Парадоксы Зенона

Оглавление:

Парадоксы Зенона
Парадоксы Зенона
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Парадоксы Зенона

Впервые опубликовано вт 30 апреля 2002 г.; основная редакция пн 11 июня 2018

Почти все, что мы знаем о Зеноне Элеа, можно найти на первых страницах «Парменидов» Платона. Там мы узнаем, что Зену было почти 40 лет, когда Сократ был молодым человеком, скажем, 20. Так как Сократ родился в 469 году до нашей эры, мы можем оценить дату рождения Зено около 490 года до нашей эры. Помимо этого, на самом деле все, что мы знаем, это то, что он был близок к Пармениду (Платон сообщает о сплетнях о том, что они были любовниками, когда Зено был молод), и что он написал книгу парадоксов, защищающую философию Парменида. К сожалению, эта книга не сохранилась, и мы знаем о его аргументах из вторых рук, главным образом через Аристотеля и его комментаторов (здесь мы опираемся, в частности, на Симплициуса, который, хотя писал тысячу лет после Зенона, по-видимому, обладал, по крайней мере, некоторыми из его книга). Было, по-видимому, 40 «парадоксов множественности»,попытка показать, что онтологический плюрализм - вера в существование многих вещей, а не только одного - приводит к абсурдным выводам; из этих парадоксов определенно выживают только два, хотя третий аргумент, вероятно, можно отнести к Зенону. Аристотель говорит о еще четырех аргументах против движения (и, как правило, об изменении вообще), которые он дает и пытается опровергнуть. Кроме того, Аристотель приписывает Зену еще два парадокса. К сожалению, почти ни один из этих парадоксов не цитируется в оригинальных словах Зенона их различными комментаторами, но перефразируется. Аристотель говорит о еще четырех аргументах против движения (и, как правило, об изменении вообще), которые он дает и пытается опровергнуть. Кроме того, Аристотель приписывает Зену еще два парадокса. К сожалению, почти ни один из этих парадоксов не цитируется в оригинальных словах Зенона их различными комментаторами, но перефразируется. Аристотель говорит о еще четырех аргументах против движения (и, как правило, об изменении вообще), которые он дает и пытается опровергнуть. Кроме того, Аристотель приписывает Зену еще два парадокса. К сожалению, почти ни один из этих парадоксов не цитируется в оригинальных словах Зенона их различными комментаторами, но перефразируется.

  • 1. История
  • 2. Парадоксы множественности

    • 2.1 Аргумент от плотности
    • 2.2 Аргумент от конечного размера
    • 2.3 Аргумент из полной делимости
  • 3. Парадоксы движения

    • 3.1 Дихотомия
    • 3.2 Ахилл и черепаха
    • 3.3 Стрелка
    • 3.4 Стадион
  • 4. Еще два парадокса

    • 4.1 Парадокс Места
    • 4.2 Зерно проса
  • 5. Влияние Зенона на философию
  • Дальнейшие чтения
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. История

Прежде чем мы рассмотрим сами парадоксы, будет полезно сделать набросок их исторического и логического значения. Во-первых, Зено стремился защитить Парменида, нападая на его критиков. Парменид отвергает плюрализм и реальность любых изменений: для него все было одной неделимой, неизменной реальностью, а любые проявления обратного были иллюзиями, которые развеялись разумом и откровением. Не удивительно, что эта философия нашла много критиков, которые высмеивали это предложение; в конце концов, это противоречит некоторым из наших основных убеждений о мире. (Интересно, что общая теория относительности, в частности квантовая общая теория относительности, возможно, дает новый аргумент - если новизна возможна - аргумент в пользу парменидского отрицания изменений: Belot and Earman, 2001.) В ответ на эту критику Зено сделал нечто, что может показаться очевидным,но который оказал глубокое влияние на греческую философию, которая ощущается и по сей день: он попытался показать, что равные нелепости логически вытекают из отрицания взглядов Парменида. Вы думаете, что есть много вещей? Тогда вы должны сделать вывод, что все бесконечно мало и бесконечно велико! Вы думаете, что движение бесконечно делимо? Тогда следует, что ничего не движется! (Вот что такое «парадокс»: демонстрация того, что противоречие или абсурдное следствие вытекает из явно разумных предположений.)Вы думаете, что движение бесконечно делимо? Тогда следует, что ничего не движется! (Вот что такое «парадокс»: демонстрация того, что противоречие или абсурдное следствие вытекает из явно разумных предположений.)Вы думаете, что движение бесконечно делимо? Тогда следует, что ничего не движется! (Вот что такое «парадокс»: демонстрация того, что противоречие или абсурдное следствие вытекает из явно разумных предположений.)

Когда мы читаем аргументы, важно помнить об этом методе. Они всегда направлены на более или менее конкретную цель: взгляды какого-то человека или школы. Мы должны иметь в виду, что аргументы являются «ad hominem» в буквальном латинском смысле направленности «на (взгляды) лиц», а не «ad hominem» в традиционном техническом смысле нападения на (характер) люди, которые выдвигают взгляды, а не атакуют сами взгляды. Они работают, временно полагая «ради аргумента», что эти утверждения верны, и затем утверждая, что если они тогда являются абсурдными последствиями, то следуют - что ничего не движется, например: они являются аргументами «reductio ad absurdum» (или «диалектическими» в смысле периода). Затем, если аргумент является логически обоснованным, а заключение действительно неприемлемым,в конце концов, утверждения должны быть ложными. Таким образом, когда мы смотрим на аргументы Зенона, мы должны задать два связанных вопроса: кого или какую позицию атакует Зенон, и что именно предполагается ради аргумента? Если мы обнаружим, что Зенон делает скрытые предположения, выходящие за пределы того, к чему стремится атакуемая позиция, то можно избежать абсурдного заключения, отрицая одно из скрытых предположений, сохраняя позицию. Действительно, комментаторы, по крайней мере, со времен Аристотеля, ответили Зенону таким образом.при сохранении позиции. Действительно, комментаторы, по крайней мере, со времен Аристотеля, ответили Зенону таким образом.при сохранении позиции. Действительно, комментаторы, по крайней мере, со времен Аристотеля, ответили Зенону таким образом.

Так на чьи взгляды нападают аргументы Зенона? Существует огромная литература, обсуждающая точную историческую цель Зенона. Как мы кратко обсудим ниже, некоторые говорят, что целью была техническая доктрина пифагорейцев, но большинство сегодня видит в Зеноне противоположность здравому смыслу понятия множественности и движения. Мы подойдем к парадоксам в этом духе и направим читателя к литературе, касающейся дебатов о толковании.

Тем не менее, по мнению большинства, при определенных квалификациях парадоксы Зенона показывают некоторые проблемы, которые невозможно решить без использования всех математических ресурсов, разработанных в девятнадцатом веке (и, возможно, за его пределами). Это не обязательно говорит о том, что современная математика обязана отвечать на любые проблемы, которые Зено явно хотел поднять; возможно, у Аристотеля и других древних были ответы, которые могли бы или должны были бы удовлетворить Зенона. (Мы также не будем делать каких-либо конкретных утверждений о влиянии Зенона на историю математики.) Однако, по мере развития математики и все большего внимания к парадоксам, возникали новые трудности; эти трудности требуют современной математики для их разрешения. Эти новые трудности возникают частично в ответ на эволюцию в нашем понимании того, что требует математической строгости: решения, которые удовлетворяли бы стандартам строгости Zeno, не удовлетворяли бы нашим. Таким образом, мы оттолкнем некоторые парадоксы от их формулировок здравого смысла до их разрешения в современной математике. (Другая оговорка: мы предложим решения с точки зрения «стандартной» математики, но другие современные формулировки также способны работать с Зеноном и, возможно, способами, которые лучше отражают его математические концепции.)но другие современные формулировки также способны иметь дело с Зеноном, и, возможно, способами, которые лучше представляют его математические концепции.)но другие современные формулировки также способны иметь дело с Зеноном, и, возможно, способами, которые лучше представляют его математические концепции.)

2. Парадоксы множественности

2.1 Аргумент от плотности

Если их много, их должно быть столько, сколько они есть, и ни больше, ни меньше. Но если их так много, как они, они будут ограничены. Если их много, вещи безграничны. Ибо всегда есть другие между тем, что есть, и снова между ними и так, что вещи безграничны. (Симплициус (а) О физике Аристотеля, 140.29)

Этот первый аргумент, приведенный в словах Зенона в соответствии с Симплицием, пытается показать, что не может быть более одной вещи под угрозой противоречия: если есть много вещей, то они оба «ограничены» и «неограниченны», противоречие, С одной стороны, он говорит, что любая коллекция должна содержать определенное количество вещей или, по его словам, «ни много, ни мало». Но если у вас есть определенное количество вещей, заключает он, у вас должно быть конечное «ограниченное» их количество; рисуя этот вывод, он полагает, что иметь бесконечно много вещей - значит иметь неограниченное их количество. С другой стороны, представьте любую коллекцию «многих» вещей, расположенных в пространстве, чтобы они были выстроены в одном измерении для определенности. Он утверждает, что между любыми двумя из них стоит третья; и между этими тремя элементами еще два;и еще четыре между этими пятью; и так далее без конца. Поэтому коллекция также «безгранична». Таким образом, наше первоначальное предположение о множественности приводит к противоречию и, следовательно, неверно: в конце концов, не так много вещей. По крайней мере, так рассуждает Зено.

Рассмотрим два подаргумента в обратном порядке. Во-первых, есть ли «всегда другие между тем, что есть»? (В современной терминологии, почему объекты всегда должны быть «плотно» упорядочены?) Предположим, что мы представили коллекцию из десяти выстроенных в ряд яблок; тогда между шестым и восьмым действительно есть еще одно яблоко, а между седьмым и восьмым нет! Что он имеет в виду, если предположить, что Зенона не просто запутали? Тексты не говорят, но здесь есть две возможности: во-первых, можно считать, что для любой пары физических объектов (скажем, два яблока) два разных объекта, а не только один («двойное яблоко»), должен быть третья между ними, физически разделяющая их, даже если это просто воздух. И можно подумать, что для того, чтобы эти три были различны, должно быть еще два объекта, разделяющих их,и т. д. (эта точка зрения предполагает, что их изготовление из разных веществ недостаточно для их выделения). Поэтому, возможно, Зенон спорит против множественности, учитывая определенную концепцию физического отличия. Во-вторых, можно также считать, что любое тело имеет части, которые можно плотно упорядочить. Конечно, 1/2, 1/4, 1/8 и т. Д. Яблок не плотные - такие части могут быть смежными, но могут быть достаточно маленькие части, называемые «точечными частями», то есть. Действительно, если между любыми двумя точечными частями лежит конечное расстояние и если точечные части могут быть сколь угодно близко, то они плотные; третий лежит на полпути любых двух. В частности, знакомые геометрические точки такие, и, следовательно, плотные. Поэтому, возможно, Зенон предлагает аргумент относительно делимости тел. В любом случае,Предположение Зенона о плотности требует некоторых дополнительных предположений о множественности, о которой идет речь, и соответственно фокусирует цель его парадокса.

Но предположим, что кто-то считает, что некоторая совокупность (скажем, точки на линии) плотная, а значит, «неограниченная» или бесконечная. Первая часть атаки Зенона направлена на то, чтобы показать, что, поскольку она содержит определенное количество элементов, она также «ограничена» или конечна. Можно ли избежать этого противоречия? Предположение, что любое определенное число является конечным, кажется интуитивным, но теперь мы знаем, благодаря работе Кантора в девятнадцатом веке, как понимать бесконечные числа таким образом, что они становятся такими же определенными, как и конечные числа. Центральным элементом этой теории «трансфинитных чисел» является точное определение того, когда два бесконечных набора имеют одинаковый размер, а когда один больше другого. При таком определении можно упорядочить бесконечные числа так же, как упорядочены конечные числа: например, есть разные,определенное бесконечное число дробей и геометрических точек на линии, хотя оба они плотные. (См. «Дальнейшее чтение» ниже для ссылок на введения в эти математические идеи и их историю.) Таким образом, вопреки предположению Зенона, имеет смысл сравнивать бесконечные коллекции по количеству их элементов, чтобы сказать, есть ли у двух больше или меньше или «столько, сколько» друг друга: например, десятичных чисел больше, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)))хотя оба плотные. (См. «Дальнейшее чтение» ниже для ссылок на введения в эти математические идеи и их историю.) Таким образом, вопреки предположению Зенона, имеет смысл сравнивать бесконечные коллекции по количеству их элементов, чтобы сказать, есть ли у двух больше или меньше или «столько, сколько» друг друга: например, десятичных чисел больше, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)хотя оба плотные. (См. «Дальнейшее чтение» ниже для ссылок на введения в эти математические идеи и их историю.) Таким образом, вопреки предположению Зенона, имеет смысл сравнивать бесконечные коллекции по количеству их элементов, чтобы сказать, есть ли у двух больше или меньше или «столько, сколько» друг друга: например, десятичных чисел больше, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)и их история.) Таким образом, вопреки предположению Зенона, имеет смысл сравнивать бесконечные коллекции по количеству их элементов, чтобы сказать, есть ли у двух больше или меньше, или «столько, сколько» друг друга: есть например, больше десятичных чисел, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)и их история.) Таким образом, вопреки предположению Зенона, имеет смысл сравнивать бесконечные коллекции по количеству их элементов, чтобы сказать, есть ли у двух больше или меньше, или «столько, сколько» друг друга: есть например, больше десятичных чисел, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)например, больше десятичных чисел, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)например, больше десятичных чисел, чем целых чисел, но столько же четных чисел, сколько целых чисел. Математически рассуждения Зенона несостоятельны, когда он говорит, что, поскольку у коллекции есть определенное число, она должна быть конечной, а первый подзаголовок ошибочен. (Хотя, конечно, это только показывает, что бесконечные коллекции математически непротиворечивы, а не физически существуют.)

2.2 Аргумент от конечного размера

… если бы это было добавлено к чему-то еще, что существовало бы, это не сделало бы это больше. Ибо, если он не имеет размера и был добавлен, он не может увеличиваться в размере. И поэтому сразу следует, что то, что добавлено, - ничто. Но если когда вычитается, другая вещь не меньше и не увеличивается при добавлении, ясно, что добавляемая или вычитаемая вещь - ничто. (Симплиций (а) О физике Аристотеля, 139,9)

Но если она существует, каждая вещь должна иметь некоторый размер и толщину, и часть ее должна быть отделена от остальных. То же самое относится и к той части, которая впереди. Для этого тоже будет размер и часть его будет впереди. Это то же самое, что сказать это один раз и продолжать говорить это вечно. Ни одна такая часть не будет последней и не будет одной части, не связанной с другой. Поэтому, если есть много вещей, они должны быть как маленькими, так и большими; такой маленький, чтобы не иметь размера, но такой большой, чтобы быть неограниченным. (Симплициус (а) О физике Аристотеля, 141.2)

Еще раз у нас есть собственные слова Зенона. Согласно его заключению, этот аргумент состоит из трех частей, но выживают только две. Первый отсутствующий аргумент имеет целью показать, что если существует много вещей, то они вообще не должны иметь размера. Во-вторых, из этого Зенон утверждает, что из этого следует, что они вообще не существуют; так как результат присоединения (или удаления) безразмерного объекта к чему-либо вообще не меняется, он приходит к выводу, что добавленная (или удаленная) вещь буквально ничто. Аргументом к этому пункту является автономное опровержение плюрализма, но Зенон продолжает создавать еще одну проблему для того, кто продолжает настаивать на существовании множественности. Эта третья часть аргумента довольно плохо сформулирована, но, похоже, она работает примерно так: предположим, что существует множество, поэтому существует некоторый пространственно расширенный объект (в конце концов,он просто утверждал, что неуместных вещей не существует). Поскольку он расширен, он имеет две пространственно отличные части (одна «перед» другой). И части существуют, поэтому у них есть расширение, и поэтому каждая из них имеет две пространственно отличные части; и так далее без конца. И, следовательно, последняя строка аргумента, кажется, заключает, что объект, если он вообще расширен, бесконечен в степени.

Но что может оправдать этот последний шаг? Не похоже, что, поскольку объект состоит из двух частей, он должен быть бесконечно большим! И это также не следует из каких-либо других разделов, которые Зенон описывает здесь; четыре, восемь, шестнадцать или любые другие конечные части составляют конечное целое. Опять же, несомненно, Зенон знает об этих фактах, и поэтому должен иметь в виду еще кое-что, предположительно следующее: он предполагает, что если бы бесконечная серия описываемых им делений повторялась бы бесконечно много раз, то получился бы определенный набор частей. И обратите внимание, что он не должен предполагать, что кто-то может на самом деле выполнять деления - не хватает времени и ножи недостаточно острые - только то, что объект может быть геометрически разложен на такие части (и при этом он не предполагает, что эти части это то, что мы естественным образом классифицируем как отдельные физические объекты, такие как яблоки, клетки, молекулы, электроны и т. д., но только потому, что они являются геометрическими частями этих объектов). Теперь, если плюралист вполне может согласиться с тем, что такие части существуют, из второй части его аргумента следует, что они расширены, и, как он, по-видимому, предполагает, бесконечная сумма конечных частей бесконечна.из второй части его рассуждений следует, что они расширены, и, по-видимому, он предполагает, что бесконечная сумма конечных частей бесконечна.из второй части его рассуждений следует, что они расширены, и, по-видимому, он предполагает, что бесконечная сумма конечных частей бесконечна.

Здесь мы должны отметить, что есть два способа, которыми он может представить результат бесконечного деления.

Сначала его можно прочитать как первое деление объекта на 1/2, затем одно из 1/2, скажем второе, на два 1/4, затем одно из 1/4, скажем второе снова, на два 1 / 8 и так далее. В этом случае результат бесконечного деления приводит к бесконечной последовательности частей размером 1/2 общей длины, 1/4 длины, 1/8 длины…. И тогда общая длина равна (1/2 + 1/4 + 1/8 +… длины, которую, по заключению Зенона, представляет собой бесконечное расстояние, так что плюралист привержен абсурду, что конечные тела «настолько велики, что быть неограниченным ».

В ответ часто указывается, что Зенон не дает нам оснований думать, что сумма скорее бесконечна, чем конечна. Он мог бы догадаться, что любая бесконечная сумма конечных величин, поскольку она растет бесконечно с каждым новым термином, должна быть бесконечной, но можно также взять такой пример, показывающий, что некоторые бесконечные суммы все-таки конечны. Таким образом, вопреки тому, что он думал, Зенон не доказал, что абсурдный вывод следует. Однако, что не всегда ценится, так это то, что плюралист не так легко сорвется с крючка, поскольку недостаточно просто сказать, что сумма может быть конечной, она также должна показать, что она конечна, иначе мы остаемся неуверенными в отношении прочности ее позиции. В качестве иллюстрации трудностей, с которыми здесь сталкиваются, рассмотрим следующее:многие комментаторы говорят, как будто просто очевидно, что бесконечная сумма дробей равна 1, что нет ничего для бесконечного суммирования. Но как насчет следующей суммы: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Очевидно, что, кажется, сумму можно переписать ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Конечно, этот ответ кажется таким же интуитивным, как сумма дробей. Но эту сумму также можно переписать (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - поскольку мы только что показали, что термин в скобках исчезает - (= 1). Опираясь на интуицию о том, как выполнять бесконечные суммы, можно сделать вывод, что (1 = 0). Пока кто-то не может дать теорию бесконечных сумм, которая может дать удовлетворительный ответ на любую проблему, нельзя сказать, что бесконечная сумма Зенона, очевидно, конечна. Такая теория не была полностью разработана до XIX века Коши.(В системе Коши (1/2 + 1/4 + / ldots = 1), но (1 - 1 + 1 - / ldots) не определено.)

Во-вторых, Zeno может означать, что объект делится пополам, затем обе 1/2 делятся пополам, затем 1/4 делятся пополам и так далее. В этом случае кусочки на любой конкретной стадии имеют одинаковый конечный размер, и поэтому можно заключить, что результатом бесконечного продолжения процедуры будут кусочки одинакового размера, которые, если они существуют - согласно Зенону, - больше нуля.; но бесконечность равных протяженных частей действительно бесконечно велика.

Но этой линии мысли можно противостоять. Сначала предположим, что только что описанная процедура полностью разделяет объект на непересекающиеся части. (Существует проблема с этим предположением, которое мы увидим чуть ниже.) Оно включает в себя удвоение количества частей после каждого деления, и поэтому после (N) делений есть (2 ^ N) штук. Но оказывается, что для любого натурального или бесконечного числа, (N), (2 ^ N / gt N), и поэтому число (предполагаемых) частей, полученных бесконечностью описанных делений, является еще большей бесконечностью, Этот результат не представляет немедленной трудности, поскольку, как мы упоминали выше, бесконечности бывают разных размеров. Количество раз, когда все делится на два, называется «счетно бесконечным»: в коллекции существует исчисляемая бесконечность вещей, если они могут быть помечены числами 1, 2, 3,… без остатка с обеих сторон. Но количество частей, которые производит бесконечное деление, «неисчислимо бесконечно», что означает, что нет никакого способа пометить их 1, 2, 3,… не пропуская некоторые из них - фактически бесконечно много из них. Однако определение бесконечной суммы Коши применимо только к счетно бесконечным рядам чисел и поэтому не относится к рассматриваемым нами частям. Тем не менее, мы могли бы рассмотреть только многие из них, чьи длины по Зенону - поскольку он утверждает, что все они равны и не равны нулю - будут суммироваться до бесконечной длины; длина всех кусочков не может быть меньше этой. Определение Коши бесконечной суммы применимо только к счетно бесконечному ряду чисел, и поэтому не распространяется на рассматриваемые нами куски. Тем не менее, мы могли бы рассмотреть только многие из них, чьи длины по Зенону - поскольку он утверждает, что все они равны и не равны нулю - будут суммироваться до бесконечной длины; длина всех кусочков не может быть меньше этой. Определение Коши бесконечной суммы применимо только к счетно бесконечному ряду чисел, и поэтому не распространяется на рассматриваемые нами куски. Тем не менее, мы могли бы рассмотреть только многие из них, чьи длины по Зенону - поскольку он утверждает, что все они равны и не равны нулю - будут суммироваться до бесконечной длины; длина всех кусочков не может быть меньше этой.

В этот момент плюралист, который считает, что деление Зенона полностью разделяет объекты на непересекающиеся части (см. Следующий абзац), может ответить, что на самом деле части не имеют расширения, даже если они существуют. Это блокировало бы вывод о том, что конечные объекты бесконечны, но, похоже, это отталкивает ее назад к другому рогу аргумента Зенона, ибо как все эти части с нулевой длиной могут составлять целое с ненулевым размером? (Обратите внимание, что в соответствии с Коши (0 + 0 + 0 + / ldots = 0), но этот результат здесь ничего не показывает, поскольку, как мы видели, существует неисчислимо много частей, которые нужно сложить - больше, чем добавлено в эту сумму.) Мы отложим этот вопрос для обсуждения следующего парадокса, где он возникнет явно.

Вторая проблема с интерпретацией бесконечного деления как повторяющегося деления всех частей состоит в том, что оно не делит объект на отдельные части, если объекты составлены естественным образом. Чтобы увидеть это, давайте зададимся вопросом о том, какие части получены этим делением на 1/2 с, 1/4 с, 1/8 с,…. Поскольку деление повторяется без конца, мы не можем дать последний ответ, и поэтому нам нужно подумать над этим вопросом по-другому. Если предположить, что объект может быть представлен линейным сегментом единичной длины, то при делении создаются наборы сегментов, где первый - это либо первая, либо вторая половина целого сегмента, второй - первый или второй квартал, или третий или четвертый квартал, и в целом сегмент, производимый (N) подразделениями, является либо первой, либо второй половиной предыдущего сегмента. Например, записывая сегмент с конечными точками (a) и (b) как ([a, b]), некоторые из этих коллекций (технически известны как «цепочки», поскольку элементы коллекции упорядочены size) начнется ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldots }). (Когда мы до этого утверждали, что подразделение Зенона произвело несчетное количество кусков объекта, мы должны были сказать более осторожно, что оно производит бесчисленное количество таких цепочек.)то, что мы должны были бы сказать более осторожно, это то, что он производит бесчисленное количество подобных цепочек.)то, что мы должны были бы сказать более осторожно, это то, что он производит бесчисленное количество подобных цепочек.)

Вопрос о том, какие части выделяет подразделение, - это вопрос о том, какую часть выбирает любая данная цепочка; Естественно сказать, что цепь выделяет ту часть линии, которая содержится в каждом из ее элементов. Рассмотрим, например, цепочку ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), другими словами цепочку, которая начинается с левой половины строки, для которой каждый второй элемент является правой половиной предыдущего. Половина пути находится в каждом сегменте этой цепи; это правая конечная точка каждого из них. Но никакой другой момент не во всех его элементах: ясно, что никакой точки за полпути нет; и выберите любую точку (p) до середины пути, если вы возьмете правые половины достаточного количества раз [0,1 / 2], левый конец сегмента будет справа от (p). Таким образом, единственная часть линии, которая находится во всех элементах этой цепи, - это половина пути, и поэтому это часть линии, выбранная цепочкой. (Фактически, из постулата теории чисел следует, что существует ровно одна точка, которую объединяют все члены любой такой цепочки.) Проблема заключается в том, что при параллельном рассуждении половина пути также выбирается отдельная цепочка ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), где каждый сегмент после первого является левая половина предыдущего. И поэтому обе цепи выбирают один и тот же отрезок линии: середину пути. И так для многих других пар цепей. Таким образом, аргумент Зенона, интерпретируемый в терминах повторного деления всех частей на половину, не разделяет линию на отдельные части. Следовательно, если мы думаем, что объекты составлены так же, как линия,из этого следует, что, несмотря на внешность, эта версия аргумента не разрезает объекты на части, общий размер которых мы можем правильно обсудить.

(Вы можете подумать, что эту проблему можно решить, приняв элементы цепочек за сегменты без конечной точки вправо. Тогда первая из двух рассмотренных нами цепочек больше не имеет промежуточной точки ни в одном из своих сегментов, и поэтому не выбирает эту точку. Проблема сейчас в том, что она не может выделить какую-либо часть линии: предыдущие рассуждения показали, что она не выбирает любую точку, большую или меньшую, чем полпути, и теперь это тоже не улавливает!)

2.3 Аргумент из полной делимости

… всякий раз, когда тело по своей природе делится насквозь, будь то путем деления пополам, или вообще любым другим способом, ничего невозможного не произойдет, если оно будет фактически разделено … хотя, возможно, никто фактически не мог бы так разделить его.

Что тогда останется? Величина? Нет, это невозможно, с тех пор будет что-то не разделенное, тогда как ex гипотезы тело было делимым насквозь. Но если допустить, что ни тело, ни величина не останутся … тело либо будет состоять из точек (а его составляющие будут без величины), либо оно будет абсолютно ничем. Если последнее, то оно может как появиться из ничего, так и существовать как совокупность ничего; и, таким образом, предположительно, все тело будет ничем иным, как внешним видом. Но если он состоит из точек, он не будет иметь никакой величины. (Аристотель О поколении и коррупции, 316a19)

Эти слова принадлежат Аристотелю, а не Зенону, и на самом деле этот аргумент даже не приписывается Аристотелю Зенону. Однако у нас есть мнение Симплициуса ((а) О физике Аристотеля, 139.24), что оно происходит от Зенона, именно поэтому оно включено сюда. Аристотель начинает с предположения, что какое-то тело полностью делимо, «насквозь»; второй шаг аргумента проясняет, что он подразумевает под этим, что он делится на части, которые сами по себе не имеют размерных частей любой величины, остаются не полностью разделенными. (Еще раз важно то, что тело действительно состоит из таких частей, а не в том, что у кого-то есть время и инструменты для разделения; и, помня из предыдущего раздела, нельзя получить такие части, многократно разделяя все части пополам.) Итак, предположим, что тело разделено на безразмерные части. Эти части могут быть вообще ничем, как утверждал Зенон выше, или «точечными частями». Если части - это ничто, то и тело - это иллюзия. И аргумент завершает, даже если они являются точками, так как они не растянуты, само тело будет растянутым: несомненно, любая сумма, даже бесконечная единица из нулей, равна нулю.

Может ли это последнее предположение подвергнуться сомнению? Это (как отмечено выше) является следствием определения Коши бесконечной суммы; однако Грюнбаум (1967) указал, что это определение применимо только к исчисляемым суммам, и Кантор дал прекрасное, поразительное и чрезвычайно влиятельное «диагональное» доказательство того, что число точек в отрезке неисчислимо бесконечно. Невозможно пометить все точки линии бесконечностью чисел 1, 2, 3,…, и поэтому в отрезке линии больше точек, чем слагаемых в сумме Коши. Короче говоря, анализ, применяемый для счетного бесконечного деления, здесь не применим.

Итак, предположим, что вам просто дано количество точек в линии, а их длина равна нулю; как бы вы определили длину? Нужно ли нам новое определение, расширяющее Коши до бесчисленных бесконечных сумм? Оказывается, это не помогло бы, потому что Коши также показал, что любой отрезок любой длины (и действительно целая бесконечная линия) имеет ровно столько же точек, что и наш единичный отрезок. Таким образом, знание количества точек не будет определять длину линии, и поэтому ничего подобного знакомому сложению, в котором целое определяется частями, невозможно. Вместо этого мы должны думать о свойствах расстояния линии как логически задних к ее точечному составу: сначала у нас есть набор точек (упорядоченный определенным образом, так что есть некоторый факт, например,о том, какой из любых трех находится между остальными), тогда мы определяем функцию пар точек, которая определяет, насколько далеко они находятся друг от друга (удовлетворяя таким условиям, как расстояние между (A) и (B) плюс расстояние между (B) и (C) равно расстоянию между (A) и (C) - если (B) находится между (A) и (C)). Таким образом, мы отвечаем Зену следующим образом: аргумент предполагал, что размер тела был суммой размеров точечных частей, но это не так; согласно современной математике, геометрический отрезок представляет собой несчетную бесконечность точек плюс функцию расстояния. (Обратите внимание, что Грюнбаум использовал тот факт, что композиция точек не может определить длину, чтобы поддержать его «традиционалистское» представление о том, что линия вообще не имеет определенной длины, независимо от стандарта измерения.)))))Таким образом, мы отвечаем Зену следующим образом: аргумент предполагал, что размер тела был суммой размеров точечных частей, но это не так; согласно современной математике, геометрический отрезок представляет собой несчетную бесконечность точек плюс функцию расстояния. (Обратите внимание, что Грюнбаум использовал тот факт, что композиция точек не может определить длину, чтобы поддержать его «традиционалистское» представление о том, что линия вообще не имеет определенной длины, независимо от стандарта измерения.)Таким образом, мы отвечаем Зену следующим образом: аргумент предполагал, что размер тела был суммой размеров точечных частей, но это не так; согласно современной математике, геометрический отрезок представляет собой несчетную бесконечность точек плюс функцию расстояния. (Обратите внимание, что Грюнбаум использовал тот факт, что композиция точек не может определить длину, чтобы поддержать его «традиционалистское» представление о том, что линия вообще не имеет определенной длины, независимо от стандарта измерения.)(Обратите внимание, что Грюнбаум использовал тот факт, что композиция точек не может определить длину, чтобы поддержать его «традиционалистское» представление о том, что линия вообще не имеет определенной длины, независимо от стандарта измерения.)(Обратите внимание, что Грюнбаум использовал тот факт, что композиция точек не может определить длину, чтобы поддержать его «традиционалистское» представление о том, что линия вообще не имеет определенной длины, независимо от стандарта измерения.)

Как подчеркивает Эрлих (2014), мы могли бы даже оговорить, что «несчетная сумма» нулей равна нулю, потому что длина линии не равна сумме длин точек, которые она содержит (обращаясь к Шерри, 1988, обеспокоенность тем, что отказ от расширения определения будет специальным). Следовательно, если указать, что длина линии является суммой любого полного набора правильных частей, то из этого следует, что точки не являются собственно говоря частями линии (в отличие от половинок, четвертей и т. Д. Линии). В строгом смысле в современной теории меры (которая обобщает структуру Грюнбаума), точки на этой линии несоизмеримы с ней, а само устройство, данное Аристотелем, в котором длина целого анализируется с точки зрения его точек, нелегитимно.,

3. Парадоксы движения

3.1 Дихотомия

Первый утверждает отсутствие движения на земле, что то, что находится в движении, должно прибыть на полпути до того, как оно достигнет цели. (Физика Аристотеля, 239b11)

Этот парадокс известен как «дихотомия», потому что он включает в себя повторное деление на две части (как второй парадокс множественности). Как и другие парадоксы движения, мы получили его от Аристотеля, который пытался его опровергнуть.

Предположим, очень быстрый бегун, такой как мифическая Аталанта, должен бежать за автобусом. Очевидно, прежде чем она достигнет автобусной остановки, она должна бежать на полпути, как говорит Аристотель. Там нет проблем там; Предполагая постоянное движение, ей понадобится половина времени, чтобы пробежать на полпути туда, и половина времени, чтобы пробежать оставшуюся часть пути. Теперь она должна также бежать на полпути к половине пути - то есть, к 1/4 от общего расстояния - прежде чем она достигнет половины пути, но снова у нее остается конечное число конечных длин для бега, и много времени для этого. И прежде чем она достигнет 1/4 пути, она должна достичь (1/2) (1/4 = 1/8) пути; а до этого 1/16; и так далее. В любой конечной точке этой серии нет никаких проблем, но что, если деление пополам выполняется бесконечно много раз? Результирующий ряд не содержит первого расстояния для бега,для любого возможного первого расстояния можно разделить пополам, и, следовательно, не будет первым в конце концов. Однако он содержит конечное расстояние, а именно 1/2 пути; и предпоследнее расстояние, 1/4 пути; и расстояние от третьего до последнего, 1/8 пути; и так далее. Таким образом, ряд расстояний, которые Аталанта должна преодолеть, составляет:…, затем 1/16 пути, затем 1/8 пути, затем 1/4 пути и, наконец, 1/2 пути (на данный момент мы не предполагаем, что она останавливается в конце каждого сегмента, а затем начинает бегать в начале следующего - мы думаем о том, что ее непрерывный пробег состоит из таких частей). И теперь возникает проблема, поскольку в этом описании ее бега она проходит бесконечное число конечных расстояний, что, как нам полагает Зено, должно занять бесконечное время, то есть оно никогда не завершается. А поскольку аргумент не зависит от расстояния, а также от того, кто или что является двигателем, из этого следует, что никакое конечное расстояние никогда не может быть пройдено, то есть все движение невозможно. (Обратите внимание, что парадокс может легко возникнуть в другом направлении, так что Аталанта должна сначала пройти половину пути, затем половину оставшегося пути, затем половину этого и т. Д., Чтобы она могла выполнить следующую бесконечную последовательность долей от общего числа расстояние: 1/2, затем 1/4, затем 1/8, затем….)так что она должна выполнить следующую бесконечную последовательность долей общего расстояния: 1/2, затем 1/4, затем 1/8, затем….)так что она должна выполнить следующую бесконечную последовательность долей общего расстояния: 1/2, затем 1/4, затем 1/8, затем….)

Несколько общих ответов не являются адекватными. Кто-то, как Симплиций (а) «О физике Аристотеля», 1012.22), говорит нам, что Диоген, циник, молча стоя и ходя, указал, что это наиболее распространенный опыт, когда вещи действительно движутся, и что мы знаем, очень хорошо, что Аталанта без проблем дойдет до своей автобусной остановки. Но это не произвело бы впечатления на Зенона, который, как оплаченный парменидец, считал, что многое не так, как кажется: может показаться, что Диоген ходит или Аталанта бежит, но внешность может быть обманчивой, и, конечно, у нас есть логическое доказательство что они на самом деле не двигаются вообще. В качестве альтернативы, если кто-то не принимает, что Зенон дал доказательство того, что движение иллюзорно - как мы надеемся, нет, - тогда он должен объяснить, что не так с его аргументом: он привел причины, по которым движение невозможно,и поэтому адекватный ответ должен показать, почему этих причин недостаточно. И не стоит просто указывать, что есть некоторые способы сократить столкновение Аталанты на две половины, скажем, в котором нет проблем. Ибо, если вы принимаете все шаги в аргументе Зенона, вы должны принять его вывод (предполагая, что он обосновал логически дедуктивным способом): недостаточно показать беспроблемное разделение, вы также должны показать, почему данное разделение не вызывает проблем.недостаточно показать беспроблемное разделение, вы также должны показать, почему данное разделение не вызывает проблем.недостаточно показать беспроблемное разделение, вы также должны показать, почему данное разделение не вызывает проблем.

Другой ответ, данный самим Аристотелем, заключается в том, чтобы указать, что при делении пройденного расстояния мы также должны делить общее время, затрачиваемое на прохождение: есть 1/2 времени для последней 1/2, 1/4 времени для предыдущей 1/4, 1/8 времени для 1/8 пробега и так далее. Таким образом, каждое дробное расстояние имеет только правильную долю конечного общего времени, которое Аталанта должен завершить, и, таким образом, расстояние может быть пройдено за конечное время. Аристотель считал, что этот ответ должен удовлетворить Зенона, однако он также понял (Физика, 263a15), что это не может быть концом вопроса. На данный момент мы говорим, что время, необходимое Аталанте, чтобы добраться до автобусной остановки, состоит из бесконечного числа конечных частей -…, 1/8, 1/4 и 1/2 от общего времени - и это не бесконечное время?

Конечно, можно снова утверждать, что некоторые бесконечные суммы имеют конечные суммы, и, в частности, что сумма этих кусков равна (1 / times) общему времени, что, конечно, конечно (и опять полное решение потребовало бы строгий счет бесконечного суммирования, как Коши). Однако Аристотель не сделал такого шага. Вместо этого он провел четкое различие между тем, что он назвал «непрерывной» линией, и линией, разделенной на части. Рассмотрим простое деление линии на две части: с одной стороны, есть неразделенная линия, а с другой - линия с серединой, выбранной в качестве границы двух половинок. Аристотель утверждает, что это две разные вещи: и что последнее только «потенциально» выводится из первого. Далее Аристотель придерживается здравого смысла, что время похоже на геометрическую линию,и учитывает время, необходимое для завершения пробега. Мы снова можем различить два случая: есть непрерывный интервал от начала до конца, и есть интервал, разделенный на бесконечность Зенона в полузапусках. Первый «потенциально бесконечен» в том смысле, что его можно разделить на последний «фактический бесконечность». Вот важный шаг: Аристотель считает, что, поскольку эти интервалы геометрически различны, они должны быть физически различны. Но как это могло быть? Он утверждает, что бегун должен что-то делать в конце каждого полугода, чтобы отличить его от следующего: она должна остановиться, что делает сам бег прерывистым. (Непонятно, почему какого-то другого действия было бы недостаточно, чтобы разделить интервал.) Тогда полный ответ Аристотеля на парадокс состоит в том, что вопрос о том, возможна или нет бесконечная серия прогонов, неоднозначен:потенциально бесконечная серия половин в непрерывном цикле возможна, в то время как фактическая бесконечность прерывистых половинных прогонов не возможна - Зенон действительно идентифицирует невозможность, но он не описывает обычный способ бега по трассе!

Трудно - с нашей современной точки зрения - понять, как этот ответ может быть полностью удовлетворительным. Во-первых, предполагается, что можно провести четкое различие между потенциальной и действительной бесконечностью, чего никогда не было достигнуто полностью. Во-вторых, предположим, что в задаче Зено утверждается, что бесконечные суммы конечных величин неизменно бесконечны. Тогда различие Аристотеля поможет, только если он сможет объяснить, почему потенциально бесконечные суммы на самом деле конечны (мы не могли бы потенциально добавить (1 + 1 + 1 + / ldots), у которого нет конечного итога); или если он может дать причину, почему потенциально бесконечные суммы просто не существуют. Или, возможно, Аристотель не рассматривал бесконечные суммы как проблему, но скорее метафизически, концептуально и физически возможно завершение бесконечности конечных действий. Мы кратко обсудим этот вопрос «сверхзадач» ниже, но отметим, что существует четко определенный прогон, в котором этапы прогона Аталанты перемежаются с конечными остатками, что, вероятно, показывает возможность завершения бесконечного ряда конечных задач в конечное время (Huggett 2010, 21–2). Наконец, различие между потенциальной и реальной бесконечностью не играло никакой роли в математике, так как Кантор приручил трансфинитные числа - конечно, потенциальная бесконечность не сыграла никакой роли в современных математических решениях, обсуждаемых здесь. Различие между потенциальной и действительной бесконечностью не играет никакой роли в математике, так как Кантор приручил трансфинитные числа - конечно, потенциальная бесконечность не сыграла никакой роли в современных математических решениях, обсуждаемых здесь. Различие между потенциальной и действительной бесконечностью не играет никакой роли в математике, так как Кантор приручил трансфинитные числа - конечно, потенциальная бесконечность не сыграла никакой роли в современных математических решениях, обсуждаемых здесь.

3.2 Ахилл и черепаха

[Второй] аргумент был назван «Ахиллес», соответственно, из-за того, что Ахиллес был взят [как персонаж] в нем, и этот аргумент говорит, что он не может обогнать черепаху, преследуя ее. Ведь на самом деле необходимо, чтобы то, что должно настигнуть [что-то], прежде чем настигнуть [это], сначала достигло предела, из которого вырисовывается то, что бежит. В то время, когда наступает то, что преследует, то, что бежит, продвинется на определенный интервал, даже если оно меньше, чем то, что преследует продвинутое … И в то время, когда то, что преследует, пройдет через этот [интервал], по которому продвигается то, что бежит, в это время снова то, что бежит, пересечет некоторое количество…. И, таким образом, в каждый раз, когда то, что преследует, будет проходить [интервал], который то, что бежит, будучи медленнее, уже продвинулось,то, что убегает, также увеличит некоторую сумму. (Симплициус (б) О физике Аристотеля, 1014.10)

Этот парадокс основывается на тех же соображениях, что и предыдущий. Представьте, что Ахиллес гонится за черепахой, и предположим, что Ахиллес работает со скоростью 1 м / с, что черепаха ползет со скоростью 0,1 м / с, и что черепаха начинается на 0,9 м впереди Ахилла. На первый взгляд Ахиллес должен поймать черепаху через 1 с на расстоянии 1 м от места, где он начинается (и, таким образом, 0,1 м от места, где начинается черепаха). Мы могли бы разделить движение Ахилла, как и Аталанта, на две половины, или мы могли бы сделать это следующим образом: прежде чем Ахиллес сможет поймать черепаху, он должен достичь точки, где началась черепаха. Но за это время черепаха проползает немного вперед. Так что следующий Ахиллес должен достичь этой новой точки. Но в то время, когда Ахиллесу для этого требуется, черепаха ползет немного дальше. И так до бесконечности:Каждый раз, когда Ахиллес достигает места, где была черепаха, у черепахи было достаточно времени, чтобы продвинуться немного дальше, и поэтому Ахиллес должен сделать еще один забег, и поэтому у Ахиллеса есть бесконечное число конечных догонялок, которые он должен сделать, прежде чем он может поймать черепаху, и поэтому, заключает Зено, он никогда не ловит черепаху.

Таким образом, один аспект парадокса заключается в том, что Ахиллес должен пройти следующий бесконечный ряд расстояний, прежде чем поймать черепаху: сначала 0,9 м, затем еще 0,09 м, затем 0,009 м,…. Это ряд расстояний впереди, которые черепаха достигает в начале каждого из ахиллесовых нагонов. С этой точки зрения, головоломка идентична дихотомии, потому что это просто говорит о том, что «то, что находится в движении, должно прибыть [девять десятых пути], прежде чем оно достигнет цели». И поэтому все, что мы сказали выше, применимо и здесь.

Но то, что парадокс в этой форме выявляет наиболее ярко, это проблема завершения серии действий, в которой нет окончательного члена - в этом случае бесконечная серия догоняющих ударов, прежде чем Ахиллес достигнет черепахи. Но только в чем проблема? Возможно, следующее: бег Ахилла до точки, в которой он должен добраться до черепахи, кажется, может быть полностью разложен на ряд догоняющих, ни один из которых не приводит его к черепахе. Следовательно, нигде в своем беге он не достигает черепахи в конце концов. Но если это то, что Зенон имел в виду, это не сработает. Конечно, Ахиллес не достигает черепахи в любой точке последовательности, поскольку каждый прогон в последовательности происходит до того, как мы ожидаем, что Ахиллес достигнет ее! Думая о точках, которые Ахиллес должен достичь в своем беге, 1м не встречается в последовательности 0,9м, 0,99м, 0,999м,…,поэтому, конечно, он никогда не поймает черепаху во время этой последовательности пробежек! (И та же самая ситуация возникает в Дихотомии: нет первой дистанции в ряду, поэтому она не содержит начала Аталанты!) Таким образом, серия догоняющих в конце концов не полностью разлагает пробег: конечная точка, в которой Ахиллес делает поймать черепаху - надо к ней добавить. Так есть ли загадка? Возможно, да.

Ахиллесовый забег проходит через последовательность точек 0,9 м, 0,99 м, 0,999 м,…, 1 м. Но имеет ли смысл такая странная последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, за которыми следует еще один, математически? Если нет, то наше математическое описание прогона не может быть правильным, но что тогда? К счастью, теория трансфинитов, впервые разработанная Кантором, уверяет нас, что такой ряд вполне респектабелен. Выяснилось, что свойства порядка бесконечных рядов гораздо сложнее, чем свойства конечных рядов. Любой способ упорядочения чисел 1, 2 и 3, например, дает серии в одном и том же шаблоне, но есть много разных способов упорядочить натуральные числа: например, 1, 2, 3,…. Или…, 3, 2, 1. Или…, 4, 2, 1, 3, 5,…. Или 2, 3, 4,…, 1, то есть тот же ряд, что и позиции, через которые должен пройти Ахиллес. Таким образом, теория трансфинитных трактует не только «кардинальные» числа, которые зависят только от количества вещей, но и «порядковые» числа, которые в дальнейшем зависят от того, как все устроено. Поскольку ординалы обычно считаются математически допустимыми числами, а так как ряд точек, которые Ахиллес должен пройти, имеет порядковый номер, мы будем считать, что ряд математически допустим. (Опять же, смотрите «Сверхзадачи» ниже для другой проблемы, которая может возникнуть для Ахиллеса.)мы примем это, что ряд математически законен. (Опять же, смотрите «Сверхзадачи» ниже для другой проблемы, которая может возникнуть для Ахиллеса.)мы примем это, что ряд математически законен. (Опять же, смотрите «Сверхзадачи» ниже для другой проблемы, которая может возникнуть для Ахиллеса.)

3.3 Стрелка

Третий заключается в том, что … летающая стрела находится в покое, что следует из предположения, что время состоит из моментов … он говорит, что если все, когда оно занимает равное пространство, находится в покое, и если то, что находится в передвижении, всегда находится в настоящем, то летающая стрела остается неподвижной. (Физика Аристотеля, 239b30)

Зенон отменяет движение, говоря: «То, что находится в движении, не движется ни в том месте, где оно находится, ни в том, в котором оно не находится». (Диоген Лаэрций живет известными философами, IX 72)

Этот аргумент против движения явно включает определенный тип предположения о множественности: это время состоит из моментов (или «сейчас») и ничего больше. Рассмотрим стрелку, по-видимому, в движении, в любой момент. Во-первых, Зенон предполагает, что в этот момент он не проходит расстояние - «он занимает равное пространство» в течение всего момента. Но весь период его движения содержит только моменты, все из которых содержат покоящуюся стрелку, и поэтому, заключает Зено, стрелка не может двигаться.

Непосредственное беспокойство вызывает то, что Зенон оправдывается, полагая, что стрела находится в покое в любой момент. Это следует немедленно, если предположить, что мгновение длится 0 с: независимо от скорости, которую имеет стрелка, она никуда не денется, если вообще не будет времени. Но что, если считать, что наименьшие отрезки времени конечны - если крошечны - так, что движущаяся стрелка может фактически сдвинуться на некоторое расстояние за мгновение? Один из способов поддержать это предположение, которое требует много чтения в тексте, начинается с предположения, что моменты являются неделимыми. Затем предположим, что стрелка действительно сместилась за мгновение. Он будет находиться в разных местах в начале и в конце момента, что означает, что момент имеет «начало» и «конец», что, в свою очередь, означает, что оно имеет по меньшей мере две части и поэтому делится, в отличие от наше предположение.(Обратите внимание, что этот аргумент только устанавливает, что ничто не может двигаться в одно мгновение, а не то, что моменты не могут быть конечными.)

Итак, ничто не движется в любой момент, но время полностью состоит из мгновений, поэтому ничто не движется. Первый ответ заключается в том, чтобы указать, что определение скорости стрелки означает деление пройденного за некоторое время расстояния на продолжительность этого времени. Но, предполагая, что с этого момента моменты времени имеют нулевую продолжительность, эта формула не имеет смысла в случае мгновенного: стрелка перемещается на 0 м в 0 с, если длится мгновение, но 0/0 м / с - это не какое-либо число вообще. Таким образом, ошибочно заключать из того факта, что стрела не проходит какое-либо расстояние в одно мгновение, когда она находится в покое; находится ли он в движении в момент или нет, зависит от того, пройдет ли он какое-либо расстояние за конечный интервал, который включает данный момент.

Ответ правильный, но в нем есть нелогичное предположение, что движение - это не то, что происходит в любой момент, а скорее только в течение конечных периодов времени. Думайте об этом так: время, как мы уже говорили, состоит только из моментов. Ни одно расстояние не пройдено в любой момент. Так когда же стрелка действительно движется? Как он попадает из одного места в другое в более поздний момент? Есть только один ответ: стрелка попадает из точки (X) во время 1 в точку (Y) во время 2 просто благодаря тому, что находится в последовательных промежуточных точках в последовательные промежуточные моменты времени - стрелка никогда не меняет свою позицию во время мгновенный, но только через интервалы, состоящие из мгновений, из-за занятия разных позиций в разное время. В запоминающихся словах Бергсона, которые он считал выражением абсурда, «движение состоит из неподвижности» (1911, 308):Чтобы добраться от (X) до (Y), нужно занимать ровно одно место между ними в каждый момент времени (в правильном порядке, конечно). Для дальнейшего обсуждения этой концепции времени в «at-at» см. Arntzenius (2000) и Salmon (2001, 23-4).

3.4 Стадион

Четвертый аргумент заключается в том, что в отношении равных тел, которые движутся вместе с равными телами на стадионе с противоположных направлений - с конца стадиона, с середины - с равными скоростями, в которых он считает, что половина времени равно его двойной … (Физика Аристотеля, 239b33)

Аристотель продолжает разрабатывать и опровергать аргумент в пользу последнего парадокса движения Зенона. Текст довольно загадочный, но обычно интерпретируется следующим образом: изобразите три набора соприкасающихся кубов - все одинаковые - в относительном движении. Один набор - (A) s - покоится, а остальные - (B) s и (C) s - перемещаются вправо и влево соответственно с постоянной равной скоростью. И предположим, что в какой-то момент самый правый (B) и самый левый (C) выровнены по центру (A), как показано (три для каждого изображены для простоты).

(A) (A) (A)
(В) (В) (В)
(С) (С) (С)

Поскольку (B) s и (C) s движутся с одинаковыми скоростями, они будут выровнены с (A) s одновременно.

(A) (A) (A)
(В) (В) (В)
(С) (С) (С)

В этот момент самый правый (B) прошел все (C) s, но только половину (A) s; поскольку они имеют одинаковый размер, он прошел и некоторое расстояние, и половину этого расстояния. Предполагаемое противоречие здесь не прорисовано, вероятно, потому, что ясно, что эти противоположные расстояния относятся к (C) s и (A) s соответственно; обычно нет противоречия в том, чтобы стоять в разных отношениях к разным вещам. Вместо этого расстояния преобразуются во времена путем деления расстояний на скорость (B) s; половина расстояния при заданной скорости занимает половину времени. Тогда возникает противоречие, потому что время между состояниями однозначное, а не относительное - процесс занимает некоторое (ненулевое) время и половину этого времени.

Общий вердикт состоит в том, что Зено был безнадежно запутан относительно относительных скоростей в этом парадоксе. Если (B) s движутся со скоростью S m / s вправо относительно (A) s, и если (C) s движутся со скоростью S m / s влево что касается (A) s, то (C) s движутся со скоростью (S + S = 2) S м / с влево относительно (B) s. И поэтому, конечно, в то время как (B) s перемещаются вдвое дальше относительно (C) s, чем (A) s, они делают это с удвоенной относительной скоростью, и поэтому времена так или иначе. Но мог ли Зено так запутаться? (Sattler, 2015, выступает против этого и других общих чтений стадиона.)

Возможно (Davey, 2007) он вместо этого имел в виду следующее (хотя Зено умнее согласно этому прочтению, это не совсем подходит словам Аристотеля): предположим, (A) s, (B) s и (C) s имеют наименьший пространственный экстент, «размер точки», где «точки» имеют нулевой размер, если пространство непрерывно, или конечны, если пространство «атомное». Предположим далее, что между (A) s, или между (B) s, или между (C) s нет пробелов. Во время движения выше ведущего (B) проходит все (C) s и половину (A) s, поэтому вдвое меньше (A) s, чем (C) s, Теперь, когда точка непрерывно движется вдоль линии без промежутков, между моментами времени и точками на линии существует соответствие 1: 1 - каждому моменту точки и каждой точке мгновению. Следовательно,количество '(A) - мгновений' времени, которое требуется ведущему (B) для прохождения (A) s, равно половине числа (C) - мгновений , чтобы пройти (C) s - хотя эти процессы занимают одинаковое количество времени. Если тогда мы решительно предположим, что половина мгновений означает половину времени, мы заключим, что половина времени равна времени, противоречие.

Выше мы видели при обсуждении полной делимости проблему с такими рассуждениями, применимыми к непрерывным линиям: любой отрезок имеет одинаковое количество точек, поэтому из числа точек таким образом ничего не может быть выведено - конечно, не половина Точки (здесь, моменты) означает половину длины (или времени). Парадокс проваливается, как указано. Но разве само утверждение о том, что интервалы содержат одинаковое количество моментов, не совпадает с шагом аргумента, который заключает, что (A) - мгновений вдвое меньше, чем (C) - мгновений? Эта проблема является тонкой для бесконечных множеств: чтобы привести другой пример, 1, 2, 3,… находится в 1: 1 соответствии с 2, 4, 6,…, и, таким образом, есть одинаковое число каждого. Именно в этом смысле 1:1 соответствие - точный смысл «того же числа», используемого в математике, - что любая конечная линия имеет то же число точек, что и любая другая. Тем не менее, если говорить неформально, четных чисел также «вдвое больше», чем целых чисел: пары (1, 2), (3, 4), (5, 6),… можно также соотнести 1: 1 с 2, 4, 6,…. Точно так же, по неофициальным данным, вдвое больше (A) - мгновений, чем (C) - мгновений: (A) - мгновений в соотношении 1: 1 с парами (C) - мгновений, Таким образом, нет никакого противоречия в количестве точек: неформальная половина равна строгому целому (для атомной теории требуется другое решение в соответствии с положениями, представленными в последнем абзаце этого раздела).1 переписка с 2, 4, 6,…. Точно так же, по неофициальным данным, вдвое больше (A) - мгновений, чем (C) - мгновений: (A) - мгновений в соотношении 1: 1 с парами (C) - мгновений, Таким образом, нет никакого противоречия в количестве точек: неформальная половина равна строгому целому (для атомной теории требуется другое решение в соответствии с положениями, представленными в последнем абзаце этого раздела).1 переписка с 2, 4, 6,…. Точно так же, по неофициальным данным, вдвое больше (A) - мгновений, чем (C) - мгновений: (A) - мгновений в соотношении 1: 1 с парами (C) - мгновений, Таким образом, нет никакого противоречия в количестве точек: неформальная половина равна строгому целому (для атомной теории требуется другое решение в соответствии с положениями, представленными в последнем абзаце этого раздела).

(Позвольте мне упомянуть похожий парадокс движения - «жернов», приписываемый Маймониду. Представьте себе два колеса, одно в два раза больше радиуса и окружности другого, прикрепленных к одной оси. Пусть они бегут по дорожке с поднятым рельсом чтобы удерживать ось в горизонтальном положении, на один оборот обоих колес [они вращаются с одинаковой скоростью из-за оси]: каждая точка каждого колеса контактирует ровно с одной точкой его рельса, а каждая точка каждого рельса - с одной точкой его колеса. Собирается ли сборка расстояние, равное окружности большого колеса? Из малого? Оба? Что-то еще? Как? Эта проблема также требует понимания континуума, но это не парадокс Зенона, поэтому мы будем оставь это на смекалку читателю.)

Окончательная возможная реконструкция стадиона Зенона принимает его в качестве аргумента против атомной теории пространства и времени, что интересно, поскольку современная физика исследует такую точку зрения, когда она пытается «квантовать» пространство-время. Предположим, что стороны каждого куба равны «кванту» длины и что два рассматриваемых момента разделены одним квантом времени. Тогда должно произойти что-то странное, потому что самые правые (B) и середина (C) проходят друг друга во время движения, и все же нет момента, когда они находятся на одном уровне: два момента разделены наименьшим возможное время, между ними не может быть момента - это время будет меньше, чем наименьшее время из двух рассмотренных нами моментов. И наоборот, если кто-то настаивал на том, что если они проходят, то должен быть момент, когда они находятся на одном уровне,затем он показывает, что не может быть кратчайшим конечным интервалом - каким бы он ни был, просто запустите этот аргумент против него. Однако зачем настаивать на этом предположении? Проблема состоит в том, что естественно представить квантованное пространство как шахматную доску, на которой шахматные фигуры заморожены в течение каждого кванта времени. Тогда возникает вопрос, когда, скажем, красная королева переходит от одного квадрата к другому, или как она проходит мимо белой королевы, не будучи на одном уровне с ней. Но аналогия вводит в заблуждение. Лучше думать о квантованном пространстве как о гигантской матрице огней, которая содержит какой-то образец освещенных огней для каждого кванта времени. В этой аналогии горит лампочка, представляющая присутствие объекта: например, серия лампочек в линии, загорающейся последовательно, представляет собой тело, движущееся по прямой линии. В этом случае нет соблазна спросить, когда свет «попадает» из одной лампочки в другую или, по аналогии, как тело перемещается из одного места в другое. (Здесь мы затрагиваем вопросы временных частей и того, переносятся ли объекты или остаются в живых).

4. Еще два парадокса

Еще два парадокса приписываются Аристотелю Зенону, но они приводятся в контексте других замечаний, которые он делает, поэтому намерение Зенона не может быть определено с какой-либо определенностью: даже если они предназначены для спора против множественности и движения. Мы обсудим их кратко для полноты.

4.1 Парадокс Места

Трудность Зенона требует объяснения; ибо, если все, что существует, имеет место, место тоже будет иметь место, и так до бесконечности. (Физика Аристотеля, 209a23)

Когда он устанавливает свою теорию места - важнейшее пространственное понятие в своей теории движения - Аристотель перечисляет различные теории и проблемы, которые его предшественники, включая Зенона, сформулировали на эту тему. Аргумент снова поднимает вопросы бесконечности, поскольку второй шаг аргумента утверждает бесконечный регресс мест. Однако Аристотель представляет это как аргумент против самой идеи места, а не множественности (тем самым, вероятно, вырывая ее из контекста). Трудно почувствовать силу заключения, потому что почему не должно быть бесконечного ряда мест мест мест …? Предположительно беспокойство было бы больше для того, кто (как Аристотель) полагал, что не может быть фактической бесконечности вещей, поскольку аргумент, кажется, показывает, что они есть. Но, как мы уже говорили выше, сегодня у нас нет таких проблем;кажется, нет ничего проблемного с фактической бесконечностью мест.

Единственный другой путь, который может вызвать беспокойство регресса, - это если считать, что тела имеют «абсолютные» места, в том смысле, что всегда есть уникальный привилегированный ответ на вопрос «где это»? Проблема не в том, что мест бесконечно много, а в том, что их много. И Аристотель, возможно, имел эту проблему, поскольку в его теории движения естественное движение тела определяется отношением его места к центру вселенной: счет, который требует места, которое должно быть определено, потому что естественное движение есть. (См. Сорабджи 1988 и Моррисон 2002 для общего, конкурирующего описания взглядов Аристотеля на место; глава 3 последнего специально посвящена обсуждению Аристотелем трактовки этого парадокса.) Но если предположить, что это место является абсолютным по любой причине, то для пример,где я как пишу? Если парадокс верен, то я на своем месте, и я также на своем месте, на месте моего места и на моем…. Поскольку я во всех этих местах, любой может показаться подходящим ответом на вопрос. Возможны различные ответы: отрицать абсолютные места (особенно потому, что наша физика не требует их), определять понятие места, которое является уникальным во всех случаях (возможно, решение Аристотеля), или, возможно, утверждать, что места - это их собственные места, тем самым отрезая регресс !определить понятие места, которое является уникальным во всех случаях (возможно, решение Аристотеля), или, возможно, утверждать, что места являются их собственными местами, тем самым отрезая регресс!определить понятие места, которое является уникальным во всех случаях (возможно, решение Аристотеля), или, возможно, утверждать, что места являются их собственными местами, тем самым отрезая регресс!

4.2 Зерно проса

… Аргументация Зенона ложна, когда он утверждает, что нет части проса, которая не издает ни звука; ибо нет никаких причин, по которым какая-либо часть не должна в течение какого-то промежутка времени не перемещать воздух, который весь бушель движется при падении. (Физика Аристотеля, 250а19)

В связи с этим Аристотель объясняет, что часть силы, которая много, не производит ту же долю движения. Например, в то время как 100 грузчиков могут буксировать баржу, нельзя заставить ее двигаться вообще, не говоря уже о 1/100 скорости; поэтому, учитывая сколько угодно времени, он не может сдвинуть его до 100. (Мы описываем этот факт как эффект трения.) Точно так же, только потому, что падающий бушель проса издает свистящий звук при падении, он делает не следуйте тому, что каждое отдельное зерно будет или будет делать: учитывая столько времени, сколько хотите, оно не будет перемещать столько же воздуха, сколько бушель. Однако, опровергая это предположение, Аристотель не объясняет, какую роль он сыграл для Зенона, и мы можем только строить догадки. Даже не ясно, является ли это частью парадокса или какого-то другого спора:Зенон также утверждал, что показал, что ни одна крупа проса не издает ни звука? Одно предположение состоит в том, что наши чувства обнаруживают, что это не так, поскольку мы не можем слышать, как падает ни одно зерно. Тогда ответ Аристотеля уместен; и так же ответ, что сам слух требует движения в воздухе выше определенного порога.

5. Влияние Зенона на философию

В этом последнем разделе мы должны кратко рассмотреть влияние, которое Зенон оказал на различных философов; поиск литературы покажет, что эти дебаты продолжаются.

  • Пифагорейцы. В первой половине двадцатого столетия большинство читателей Зенона, последовавшего за Таннери (1885 г.), считали, что его аргументы направлены против технической доктрины пифагорейцев. Согласно этому прочтению, они считали, что все вещи состоят из элементов, обладающих свойствами единичного числа, геометрической точки и физического атома: такая позиция соответствовала бы их учению о том, что реальность является в основном математической. Тем не менее, в середине века ряд комментаторов (Vlastos, 1967, суммирует аргумент и содержит ссылки) убедительно доказывал, что целью Зенона было вместо этого понимание здравого смысла множественности и движения - основанное на знакомых геометрических понятиях - и действительно, что Доктрина не была основной частью пифагорейской мысли. Мы неявно предположили, что эти аргументы верны в наших прочтениях парадоксов. Тем не менее, интерпретация Tannery все еще имеет своих защитников (см., Например, Matson 2001).
  • Атомисты: Аристотель (О порождении и коррупции 316b34) утверждает, что наш третий аргумент - тот, который касается полной делимости - был тем, что убедило атомистов в том, что должны быть наименьшие, неделимые части материи. См. Авраам (1972) для дальнейшего обсуждения связи Зенона с атомщиками.
  • Становление во времени: В начале двадцатого века несколько влиятельных философов пытались использовать аргументы Зенона для служения метафизике «временного становления», (предполагаемого) процесса, посредством которого возникает настоящее. Такие мыслители, как Бергсон (1911), Джеймс (1911, гл. 10–11) и Уайтхед (1929), утверждали, что парадоксы Зенона показывают, что пространство и время не структурированы как математический континуум: они утверждали, что способ сохранить реальность движения было отрицать, что пространство и время состоят из точек и моментов. Тем не менее, мы ясно увидели, что инструменты стандартной современной математики способны решать парадоксы, поэтому такой вывод не представляется оправданным: если настоящее действительно «становится», нет никаких оснований полагать, что этот процесс не охвачен по континууму.
  • Применение математического континуума к физическому пространству и времени: следуя указаниям, данным Расселом (1929, 182–198), ряд философов, прежде всего Грюнбаум (1967), взялись за задачу показать, как современная математика может решить все задачи Зенона. парадоксы; их работа полностью повлияла на наше обсуждение аргументов. Они поняли, что чисто математического решения было недостаточно: парадоксы ставят под сомнение не только абстрактную математику, но и природу физической реальности. Поэтому они искали аргумент не только о том, что Зенон не представляет угрозы для математики бесконечности, но также и о том, что эта математика правильно описывает объекты, время и пространство. Это не ответило бы на парадоксы Зенона, если бы использованная нами математическая структура не была хорошим описанием реального пространства, времени и движения!Идея о том, что математический закон - скажем, закон всемирного тяготения Ньютона - может или не может правильно описывать вещи, знакома, но некоторые аспекты математики бесконечности - природа континуума, определение бесконечных сумм и т. Д. - кажутся такими основными что на первых порах может быть трудно понять, что они тоже применяются случайно. Но, конечно, они делают: ничто не гарантирует априори, что у пространства есть структура континуума, или даже что части пространства складываются согласно определению Коши. (Salmon предлагает хороший пример, чтобы помочь понять это: так как алкоголь растворяется в воде, если вы смешаете два из них, у вас будет меньше, чем сумма их объемов, показывая, что даже обычное добавление неприменимо к любой системе. Наше убеждение в том, что математическая теория бесконечности описывает пространство и время, оправдано в той мере, в которой законы физики предполагают, что это так, и в той степени, в которой эти законы сами подтверждаются опытом. Хотя верно, что почти все физические теории предполагают, что пространство и время действительно имеют структуру континуума, это также тот случай, когда квантовые теории гравитации, вероятно, подразумевают, что они этого не делают. Хотя никто на самом деле не знает, к чему в конечном итоге приведет это исследование, вполне возможно, что пространство и время на самом фундаментальном уровне окажутся совершенно непохожими на математический континуум, который мы здесь приняли. Хотя верно, что почти все физические теории предполагают, что пространство и время действительно имеют структуру континуума, это также тот случай, когда квантовые теории гравитации, вероятно, подразумевают, что они этого не делают. Хотя никто на самом деле не знает, к чему в конечном итоге приведет это исследование, вполне возможно, что пространство и время на самом фундаментальном уровне окажутся совершенно непохожими на математический континуум, который мы здесь приняли. Хотя верно, что почти все физические теории предполагают, что пространство и время действительно имеют структуру континуума, это также тот случай, когда квантовые теории гравитации, вероятно, подразумевают, что они этого не делают. Хотя никто на самом деле не знает, к чему в конечном итоге приведет это исследование, вполне возможно, что пространство и время на самом фундаментальном уровне окажутся совершенно непохожими на математический континуум, который мы здесь приняли.

    Следует также отметить, что Грюнбаум взял на себя задачу показать, что современная математика описывает пространство и время, вовлекая что-то весьма отличное от утверждения, что это подтверждается опытом. Доминирующее мнение в то время (хотя и не в настоящее время) заключалось в том, что научные термины имели значение, поскольку они непосредственно ссылались на объекты опыта - такие как «правитель 1 м» - или, если они ссылались на «теоретические», а не «наблюдаемые» объекты - такие как «точка пространства» или «1/2 от 1/2 от… 1/2 беговой дорожки», - тогда они получили смысл посредством своих логических отношений - через определения и теоретические законы - к таким терминам наблюдения. Таким образом, Грюнбаум предпринял впечатляющую программу, чтобы придать смысл всем терминам, включенным в современную теорию бесконечности, интерпретируемым как счет пространства и времени.

  • Сверхзадачи. Еще одна мысль связана с тем, что Блэк (1950–51) назвал «машинами бесконечности». Блэк и его последователи хотели показать, что, хотя парадоксы Зенона не создавали проблем для математики, они показали, что в конце концов математика неприменима к пространству, времени и движению. Самое резкое, что наше решение по Дихотомии и Ахиллесу предполагает, что полный цикл можно разбить на бесконечную серию половинных прогонов, которые можно суммировать. Но действительно ли возможно выполнить какой-либо бесконечный ряд действий: выполнить то, что известно как «суперзадача»? Если нет, и если предположить, что Аталанта и Ахиллес могут завершить свои задачи, их полные прогоны нельзя правильно описать как бесконечную серию неполных прогонов, хотя современная математика могла бы так их описать. Предполагается, что бесконечные машины должны создавать бесконечную серию задач, поэтому любая выполнимая задача не может быть разбита на бесконечность более мелких задач, что бы ни предложила математика.
  • Бесконечно малые. Наконец, мы увидели, как справляться с парадоксами, используя математические ресурсы, разработанные в девятнадцатом веке. Долгое время одним из величайших достоинств этой системы считалось, что она наконец показала, что бесконечно малые величины, меньшие, чем любое конечное число, но больше нуля, не нужны. (Например, исчисление Ньютона эффективно использовало такие числа, рассматривая их иногда как нулевые, а иногда как конечные; проблема такого подхода заключается в том, что обработка чисел - дело интуиции, а не строгости.) Однако в двадцатом веке Робинсон показал, как вводить бесконечно малые числа в математику: это система «нестандартного анализа» (знакомая система действительных чисел, основанная на строгой основе Дедекинда, напротив, просто «анализ»). Аналогично,Белл (1988) объясняет, как бесконечно малые отрезки могут быть введены в геометрию, и комментирует их отношение к Зенону. Более того, Маклафлин (1992, 1994) показывает, как парадоксы Зенона могут быть разрешены в нестандартном анализе; они не более аргументируют против нестандартного анализа, чем против стандартной математики, которую мы здесь предположили. Следует подчеркнуть, однако, что - вопреки предложениям Маклафлина - нет необходимости в нестандартном анализе для разрешения парадоксов: любая система одинаково успешна. (Reeder, 2015, утверждает, что нестандартный анализ является неудовлетворительным в отношении стрелки, и предлагает альтернативное объяснение, используя другую концепцию бесконечно малых.) Однако конструкция нестандартного анализа поднимает еще один вопрос о применимости анализа к физическим пространство и время:кажется правдоподобным, что все физические теории могут быть сформулированы в обоих терминах, и, поскольку наш опыт расширяется, обе кажутся одинаково подтвержденными. Но оба они не могут быть верными для пространства и времени: либо пространство имеет бесконечно малые части, либо его нет.

Дальнейшие чтения

После соответствующих записей в этой энциклопедии местом, где можно начать дальнейшее расследование, является Salmon (2001), в котором содержатся некоторые из наиболее важных статей о Зено до 1970 года и впечатляюще полная библиография произведений на английском языке в двадцатом веке.

Можно также взглянуть на Huggett (1999, Ch. 3) и Huggett (2010, Ch. 2–3) для дальнейших отрывков источника и обсуждения. Для ознакомления с математическими идеями, стоящими за современными решениями, приложение к Salmon (2001) или Stewart (2017) - хорошее начало; Russell (1919) и Courant et al. (1996, гл. 2 и 9) также являются замечательными источниками. Наконец, три сборника оригинальных источников парадоксов Зенона: Ли (1936 [2015]) содержит все известное, Кирк и др. (1983, гл. 9) содержит большое количество материалов (на английском и греческом) с полезными комментариями, и Коэн и другие. (1995) также имеет основные пассажи.

Библиография

  • Авраам, WE, 1972, «Природа аргумента Зенона против множественности в DK 29 B I», Phronesis, 17: 40–52.
  • Аристотель, «О порождении и коррупции», А. А. Иоахим (перевод), в Полное собрание сочинений Аристотеля, Дж. Барнс (ред.), Принстон: издательство Принстонского университета, 1984.
  • Аристотель, «Физика», У. Д. Росс (перевод), в «Полных сочинениях Аристотеля», Дж. Барнс (ред.), Принстон: Издательство Принстонского университета, 1984.
  • Arntzenius, F., 2000, «Существуют ли действительно мгновенные скорости?», Monist, 83: 187–208.
  • Белл, JL, 1988, «Infinitesimals», Synthese, 75 (3): 285–315.
  • Белот, Дж. И Эрман, Дж., 2001, «Предсократическая квантовая гравитация», в Physics встречает философию в масштабе Планка: современные теории в квантовой гравитации, C. Callender и N. Huggett (eds), Кембридж: Кембриджский университет Нажмите.
  • Бергсон, Х., 1911, Creative Evolution, А. Митчелл (перевод), Нью-Йорк: Холт, Рейнхарт и Уинстон.
  • Блэк, М., 1950, «Ахилл и черепаха», Анализ, 11: 91–101.
  • Cohen, SM, Curd, P. and Reeve, CDC (eds), 1995, Чтения по древнегреческой философии от Фалеса до Аристотеля, Индианаполис / Кембридж: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Курант Р., Роббинс Х. и Стюарт И., 1996 г. Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам, 2-е издание, Нью-Йорк, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Дейви, К., 2007, «Аристотель, Зенон и парадокс стадиона», Quarterly History of Philosophy, 24: 127–146.
  • Диоген Лаэрций, 1983, «Жизни известных философов», с.273 «Пресократические философы: критическая история с подборкой текстов», 2-е издание, Г. С. Кирк, Дж. Э. Равен и М. Шофилд (ред.), Кембридж: издательство Кембриджского университета,
  • Эрлих, П., 2014, «Эссе в честь девяностого дня рождения Адольфа Грюнбаума: пересмотр парадокса расширения Зенона», Философия науки, 81 (4): 654–675.
  • Грюнбаум, А., 1967, «Современная наука и парадоксы Зенона», Мидлтаун: издательство Wesleyan University Connect.
  • Huggett, N. (ed.), 1999, Пространство от Зенона до Эйнштейна: классические чтения с современным комментарием, Кембридж, MA: MIT Press.
  • Huggett, N., 2010, «Повсюду и везде: приключения в физике и философии», Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Джеймс В., 1911, «Некоторые проблемы философии», Нью-Йорк: Longmans, Green & Co.
  • Кирк Г. С., Рейвен Дж. Э. и Шофилд М. (ред.), 1983, «Пресократические философы: критическая история с подборкой текстов», 2-е издание, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Lee, HDP (ed.), 1936 [2015], Zeno of Elea: текст, с переводом и примечаниями, Cambridge: Cambridge University Press, перепечатано в 2015 году.
  • Matson, WI, 2001, «Zeno Moves!», В очерках по древнегреческой философии VI: до Платона, А. Преус (ред.), Олбани: Государственный университет Нью-Йорк Пресс.
  • McLaughlin, WI, 1994, «Разрешение парадоксов Зенона», Scientific American, 271 (5): 84–89.
  • McLaughlin WI и Miller SL, 1992, «Эпистемологическое использование нестандартного анализа для ответа на возражения Зенона против движения», Synthese, 92: 371–384.
  • Морисон, B, 2002, На месте: Концепция Аристотеля Место, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Ньютон И. Принципы: математические основы естественной философии, И. Б. Коэн и А. М. Уитмен (пер.), Беркли: Университет Калифорнийской прессы, 1999.
  • Платон, 1997, «Пармениды», М. Л. Джилл и П. Райан (перевод), в Платоне: Полное собрание сочинений, Дж. М. Купер (ред.), Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Ридер, П., 2015, «Стрелка Зенона и исчисление бесконечно малых», Synthese, 192: 1315–1335.
  • Рассел, Б., 1919, Введение в математическую философию, Лондон: Джордж Аллен и Унвин Лтд.
  • Рассел, Б., 1929, «Наши знания о внешнем мире», Нью-Йорк: WW Norton & Co. Inc.
  • Salmon, WC, 2001, Zeno's Paradoxes, 2-е издание, Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Саттлер, Б., 2015, «Время удваивает неприятности: движущиеся строки Зенона», Древняя философия, 35: 1–22.
  • Шерри, Д. М., 1988, «Возвращение к метрическому парадоксу Зенона», Philosophy of Science, 55: 58–73.
  • Simplicius (а), «О физике Аристотеля», в чтениях по древнегреческой философии от Фалеса до Аристотеля, С. М. Коэн, П. Керда и CDC Рив (ред.), Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc., стр. 58–59, 1995.
  • Simplicius (b), «О физике Аристотеля» 6, Д. Констан (перевод), Лондон: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.
  • Сорабджи Р., 1988, «Материя, пространство и теории движения в древности и их продолжение», Итака: издательство Корнеллского университета.
  • Стюарт, I., 2017, Бесконечность, очень краткое введение, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Tannery, P., 1885, «Le Concept Scientifique du непрерывно: Zenon d'Elee et Georg Cantor», Revue Philosophique de la France et de l'Etranger, 20: 385–410.
  • Vlastos, G., 1967, «Zeno of Elea», в «Энциклопедии философии», P. Edwards (ed.), New York: The Macmillan Co. и The Free Press.
  • Уайтхед, AN, 1929, Процесс и реальность, Нью-Йорк: Macmillan Co.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

Рекомендуем: