, распространенная среди математиков, позиция Геделя: неразрешимость показывает, что система ZFC слишком слаба, чтобы отвечать на эти вопросы, и поэтому следует искать новые аксиомы, которые однажды добавленные в ZFC, ответят на них. Поиск новых аксиом был известен как Программа Геделя. См. Hauser (2006) для подробного философского обсуждения Программы,а также запись о больших кардиналах и определенности для философских соображений об обосновании новых аксиом для теории множеств.

Таким образом, центральной темой теории множеств является поиск и классификация новых аксиом. В настоящее время они подразделяются на два основных типа: аксиомы крупных кардиналов и аксиомы принуждения.

10. Большие кардиналы

Нельзя доказать в ZFC, что существует регулярный предельный кардинал (kappa), поскольку, если (kappa) является таким кардиналом, то (L_ / kappa) является моделью ZFC, и поэтому ZFC будет доказать свою непротиворечивость, противореча второй теореме Гёделя о неполноте. Таким образом, существование регулярного предельного кардинала должно быть постулировано как новая аксиома. Такой кардинал называется слабо недоступным. Если, кроме того, (kappa) является сильным пределом, т.е. (2 ^ / lambda <\ kappa), для каждого кардинала (lambda <\ kappa), то (kappa) называется сильно недоступным. Кардинал (kappa) сильно недоступен тогда и только тогда, когда он регулярен и (V_ / kappa) является моделью ZFC. Если GCH имеет место, то каждый слабо недоступный кардинал сильно недоступен.

Большие кардиналы - это бесчисленные кардиналы, обладающие некоторыми свойствами, которые делают их очень большими, и существование которых невозможно доказать в ZFC. Первый слабо недоступный кардинал - самый маленький из всех крупных кардиналов. Помимо недоступных кардиналов, существует богатое и сложное разнообразие крупных кардиналов, которые образуют линейную иерархию с точки зрения согласованности, а во многих случаях и с точки зрения прямого подтекста. Смотрите запись о независимости и крупных кардиналов для более подробной информации.

Чтобы сформулировать следующее более сильное понятие большого кардинала, скажем, что подмножество (C) бесконечного кардинала (kappa) замкнуто, если каждый предел элементов (C) также находится в (C); и неограничен, если для каждого (alpha <\ kappa) существует (beta / in C) больше чем (alpha). Например, множество предельных ординалов, меньших (kappa), является замкнутым и неограниченным. Также подмножество (S) из (kappa) называется стационарным, если оно пересекает каждое замкнутое неограниченное подмножество из (kappa). Если (kappa) является регулярным и неисчисляемым, то множество всех ординалов, меньших (kappa) cofinality (omega), является примером стационарного множества. Регулярный кардинал (kappa) называется Мало, если множество сильно недоступных кардиналов, меньших (kappa), является стационарным. Таким образом,первый кардинал Мало намного больше первого сильно недоступного кардинала, так как есть (kappa) - многие сильно недоступные кардиналы меньше, чем (kappa).

Гораздо более сильные большие кардинальные понятия возникают из рассмотрения сильных отражающих свойств. Напомним, что принцип отражения (раздел 4), доказуемый в ZFC, утверждает, что каждое истинное предложение (т. Е. Каждое предложение, содержащееся в (V)) истинно в некотором (V_ / alpha). Усиление этого принципа в предложениях второго порядка дает некоторых крупных кардиналов. Например, (kappa) сильно недоступен тогда и только тогда, когда каждое предложение (Sigma ^ 1_1) (т. Е. Экзистенциальное предложение второго порядка на языке теории множеств с одним дополнительным символом предиката) верно в любом структура вида ((V_ / kappa, / in, A)), где (A / subseteq V_ / kappa), истинна в некоторых ((V_ / alpha, / in, A / cap V_ / альфа)), с (alpha <\ kappa). Отражение того же типа, но теперь для (Pi ^ 1_1) предложений (т. Е. Универсальных предложений второго порядка),дает гораздо более сильное большое кардинальное свойство (kappa), называемое слабой компактностью. Каждый слабо компактный кардинал (kappa) является Мало, а множество кардиналов Мало, меньших (kappa), является стационарным. Допуская отражение для более сложных предложений второго или даже более высокого порядка, можно получить большие кардинальные понятия, более сильные, чем слабая компактность.

Самые известные крупные кардиналы, называемые измеримыми, были открыты Станиславом Уламом в 1930 году в результате его решения проблемы измерения. (Двузначная) мера или ультрафильтр на кардинале (kappa) - это подмножество (U) из (mathcal {P} (kappa)), которое имеет следующие свойства: (i) пересечение любых двух элементов (U) находится в (U); (ii) если (X / in U) и (Y) подмножество (kappa) такое, что (X / subseteq Y), то (Y / in U); и (iii) для каждого (X / subseteq / kappa) либо (X / in U), либо (kappa -X / in U), но не оба. Мера (U) называется (kappa) - полная, если каждое пересечение менее чем (kappa) элементов (U) также находится в (U). И мера называется неосновной, если нет (alpha <\ kappa), которая принадлежит всем элементам (U). Кардинал (kappa) называется измеримым, если на (kappa) существует мера (kappa) - полная и неосновная.

Измеримые кардиналы можно охарактеризовать элементарными вложениями вселенной (V) в некоторый переходный класс (M). То, что такое вложение (j: V / to M) элементарно, означает, что (j) сохраняет истину, т. Е. Для каждой формулы (varphi (x_1, / ldots, x_n)) языка множества теория, и каждое (a_1, / ldots, a_n), предложение (varphi (a_1, / ldots, a_n)) выполняется в (V) тогда и только тогда, когда (varphi (j (a_1)), / ldots, j (a_n))) выполняется в (M). Оказывается, что кардинал (kappa) измерим тогда и только тогда, когда существует элементарное вложение (j: V / to M) с транзитивностью (M), так что (kappa) первый порядковый номер, перемещенный (j), т. е. первый порядковый номер такой, что (j (kappa) ne / kappa). Мы говорим, что (kappa) является критической точкой (j), и пишем (crit (j) = / kappa). Вложение (j) определимо из (kappa) - полной неосновной меры на (kappa), используя так называемую сверхмощную конструкцию. И наоборот, если (j: V / to M) является элементарным вложением с (M) транзитивным и (kappa = crit (j)), то множество (U = {X / subseteq / kappa: / kappa / in j (X) }) является (kappa) - полным неосновным ультрафильтром на (kappa). Мера (U), полученная таким образом из (j), называется нормальной.

Каждый измеримый кардинал (kappa) слабо компактен, и есть много слабо компактных кардиналов, меньших (kappa). Фактически, ниже (kappa) есть много кардиналов, которые полностью неописуемы, то есть они отражают все предложения любой сложности и на любом языке более высокого порядка.

Если (kappa) измеримо и (j: V / to M) задается ультрамощной конструкцией, то (V_ / kappa / subseteq M) и каждая последовательность длины меньше или равна (kappa) элементов из (M) принадлежит (M). Таким образом, (M) очень похоже на (V), но не может быть (V) само по себе. Действительно, известная теорема Кеннета Кунена показывает, что не может быть никакого элементарного вложения (j: V / to V), кроме тривиального, т. Е. Тождества. Все известные доказательства этого результата используют Аксиому выбора, и это важный вопрос, если аксиома необходима. Теорема Кунена открывает дверь для формулировки больших кардинальных понятий, более сильных, чем измеримость, требуя, чтобы (M) было ближе к (V).

Например, (kappa) называется сильным, если для каждого ординала (alpha) существует элементарное вложение (j: V / to M), для некоторого (M) переходное, такое, что (kappa = крит (j)) и (V_ / alpha / subseteq M).

Еще одно важное и гораздо более сильное понятие кардинала - это суперкомпактность. Кардинал (kappa) является суперкомпактным, если для каждого (alpha) существует элементарное вложение (j: V / to M), с (M) транзитивной и критической точкой (kappa), так что (j (kappa)> / alpha) и каждая последовательность элементов (M) длины (alpha) принадлежит (M).

Вудин кардиналы падают между сильными и суперкомпактными. Каждый суперкомпактный кардинал - это Вудин, и если (delta) - это Вудин, то (V_ / delta) - это модель ZFC, в которой существует надлежащий класс сильных кардиналов. Таким образом, хотя кардинал Вудина (delta) сам по себе не должен быть очень сильным - первый даже не слабо компактен - он подразумевает существование многих крупных кардиналов в (V_ / delta).

Помимо суперкомпактных кардиналов мы находим расширяемых кардиналов, огромных, супер огромных и т. Д.

Теорема Кунена о несуществовании нетривиального элементарного вложения (j: V / to V) фактически показывает, что не может быть элементарного вложения (j: V _ { lambda +2} to V _ { lambda +2}) отличается от тождества для любого (lambda).

Наиболее сильные и большие кардинальные понятия, о которых известно, что они противоречивы, по модулю ZFC, следующие:

  • Существует элементарное вложение (j: V _ { lambda +1} to V _ { lambda +1}), отличное от тождества.
  • Существует элементарное вложение (j: L (V _ { lambda +1}) в L (V _ { lambda +1})), отличное от тождества.

Большие кардиналы образуют линейную иерархию увеличения силы согласованности. Фактически они являются ступеньками иерархии интерпретируемости математических теорий. Смотрите запись о независимости и крупных кардиналов для более подробной информации. Для любого предложения (varphi) ровно одна из следующих трех возможностей относится к теории ZFC plus (varphi):

  • ZFC plus (varphi) несовместим.
  • ZFC plus (varphi) эквивалентно ZFC.
  • ZFC plus (varphi) равнозначно ZFC плюс существование некоторого большого кардинала.

Таким образом, большие кардиналы могут быть использованы для доказательства того, что данное предложение (varphi) не подразумевает другое предложение (psi) по модулю ZFC, показывая, что ZFC plus (psi) подразумевает согласованность некоторых большой кардинал, тогда как ZFC plus (varphi) является последовательным, предполагая существование меньшего большого кардинала, или просто предполагая согласованность ZFC. Другими словами, (psi) имеет более высокую прочность согласованности, чем (varphi), по модулю ZFC. Тогда, согласно второй теореме Гёделя о неполноте, ZFC plus (varphi) не может доказать (psi), предполагая, что ZFC plus (varphi) согласован.

Как мы уже указывали, в ZFC нельзя доказать, что существуют крупные кардиналы. Но все указывает на то, что их существование не только не может быть опровергнуто, но фактически предположение об их существовании является весьма разумной аксиомой теории множеств. С одной стороны, существует множество доказательств их согласованности, особенно для тех крупных кардиналов, для которых можно построить внутреннюю модель.

10.1 Внутренние модели больших кардиналов

Внутренняя модель ZFC - это транзитивный собственный класс, который содержит все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZFC. Таким образом, (L) - наименьшая внутренняя модель, а (V) - наибольшая. Некоторые крупные кардиналы, такие как недоступные, малые или слабо компактные, могут существовать в (L). То есть, если (kappa) имеет одно из этих больших кардинальных свойств, то оно также имеет свойство в (L). Но некоторые большие кардиналы не могут существовать в (L). Действительно, Скотт (1961) показал, что если существует измеримый кардинал (kappa), то (V / ne L). Важно отметить, что (kappa) действительно принадлежит (L), так как (L) содержит все ординалы, но это не измеримо в (L), потому что a (kappa) -полная неосновная мера на (kappa) там не может существовать.

Если (kappa) измеримый кардинал, то можно построить (L) -подобную модель, в которой (kappa) измерим, взяв (kappa) -полный неосновный и нормальная мера (U) на (kappa), и действует как в определении (L), но теперь использует (U) в качестве дополнительного предиката. Получающаяся модель, называемая (L [U]), является внутренней моделью ZFC, в которой (kappa) измерима, а фактически (kappa) является единственным измеримым кардиналом. Модель является канонической в том смысле, что любая другая нормальная мера, свидетельствующая об измеримости (kappa), дает такую же модель и обладает многими свойствами (L). Например, у него есть проективное упорядочение действительных чисел, и оно удовлетворяет GCH.

Построение подобных (L) -подобных моделей для более сильных крупных кардиналов, таких как сильный или Вудин, гораздо сложнее. Эти модели имеют вид (L [E]), где (E) - последовательность расширителей, каждый из которых представляет собой систему мер, которые кодируют соответствующие элементарные вложения.

Самые большие (L) -подобные внутренние модели для больших кардиналов, которые были получены до сих пор, могут содержать пределы Вудина для кардиналов Вудина (Neeman 2002). Тем не менее, построение (L) -подобной модели для суперкомпактного кардинала все еще остается проблемой. Сверхкомпактный барьер, по-видимому, является решающим, поскольку Вудин показал, что для некой (L) -подобной внутренней модели суперкомпактного кардинала, которую он называет Предельным - (L), все более сильные крупные кардиналы, которые может существовать в (V), например, расширяемый, огромный, I1 и т. д. также может существовать в модели. Построение Ultimate - (L) все еще не завершено, и пока не ясно, будет ли оно успешным, поскольку оно опирается на некоторые технические гипотезы, которые необходимо подтвердить.

10.2 Последствия крупных кардиналов

Существование больших кардиналов имеет драматические последствия, даже для просто определяемых малых множеств, таких как проективные множества действительных чисел. Например, Соловей (1970) доказал, предполагая, что существует измеримый кардинал, что все (mathbf { Sigma} ^ 1_2) множества действительных веществ измеримы по Лебегу и обладают свойством Бэра, что не может быть доказано только в ZFC, И Шела и Вудин (1990) показали, что существование надлежащего класса кардиналов Вудина подразумевает, что теория (L (mathbb {R})), даже с действительными числами в качестве параметров, не может быть изменена путем принуждения, которое подразумевает, что все наборы действительных чисел, принадлежащих (L (mathbb {R})), являются регулярными. Кроме того, согласно более слабой гипотезе большого кардинала, а именно существованию бесконечного числа кардиналов Вудина, Мартин и Сталь (1989) доказали, что каждый проективный набор действительных чисел определяется, т.е.аксиома PD выполняется, поэтому все проективные множества регулярны. Более того, Вудин показал, что существование бесконечного числа кардиналов Вудина плюс измеримый кардинал над всеми ними подразумевает, что каждый набор вещественных чисел в (L (mathbb {R})) определяется, т. Е. Аксиома (AD ^ {L (mathbb {R})}) имеет место, поэтому все наборы действительных чисел, принадлежащих (L (mathbb {R})), и, следовательно, все проективные множества, являются регулярными. Он также показал, что кардиналы Вудина обеспечивают оптимальные большие кардинальные предположения, доказывая, что следующие два утверждения:следовательно, все наборы действительных чисел, принадлежащих (L (mathbb {R})), и, следовательно, все проективные множества, являются регулярными. Он также показал, что кардиналы Вудина обеспечивают оптимальные большие кардинальные предположения, доказывая, что следующие два утверждения:следовательно, все наборы действительных чисел, принадлежащих (L (mathbb {R})), и, следовательно, все проективные множества, являются регулярными. Он также показал, что кардиналы Вудина обеспечивают оптимальные большие кардинальные предположения, доказывая, что следующие два утверждения:

  1. Вудина бесконечно много.
  2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

равносильны, т.е. ZFC плюс 1 согласован тогда и только тогда, когда ZFC плюс 2 согласован. Посмотрите запись о больших кардиналах и определенности для более подробной информации и связанных результатов.

Другой областью, в которой крупные кардиналы играют важную роль, является возведение в степень единичных кардиналов. Так называемая сингулярная кардинальная гипотеза (SCH) полностью определяет поведение возведения в степень для единичных кардиналов, по модулю возведения в степень для регулярных кардиналов. SCH следует из GCH, и поэтому он выполняется в (L). Следствием SCH является то, что если (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega) для всех конечных (n), то (2 ^ { aleph _ { omega}} = / aleph_ { омега +1}). Таким образом, если GCH выполняется для кардиналов, меньших (aleph_ / omega), то он также выполняется в (aleph_ / omega). SCH держит выше первого суперкомпактного кардинала (Solovay). Но Magidor (1977) показал, что, удивительно, предполагая существование больших кардиналов, можно построить модель ZFC, где GCH сначала терпит неудачу в (aleph_ / omega), следовательно, SCH терпит неудачу. Большие кардиналы сильнее, чем измеримые, на самом деле нужны для этого. В отличие от этого, однако, одного ZFC достаточно, чтобы доказать, что если SCH выполняется для всех кардиналов, меньших (aleph _ { omega_1}), то он также выполняется для (aleph _ { omega_1}). Более того, если SCH имеет место для всех сингулярных кардиналов счетного cofinality, то он имеет место для всех сингулярных кардиналов (Silver).

11. Принудительные аксиомы

Аксиомы принуждения - это аксиомы теории множеств, которые утверждают, что некоторые экзистенциальные утверждения являются абсолютными между универсумом (V) всех множеств и его (идеальными) форсирующими расширениями, то есть некоторыми экзистенциальными утверждениями, которые выполняются в некоторых форсирующих расширениях (V).) уже верны в (V). Первая аксиома принуждения была сформулирована Дональдом Мартином после доказательства Соловея-Тенненбаума о согласованности гипотезы Суслина и теперь известна как аксиома Мартина (MA). Прежде чем сформулировать это, скажем, что частичное упорядочение - это непустое множество (P) вместе с бинарным отношением (leq) на (P), которое является рефлексивным и транзитивным. Два элемента, (p) и (q), из (P) называются совместимыми, если существует такое (r / in P), что (r / leq p) и (r) leq q). Антицепь (P) - это подмножество (P), элементы которого попарно несовместимы. Частичное упорядочение (P) называется ccc, если каждая антицепь из (P) счетна. Непустое подмножество (G) из (P) называется фильтром, если (i) каждые два элемента (G) совместимы, и (ii) если (p / in G) и (p / leq q), то также (q / in G). Наконец, подмножество (D) в (P) называется плотным, если для каждого (p / in P) найдется (q / in D) такой, что (q / leq p).

МА утверждает следующее:

Для каждого частичного упорядочения ccc (P) и каждого множества ({D_ / alpha: / alpha <\ omega_1 }) плотных подмножеств (P) существует фильтр (G / subseteq P), который является общим для множества, т. е. (G / cap D_ / alpha / ne { varnothing}), для всех (alpha <\ omega_1).

Martin и Solovay (1970) доказали, что MA соответствует ZFC, используя итеративное форсирование со свойством ccc. На первый взгляд, MA может выглядеть не как аксиома, а именно очевидное или, по крайней мере, разумное утверждение о множествах, а скорее как техническое утверждение о частичном упорядочении ccc. Однако это выглядит более естественным, если выразить его в топологических терминах, поскольку оно является просто обобщением известной теоремы Бэра о категориях, которая утверждает, что в любом компактном топологическом пространстве Хаусдорфа пересечение счетного множества плотных открытых множеств не является опорожнить. Действительно, МА эквивалентно:

В каждом компактном топологическом пространстве Хаусдорфа пересечение (aleph_1) - многих плотных открытых множеств непусто.

MA имеет много различных эквивалентных формулировок и очень успешно используется для решения большого количества открытых задач в других областях математики. Например, это подразумевает гипотезу Суслина и то, что каждый (mathbf { Sigma} ^ 1_2) набор действительных значений измерим по Лебегу и обладает свойством Бэра. Это также подразумевает отрицание CH и то, что (2 ^ { aleph_0}) является регулярным кардиналом, но это не решает, какой это кардинал. См. Fremlin (1984) для многих других последствий MA и других эквивалентных формулировок. Несмотря на это, статус МА как аксиомы теории множеств все еще неясен. Возможно, наиболее естественная формулировка МА с фундаментальной точки зрения заключается в рефлексии. Запись HC для набора наследственно-счетных множеств (т. Е. Счетных множеств, элементы которых счетны, элементы которых также счетны,и т. д.) MA эквивалентно:

Для каждого частичного упорядочения ccc (P), если экзистенциальное утверждение о (HC) выполнено в (идеальном) обобщенном расширении (V), полученном с помощью (P), то утверждение верно т. е. имеет место в (V). Другими словами, если множество, обладающее свойством, которое зависит только от множеств в (HC), существует в некотором (идеальном) обобщенном расширении (V), полученном путем принудительного частичного упорядочения ccc, то множество с этим свойством уже существует в (V).

Понятие идеального общего расширения (V) может быть уточнено в терминах так называемых булевозначных моделей, которые предоставляют альтернативную версию форсирования.

В 1980-х годах были введены гораздо более сильные аксиомы принуждения, чем MA, такие как Аксиома правильного принуждения Дж. Баумгартнера (PFA) и более сильный максимум Мартина (MM) Формана, Магидора и Шелаха (1988), который по сути является самым сильным из возможных форсирующих аксиома. И PFA, и MM согласуются относительно существования суперкомпактного кардинала. PFA утверждает то же самое, что и MA, но для частичных упорядочений, которые имеют свойство более слабое, чем ccc, называемое правильностью, введенное Шелахом. И ММ утверждает то же самое для более широкого класса частичных упорядочений, которые, вызывая их, не разрушают стационарные подмножества (omega_1).

Сильные аксиомы принуждения, такие как PFA и MM, подразумевают, что все проективные наборы вещественных чисел определены (PD), и имеют много других сильных последствий в бесконечной комбинаторике. Примечательно, что они подразумевают, что мощность континуума равна (aleph_2).

Библиография

  • Багария, J., 2008, «Теория множеств», в книге «Принстонский компаньон по математике», под редакцией Тимоти Гауэрса; Джун Барроу-Грин и Имре Лидер, ассоциированные редакторы. Принстон: издательство Принстонского университета.
  • Коэн, PJ, 1966, Теория множеств и гипотеза континуума, Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc.
  • Эндертон, HB, 1977, Элементы теории множеств, Нью-Йорк: Academic Press.
  • Феррейрос, J., 2007, Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике, второе пересмотренное издание, Базель: Биркхойзер.
  • Форман М., М. Магидор и С. Шелах, 1988, «Максимум Мартина, насыщенные идеалы и нерегулярные ультрафильтры», Часть I, Анналы математики, 127: 1–47.
  • Фремлин Д. Х., 1984, «Последствия аксиомы Мартина», Кембриджский трактат по математике № 84. Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Гёдель, К., 1931, «Uber формальный unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I», Monatshefte für Mathematik Physik, 38: 173–198. Английский перевод в Гёделе 1986, 144–195.
  • –––, 1938, «Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук, США 24: 556–557.
  • –––, 1986, Собрание сочинений I. Публикации 1929–1936, S. Feferman et al. (ред.), Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Хаузер, К., 2006, «Пересмотр программы Гёделя, Часть I: Поворот к феноменологии», Бюллетень символической логики, 12 (4): 529–590.
  • Jech, T., 2003, теория множеств, 3-е издание, Нью-Йорк: Springer.
  • Дженсен, Р. Б., 1972, «Тонкая структура конструктивной иерархии», Анналы математической логики, 4 (3): 229–308.
  • Канамори, А., 2003, Высшее Бесконечное, Второе издание. Springer Монографии по математике, Нью-Йорк: Springer.
  • Kechris, AS, 1995, Классическая теория описательного множества, Выпускные тексты по математике, Нью-Йорк: Springer Verlag.
  • Кунен, К., 1980, Теория множеств, Введение в доказательства независимости, Амстердам: Северная Голландия.
  • Леви, А., 1960, «Аксиомные схемы сильной бесконечности в аксиоматической теории множеств», Pacific Journal of Matmatics, 10: 223–238.
  • –––, 1979, Теория базовых множеств, Нью-Йорк: Springer.
  • Магидор, М., 1977, “О сингулярной задаче кардиналов, II”, Анналы математики, 106: 514–547.
  • Martin, DA and R. Solovay, 1970, «Внутренние расширения Коэна», Анналы математической логики, 2: 143–178.
  • Martin, DA and JR Steel, 1989, «Доказательство проективной определенности», Журнал Американского математического общества, 2 (1): 71–125.
  • Матиас, ARD, 2001, «Тонкие модели теории множеств Цермело», Журнал символической логики, 66: 487–496.
  • Ниман, И., 2002, «Внутренние модели в области предела Вудина кардиналов Вудина», Анналы чистой и прикладной логики, 116: 67–155.
  • Скотт Д., 1961, «Измеримые кардиналы и конструктивные множества», Бюллетень Академии Полонеза наук. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 9: 521–524.
  • Шелах, С., 1994, «Кардинальная арифметика», Oxford Logic Guides, 29, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press.
  • –––, 1998, Правильное и неправильное принуждение, 2-е издание, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  • Shelah, S. и WH Woodin, 1990, «Большие кардиналы подразумевают, что каждый разумно определяемый набор действительности измерим по Лебегу», Израильский математический журнал, 70 (3): 381–394.
  • Соловей Р., 1970, «Модель теории множеств, в которой каждый набор веществ измерим по Лебегу», Анналы математики, 92: 1–56.
  • Соловей Р. и С. Тенненбаум, 1971, «Итерированные расширения Коэна и проблема Суслина», Анналы математики (2), 94: 201–245.
  • Тодорцевич, С., 1989, «Проблемы разбиения в топологии», Современная математика, том 84. Американское математическое общество.
  • Улам С., 1930, «Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre», Fundamenta Mathematicae, 16: 140–150.
  • Вудин, WH, 1999, Аксиома детерминированности, аксиомы принуждения и нестационарный идеал, серия Де Грюйтера в логике и ее приложениях 1, Берлин-Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.
  • –––, 2001, «Гипотеза о континууме, часть I», Уведомления об AMS, 48 (6): 567–576, и «Гипотеза о континууме, часть II», Уведомления об AMS 48 (7): 681– 690.
  • Земан, М., 2001, «Внутренние модели и большие кардиналы», серия Де Грюйтера по логике и ее приложениям 5, Берлин-Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.
  • Цермело, Э., 1908, «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I», Mathematische Annalen 65: 261–281. Перепечатано в Цермело 2010: 189–228, с переводом на английский на лицевой странице и введением Ульриха Фельгнера (2010). Английский перевод также в van Heijenoort 1967: 201–215.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

Рекомендуем: