Обозначения в Principia Mathematica

Оглавление:

Обозначения в Principia Mathematica
Обозначения в Principia Mathematica

Видео: Обозначения в Principia Mathematica

Видео: Обозначения в Principia Mathematica
Видео: Язык математики — Принципы математического мышления — уровень 1 из 5 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Обозначения в Principia Mathematica

Впервые опубликовано в четверг 19 августа 2004 г.; основная редакция вс 17 июля 2016 г.

Principia Mathematica [PM] А. Н. Уайтхеда и Бертрана Рассела, опубликованная в 1910–1913 гг. В трех томах издательством Cambridge University Press, содержит вывод больших частей математики с использованием понятий и принципов символической логики. Запись в этой работе была заменена последующим развитием логики в течение 20- говека, до такой степени, что у новичка возникают проблемы с чтением PM вообще. Эта статья представляет собой введение в символику PM, показывающее, как эта символика может быть переведена в более современную систему обозначений, которая должна быть знакома любому, кто прошел первый курс по символической логике. Этот перевод предлагается в качестве помощи в изучении оригинальной нотации, которая сама по себе является предметом научного спора и воплощает основные логические доктрины, так что ее нельзя просто заменить современной символикой. Таким образом, изучение нотации является первым шагом к изучению отличительных логических доктрин Principia Mathematica.

  • 1. Зачем изучать символизм в Principia Mathematica?
  • 2. Примитивные символы
  • 3. Использование точек для пунктуации

    • 3.1 Некоторые основные примеры
    • 3.2 Сила Связи
    • 3.3 Еще примеры
  • 4. Пропозициональные функции
  • 5. Отсутствующие обозначения для типов и заказов

    • 5.1 Простые типы
    • 5.2 Разветвленные типы
  • 6. Переменные
  • 7. Предикативные функции и идентичность
  • 8. Определенные описания
  • 9. Классы
  • 10. Пролегомены в кардинальную арифметику
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Зачем изучать символизм в Principia Mathematica?

Principia Mathematica [PM] была написана совместно Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертраном Расселом в течение нескольких лет и опубликована в трех томах, появившихся в период между 1910 и 1913 годами. В ней представлена система символической логики, а затем обращается к основам математики для выполнения. логический проект определения математических понятий в терминах логических понятий и доказательства фундаментальных аксиом математики как теоремы логики. Несмотря на огромную важность в развитии логики, философии математики и, в более широком смысле, «Ранней аналитической философии», сама работа по этим темам больше не изучается. В результате само обозначение произведения стало чуждым современным изучающим логику, и это стало препятствием для изучения Principia Mathematica.

Эта запись предназначена для того, чтобы помочь студенту ПМ в чтении символической части работы. Далее следует частичный перевод символизма в более современные обозначения, которые должны быть знакомы из других статей в этой энциклопедии и которые довольно стандартны в современных учебниках символической логики. Не предоставлен полный алгоритм, а различные предложения предназначены для того, чтобы помочь читателю узнать символику PM. Многие вопросы интерпретации могут быть предрешены только с использованием современных обозначений, и многие детали, которые являются уникальными для PM, зависят от этого обозначения. Ниже будет показано, с некоторыми из наиболее спорных аспектов обозначения, что учения о субстанции встроены в обозначение PM. Замена обозначений более современной символикой радикально изменит само содержание книги.

2. Примитивные символы

Ниже читатель найдет, в порядке, в котором они введены в PM, следующие символы, которые кратко описаны. Более подробная информация представлена ниже:

* произносится как «звезда»; указывает число или главу, как в ∗ 1, или ∗ 20.
· центрированная точка (старая британская десятичная точка); указывает нумерованное предложение в порядке: первая цифра (все 0, предшествующие всем 1 и т. д.), затем вторая цифра и т. д. Первые определения и предложения ∗ 1 иллюстрируют этот «лексикографический» порядок: 1 · 01, 1 · 1, 1 · 11, 1 · 2, 1 · 3, 1 · 4, 1 · 5, 1 · 6, 1 · 7, 1 · 71, 1 · 72.
(Vdash) знак утверждения; указывает на утверждение, либо аксиома (т. е. примитивное суждение, которое также обозначается как «(Pp)»), либо теорема.
(Df) знак определения; следует определению
(.), \(:), \(:.), \(::), и т.д. точки, используемые для разграничения знаков препинания; в современной логике мы используем (), , ({ }) и т. д.
(p, q, r) и т. д. являются пропозициональными переменными.
(lor), (supset), (osim), (эквивалент), (sdot) являются знакомыми связными предложениями, соответствующими «или», «если-тогда», «нет», «тогда и только тогда» и «и» соответственно. [Во втором издании ПМ, 1925–27, инсульт Шеффера «(mid)» является единственным примитивным соединительным звеном. Это означает «не оба… и _».]
(x, y, z) и т. д. это отдельные переменные, которые должны читаться с «типичной неоднозначностью», т. е. с их логическими типами, которые необходимо заполнить (см. ниже).
(a, b, c) и т. д. являются индивидуальными константами и обозначают индивидуумов (самого низкого типа). Это происходит только во введении в личку, а не в официальной системе.
(xRy, aRb, R (x)) и т. д. являются атомарными предсказаниями, в которых объекты, названные переменными или константами, находятся в отношении (R) или имеют свойство (R). Это происходит только во введении. «(A)» и «(b)» встречаются как константы только во втором издании. Предсказания (R (x), R (x, y)) и т. Д. Используются только во втором издании.
(phi), (psi), (chi) и т. д., и (f, g) и т. д. переменные, которые располагаются над пропозициональными функциями, независимо от того, являются ли эти функции простыми или сложными.
(phi x), (psi x), (phi (x, y)) и т. д. открытые атомарные формулы, в которых «(x)» и «(phi)» свободны. [Альтернативная интерпретация - рассматривать «(phi x)» как схематическую букву, обозначающую формулу, в которой переменная «(x)» свободна.]
(Шляпа { фантом {х}}) огибающий; при размещении над переменной в открытой формуле (как в «(phi / hat {x})») получается термин для функции. [Это спорный вопрос. См. Landini 1998.] Когда переменная, обведенная окружностью, предшествует сложной переменной, результат указывает на класс, как в (hat {x} phi x).
(phi / hat {x}, / psi / hat {x}, / phi (hat {x}, / hat {z}),) и т. д. Условия для пропозициональных функций. Вот примеры таких терминов, которые являются постоянными: «(hat {x}) счастлив», «(hat {x}) лыс, а (hat {x}) счастлив», «(4 / lt / hat {x} lt 6)» и т. Д. Если мы применим, например, функцию «(hat {x}) лысая и (hat {x} ») счастлив »для конкретного человека (b), в результате получается утверждение« (b) является лысым и (b) счастлив ".
(существует) и ()

являются квантификаторами «существует» и «для всех» («каждый») соответственно. Например, где (phi x) - простая или сложная открытая формула,

((существует х) фи х) утверждает «Существует такое (x), что (phi x)»
((существует / phi) phi x) утверждает «Существует пропозициональная функция (phi) такая, что (phi x)»
((х) фи х) утверждает «Каждый (x) таков, что (phi x)»
((phi) phi x) утверждает «Каждая пропозициональная функция (phi) такова, что (phi x)»

[Они были использованы Пеано. Совсем недавно (forall) был добавлен для симметрии с (exist). Некоторые ученые видят количественные показатели ((phi)) и ((существует / phi)) как замещающие.]

(phi x / supset_x / psi x)

(phi x / эквивалент_x / psi x)

Это обозначение, которое используется для сокращения универсально количественных переменных. В современных обозначениях они становятся (forall x (phi x / supset / psi x)) и (forall x (phi x / эквиваленты / psi x)) соответственно. См. Определения для этой записи в конце Раздела 3.2 ниже.
(Бах) произносится «визг»; указывает, что функция является предикативной, как в (phi / bang x) или (phi / bang / hat {x}). Смотрите Раздел 7.
знак равно символ личности; выражает идентичность, которая является определенным понятием в PM, а не примитивным, как в современной логике.
(Atoi) читать как «the»; является инвертированным оператором йоты или описания и используется в выражениях для определенных описаний, таких как ((atoi x) phi x) (что читается как (x) такой, что (phi x)).
(((atoi x) phi x)] определенное описание в скобках; это индикатор объема для определенных описаний.
(E / bang) определяется в ∗ 14 · 02, в контексте (E / bang (atoi x) phi x), что означает, что описание ((atoi x) phi x) является правильным, т. е. ровно один (phi).
(Существует / Взрыв) определяется в * 24 · 03 в контексте (exist / bang / alpha), что означает, что класс (alpha) непустой, т. е. имеет член.

3. Использование точек для пунктуации

Непосредственным препятствием для чтения PM является незнакомое использование точек для пунктуации вместо более распространенных скобок и скобок. Система точна и может быть изучена с небольшой практикой. Использование точек для пунктуации не является уникальным для PM. Возникший с Пеано, он позже использовался в работах Алонзо Черча, В. В. Куайна и других, но сейчас он в значительной степени исчез. (Использование точек, представляющих некоторый исторический интерес, поскольку Алан Тьюринг изучал использование точек с вычислительной точки зрения в 1942 году, предположительно, в свободное время после дня, проведенного в Блетчли-Парке, взламывая коды машины Загадки.) Лучший способ научиться использовать его - это посмотреть на несколько примеров, которые переводятся в формулы с использованием скобок, и, таким образом, получить представление об этом. Ниже приводится объяснение, представленное в PM, стр. 9–10,сопровождаемый рядом примеров, которые иллюстрируют каждый из его пунктов:

Использование точек. Точки на линии символов имеют два использования, одно для скобок предложений, другое для обозначения логического произведения двух предложений. Точкам, непосредственно предшествующим или сопровождаемым «(lor)» или «(supset)», или «(эквивалент)», или «(vdash)», или «((x)) »,« ((X, y)) »,« ((x, y, z)) »… или« ((существует x)) »,« ((существует x, y)) »,« ((существует x, y, z)) »… или« ([(atoi x) (phi x)]) »или« ([R'y]) »Или аналогичные выражения, служат для заключения предложения; возникающие в противном случае точки служат для обозначения логического продукта. Общий принцип заключается в том, что большее число точек обозначает внешнюю скобку, меньшее число обозначает внутреннюю скобку. Точное правило в отношении размера скобки, обозначенной точками, достигается путем разделения точек на три группы, которые мы назовем I, II и III. Группа I состоит из точек, примыкающих к знаку импликации ((supset)) или эквивалентности ((эквив)) или дизъюнкции (lor)) или равенства по определению ((= = Df)). Группа II состоит из точек, следующих за скобками, обозначающих кажущуюся переменную, таких как ((x)) или ((x, y)) или ((существует x)) или ((существует x, y)) или ([(atoi x) (phi x)]) или аналогичные выражения. Группа III состоит из точек, которые стоят между предложениями для обозначения логического продукта. Группа I имеет большую силу, чем Группа II, и Группа II, чем Группа III. Область скобки, обозначенная любой совокупностью точек, простирается назад или вперед за пределы любого меньшего числа точек или любого равного числа из группы меньшей силы,пока мы не достигнем ни конца утвержденного предложения, ни большего числа точек или равного числа, принадлежащего группе равной или превосходящей силы. Точки, обозначающие логическое произведение, имеют область действия, которая работает как вперед, так и вперед; другие точки работают только от соседнего знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности или вперед от смежного символа одного из других видов, перечисленных в группе II. Некоторые примеры будут служить для иллюстрации использования точек. (PM, 9–10)

3.1 Некоторые основные примеры

Рассмотрим следующую серию расширенных примеров, в которых мы рассматриваем предложения в PM, а затем обсуждаем, как переводить их шаг за шагом в современные обозначения. (Символы ниже иногда используются как названия для себя, таким образом избегая некоторых других необходимых кавычек. Рассела часто обвиняют в путанице в использовании и упоминании, поэтому в этой практике вполне может быть некоторая опасность.)

Пример 1

(tag * {∗ 1 · 2} { vdash} двоеточие p / lor p / ldot { supset} ldot p / quad / Pp)

Это второе утверждение «звезды» 1. На самом деле это аксиома или «примитивное предложение», обозначенное «(Pp)». То, что это утверждение (аксиома или теорема), а не определение, указывается с помощью «(vdash)». (В отличие от этого, определение опускает знак утверждения, но заканчивается знаком «(Df)».) Теперь первым шагом в процессе перевода ∗ 1 · 2 в современные обозначения является заметка двоеточия. Напомним, из приведенного выше отрывка, что «большее количество точек указывает на внешнюю скобку, меньшее число указывает на внутреннюю скобку». Таким образом, двоеточие здесь (которое состоит из большего числа точек, чем одиночных точек, встречающихся на линии в ∗ 1 · 2), представляет собой внешнюю скобку. Итак, первый шаг - перевести ∗ 1 · 2 в:

(vdash [p / lor p / ldot { supset} ldot p])

Таким образом, скобки «[» и «]» представляют двоеточие в ∗ 1 · 2. Область двоеточия, таким образом, простирается за любое меньшее число точек (то есть одну точку) до конца формулы. Поскольку формулы читаются слева направо, выражение «прошлое» означает «справа от».

Далее, точки вокруг «(supset)» представлены в современных обозначениях круглыми скобками вокруг предшествующего и последующего. Напомним, в приведенном выше отрывке мы находим «… точки работают только вдали от смежного знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности…». Таким образом, следующим шагом в процессе перевода является переход к формуле: (vdash [(p / lor p) supset (p)])

Наконец, стандартные современные соглашения позволяют нам удалять внешние скобки и скобки вокруг отдельных букв, получая:

(vdash (p / lor p) supset p)

Наш следующий пример включает в себя конъюнкцию, которая указывается простым сопоставлением атомарных предложений или с точкой, когда можно рассмотреть экземпляр подстановки, как в определении конъюнкции в следующем:

Пример 2

(tag * {∗ 3 · 01} p / sdot q / ldot {=} ldot / osim (osim p / lor / osim q) quad / Df)

Здесь у нас есть случай, в котором встречаются точки, указывающие как «логическое произведение» (т. Е. Соединение), так и разделительные скобки. В качестве первого шага в переводе ∗ 3 · 01 в современную запись мы заменяем первую точку на амперсанд (и соответствующие разделители области видимости) и заменяем «(ldot {=} ldot)» на «(= _ {df})”, чтобы получить:

[(p / amp q) = _ {df} (osim (osim p / lor / osim q)])

Вышеприведенный шаг ясно иллюстрирует, как «точка, обозначающая логический продукт, имеет область действия, которая работает как вперед, так и вперед». Обратите внимание, что первая точка в ∗ 3 · 01, т. Е. Между (p) и (q), действительно необязательна, учитывая приведенную выше цитату из PM. Тем не менее, поскольку иногда нам может понадобиться заменить целые формулы на (p) и (q), точка указывает на степень замещенных формул. Таким образом, мы могли бы иметь в качестве экземпляра замещения: (r / lor s / sdot q / supset s) (в записи PM) или ((r / lor s) amp (q / supset s)) (в современной символике).

Наконец, наши современные условные обозначения позволяют нам исключить внешние скобки из дефинидума и скобки «[» и «]» из определений, что приводит к:

[p / amp q = _ {df} osim (osim p / lor / osim q))

Обратите внимание, что область действия знака отрицания «(osim)» в ∗ 3 · 01 не указывается точками даже в системе PM, а скорее требует скобок.

Пример 3

(tag * {∗ 9 · 01} osim {(x) sdot / phi x } ldot {=} ldot (существует x) sdot / osim / phi x / quad / Df)

Если мы применяем правило «точки работают только от соседнего знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности или вперед от смежного символа одного из других видов, перечисленных в группе II» (где группа II включает «((существует x))”), тогда современным эквивалентом будет: (osim (x) phi x = _ {df} (существует x) osim / phi x) или (osim / forall x / phi x = _ {df} существует x / osim / phi x)

3.2 Сила Связи

Ранжирование связующих по относительной «силе» или объему является стандартным соглашением в современной логике. Если нет явных круглых скобок для обозначения области действия связки, то те, которые имеют приоритет в ранжировании, считаются главной связкой, и так далее для подформул. Таким образом, вместо формулировки следующего закона Деморгана как громоздкого:

[(osim p) lor (osim q)] эквивалент (osim (p / amp q)])

мы сейчас пишем это как:

(osim p / lor / osim q / equ / osim (p / amp q))

Эта более простая формулировка естественна, потому что (эквив) имеет приоритет над (имеет более широкий «охват», чем) (lor) и &, а последние имеют приоритет над (osim). Действительно, круглые скобки часто не нужны вокруг (экв.), Учитывая дальнейшее соглашение, согласно которому (экв.) Имеет приоритет над (supset). Таким образом, формула (p / supset q / экв. / Osim p / lor q) становится однозначной. Мы могли бы представить эти соглашения, перечислив соединительные элементы в группах с самыми широкими областями сверху:

(begin {array} {c} equ \\ / supset \\ / amp, / lor \\ / osim / end {array})

Однако для Уайтхеда и Рассела символы (supset), (экв), (lor) и (ldots = / ldots / Df) в группе I имеют одинаковую силу, Группа II состоит из выражений привязки переменных, квантификаторов и индикаторов области действия для определенных описаний, а Группа III состоит из соединений. Отрицание ниже всего этого. Так что рейтинг в личке будет:

(begin {array} {c} supset, / экв, / lor / text {и} ldots = / ldots / quad / Df \(x), (x, y) ldots (существует x), (существует x, y) ldots [(atoi x) phi x] / p / sdot q / quad / text {(связное)} / \ osim / end {array})

Вот что, по-видимому, имеют в виду Уайтхед и Рассел, когда говорят: «Группа I обладает большей силой, чем Группа II, и Группа II, чем Группа III». Учтите следующее:

Пример 4

(tag * {∗ 3 · 12} { vdash} двоеточие / osim p / ldot { lor} ldot / osim q / ldot { lor} ldot p / sdot q)

Эта теорема иллюстрирует, как прочитать несколько использований одного и того же количества точек в одной формуле. Группировка «ассоциируется слева» как для точек, так и для ряда дизъюнкций, в соответствии с соглашением о чтении слева направо и определением:

(tag * {∗ 2 · 33} p / vee q / vee r / ldot {=} ldot (p / vee q) vee r / quad / Df)

Таким образом, в ∗ 3 · 12 первые две точки вокруг (lor) просто «работают» от связки. Второй «расширяется» до тех пор, пока не встретится со следующим из того же числа (третья одиночная точка). Эта третья точка и четвертая «работают» от второй (lor), а последняя точка указывает на соединение с самой узкой областью действия. Результат, сформулированный со всеми возможными пунктуациями для максимальной ясности:

({[(osim p) lor (osim q)] lor (p / amp q) })

Если мы используем все стандартные соглашения для удаления скобок, это становится:

[(osim p / lor / osim q) lor (p / amp q))

Это иллюстрирует отрывок в приведенной выше цитате, который гласит: «Сфера скобки, обозначенная любой совокупностью точек, распространяется назад или вперед за пределы любого меньшего числа точек или любого равного числа из группы с меньшей силой, пока мы не достигнем конца. утвержденного предложения или большего числа точек или равного числа, принадлежащего группе равной или превосходящей силы.

Прежде чем мы рассмотрим более широкий диапазон примеров, подробный пример, включающий количественные переменные, окажется поучительным. Уайтхед и Рассел следуют практике Пеано по выражению универсально выраженных количественных условных выражений (таких как «Все (phi) s являются (psi) s») со связанной переменной, подписанной под условным знаком. Аналогично с универсально определенными бикондиционами («Все и только (phi) s есть (psi) s»). То есть выражения «(phi x / supset_x / psi x)» и «(phi x / эквивалент_x / psi x)» определены следующим образом:

(tag * {∗ 10 · 02} phi x / supset_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / supset / psi x / quad / Df) (tag * {∗ 10 · 03} phi x / экв_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / эквивалент / psi x / quad / Df)

и соответствуют следующим более современным формулам соответственно:

(forall x (phi x / supset / psi x)) (forall x (phi x / эквивалент / psi x))

В качестве упражнения читатель может быть склонен сформулировать строгий алгоритм для преобразования PM в конкретную современную символику (с условными обозначениями для удаления скобок), но лучший способ изучить систему - это просмотреть еще несколько примеров переводов, а затем просто начните читать формулы напрямую.

3.3 Еще примеры

В приведенных ниже примерах за каждым номером формулы следует сначала обозначение Principia, а затем его современный перевод. Обратите внимание, что в ∗ 1 · 5 скобки используются для пунктуации в дополнение к точкам. (Примитивные предложения ∗ 1 · 2, ∗ 1 · 3, ∗ 1 · 4, ∗ 1 · 5 и ∗ 1 · 6 вместе составляют аксиомы логики высказываний в PM.) Было показано, что предложение ∗ 1 · 5 является избыточным Пол Бернайс в 1926 году. Он может быть выведен из соответствующих примеров других и правила modus ponens.

* 1 · 3

({ vdash} двоеточие q / ldot { supset} ldot p / lor q / quad / Pp)

(q / supset p / lor q)

* 1 · 4

({ vdash} двоеточие p / lor q / ldot { supset} ldot q / lor p / quad / Pp)

(p / lor q / supset q / lor p)

* 1 · 5

({ vdash} двоеточие p / lor (q / lor r) ldot { supset} ldot q / lor (p / lor r) quad / Pp)

(p / lor (q / lor r)) supset q / lor (p / lor r))

* 1 · 6

({ vdash} colondot q / supset r / ldot { supset} двоеточие p / lor q / ldot { supset} ldot p / lor r / quad / Pp)

((q / supset r) supset (p / lor q / supset p / lor r))

* 2 · 03

({ vdash} двоеточие p / supset / osim q / ldot { supset} ldot q / supset / osim p)

((p / supset / osim q) supset (q / supset / osim p))

* 3 · 3

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot r / colon { supset} colon p / ldot { supset} ldot q / supset r)

([(p / amp q) supset r] supset [p / supset (q / supset r)])

* 4 · 15

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot / osim r / colon { экв} colon q / sdot r / ldot { supset} ldot / osim p)

(p / amp q / supset / osim r / эквивалент q / amp r / supset / osim p)

* 5 · 71

({ vdash} colondot q / supset / osim r / ldot { supset} двоеточие p / lor q / sdot r / ldot { экв.} ldot p / sdot r)

((q / supset / osim r) supset [(p / lor q) amp r / эквивалента p / amp r])

* 9 · 04

(p / ldot { lor} ldot (x) ldot / phi x / colon {=} ldot (x) ldot / phi x / lor p / quad / Df)

(p / lor / forall x / phi x = _ {df} forall x (phi x / lor p))

* 9 · 521

({ vdash} colons (существует x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot q / colon { supset} colondot (существует x) ldot / phi x / ldot { lor } ldot r / colon { supset} ldot q / lor r)

(((существует x / phi x) supset q] supset [((существует x / phi x) lor r) supset (q / lor r))]

* 10 · 55

({ vdash} colondot (существует x) ldot / phi x / sdot / psi x / двоеточие / phi x / supset_x / psi x / двоеточие { экв}} x / colon / phi x / supset_x / psi x)

(существует x (phi x / amp / psi x) amp / forall x (phi x / supset / psi x) эквивалент / существует x / phi x / amp / forall x (phi x / supset / psi x))

4. Пропозициональные функции

В PM есть два вида функций. Пропозициональные функции, такие как «(hat {x}) - натуральное число», следует отличать от более знакомых математических функций, которые называются «описательными функциями» (PM, 31). Описательные функции определяются с использованием отношений и определенных описаний. Примерами описательных функций являются (x + y) и «наследник (n)».

Сосредоточив внимание на пропозициональных функциях, Уайтхед и Рассел различают выражения со свободной переменной (например, «(x) больно») и названиями функций (например, «(hat {x}) больно») (ПМ, 14–15). Предложения, которые вытекают из формулы путем присвоения допустимых значений свободной переменной «x», называются «неоднозначными значениями» функции. Выражения, использующие нотацию кругового отражения, такие как (phi / hat {x}), встречаются только в вводном материале в технических разделах ПМ, а не в самих технических разделах (за исключением разделов по теории классов), побуждая некоторых ученых сказать, что такие выражения на самом деле не встречаются в формальной системе PM. Эта проблема отличается от той, которая связана с интерпретацией таких символов. Являются ли они «операторами формирования терминов», которые превращают открытую формулу в имя для функции, или просто синтаксическим устройством, заполнителем, для указания переменной, для которой замена может быть сделана в открытой формуле? Если их следует рассматривать как операторы, формирующие термины, современные обозначения для (phi / hat {x}) были бы «(lambda x / phi x)». Обозначение (lambda) - имеет то преимущество, что оно ясно показывает, что переменная (x) связана с оператором формирования терминов (lambda), который принимает предикат (phi) и дает термин (lambda x / phi x) (который в некоторых логиках является единичным термином, который может встречаться в позиции субъекта предложения, в то время как в других логиках это сложное предикативное выражение). В отличие от (lambda) - нотации, нотация PM с использованием кругового сплетения не может указывать область действия. Выражение функции «(phi (hat {x},\ hat {z}))”является неоднозначным между« (lambda x / lambda y / phi xy) »и« (lambda y / lambda x / phi xy) », без какого-либо дополнительного соглашения. Действительно, Уайтхед и Рассел указали это соглашение для отношений расширения (на стр. 200 во вводном материале ∗ 21, в терминах порядка переменных), но неоднозначность, которую он выявил наиболее четко, используя (lambda) нотация: первая обозначает отношение бытия (x) и (y), такого что (phi xy), а вторая обозначает обратное отношение бытия a (y) и (x) такой, что (phi xy).но неоднозначность, которую он выявил наиболее четко, используя обозначение (lambda): первое обозначает отношение быть (x) и (y) таким, что (phi xy), а второе обозначает обратное соотношение бытия (y) и (x) таких, что (phi xy).но неоднозначность, которую он выявил наиболее четко, используя обозначение (lambda): первое обозначает отношение быть (x) и (y) таким, что (phi xy), а второе обозначает обратное соотношение бытия (y) и (x) таких, что (phi xy).

5. Отсутствующие обозначения для типов и заказов

В этом разделе объясняются обозначения, которых нет в Principia Mathematica. За исключением некоторых обозначений «относительных» типов в томе II, в Principia Mathematica классно отсутствуют символы для типов! Предложения, как правило, следует воспринимать как «обычно неоднозначные» и, таким образом, обозначающие выражения для целого ряда типов, и, таким образом, как нет индивидуальных или предикатных констант, так и не существует конкретных функций какого-либо конкретного типа. Так что не только никто не видит, как символизировать аргумент:

Все люди смертны

Сократ - человек

Поэтому Сократ смертелен

но также нет указания на логический тип функции «(hat {x}) смертелен». Проект PM должен сводить математику к логике, и часть логики, лежащей в основе этого проекта, состоит в том, что логические истины являются полностью общими. Таким образом, вывод истин математики из определений и истин логики не будет включать какие-либо конкретные константы, кроме тех, которые вводятся по определению из чисто логического понятия. В результате в PM нет обозначений для описания этих типов. Те из нас, кто хочет рассматривать PM как логику, которую можно применить, должны дополнить ее некоторыми указаниями типов.

Читатели должны отметить, что объяснение типов, изложенное ниже, не будет соответствовать утверждениям о типах в тексте PM. Алонзо Черч [1976] разработал простую, рациональную реконструкцию обозначений как для простой, так и разветвленной теории типов, как подразумевается в тексте PM. (Существуют альтернативные, эквивалентные обозначения для теории типов.) Полная теория может рассматриваться как развитие простой теории типов.

5.1 Простые типы

Определение простых типов может быть дано следующим образом:

  • (йота) (греческая йота) - это тип для индивида.
  • Если (tau_1, / ldots, / tau_n) - любые типы, то (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_n) urcorner) - это тип пропозициональной функции, аргументы которой имеют типы (tau_1, / ldots, / tau_n) соответственно.
  • (ulcorner) () (urcorner) - это тип предложений.

Вот несколько интуитивно понятных способов понять определение типа. Предположим, что «Сократ» называет человека. (Мы здесь игнорируем рассмотренное мнение Рассела о том, что такие обычные люди на самом деле являются классами классов чувственных данных и т. Д. Гораздо более высокого типа.) Тогда индивидуальная константа «Сократ» будет иметь тип (iota). Монадическая пропозициональная функция, которая принимает индивидов в качестве аргументов, имеет тип ((iota)). Предположим, что «смертный» является предикатом, выражающим такую функцию. Функция «(hat {x}) смертна» также будет иметь тип ((iota)). Двухместное или бинарное отношение между людьми имеет тип ((iota, / iota)). Таким образом, выражение отношения типа «родительский элемент» и функция «(hat {x}) является родительским элементом для (hat {z})» будет иметь тип ((iota, / iota)).

Пропозициональные функции типа ((iota)) часто называют «первым порядком»; отсюда и название «логика первого порядка» для знакомой логики, где переменные располагаются только над аргументами функций первого порядка. Монадическая функция аргументов типа (tau) имеет тип ((tau)), поэтому функции таких функций имеют тип (((tau))). «Логика второго порядка» будет иметь переменные для аргументов таких функций (а также переменные для отдельных лиц). Бинарные отношения между функциями типа (tau) имеют тип ((tau, / tau)) и т. Д. Для отношений, имеющих более 2 аргументов. Смешанные типы определены выше. Отношение между индивидом и суждением (например, (hat {x}) считает, что (hat {P}) ») будет иметь тип ((iota), ()).

5.2 Разветвленные типы

Чтобы построить нотацию для полной разветвленной теории типов PM, другая часть информации должна быть закодирована в символах. Черч называет полученную систему одним из r-типов. Основная идея разветвленных типов заключается в том, что любая функция, определенная с помощью количественного определения функций некоторого данного типа, должна иметь более высокий «порядок», чем эти функции. Чтобы использовать пример Рассела:

(hat {x}) обладает всеми качествами, которыми обладают великие генералы

является функцией, действительной для индивидов (то есть индивидов), и с точки зрения простой теории типов она имеет тот же простой логический тип, что и конкретные качества индивидов (такие как храбрость и решительность). Однако в теории разветвленных типов указанная выше функция будет более высокого порядка, чем эти особые качества индивидов, поскольку в отличие от этих конкретных качеств она включает количественную оценку этих качеств. Таким образом, в то время как выражение «(hat {x}) является смелым» обозначает функцию r-типа ((iota) / 1), выражение «(hat {x}) имеет все качества, которыми обладают великие полководцы », будут иметь r-тип ((iota) / 2). В этих r-типах число после «/» указывает уровень функции. Порядок функций будет определен и вычислен с учетом следующих определений.

Черч определяет r-типы следующим образом:

  • (йота) (греческая йота) - это r-тип для индивида.
  • Где (tau_1, / ldots, / tau_m) - любые r-типы, (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_m) / n / urcorner) - r-тип; это r-тип (m) - любой пропозициональной функции уровня (n), которая имеет аргументы r-типов (tau_1, / ldots, / tau_m).

Порядок сущности определяется следующим образом (здесь мы больше не следуем Черчу, поскольку он определяет порядки для переменных, т. Е. Выражений, а не порядки для вещей, которые варьируются в переменных):

  • порядок индивида (r-типа (iota)) равен 0,
  • порядок функции r-типа ((tau_1, / ldots, / tau_m) / n) равен (n + N), где (N) - наибольший из порядка аргументов (tau_1, / ldots, / tau_m).

Эти два определения дополняются принципом, который идентифицирует уровни конкретных определенных функций, а именно, что уровень определенной функции должен быть на один уровень выше, чем у объекта высшего порядка, имеющего имя или переменную, которые появляются в определении этой функции.

Чтобы увидеть, как эти определения и принципы могут быть использованы для вычисления порядка функции «(hat {x}) обладает всеми качествами, которыми обладают великие генералы», отметим, что функцию можно представить следующим образом, где «(x, y)”- переменные, варьирующиеся по индивидам r-типа (iota) (порядок 0),« GreatGeneral ((y)) »- это предикат, обозначающий пропозициональную функцию r-типа ((iota) / 1) (и так порядка 1), а «(phi)» - это переменная, варьирующаяся по пропозициональным функциям r-типа ((iota) / 1) (и так далее порядок 1) такие как великий генерал, храбрость, лидерство, мастерство, предвидение и т.д.:

[(phi) {[(y) (textrm {GreatGeneral} (y) supset / phi (y)] supset / phi / hat {x} })

Прежде всего отметим, что с учетом вышеуказанного принципа r-тип этой функции ((iota) / 2); уровень равен 2, потому что уровень r-типа этой функции должен быть на единицу выше, чем самый высокий порядок любой сущности, названной (или в диапазоне используемой переменной) в определении. В этом случае обозначение GreatGeneral и диапазон переменной «(phi)» имеют порядок 1, и никакие другие выражения или имена не входят в сущность более высокого порядка. Таким образом, уровень функции, названной выше, определен равным 2. Наконец, мы вычисляем порядок функции, обозначенной выше, как она была определена: сумма уровня плюс наибольший из порядков аргументов вышеупомянутой функции. Поскольку единственными аргументами в вышеприведенной функции являются индивидуумы (порядка 0), порядок нашей функции равен всего 2.

Количественное определение функций r-типа ((tau) / n) порядка (k) в определении новой функции дает функцию r-типа ((tau) / n + 1) и так функция на порядок выше, (k + 1). Таким образом, два вида функций могут быть второго порядка: (1) функции функций первого порядка частных лиц, r-типа (((iota) / 1) / 1) и (2) функций типа r ((iota) / 2), например, наш пример «(hat {x}) обладает всеми качествами, которыми обладают великие генералы». Этот последний будет функцией, действительной для отдельных людей, таких как Наполеон, но более высокого порядка, чем простые функции, такие как «(hat {x}) является храбрым», которые имеют r-тип ((iota) / 1).

Логики сегодня используют другое понятие «порядок». Сегодня логика первого порядка - это логика с индивидуальными переменными. Логика второго порядка - это логика с переменными как для отдельных лиц, так и для свойств отдельных лиц. Логика третьего порядка - это логика с переменными для индивидов, свойствами индивидов и свойствами свойств индивидов. И так далее. В отличие от этого, Черч назвал бы эти логики соответственно логикой функций типов ((iota) / 1) и ((iota, / ldots, / iota) / 1) логикой функций типов (((iota) / 1) / 1) и (((iota, / ldots, / iota) / 1, / ldots, (iota, / ldots, / iota) / 1) / 1) и логика функций типов ((((iota) / 1) / 1) / 1) и т. Д. (Т. Е. Функции первого уровня функций предшествующего типа). Учитывая определения Черча, это логика функций первого, второго и третьего порядка,соответственно совпадая с современной терминологией «(n)го -ой обобщенной логики».

6. Переменные

Как упоминалось ранее, в формальной системе PM нет индивидуальных или предикатных констант, только переменные. Во введении, однако, используется пример «(a), стоящий в отношении (R) к (b)» при обсуждении атомных фактов (PM, 43). Хотя «(R)» позднее используется как переменная, которая распространяется на отношения в расширении, а «(a, b, c, / ldots)» являются отдельными переменными, давайте временно добавим их в систему в качестве предиката и индивидуальные константы, соответственно, чтобы обсудить использование переменных в PM.

PM специально использует различие между «реальными» или свободными переменными и «видимыми» или связанными переменными. Поскольку «(x)» является переменной, «(xRy)» будет атомарной формулой в нашем расширенном языке с действительными переменными «(x)» и «(y)». Когда такие формулы объединяются с пропозициональными связками (osim), (lor) и т. Д., Результатом является матрица. Например, «(aRx / ldot { lor} ldot xRy)» будет матрицей.

Как мы видели ранее, существуют также переменные, которые располагаются над функциями: «(phi), (psi), (ldots, f, g)» и т. Д. Выражение «(phi x) », таким образом, содержит две переменные и обозначает предложение, в частности, результат применения функции (phi) к индивидууму (x).

Теоремы изложены с действительными переменными, что придает им особое значение в теории. Например, (tag * {∗ 10 · 1} vdash / colon (x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Pp)

является основной аксиомой количественной теории PM. В этом примитивном предложении переменные «(phi)» и «(y)» являются действительными (свободными), а «(x)» является очевидным (связанным). Поскольку в системе нет констант, это самое близкое к тому, что PM приходит к правилу универсальной реализации.

Уайтхед и Рассел интерпретируют «((x) sdot / phi x)» как «суждение, которое утверждает все значения для (phi / hat {x})» (PM 41). Использование слова «все» имеет особое значение в теории типов. Они представляют «принцип порочного круга», который лежит в основе теории типов, утверждая, что

… как правило, учитывая любой набор объектов, такой, что, если мы предположим, что набор имеет сумму, он будет содержать элементы, которые предполагают эту сумму, то такой как set не может иметь сумму. Говоря о том, что в наборе «нет итогов», мы имеем в виду, прежде всего, то, что нельзя сказать о «всех его членах». (PM, 37)

В частности, тогда количественное выражение, поскольку оно говорит о «всех» членах совокупности, должно охватывать определенный логический тип, чтобы соблюдать принцип порочного круга. Таким образом, при интерпретации связанной переменной мы должны предполагать, что она охватывает определенный тип сущности, и поэтому типы должны присваиваться другим сущностям, представленным выражениями в формуле, в соответствии с теорией типов.

Однако возникает вопрос, когда понимаешь, что утверждения примитивных высказываний и теорем в PM, такие как ∗ 10 · 1, считаются «типично неоднозначными» (т. Е. Неоднозначными по отношению к типу). Эти операторы на самом деле являются схематичными и представляют все возможные конкретные утверждения, которые могут быть получены из них путем соответствующей интерпретации типов. Но если такие операторы, как ∗ 10 · 1, являются схемами и все же имеют связанные переменные, как мы можем назначать типы объектам, в которые попадают связанные переменные? Ответ заключается в том, чтобы сначала решить, к какому типу относятся свободные переменные в выражении. Например, если предположить, что переменная (y) в ∗ 10 · 1 распространяется на отдельных лиц (типа (iota)), то переменная (phi) должна располагаться на функциях типа ((йота) / n), для некоторых (n). Тогда связанная переменная (x) также будет охватывать отдельных лиц. Если, однако, мы предполагаем, что переменная (y) в ∗ 10 · 1 распространяется на функции типа ((iota) / 1), то переменная (phi) должна располагаться на функциях типа (((iota) / 1) / m), для некоторых (m). В этом случае связанная переменная (x) будет охватывать функции типа ((iota) / 1).

Таким образом, (y) и (phi) называются «действительными» переменными в ∗ 10 · 1 не только потому, что они свободны, но и потому, что они могут охватывать любой тип. Уайтхед и Рассел часто говорят, что реальные переменные используются для неоднозначного обозначения «любого» их экземпляров, в то время как связанные переменные (которые также неоднозначно обозначают) распространяются на «все» их экземпляры (в рамках законной совокупности, то есть типа).

7. Предикативные функции и идентичность

Восклицательный знак «!» после переменной для функции и предшествующего аргумента, как в «(f / bang / hat {x})», «(phi / bang x)», «(phi / bang / hat { x})”, указывает на то, что функция является предикативной, то есть самого низкого порядка, который может применяться к ее аргументам. В нотации Черча это означает, что все предикативные функции относятся к первому уровню с типами вида ((ldots) / 1). В результате, предикативные функции будут иметь порядок на один порядок выше, чем любой из их аргументов. Этот анализ основан на цитатах, подобных следующему, во введении к PM:

Мы определим функцию одной переменной как предикативную, когда она имеет следующий порядок выше, чем у ее аргумента, то есть самого низкого порядка, совместимого с тем, что у нее есть этот аргумент. (PM, 53)

К сожалению, в кратком изложении ∗ 12 мы находим: «Предикативная функция - это функция, которая не содержит видимых переменных, т. Е. Является матрицей» [PM, 167]. Согласование этого утверждения с этим определением во введении является проблемой для ученых.

Чтобы увидеть пронзительную запись в действии, рассмотрите следующее определение идентичности:

(tag * {∗ 13 · 01} x = y / ldot {=} двоеточие (phi) двоеточие / phi / bang x / ldot { supset} ldot / phi / bang y / quad / Df]

То есть (x) тождественна (y) тогда и только тогда, когда (y) имеет каждую предикативную функцию (phi), которой обладает (x). (Конечно, второе вхождение «=» указывает на определение и не имеет самостоятельного значения. Это первое вхождение, связывающее индивидов (x) и (y), которое определено.)

Чтобы увидеть, как это определение сводится к более знакомому определению идентичности (для которых объекты идентичны, если они имеют одинаковые свойства), нам нужна Аксиома редуцируемости. Аксиома редуцируемости гласит, что для любой функции существует эквивалентная функция (т. Е. Одно истинное из всех одинаковых аргументов), которая является предикативной:

Аксиома редуцируемости: (tag * {∗ 12 · 1} vdash / двоеточие (существует f) двоеточие / phi x / ldot { экв_x} ldot f / bang x / quad / Pp)

Чтобы увидеть, как эта аксиома подразумевает более знакомое определение идентичности, обратите внимание, что более знакомое определение идентичности:

[x = y / ldot {=} двоеточие (phi) двоеточие / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Df)

для (phi) любого типа. (Обратите внимание, что это отличается от ∗ 13 · 01 тем, что визг больше не появляется.) Теперь, чтобы доказать это, предположим, что и ∗ 13 · 01, и аксиома сводимости, и предположим, для доказательства сокращением, что (x = y) и (phi x), а не (phi y), для некоторой функции (phi) произвольного типа. Тогда аксиома редуцируемости ∗ 12 · 1 гарантирует, что будет существовать предикативная функция (psi / bang), которая является экстенсивной с (phi) такой, что (psi / bang x), но не (psi / bang y), что противоречит ∗ 13 · 01.

8. Определенные описания

Перевернутая греческая буква йота «(atoi)» используется в PM, за которой всегда следует переменная, чтобы начать определенное описание. ((atoi x) phi x) читается как «(x) такой, что (x) есть (phi)», или, проще, как «the (phi \»)». Такие выражения могут встречаться в позиции субъекта, как в (psi (atoi x) phi x), читаемом как «(phi) is (psi)». Формальная часть знаменитой «теории определенных описаний» Рассела состоит из определения всех формул «… (psi (atoi x) phi x)…», в которых происходит описание. Чтобы отличить часть (psi) от остальной части большего предложения (обозначенного эллипсами выше), в котором встречается выражение (psi (atoi x) phi x), объем описания указано повторением определенного описания в скобках:

[(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x)

Понятие охвата предназначено для объяснения различия, которое Рассел классно обсуждает в «Об обозначении» (1905). Рассел говорит, что предложение «Нынешний король Франции не лысый» неоднозначно между двумя чтениями: (1) чтением, где говорится о нынешнем короле Франции, что он не лысый, и (2) чтением, в котором отрицается что нынешний король Франции лысый. Первое чтение требует, чтобы в списке вещей, которые не являются лысыми, присутствовал уникальный король Франции, тогда как во втором просто говорится, что в списке лысых вещей нет единственного короля Франции. Рассел говорит, что последнее, но не первое, может быть правдой в обстоятельствах, при которых нет короля Франции. Рассел анализирует это различие как предмет объема определенного описания, хотя, как мы увидим,некоторые современные логики склонны считать эту ситуацию предметом знака отрицания. Таким образом, Рассел вводит метод указания объема определенного описания.

Чтобы увидеть, как метод области действия Рассела работает в этом случае, мы должны понять определение, которое вводит определенные описания (т. Е. Инвертированный оператор йоты). Уайтхед и Рассел определяют:

(tag * {∗ 14 · 01} [(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x / ldot {=} двоеточие (существует b) двоеточие / phi x / ldot { экв_x} ldot x = b / двоеточие / psi b / quad / Df)

Такое определение называется контекстным определением, которое следует противопоставлять явным определениям. Явное определение описания определения должно выглядеть примерно так:

[(atoi x) (phi x) = / двоеточие / ldots / quad / Df)

который позволил бы заменить определенное описание в любом контексте на то, какое бы определение не заполняло многоточие. В отличие от этого, ∗ 14 · 01 показывает, как предложение, в котором встречается описание ((atoi x) (phi x)) в контексте (psi), может быть заменено каким-либо другим предложение (с участием (phi) и (psi)), которое эквивалентно. Чтобы разработать экземпляр этого определения, начните со следующего примера:

Пример.

Настоящий король Франции лысый.

Используя (PKFx) для представления пропозициональной функции нынешнего короля Франции и (B) для представления пропозициональной функции лысости, Уайтхед и Рассел представили бы вышеупомянутое утверждение как:

[(atoi x) (PKFx)] sdot B (atoi x) (PKFx))

что под * 14 · 01 означает:

[(существует b) двоеточие PKFx / ldot { экв_x} ldot x = b / двоеточие Bb)

На словах, есть один и только один (b), который является настоящим королем Франции и который является лысым. В современных символах, использующих нестандартно (b) в качестве переменной, это становится:

[(существует b) (forall x (PKFx / эквивалента x = b) amp Bb])

Теперь вернемся к примеру, который показывает, как различие в описании имеет значение:

Пример.

Настоящий король Франции не лысый.

Есть два варианта представления этого предложения.

[(atoi x) (Kx)] sdot / osim B (atoi x) (Kx))

и

(osim [(atoi x) (Kx)] sdot B (atoi x) (Kx))

В первом описание имеет «широкий» охват, а во втором описание имеет «узкий» объем. Рассел говорит, что описание имеет «первичное вхождение» в первом и «вторичное вхождение» во втором. Учитывая определение * 14 · 01, две формулы ПМ, приведенные выше, превращаются в примитивные обозначения в виде:

(begin {align} (существует b) двоеточие PKFx / экв._x x = b / двоеточие / osim Bb \\ / osim (существует b) двоеточие PKFx / экв._x x = b / двоеточие Bb / end {align})

В современных обозначениях они становятся:

(begin {align} существует x (forall y (PKFy / эквивалент y = x) amp / osim Bx] / \ osim / существует x (forall y (PKFy / эквивалент y = x) amp Bx] end {align})

Первый говорит, что есть один и только один объект, который является настоящим королем Франции и который не лыс; то есть точно есть один настоящий король Франции и он не лысый. Это чтение является ложным, учитывая, что нет настоящего короля Франции. Последний говорит, что дело не в том, что есть только один нынешний король Франции, лысый. Это чтение верно.

Хотя Уайтхед и Рассел воспринимают описания в этих примерах как выражения, имеющие область видимости, приведенные выше показания как в расширенной нотации PM, так и в современной нотации позволяют предположить, почему некоторые современные логики воспринимают разницу в показаниях здесь как вопрос объема знак отрицания.

9. Классы

Обводное число «ˆ» над переменной, предшествующей формуле, используется для обозначения класса, поэтому (hat {x} psi x) - это класс вещей (x), которые таковы, что (psi x). В современных обозначениях мы представляем этот класс как ({x / mid / psi x }), что читается как класс (x), такой, что (x) имеет (psi). Напомним, что «(phi / hat {x})» с окружностью над переменной после переменной-предиката выражает пропозициональную функцию того, чтобы быть (x) таким, что (phi x). В теории типов PM класс (hat {x} phi x) имеет тот же логический тип, что и функция (phi / hat {x}). Это делает целесообразным использование следующего контекстного определения, которое позволяет исключить термин класса (hat {x} psi x) из вхождений в контексте (f):(tag * {∗ 20 · 01} f { hat {z} (psi z) } ldot {=} двоеточие (существующие / phi) двоеточие / phi / bang x / ldot { coe_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} } quad / Df) или в современных обозначениях: [f {z / mid / psi z } = _ { df} существует / phi (forall x (phi x / эквив / psi x) amp f (lambda x / phi x)]) где (phi) - предикативная функция (x)

Обратите внимание, что (f) следует интерпретировать как функцию более высокого порядка, которая определяется функцией (phi / bang / hat {z}). В современной нотации, использованной выше, язык должен быть типизированным языком, в котором выражения (lambda) допускаются в позиции аргумента. Как указывалось позже (Chwistek 1924, Gödel 1944 и Carnap 1947), для выражений классов должны существовать индикаторы области действия так же, как и для определенных описаний. Например, Chwistek предложил скопировать обозначения для определенных описаний, заменив таким образом * 20 · 01 на:

[(hat {z} (psi z)] sdot f { hat {z} (psi z) } ldot {=} двоеточие (существующие / phi) двоеточие / phi / bang x / ldot { экв_x} ldot / psi x / двоеточие f { phi / bang / hat {z} })

Современные формализации теории множеств используют что-то вроде этих контекстных определений, когда им требуется теорема «существования» вида (Существует x / forall y (y / in x / эквивалентов / ldots y / ldots)), в чтобы оправдать введение единственного термина ({y / mid / ldots y / ldots }). (Учитывая закон экстенсиональности, из (существует x / forall y (y / in x / эквив / ldots y / ldots)) следует, что существует такое единственное множество.) Отношение принадлежности к классам (in) определяется в PM, сначала определяя аналогичные отношения между объектами и пропозициональными функциями: (tag * {∗ 20 · 02} x / in (phi / bang / hat {z}) ldot {=} ldot / phi / bang x / quad / Df) или, в современных обозначениях: [x / in / lambda z / phi z = _ {df} phi x)

∗ 20 · 01 и ∗ 20 · 02 вместе используются для определения более знакомого понятия принадлежности к классу. Формальное выражение «(y / in { hat {z} (phi z) })» теперь можно рассматривать как контекст, в котором встречается классовый термин; затем оно исключается контекстным определением * 20 · 01. (Упражнение)

В PM также есть греческие буквы для классов: (alpha, / beta, / gamma) и т. Д. Они будут отображаться в виде связанных (реальных) переменных, видимых (свободных) переменных и в рефератах для функций высказываний, истинных для классов, как в (phi / hat { alpha}). В тексте текста отображаются только определения связанных греческих переменных, остальные неформально определены во введении: (tag * {∗ 20 · 07} (alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) или, в современных обозначениях, (forall / alpha \, f / alpha = _ { df} forall / phi f {z / mid / phi z }) где (phi) - предикативная функция.

Таким образом, универсально квантифицированные переменные класса определяются в терминах квантификаторов, располагающихся над предикативными функциями. Аналогично для экзистенциального количественного определения: (tag * {∗ 20 · 071} (exist / alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (exist / phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) или, в современных обозначениях, (exist / alpha \, f / alpha = _ {df} exist / phi f {z / mid / phi z }) где (phi) - предикативная функция.

Определены выражения с греческой переменной слева от (in): (tag * {∗ 20 · 081} alpha / in / psi / bang / hat { alpha} ldot {=} ldot / psi / bang / alpha / quad / Df)

Эти определения не охватывают все возможные вхождения греческих переменных. Во введении к PM предложены дальнейшие определения (f / alpha) и (f / hat { alpha}), но отмечается, что определения в некотором роде своеобразны и их нет в Тело работы. Определение для (f / hat { alpha}):

[f / hat { alpha} ldot {=} ldot (exist / psi) sdot / hat { phi} bang x / эквивалент_x / psi / bang x / sdot f { psi / bang / hat {z} })

или, в современных обозначениях, (lambda / alpha \, f / alpha = _ {df} lambda / phi f {x / mid / phi x })

То есть (f / hat { alpha}) - это выражение, называющее функцию, которая переводит функцию (phi) в предложение, которое утверждает (f) класса (phi) s. (Современные обозначения показывают, что в предлагаемом определении (f / hat { alpha}) в обозначениях PM мы не должны ожидать (alpha) в определениях, поскольку это действительно связанная переменная в (f / hat { alpha}); аналогично, мы не должны ожидать (phi) в определении, потому что это определенная переменная в определениях.) Можно также ожидать определения типа ∗ 20 · 07 и ∗ 20 · 071 для случаев, когда римская буква «(z)» заменяется греческой буквой. Определения в PM, таким образом, не являются полными, но можно догадаться, как они будут расширены, чтобы охватить все вхождения греческих букв. Это завершило бы проект теории классов «без классов», показав, как все разговоры о классах могут быть сведены к теории пропозициональных функций.

10. Пролегомены в кардинальную арифметику

Хотя студенты-философы обычно читают не более ∗ 20 в PM, на самом деле это та точка, где действительно начинается «конструирование» математики. * 21 представляет «Общую теорию отношений» (теория отношений в расширении; в современной логике они рассматриваются как множества упорядоченных пар, следуя Винеру). (hat {x} hat {y} psi (x, y)) - это отношение между (x) и (y), которое получается, когда (psi (x, y)) правда. В современных обозначениях мы представляем это как набор упорядоченных пар ({ langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) }), который читается как набор упорядоченных пар (l x, y / rangle) такие, что (x) имеет отношение (psi) к (y).

Следующее контекстное определение (∗ 21 · 01) позволяет исключить термин отношения (hat {x} hat {y} psi (x, y)) из вхождений в контексте (f):

[f { hat {x} hat {y} psi (x, y) } ldot {=} colondot (exist / phi) colon / phi / bang (x, y) ldot { equ_ {x, y}} ldot / psi (x, x) двоеточие f { phi / bang (hat {u}, / hat {v}) } quad / Df)

или в современных обозначениях:

[f { langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) } = _ {df} существует / phi (forall xy (phi (x, y) эквивалент / psi (x), y)) amp f (lambda u / lambda v / phi (u, v))]

где (phi) - предикативная функция от (u) и (v).

Principia не анализирует отношения (или математические функции) в терминах наборов упорядоченных пар, а скорее использует понятие пропозициональной функции как примитив и определяет отношения и функции в терминах их. Буквы верхнего регистра ({R}, {S}) и ({T}) и т. Д. Используются после ∗ 21 для обозначения этих «отношений в расширении» и отличаются от пропозициональных функций тем, что написано между аргументами. Таким образом, это (psi (x, y)) с аргументами после символа пропозициональной функции, но (xRy). Из ∗ 21 функции «(phi) и (psi)» и т. Д. Исчезают и остаются только отношения в расширении, ({R}), ({S}) и ({T }) и т. д. появляются на страницах Принципов. Хотя пропозициональные функции могут быть истинными для одних и тех же объектов, но не идентичными, никакие два отношения в расширении не являются истинными для одних и тех же объектов. Таким образом, «Принципы» являются «экстенсиональными», начиная со страницы 200 в томе I и заканчивая в томе III.

* 22 в «Исчислении классов» представлена элементарная теория множеств пересечений, объединений и пустых множеств, которая часто является всей теорией множеств, используемой в элементарной математике других видов. Студент, ищущий теорию множеств Принципов, чтобы сравнить ее с, скажем, системой Цермело-Френкеля, должен будет взглянуть на различные числа позже в тексте. Аксиома выбора определяется на ∗ 88 как «Мультипликативная Аксиома», а версия Аксиомы Бесконечности появляется на ∗ 120 в Томе II как «Бесконечный топор». Теория множеств Принципов наиболее близка к аксиомам Цермело 1908 года среди различных известных систем аксиом, а это означает, что в ней отсутствуют Аксиома основания и Аксиома Замены ныне стандартных аксиом Цермело-Френкеля теории множеств. Система принципов принципиально отличается от системы Цермело тем, что она сформулирована в простой теории типов. В результате, например, нет квантификаторов, охватывающих все наборы, и есть набор всех вещей (для каждого типа).

* 30 «Описательные функции» содержит анализ математических функций Уайтхеда и Рассела в терминах отношений и определенных описаний. Фреге использовал понятие функции в математическом смысле как базовое понятие в своей логической системе. Таким образом, «понятие» Фреге - это функция от объектов в качестве аргументов одного из двух «значений истинности» в качестве его значений. Концепция выдает значение «True» для каждого объекта, к которому применяется концепция, и «False» для всех остальных. Рассел, начиная с 1904 года, задолго до написания «Принципов» предпочел проанализировать функции с точки зрения отношения между каждым аргументом и значением и понятия «уникальность». С современной символикой его взгляд будет выражаться следующим образом. Для каждой функции (lambda xf (x)) будет некоторое соотношение (в расширении) (R),так что значение функции для аргумента (a), то есть (f (a)), будет единственным индивидом, который имеет отношение (R) к (a). (В настоящее время мы сводим функции к бинарному отношению между аргументом в первом месте и значением во втором.) В результате в Functionia отсутствуют символы функций. Как говорят Уайтхед и Рассел, знакомые математические выражения, такие как «(sin / pi / 2)», будут проанализированы с помощью отношения и определенного описания как «описательная функция». «Описательная функция», (R'y) ((R) of (y)), определяется следующим образом:) В результате в Принципах нет функциональных символов. Как говорят Уайтхед и Рассел, знакомые математические выражения, такие как «(sin / pi / 2)», будут проанализированы с помощью отношения и определенного описания как «описательная функция». «Описательная функция», (R'y) ((R) of (y)), определяется следующим образом:) В результате в Принципах нет функциональных символов. Как говорят Уайтхед и Рассел, знакомые математические выражения, такие как «(sin / pi / 2)», будут проанализированы с помощью отношения и определенного описания как «описательная функция». «Описательная функция», (R'y) ((R) of (y)), определяется следующим образом:

(tag * {∗ 30 · 01} R'y = (atoi x) xRy / quad / Df)

Мы завершаем этот раздел, представив ряд ярких примеров из этих более поздних чисел, с их интуитивным значением, местоположением в PM, определением в PM и современным эквивалентом. (Некоторые из этих чисел являются теоремами, а не определениями.) Тем не менее, обратите внимание, что современный эквивалент иногда будет логически отличаться от оригинальной версии в PM, например, рассматривая отношения как наборы упорядоченных пар и т. Д. В его изложении логики of Principia, WV Quine (1951) возражает против сложности и даже избыточности большей части этой символики. Эти формулы могут быть разработаны, однако, с пошаговым применением определений.

Для каждого номера формулы мы представляем информацию в следующем формате:

Символ ПМ

(Интуитивное значение) [Местоположение]

PM Определение

Современный Эквивалент

(alpha / subset / beta)

((alpha) является подмножеством (beta)) [∗ 22 · 01]

(x / in / alpha / ldot { supset_x} ldot x / in / beta)

(alpha / subseteq / beta)

(alpha / cap / beta)

(пересечение (alpha) и (beta)) [∗ 22 · 02]

(hat {x} (x / in / alpha / sdot x / in / beta))

(альфа / шапка / бета)

(alpha / cup / beta)

(объединение (alpha) и (beta)) [∗ 22 · 03]

(hat {x} (x / in / alpha / lor x / in / beta))

(альфа / чашка / бета)

(-\альфа)

(дополнение к (alpha)) [∗ 22 · 04]

(hat {x} (x / osim / in / alpha)) [то есть (hat {x} osim (x) в / alpha)) на ∗ 20 · 06]

({x / mid x / not / in / alpha })

(alpha - / beta)

((alpha) минус (beta)) [∗ 22 · 05]

(alpha / cap - / beta)

({x / mid x / in / alpha / amp x / not / в / бета })

(Mathrm {V},)

(универсальный класс) [∗ 24 · 01]

(hat {x} (x) = (x))

(mathrm {V}) или ({x / mid x = x })

(Lambda)

(пустой класс) [∗ 24 · 02]

(- / mathrm {V})

(varnothing)

(R'y)

((R) of (y)) (описательная функция) [∗ 30 · 01]

((atoi x) (xRy))

(f ^ {- 1} (y)), где (f = { langle x, y / rangle / mid Rxy })

(Бревис {R},)

(обратное к (R)) [∗ 31 · 02]

(hat {x} hat {z} (zRx))

({ langle x, z / rangle / mid Rzx })

(Overrightarrow {К} 'у)

(R-предшественники (y)) [∗ 32 · 01]

(hat {x} (xRy))

({x / mid Rxy })

(Overleftarrow {К} 'х)

(R-наследники (x)) [∗ 32 · 02]

(hat {z} (xRz))

({z / mid Rxz })

(D'R)

(область (R)) [∗ 33 · 11]

(hat {x} {(существует y) sdot xRy })

({x / mid / exist yRxy })

(Backd'R)

(диапазон (R)) [∗ 33 · 111]

(hat {z} {(существует x) sdot xR z })

({z / mid / существует x Rxz })

(C'R)

(поле (R)) [∗ 33 · 112]

(hat {x} {(существует y): xRy / ldot { lor} ldot yRx })

({x / mid / существующие y (xRy / lor yRx) })

(R / mid S)

(относительное произведение (R) и (S)) [∗ 34 · 01]

(hat {x} hat {z} {(существует y) sdot xRy / sdot ySz })

({ langle x, z / rangle / mid / существует y (xRy / amp ySz) })

(R / ограничение / бета)

(ограничение (R) на (beta)) [∗ 35 · 02]

(hat {x} hat {z} [xRz / sdot z / in / beta])

({ langle x, z / rangle / mid z / in / beta / amp Rxz })

(alpha / uparrow / beta)

(декартово произведение (alpha) и (beta)) [∗ 35 · 04]

(hat {x} hat {z} [x / in / alpha / sdot z / in / beta)]

(alpha X / beta) или ({ langle x, z / rangle / mid x / in / alpha / amp z / in / beta })

(R '' / бета)

(проекция (beta) на (R)) [∗ 37 · 01]

(hat {x} {(существует y) sdot y / in / beta / sdot x Ry })

({x / mid / существует y (y / in / beta / amp Rxy) })

(Iota'x)

(синглтон x) [∗ 51 · 11]

(hat {z} (z = x))

({x })

(Mathbf {1})

(кардинальное число 1) [∗ 52 · 01]

(hat { alpha} {(существует x) sdot x = / iota'x })

({x / mid / существует y \; (x = {y }) }) (класс всех синглетонов)

(Mathbf {2})

(кардинальное число 2) [∗ 54 · 02]

(hat { alpha} {(существует x, y) sdot x / neq y / sdot / alpha = / iota'x / cup / iota'y })

({x / mid / существует y / существует z (y / neq z / amp x = {y } cup {z }) }) (класс всех пар)

(x / downarrow y)

(порядковая пара (x) и (y)) [∗ 55 · 01]

(iota'x / uparrow / iota'y)

(langle x, y / rangle) (упорядоченная пара (langle x, y / rangle))

Примечание: Редакция PM в мягкой обложке до 56 * заходит так далеко, поэтому остальные определения были доступны только тем, кто имеет доступ ко всем трем томам PM.
(alpha / rightarrow / beta)

[∗ 70 · 01]

(hat {R} (overrightarrow {R} «\ backd 'R / subset / alpha / sdot / overleftarrow {R}« D'R / subset / beta)

(f: / alpha / rightarrow / beta) (функции (f) от (alpha) до (beta))

(alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta)

(класс отношений подобия между (alpha) и (beta)) [∗ 73 · 01]

(1 / rightarrow 1 / cap / overleftarrow {D} '\ alpha / cap / overleftarrow { backd } '\ beta)

({f / mid f: / alpha / stackrel {1-1} { longrightarrow} beta })

(Mathrm {см})

(отношение сходства) [∗ 73 · 02]

(hat { alpha} hat { beta} (существует! / alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta))

(alpha / ок / бета)

(Р_*)

(родословная (R)) [∗ 90 · 01]

(hat {x} hat {y} {x / in C 'R / colon / breve {R} «\ mu / subset / mu» / sdot x / in / mu / ldot { supset _ { mu}} ldot y / in / mu })

Теперь написано (R ^ *), это соответствует определению Фреге: (y) во всех (R) - наследственные классы (x) находятся в.

11. Арифметика в томе II

Том II Принципов Математики начинается с Части III, «Кардинальная Арифметика». Понятия кардинальных чисел развиты в полной общности, распространяясь на бесконечные кардиналы. Следовательно, теория натуральных чисел, которые в PM называются «индуктивными кардиналами», вводится рядом определений частных случаев, которые впервые вводятся в общем виде применительно к любым числам или классам. Например, сложение натуральных чисел, как в известном доказательстве того, что 1 + 1 = 2 в ∗ 110 · 04, доказано для частного случая сложения классов, применимого к кардинальным числам, '(+ _ c)', Эти определения, заканчивающиеся появлением Аксиомы Бесконечности при ∗ 120 · 03, завершат это введение в символику Principia Mathematica.

(Mathrm {N_c})

(Кардинальные числа) [∗ 100 · 01]

(overrightarrow { mathrm {sm}})

На самом деле это отношение между классом и его кардинальным числом.

({x / mid / forall y (y / in x / leftrightarrow / forall z / forall wz, w / in y / leftrightarrow z / окм w)) })

Кардинальные числа - это классы одинаковых (похожих) классов,

(Mathbf {0})

(кардинальное число 0) [∗ 101 · 01]

(0 = / mathrm {N_c} '\ Lambda)

({ varnothing })

Класс всех классов, равносильных множеству с пустым множеством, является просто синглтоном содержащий пустой набор.

(alpha + / beta)

(арифметическая сумма (alpha) и (beta)) [∗ 110 · 01]

(downarrow (Lambda / cap / beta) "\ iota" / alpha / cup (Lambda / cap / alpha) downarrow «\ iota« / beta))

Это объединение (alpha) и (beta) после того, как они были разделены, соединяя каждый элемент (beta) с ({ alpha }) и каждый элемент (alpha) с ({ beta }). Классы (alpha) и (beta) пересекаются с пустым классом (Lambda), чтобы настроить тип элементов суммы.

((beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }))

(mu + _c / nu)

(кардинальная сумма (mu) и (nu)) [∗ 110 · 02]

(hat { xi} {(существует / alpha, / beta) sdot / mu = / mathrm {N_0 c} '\ alpha / sdot / nu = / mathrm {N_0 c}' / beta / sdot / xi \, / mathrm {sm} (alpha + / beta) })

Кардинальное сложение - это арифметическая сумма «однородных кардиналов», кардиналов одинакового типа, с которыми (alpha) и (beta) связаны с (mathrm {N_0 c}) (само определено [∗ 103 · 01]), ({x / mid x / ок (beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }) })

Теперь читатель может оценить, почему эта элементарная теорема не доказана до тех пор, пока на странице 83 тома II ПМ:

(tag * {∗ 110 · 643} 1 + _c 1 = 2)

Уайтхед и Рассел отмечают, что «приведенное выше предложение иногда полезно. Используется как минимум три раза, в… ». Эта шутка напоминает нам о том, что теория натуральных чисел, столь важная для работ Фреге, появляется в PM как частный случай общей теории кардинальных и порядковых чисел и даже более общих классов изоморфных структур.

Этот обзор обозначений в PM завершается определением натуральных чисел и формулировкой Аксиомы Бесконечности, которые позволяют доказать другие аксиомы арифметики Пеано как, опять же, частные случаи более общих понятий.

NC индуктивный

(Индуктивные кардиналы) [∗ 120 · 01]

(hat { alpha} { alpha ({+ _ c} 1) _ * 0 })

({x / mid 0 S ^ * x })

Индуктивные кардиналы - это «натуральные числа», равные 0, и все те кардинальные числа, которые связаны с 0 предком «отношения преемников» (S), где (xSy) на всякий случай (у = х + 1).

Бесконечный топор

(Аксиома Бесконечности) [∗ 120 · 03]

(alpha / in / text {NC induct} sdot / supset _ { alpha} sdot / существует! / alpha)

(forall y ({x / mid 0S ^ * x } supset y / neq / varnothing))

Аксиома Бесконечности утверждает, что все индуктивные кардиналы непусты. (Напомним, что 0 = ({ varnothing }), и поэтому 0 не является пустым.) Аксиома Бесконечности не является «примитивным суждением», а вместо этого должна быть указана как «гипотеза», где она используется, то есть как предшественник условного, где последующее будет зависеть от аксиомы. Технически это не аксиома PM, поскольку [∗ 120 · 03] является определением, так что это просто дальнейшее обозначение в PM!

12. Вывод

Определения до ∗ 120 · 03 составляют только около половины определений в PM. Последние восемь страниц (667–674) тома I второго издания (1925 г.) состоят из полного «Списка определений» из всех трех томов. Переписка в архивах Бертран Рассел предполагает, что этот список, возможно, был составлен Дороти Уринч. Список можно использовать для отслеживания каждого из определенных выражений PM до обозначений, обсуждаемых в этой записи.

Библиография

  • Carnap, R., 1947, Значение и Необходимость, Чикаго: Университет Чикагской Прессы.
  • Черч, А., 1976, «Сравнение разрешения семантических антиномий Расселом с разрешением Тарского», Журнал символической логики, 41: 747–60.
  • Chwistek, Л., 1924, «Теория конструктивных типов», Анналес де ла Сосьете по математике (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego), II: 9–48.
  • Фейс Р. и Фитч, Ф. Б., 1969, Словарь символов математической логики, Амстердам: Северная Голландия.
  • Гедель, К., 1944, «Математическая логика Рассела», в PA Schilpp, ed., Philosophy of Bertrand Russell, LaSalle: Open Court, 125–153.
  • Ландини, Г., 1998, Теория скрытого замещения Рассела, Нью-Йорк и Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Линский Б., 1999, Метафизическая логика Рассела, Стэнфорд: Публикации CSLI.
  • –––, 2009, «От описательных функций к наборам упорядоченных пар», в редукции - абстракция - анализ, А. Хике и Х. Лейтгеб (ред.), Ontos: Мюнхен, 259–272.
  • –––, 2011, «Развитие принципов Mathematica: рукописи и заметки Бертрана Рассела для второго издания», Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Куайн, WVO, 1951, «Уайтхед и подъем современной логики», Философия Альфреда Норта Уайтхеда, изд. PA Schilpp, 2-е издание, Нью-Йорк: Tudor Publishing, 127–163.
  • Рассел, Б., 1905, «Об обозначении», Mind (NS), 14: 530–538.
  • Тьюринг, AM, 1942, «Использование точек в скобках в церковной системе», Журнал символической логики, 7: 146–156.
  • Уайтхед, А. Н. и Б. Рассел, [PM], Principia Mathematica, Кембридж: издательство Кембриджского университета, 1910–13, 2-е издание, 1925–27.
  • Уайтхед, А. Н. и Б. Рассел, 1927, Principia Mathematica до * 56, Кембридж: издательство Кембриджского университета.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

  • Principia Mathematica, воспроизведенный в Исторической математической коллекции Мичиганского университета.
  • Рассел «Об обозначении» Рассела из переиздания «Логика и знание» (R. Marsh, ed., 1956) оригинальной статьи в Mind 1905, напечатанной на HTML Космой Шализи (Центр изучения сложных систем, Мичиган)

Рекомендуем: