Теория моделей

Оглавление:

Теория моделей
Теория моделей

Видео: Теория моделей

Видео: Теория моделей
Видео: Шехтман В. Б. - Введение в математическую логику и теорию алгоритмов - Эквивалентность моделей 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Теория моделей

Впервые опубликовано 10 ноября 2001 г.; основная ревизия ср 17 июля 2013

Теория моделей началась с изучения формальных языков и их интерпретаций, а также видов классификации, которые может сделать конкретный формальный язык. Основная теория моделей в настоящее время является сложной отраслью математики (см. Статью о теории моделей первого порядка). Но в более широком смысле теория моделей - это изучение интерпретации любого языка, формального или естественного, посредством теоретико-множественных структур с определением истинности Альфреда Тарского в качестве парадигмы. В этом более широком смысле теория моделей встречает философию в нескольких аспектах, например, в теории логических следствий и в семантике естественных языков.

  • 1. Основные понятия теории моделей
  • 2. Теоретико-модельное определение
  • 3. Теоретико-модельное следствие
  • 4. Выразительная сила
  • 5. Модели и моделирование
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Основные понятия теории моделей

Иногда мы пишем или произносим предложение (S), которое не выражает ничего ни истинного, ни ложного, потому что отсутствует некоторая важная информация о том, что означают эти слова. Если мы продолжим добавлять эту информацию, чтобы (S) выражал истинное или ложное утверждение, говорят, что мы интерпретируем (S), а добавленная информация называется интерпретацией (S)., Если интерпретация (I) заставляет (S) утверждать что-то истинное, мы говорим, что (I) является моделью (S) или что (I) удовлетворяет (S)), в символах '(I / vDash S)'. Другой способ сказать, что (I) является моделью (S), это сказать, что (S) истинно в (I), и поэтому у нас есть понятие теоретико-модельной истины, которая это истина в определенной интерпретации. Но следует помнить, что утверждение «(S) истинно в (I)» является просто перефразировкой слова «(S), если истолковано как в (I), верно»;поэтому теоретическая истина паразитирует на простой обычной истине, и мы всегда можем перефразировать ее.

Например, я мог бы сказать,

Он убивает их всех,

и предложите толкование, что «он» - Альфонсо Арбластер из 35 «Полумесяц, Битлфорд», а «они» - голуби на его чердаке. Эта интерпретация объясняет (а) к каким объектам относятся некоторые выражения, и (б) к каким классам относятся некоторые квантификаторы. (В этом примере есть один квантификатор: «все они»). Интерпретации, которые состоят из пунктов (a) и (b), очень часто появляются в теории моделей, и они известны как структуры. Определенные виды теории моделей используют определенные виды структуры; например, теория математической модели имеет тенденцию использовать так называемые структуры первого порядка, теория моделей модальной логики использует структуры Крипке и так далее.

Структура (I) в предыдущем абзаце включает один фиксированный объект и один фиксированный класс. Поскольку мы описали структуру сегодня, класс - это класс голубей в лофте Альфонсо сегодня, а не те, которые придут завтра, чтобы заменить их. Если Альфонсо Арбластер убьет всех голубей на своем чердаке сегодня, то (I) удовлетворяет приведенному предложению сегодня, но не удовлетворит его завтра, потому что Альфонсо не может убить тех же голубей дважды. В зависимости от того, для чего вы хотите использовать теорию модели, вы можете с удовольствием оценить предложения сегодня (время по умолчанию) или записать, как они удовлетворяются в одно время, а не в другое. В последнем случае вы можете релятивизировать понятие модели и написать '(I / vDash_t S)', чтобы обозначить, что (I) является моделью (S) в момент времени (t). То же самое относится и к местам,или к чему-либо еще, что может быть затронуто другими неявными индексными признаками в предложении. Например, если вы верите в возможные миры, вы можете индексировать (vDash) по возможному миру, в котором должно оцениваться предложение. Помимо использования теории множеств, теория моделей полностью независима от того, какие вещи существуют.

Обратите внимание, что объекты и классы в структуре несут метки, которые направляют их на правильные выражения в предложении. Эти ярлыки являются неотъемлемой частью структуры.

Если один и тот же класс используется для интерпретации всех квантификаторов, этот класс называется доменом или юниверсом структуры. Но иногда бывают квантификаторы разных классов. Например, если я скажу

Одна из этих штуковинных болезней убивает всех птиц.

вы будете искать толкование, которое присваивает класс болезней «этим штуковинам» и класс птиц «птицам». Интерпретации, которые дают два или более классов для различных квантификаторов, считаются многосортными, а классы иногда называют сортировками.

Вышеприведенные идеи все еще могут быть полезны, если мы начнем с предложения (S), которое действительно говорит что-то истинное или ложное без необходимости дальнейшей интерпретации. (Теоретики моделей говорят, что такое предложение полностью истолковано.) Например, мы можем рассмотреть неверные интерпретации (I) полностью интерпретированного предложения (S). Неправильная интерпретация (S), которая делает его истинным, называется нестандартной или непреднамеренной моделью (S). Раздел математики, называемый нестандартным анализом, основан на нестандартных моделях математических утверждений о действительных или комплексных системах счисления; см. раздел 4 ниже.

Также говорится о теоретико-модельной семантике естественных языков, которая является способом описания значений предложений на естественном языке, а не способом придания им значения. Связь между этой семантикой и теорией модели немного косвенная. Оно лежит в определении правды Тарского 1933 года. Более подробную информацию смотрите в записи об определениях правды Тарского.

2. Теоретико-модельное определение

Предложение (S) делит все возможные интерпретации на два класса: те, которые являются его моделями, и те, которые не являются его моделями. Таким образом, он определяет класс, а именно класс всех его моделей, написанных (Mod (S)). Чтобы взять юридический пример, предложение

Первое лицо передало имущество второму лицу, которое тем самым владеет имуществом в пользу третьего лица.

определяет класс структур, которые принимают форму помеченных 4-кортежей, как, например, (написание метки слева):

  • первый человек = Альфонсо Арбластер;
  • собственность = заброшенная земля за домом Альфонсо;
  • второй человек = Джон Доу;
  • третий человек = Ричард Роу.

Это типичное теоретико-модельное определение, определяющее класс структур (в данном случае этот класс известен юристам как трасты).

Мы можем расширить идею теоретико-модельного определения от одного предложения (S) до множества (T) предложений; (Mod (T)) - это класс всех интерпретаций, которые являются одновременно моделями всех предложений в (T). Когда набор (T) предложений используется для определения класса таким образом, математики говорят, что (T) является теорией или набором аксиом, и что (T) аксиоматизирует класс (Mod (Т)).

Возьмем, к примеру, следующий набор предложений первого порядка:

(begin {align *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / Конец {выравнивание *})

Здесь метками являются дополнительный символ «+», минус «(-)» и постоянный символ «0». В интерпретации также необходимо указать домен для квантификаторов. С одним условием, модели этого набора предложений являются именно теми структурами, которые математики знают как абелевы группы. При условии, что в абелевой группе (A) область должна содержать интерпретацию символа 0 и должна быть закрыта при интерпретации символов + и (-). В теории математической модели это условие встроено (или соответствующие условия для других функций и постоянных символов) в определение структуры.

Каждая математическая структура привязана к определенному языку первого порядка. Структура содержит интерпретации определенных предикатов, функций и постоянных символов; каждый предикат или символ функции имеет фиксированную арность. Коллекция (K) этих символов называется сигнатурой структуры. Символы в подписи часто называют нелогичными константами, и более старое название для них - примитивы. Язык подписи первого порядка (K) - это язык первого порядка, построенный с использованием символов в (K) вместе со знаком равенства =, для построения его атомарных формул. (См. Статью о классической логике.) Если (K) является сигнатурой, (S) является предложением языка сигнатуры (K), а (A) является структурой, сигнатура которой является (K), тогда, поскольку символы совпадают, мы знаем, что (A) делает (S) истинным или ложным. Таким образом, один класс абелевых групп определяется как класс всех структур сигнатур (+), (-), (0), которые являются моделями приведенных выше предложений. Помимо того факта, что он использует формальный язык первого порядка, это в точности обычное для алгебраистов определение класса абелевых групп; теория моделей формализует своего рода определение, которое чрезвычайно распространено в математике.

Теперь определяющие аксиомы для абелевых групп имеют три вида символов (кроме знаков препинания). Сначала есть логический символ = с фиксированным значением. Во-вторых, это нелогичные константы, которые получают свою интерпретацию, применяя ее к определенной структуре; с ними следует группировать символы квантификаторов, поскольку структура также определяет область, в которой квантификаторы располагаются. И, в-третьих, есть переменные (x, y) и т. Д. Этот трехуровневый шаблон символов позволяет нам определять классы вторым способом. Вместо того, чтобы искать интерпретации нелогических констант, которые сделают предложение истинным, мы фиксируем интерпретации нелогических констант, выбирая конкретную структуру (A), и мы ищем присвоения элементов (A) для переменные, которые сделают данную формулу истинной в (A).

Например, пусть (mathbb {Z}) - аддитивная группа целых чисел. Его элементами являются целые числа (положительные, отрицательные и 0), а символы (+), (-), (0) имеют свои обычные значения. Рассмотрим формулу

[v_1 + v_1 = v_2.)

Если мы присвоим число (- 3) (v_1), а число (- 6) - (v_2), формула получится истинной в (mathbb {Z}). Мы выражаем это, говоря, что пара ((- 3, -6)) удовлетворяет этой формуле в (mathbf {Z}). Аналогичным образом (15,30) и (0,0) его удовлетворяют, но ((2, -4)) и (3,3) - нет. Таким образом, формула определяет бинарное отношение к целым числам, а именно множество пар целых чисел, которые его удовлетворяют. Определенное таким образом отношение в структуре (A) называется определяемым отношением первого порядка в (A). Полезное обобщение - позволить определяющей формуле использовать добавленные имена для некоторых конкретных элементов (A); эти элементы называются параметрами, и тогда связь определяется параметрами.

Этот второй тип определения, определяющий отношения внутри структуры, а не классов структуры, также формализует обычную математическую практику. Но на этот раз практика принадлежит геометрии, а не алгебре. Вы можете распознать отношение в поле действительных чисел, определяемое по формуле

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

Это круг радиуса 1 вокруг начала координат в реальной плоскости. Алгебраическая геометрия полна определений такого рода.

В течение 1940-х годов несколько человек (главным образом, Анатолий Мальцев в России, Альфред Тарский в США и Авраам Робинсон в Великобритании) пришли к выводу, что метатеоремы классической логики могут быть использованы для доказательства математических теорем о классах, определенных двумя способами, которые мы имеем только что описал. В 1950 году и Робинсон, и Тарски были приглашены выступить на Международном конгрессе математиков в Кембриджской мессе по этой новой дисциплине (которая пока не имела названия - Тарский предложил название «теория моделей» в 1954 году). Стоит привести заключение выступления Робинсона на этом Конгрессе:

Конкретные примеры, приведенные в настоящей статье, продемонстрируют, что современная символическая логика может дать полезные инструменты - хотя и не всемогущие - для развития реальной математики, в частности для развития алгебры и, как представляется, алгебраическая геометрия. Это реализация амбиций, которые были выражены Лейбницем в письме к Гюйгенсу еще в 1679 году.

На самом деле Мальцев уже несколько лет назад достаточно глубоко применил теорию моделей в теории групп, но в политических условиях того времени его работа в России еще не была известна на Западе. К концу двадцатого века надежды Робинсона полностью оправдались; см. статью о теории моделей первого порядка.

Есть по крайней мере два других вида определения в теории моделей, кроме этих двух выше. Третий известен как интерпретация (особый случай интерпретаций, с которых мы начали). Здесь мы начинаем со структуры (A) и строим другую структуру (B), подпись которой не обязательно должна быть связана с сигнатурой (A), определяя область (X) из (B).) и все помеченные отношения и функции (B) являются отношениями, определяемыми в (A) определенными формулами с параметрами. Дальнейшее уточнение состоит в том, чтобы найти определяемое отношение эквивалентности на (X) и принять область (B) не за саму (X), а за множество классов эквивалентности этого отношения. Структура (B), построенная таким образом, называется интерпретируемой в структуре (A).

Простым примером, опять же из стандартной математики, является интерпретация группы (mathbb {Z}) целых чисел в структуре (mathbb {N}), состоящей из натуральных чисел 0, 1, 2 и т. Д. с метками для 0, 1 и +. Чтобы построить область (mathbb {Z}), мы сначала возьмем множество (X) всех упорядоченных пар натуральных чисел (ясно определяемое соотношение в (mathbb {N})) и на этот набор (X) мы определяем отношение эквивалентности (sim)

[(a, b) sim (c, d) text {тогда и только тогда, когда} a + d = b + c)

(снова определимо). Область (mathbb {Z}) состоит из классов эквивалентности этого отношения. Мы определим сложение на (mathbb {Z}) как

[(a, b) + (c, d) = (e, f) text {тогда и только тогда, когда} a + c + f = b + d + e.)

Класс эквивалентности ((a, b)) становится целым числом (a - b).

Когда структура (B) интерпретируется в структуре (A), каждое утверждение первого порядка о (B) может быть преобразовано обратно в утверждение первого порядка о (A), и в этом Таким образом, мы можем считать полную теорию (B) из теории (A). Фактически, если мы выполним эту конструкцию не только для одной структуры (A), но и для семейства моделей теории (T), всегда используя одни и те же определяющие формулы, то все полученные структуры будут моделями теория (T '), которую можно прочитать из (T), и определяющие формулы. Это дает точный смысл утверждению, что теория (T ') интерпретируется в теории (T). Философы науки иногда экспериментировали с этим понятием интерпретации как способа уточнить, что означает, что одна теория сводится к другой. Но реалистичные примеры сокращений между научными теориями, как правило, кажутся гораздо более тонкими, чем позволяет эта простодушная модель-теоретическая идея. Смотрите запись о межтеориальных отношениях в физике.

Четвертый тип определимости - это пара понятий, неявная определимость и явная определимость определенного отношения в теории. См. Раздел 3.3 статьи о теории моделей первого порядка.

К сожалению, раньше существовала очень запутанная теория о теоретико-модельных аксиомах, которая также называлась неявным определением. К концу XIX века математическая геометрия перестала быть исследованием пространства и стала изучением классов структур, удовлетворяющих определенным «геометрическим» аксиомам. Геометрические термины, такие как «точка», «линия» и «между», сохранились, но только как примитивные символы в аксиомах; у них больше не было никакого значения, связанного с ними. Таким образом, старый вопрос о том, был ли параллельный постулат Евклида (как утверждение о пространстве) выводим из других предположений Евклида о пространстве, больше не был интересен для геометров. Вместо этого, геометры показали, что если записать обновленную версию других предположений Евклида, в форме теории (T),тогда можно было найти модели (T), которые не удовлетворяют параллельному постулату. (См. Статью о геометрии в 19-м веке, в которой говорится о вкладе Лобачевского и Кляйна в это достижение.) В 1899 году Дэвид Гильберт опубликовал книгу, в которой он построил такие модели, используя именно тот метод интерпретации, который мы только что описали.

Проблемы возникли из-за того, как Гилберт и другие описали, что они делают. История сложная, но примерно следующее произошло. Примерно в середине девятнадцатого века люди заметили, например, что в абелевой группе функция минус определяется через 0 и + (а именно: (- a) такой элемент (b), что (a + b = 0)). Поскольку это описание минуса на самом деле является одной из аксиом, определяющих абелевы группы, мы можем сказать (используя термин, взятый из JD Gergonne, который не должен нести ответственность за последующее использование его), что аксиомы для абелевых групп неявно определяют минус. Говоря языком времени, кто-то сказал не то, что аксиомы определяют функцию минус, но что они определяют понятие минус. Теперь предположим, что мы переключаемся и пытаемся определить плюс в терминах минус и 0. Таким образом, сделать это невозможно, поскольку можно иметь две абелевы группы с одинаковыми 0 и минусом, но разными плюс функциями. Вместо того, чтобы сказать это, математики девятнадцатого века пришли к выводу, что аксиомы лишь частично определяют плюс в терминах минус и 0. Поглотив так много, они продолжили говорить, что аксиомы вместе образуют неявное определение понятий плюс, минус и 0 вместе, и что это неявное определение является лишь частичным, но оно говорит об этих понятиях именно столько, сколько нам нужно знать. Далее они сказали, что аксиомы вместе образуют неявное определение понятий плюс, минус и 0 вместе, и что это неявное определение является лишь частичным, но оно говорит об этих понятиях именно столько, сколько нам нужно знать. Далее они сказали, что аксиомы вместе образуют неявное определение понятий плюс, минус и 0 вместе, и что это неявное определение является лишь частичным, но оно говорит об этих понятиях именно столько, сколько нам нужно знать.

Интересно, как могло случиться, что в течение пятидесяти лет никто не оспаривал эту чушь. На самом деле некоторые люди оспаривали это, в частности, геометр Мориц Паш, который в разделе 12 своей геометрии Vorlesungen über Neuere (1882) настаивал на том, что геометрические аксиомы ничего не говорят нам о значениях «точки», «линии» и т. Д. Вместо этого он сказанное, аксиомы дают нам отношения между понятиями. Если кто-то думает о структуре как о некоем упорядоченном (n) - наборе множеств и т. Д., То класс (Mod (T)) становится (n) - арным отношением, и счет Паша соглашается с нашими. Но он не смог изложить детали, и есть некоторые свидетельства того, что его современники (и некоторые более поздние комментаторы) думали, что он говорил, что аксиомы не могут определять значения «точка» и «линия»,но они определяют термины отношений, такие как «между» и «инцидент с»! Уничтожение Фреге доктрины неявного определения было виртуозно, но уже слишком поздно, чтобы спасти Гильберта от того, что в начале его Grundlagen der Geometrie он сказал, что его аксиомы дают «точное и математически адекватное описание» отношений «ложь», « между 'и' конгруэнтным '. К счастью, математика Гильберта говорит сама за себя, и можно просто обойти эти философские подделки. Теоретическое моделирование, которое мы сейчас берем за правильное описание этого направления работы, похоже, впервые появилось в группе вокруг Джузеппе Пеано в 1890-х годах, и оно достигло англоязычного мира через «Принципы математики» Бертрана Рассела в 1903 году.но уже слишком поздно, чтобы спасти Гильберта от того, что в начале его «Grundlagen der Geometrie» он сказал, что его аксиомы дают «точное и математически адекватное описание» отношений «ложь», «между» и «конгруэнтным». К счастью, математика Гильберта говорит сама за себя, и можно просто обойти эти философские подделки. Теоретическое моделирование, которое мы сейчас берем за правильное описание этого направления работы, похоже, впервые появилось в группе вокруг Джузеппе Пеано в 1890-х годах, и оно достигло англоязычного мира через «Принципы математики» Бертрана Рассела в 1903 году.но уже слишком поздно, чтобы спасти Гильберта от того, что в начале его «Grundlagen der Geometrie» он сказал, что его аксиомы дают «точное и математически адекватное описание» отношений «ложь», «между» и «конгруэнтным». К счастью, математика Гильберта говорит сама за себя, и можно просто обойти эти философские подделки. Теоретическое моделирование, которое мы сейчас берем за правильное описание этого направления работы, похоже, впервые появилось в группе вокруг Джузеппе Пеано в 1890-х годах, и оно достигло англоязычного мира через «Принципы математики» Бертрана Рассела в 1903 году. К счастью, математика Гильберта говорит сама за себя, и можно просто обойти эти философские подделки. Теоретическое моделирование, которое мы сейчас берем за правильное описание этого направления работы, похоже, впервые появилось в группе вокруг Джузеппе Пеано в 1890-х годах, и оно достигло англоязычного мира через «Принципы математики» Бертрана Рассела в 1903 году. К счастью, математика Гильберта говорит сама за себя, и можно просто обойти эти философские подделки. Теоретическое моделирование, которое мы сейчас берем за правильное описание этого направления работы, похоже, впервые появилось в группе вокруг Джузеппе Пеано в 1890-х годах, и оно достигло англоязычного мира через «Принципы математики» Бертрана Рассела в 1903 году.

3. Теоретико-модельное следствие

Предположим, что (L) - язык сигнатуры (K, T) - множество предложений (L), а (phi) - предложение (L). Тогда отношение

(Mod (T) subseteq / Mod (phi))

выражает, что каждая структура сигнатуры (K), которая является моделью (T), также является моделью (phi). Это известно как теоретико-модельное отношение следствия, и записано для краткости

[T / vDash / phi)

Двойное использование (vDash) - несчастье. Но в частном случае, когда (L) первого порядка, теорема полноты (см. Статью о классической логике) говорит нам, что '(T / vDash / phi)' имеет место тогда и только тогда, когда существует доказательство (phi) из (T), отношение, обычно записываемое

[T / vdash / phi)

Поскольку (vDash) и (vdash) выражают абсолютно одинаковое отношение в этом случае, теоретики моделей часто избегают двойного использования (vDash), используя (vdash) для теоретико-модельного следствия, Но поскольку последующее не ограничивается языками первого порядка, безопасность предполагает, что мы будем придерживаться (vDash) здесь.

До середины девятнадцатого века учебники логики обычно обучали студента проверять правильность аргумента (скажем, на английском языке), показывая, что он имеет одну из множества стандартных форм, или перефразируя его в такую форму. Стандартными формами были синтаксические и / или семантические формы аргументации на английском языке. Процесс был опасным: семантические формы почти по определению не видны на поверхности, и нет чисто синтаксической формы, которая гарантировала бы достоверность аргумента. По этой причине в большинстве старых учебников был длинный раздел «заблуждения» - способы, которыми неверный аргумент может показаться действительным.

В 1847 году Джордж Буль изменил эту договоренность. Например, чтобы проверить аргумент

Все монархи - люди. Нет людей непогрешимы. Поэтому никакие непогрешимые существа не являются монархами.

Boole интерпретирует символы (P, Q, R) как имена классов:

(P) это класс всех монархов.

(Q) - это класс всех людей.

(R) - класс всех непогрешимых существ.

Затем он указал бы, что первоначальный аргумент перефразирует в теоретико-множественное следствие:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Этот пример взят из Стенли Джевонса, 1869 г. Собственный рассказ Буле является своеобразным, но я считаю, что пример Джевонса точно отражает намерения Буле.) Сегодня мы будем писать (forall x (Px / rightarrow Qx)), а не (P / subseteq Q), но по сути это стандартное определение (P / subseteq Q), поэтому разница между нами и Boole незначительна.

Поскольку они следуют за Boole, современные учебники логики устанавливают, что аргументы английского языка действительны, сводя их к теоретическим последствиям модели. Поскольку класс теоретико-модельных следствий, по крайней мере, в логике первого порядка, не имеет ни одной неясности старых форм аргументов, учебники логики в этом стиле давно перестали иметь главу об ошибках.

Но есть одно предупреждение, которое сохранилось из старых учебников: если вы формализуете свой аргумент таким образом, который не является теоретическим следствием модели, это не означает, что аргумент недействителен. Это может означать только то, что вы не смогли проанализировать концепции в аргументе достаточно глубоко, прежде чем формализовать. Старые учебники использовались для обсуждения этого в тряпичной рубрике, называемой «темами» (то есть подсказками для поиска аргументов, которые вы, возможно, пропустили). Вот пример из Summulae Logicales Петра Испании 13-го века:

«Есть отец. Поэтому есть ребенок. … Откуда обоснованность этого аргумента? Из отношения. Максимум: когда одна из коррелированных пар положена, то и другая.

Гильберт и Аккерманн, возможно, учебник, который сделал больше всего для установления современного стиля, обсуждают в своем разделе III.3 очень похожий пример: «Если есть сын, то есть отец». Они указывают, что любая попытка оправдать это с помощью символики

(существует xSx / rightarrow / Существует xFx)

обречен на провал. «Доказательство этого утверждения возможно только в том случае, если мы проанализируем концептуально значения двух предикатов, которые встречаются», как они далее иллюстрируют. И, конечно, анализ находит именно то отношение, о котором говорил Петр Испанский.

С другой стороны, если ваш английский аргумент переводится в недопустимое теоретическое следствие модели, контрпример к следствию может дать подсказки о том, как вы можете описать ситуацию, которая сделала бы предпосылки вашего аргумента верными, а заключение неверным. Но это не гарантировано.

Можно задать ряд вопросов о том, действительно ли современная учебная процедура отражает разумное представление о логических последствиях. Например, в случае Буле все теоретико-множественные следствия, на которые он опирается, легко доказываются с помощью формальных доказательств в логике первого порядка, даже без использования каких-либо теоретико-множественных аксиом; и по теореме полноты (см. статью о классической логике) то же самое верно для логики первого порядка. Но для некоторых других логик это, конечно, не так. Например, теоретико-модельное соотношение следствий для некоторых логик времени предполагает некоторые факты о физической структуре времени. Кроме того, как указал сам Буль, его перевод с английского аргумента в его теоретико-множественную форму требует от нас полагать, что для каждого свойства, используемого в аргументе,существует соответствующий класс всех вещей, которые имеют свойство. Это опасно близко к противоречивой аксиоме понимания Фреге!

В 1936 году Альфред Тарский предложил определение логического следствия для аргументов в полностью интерпретированном формальном языке. Он предложил, чтобы аргумент действовал тогда и только тогда, когда: при любой разрешенной реинтерпретации его нелогичных символов, если предпосылки верны, то таков и вывод. Тарский предположил, что класс разрешенных реинтерпретаций можно прочесть из семантики языка, как изложено в его определении истинности. Он оставил это неопределенным, какие символы считают нелогичными; на самом деле он надеялся, что эта свобода позволит определить различные виды необходимости, возможно, отделив «логическое» от «аналитическое». Одна вещь, которая делает предложение Тарского трудным для оценки, состоит в том, что он полностью игнорирует вопрос, который мы обсуждали выше, об анализе концепций для достижения всех логических связей между ними. Единственное правдоподобное объяснение, которое я вижу в этом, заключается в его заключении в скобки о

необходимость устранения любых определенных признаков, которые могут встречаться в соответствующих предложениях, т. е. замены их на примитивные знаки.

Это наводит меня на мысль о том, что он хочет, чтобы его примитивные признаки по условию не анализировались. Но тогда по условию это будет чисто случайным, если его представление о логических последствиях охватывает все, что обычно считается логическим следствием.

Историки отмечают сходство между предложением Тарского и предложением в разделе 147 книги Бернарда Больцано «Wissenschaftslehre» 1837 года. Как и Тарски, Больцано определяет действительность предложения с точки зрения истинности семейства связанных предложений. В отличие от Тарского, Больцано предлагает свои предложения для высказываний на местном языке, а не для предложений формального языка с точно определенной семантикой.

Во всем этом разделе см. Также запись о логических последствиях.

4. Выразительная сила

Предложение (S) определяет его класс (Mod (S)) моделей. Учитывая два языка (L) и (L '), мы можем сравнить их, задавая вопрос: есть ли в каждом классе (Mod (S)), с (S) предложение (L), также является классом вида (Mod (S ')), где (S') - предложение (L '). Если ответ Да, мы говорим, что (L) сводится к (L '), или что (L'), по крайней мере, так же выразителен, как (L).

Например, если (L) - это язык первого порядка с тождеством, подпись которого состоит из 1-символьных предикатных символов, а (L ') - это язык, предложения которого состоят из четырех силлогистических форм (All (A) являются (B), некоторые (A) являются (B), No (A) не являются (B), некоторые (A) не являются (B)) с использованием те же символы предикатов, то (L ') сводится к (L), потому что силлогистические формы выразимы в логике первого порядка. (Есть некоторые ссоры о том, как правильно их выразить; см. Запись на традиционном квадрате оппозиции.) Но язык первого порядка (L), конечно, не сводим к языку (L ') силлогизмов, так как в (L) мы можем записать предложение, говорящее, что ровно три элемента удовлетворяют (Px), и невозможно сказать это, используя только силлогистические формы. Или двигаться в другую сторону,если мы сформируем третий язык (L ''), добавив к (L) квантификатор (Qx) со значением "Существует несчетное количество элементов (x), таких что …", то тривиально (L) сводится к (L ''), но нисходящая теорема Левенгейма-Сколема сразу показывает, что (L '') не сводится к (L).

Эти понятия полезны для анализа силы языков запросов к базе данных. Мы можем думать о возможных состояниях базы данных как о структурах, и простой запрос «Да / Нет» становится предложением, которое вызывает ответ «Да», если база данных является его моделью, и «Нет» в противном случае. Если один язык запросов к базе данных не сводится к другому, то первый может выражать некоторый запрос, который не может быть выражен во втором.

Поэтому нам нужны методы для сравнения выразительных сильных сторон языков. Один из самых мощных доступных приемов состоит из игр Эренфойхта и Фрайсса между двумя игроками - Спойлером и Дубликатором; смотрите запись о логике и играх для деталей. Например, представьте, что мы играем в обычную игру первого порядка «вперед-назад» (G) между двумя структурами (A) и (B). Теория этих игр устанавливает, что если какое-то предложение первого порядка (phi) верно только в одном из (A) и (B), то существует число (n), вычисляемое из (phi), со свойством, что у Спойлера есть стратегия для (G), которая будет гарантировать, что он выигрывает не более (n) шагов. И наоборот, чтобы показать, что логика первого порядка не может различить (A) и (B), достаточно показать, что для каждого конечного (n)Дубликатор имеет стратегию, которая гарантирует, что она не потеряет (G) на первых (n) шагах. Если нам удастся показать это, из этого следует, что любой язык, который различает (A) и (B), не сводится к языку первого порядка структур (A) и (B), Эти игры туда и обратно очень гибки. Для начала, они имеют такой же смысл для конечных структур, как и для бесконечных; многие другие методы классической теории моделей предполагают, что структуры бесконечны. Они также могут быть легко адаптированы для многих языков не первого порядка.

В 1969 году Пер Линдстрем использовал игры туда-сюда, чтобы дать некоторые абстрактные характеристики логики первого порядка с точки зрения ее выразительной силы. Одна из его теорем гласит, что если (L) является языком с сигнатурой (K, L), замкнут относительно всех синтаксических операций первого порядка, и (L) подчиняется нисходящей теореме Левенгейма-Сколема для отдельные предложения и теорема компактности, то (L) сводится к языку сигнатуры первого порядка (K). Эти теоремы очень привлекательны; см. главу XII Эббингауза, Флума и Томаса для хорошего рассказа. Но они так и не выполнили свое обещание. Трудно было найти подобные характеристики других логик. Даже для логики первого порядка немного трудно понять, что именно говорят нам характеристики. Но очень грубо говоря,они говорят нам, что логика первого порядка - это уникальная логика с двумя свойствами: (1) мы можем использовать ее для выражения сколь угодно сложных вещей о конечных шаблонах, и (2) она безнадежна для различения между одним бесконечным кардиналом и другим.

Эти два свойства (1) и (2) являются просто свойствами логики первого порядка, которые позволили Аврааму Робинсону построить свой нестандартный анализ. Основанием для этого является то, что Лейбниц, когда он изобрел дифференциальное и интегральное исчисление, использовал бесконечно малые числа, то есть числа, которые больше 0 и меньше, чем все 1/2, 1/3, 1/4 и т. Д. К сожалению, таких действительных чисел нет. В течение девятнадцатого века все определения и доказательства в стиле Лейбница были переписаны, чтобы говорить об ограничениях вместо бесконечно малых. Теперь позвольте (mathbb {R}) быть структурой, состоящей из поля действительных чисел вместе с любыми структурными особенностями, которым мы хотим присвоить имена: конечно, плюс и времена, может быть порядок, набор целых чисел, функции sin и log, и т. д. Пусть (L) будет языком первого порядка с сигнатурой (mathbb {R}). Из-за выразительной силы (L) мы можем записать любое количество теорем исчисления как предложения (L). Из-за выразительной слабости (L) мы не можем выразить в (L) то, что (mathbb {R}) не имеет бесконечно малых. На самом деле Робинсон использовал теорему компактности для построения структуры (mathbb {R} '), которая представляет собой модель точно таких же предложений (L), что и (mathbb {R}), но которая имеет бесконечно малые. Как показал Робинсон, мы можем скопировать аргументы Лейбница, используя бесконечно малые числа в (mathbb {R} '), и доказать, что различные теоремы исчисления верны в (mathbb {R}'). Но эти теоремы выразимы в (L), поэтому они также должны быть верны в (mathbb {R}).в (L) нет способа выразить, что (mathbb {R}) не имеет бесконечно малых. На самом деле Робинсон использовал теорему компактности для построения структуры (mathbb {R} '), которая представляет собой модель точно таких же предложений (L), что и (mathbb {R}), но которая имеет бесконечно малые. Как показал Робинсон, мы можем скопировать аргументы Лейбница, используя бесконечно малые числа в (mathbb {R} '), и доказать, что различные теоремы исчисления верны в (mathbb {R}'). Но эти теоремы выразимы в (L), поэтому они также должны быть верны в (mathbb {R}).в (L) нет способа выразить, что (mathbb {R}) не имеет бесконечно малых. На самом деле Робинсон использовал теорему компактности для построения структуры (mathbb {R} '), которая представляет собой модель точно таких же предложений (L), что и (mathbb {R}), но которая имеет бесконечно малые. Как показал Робинсон, мы можем скопировать аргументы Лейбница, используя бесконечно малые числа в (mathbb {R} '), и доказать, что различные теоремы исчисления верны в (mathbb {R}'). Но эти теоремы выразимы в (L), поэтому они также должны быть верны в (mathbb {R}).мы можем скопировать аргументы Лейбница, используя бесконечно малые числа в (mathbb {R} '), и доказать, что различные теоремы исчисления верны в (mathbb {R}'). Но эти теоремы выразимы в (L), поэтому они также должны быть верны в (mathbb {R}).мы можем скопировать аргументы Лейбница, используя бесконечно малые числа в (mathbb {R} '), и доказать, что различные теоремы исчисления верны в (mathbb {R}'). Но эти теоремы выразимы в (L), поэтому они также должны быть верны в (mathbb {R}).

Поскольку аргументы с использованием бесконечно малых значений обычно легче визуализировать, чем аргументы с использованием ограничений, нестандартный анализ является полезным инструментом для математических аналитиков. Жак Флёри в своей докторской диссертации Диссертация (2001) автоматизировала теорию доказательств нестандартного анализа и использовала ее для механизации некоторых доказательств в «Принципах Ньютона».

5. Модели и моделирование

Моделировать явление - это построить формальную теорию, которая описывает и объясняет его. В тесно связанном смысле вы моделируете систему или структуру, которую планируете построить, написав ее описание. Эти понятия «модель» очень отличаются от значений в теории моделей: «модель» явления или системы - это не структура, а теория, часто на формальном языке. Универсальный язык моделирования, сокращенно UML, является официальным языком, предназначенным именно для этой цели. Сообщается, что ВМС Австралии наняли теоретика-модельера для работы по моделированию гидродинамических явлений. (Пожалуйста, не просветите их!)

Небольшая история покажет, как слово «модель» получило эти два разных применения. В поздней латыни «modellus» был измерительным прибором, например, для измерения воды или молока. По капризам языка слово произвело три разных слова в английском языке: форма, модуль, модель. Часто устройство, которое измеряет количество вещества, также накладывает форму на вещество. Мы видим это с помощью сырной формы, а также с металлическими буквами (называемыми «модулями» в начале 17 века), которые несут чернила на бумагу при печати. Таким образом, под «моделью» подразумевается объект в руке, который выражает дизайн некоторых других объектов в мире: модель художника несет форму, которую изображает художник, а «модуль» Кристофера Рена из собора Святого Павла служит для руководства строителями.

Уже к концу 17-го века слово «модель» могло означать объект, который показывает форму не объектов реального мира, а математических конструкций. Лейбниц хвастался, что ему не нужны модели, чтобы заниматься математикой. Другие математики были рады использовать гипс или металлические модели интересных поверхностей. Модели теории моделей впервые появились как абстрактные версии моделей такого типа, с теориями вместо определяющего уравнения поверхности. С другой стороны, можно остаться с объектами реального мира, но показать их форму с помощью теории, а не физической копии в руке; «Моделирование» строит такую теорию.

У нас запутанная ситуация на полпути, когда ученый описывает явление в мире с помощью уравнения, например, дифференциального уравнения с показательными функциями в качестве решений. Является ли модель теорией, состоящей из уравнения, или эти экспоненциальные функции сами являются моделями явления? Примеры такого рода, когда теория и структуры дают по существу одну и ту же информацию, в какой-то мере подтверждают утверждение Патрика Суппеса о том, что «значение понятия модели одинаково в математике и эмпирических науках» (стр. 12 его цитируемой книги 1969 года). ниже). Несколько философов науки занялись идеей использования неформальной версии теоретико-модельных моделей для научного моделирования. Иногда модели описываются как неязыковые - это может быть трудно согласовать с нашим определением моделей в разделе 1 выше.

Когнитивная наука - это та область, где разница между моделями и моделированием имеет тенденцию к размыванию. Центральный вопрос когнитивной науки - как мы представляем факты или возможности в наших умах. Если формализовать эти ментальные представления, они становятся чем-то вроде «моделей явлений». Но это серьезная гипотеза, что на самом деле наши ментальные представления имеют много общего с простыми теоретико-множественными структурами, так что они также являются «моделями» в теоретико-модельном смысле. В 1983 году были опубликованы две влиятельные работы по когнитивной науке, обе под названием «Ментальные модели». Первый, отредактированный Дедре Гентнером и Альбертом Стивенсом, был о «концептуализации» людьми элементарных фактов физики; он принадлежит прямо в мире «моделирования явлений». Второе, от Филиппа Джонсона-Лейрда, в основном о рассуждениях,и делает несколько обращений к «теоретико-модельной семантике» в нашем смысле. Исследователи в традиции Джонсона-Лейрда обычно называют свой подход «теорией моделей» и считают его в некотором смысле связанным с тем, что мы назвали теорией моделей.

Поначалу картины и диаграммы кажутся на полпути между теориями и моделями. На практике теоретики моделей часто рисуют картины структур и используют их для размышлений о структурах. С другой стороны, на изображениях обычно нет маркировки, которая является существенной особенностью теоретико-модельных структур. Быстро растет объем работ по рассуждению с помощью диаграмм, и подавляющая тенденция этой работы состоит в том, чтобы рассматривать рисунки и диаграммы как форму языка, а не как структуру. Например, Эрик Хаммер и Норман Даннер (в книге, отредактированной Allwein и Barwise, см. Библиографию) описывают «теорию моделей диаграмм Венна»; сами диаграммы Венна представляют собой синтаксис, а теория моделей представляет собой теоретико-множественное объяснение их значения.

Теоретик моделей Юрий Гуревич представил абстрактные автоматы (ASM) как способ использования теоретико-модельных идей для спецификации в информатике. Согласно веб-сайту Abstract State Machine (см. Другие интернет-ресурсы ниже),

любой алгоритм может быть смоделирован на естественном уровне абстракции с помощью соответствующего ASM. … ASM используют классические математические структуры для описания состояний вычислений; структуры хорошо понятны, точные модели.

Приведенная ниже книга Börger and Stärk является авторитетным отчетом о ASM и их использовании.

Сегодня вы можете сделать свое имя и удачу, найдя хорошую систему представления. Нет оснований ожидать, что каждая такая система будет вписываться в рамки синтаксиса / семантики теории моделей, но будет удивительно, если теоретико-модельные идеи по-прежнему не внесут существенный вклад в эту область.

Библиография

Вводные тексты

  • Доетс, К., 1996, Базовая теория моделей, Стэнфорд: Публикации CSLI.
  • Ходжес, В., 1997, Теория короткой модели, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Мансано, М., 1999, Теория моделей, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Ротмалер, П., 2000, Введение в теорию моделей, Амстердам: Гордон и Брич.

Теоретико-модельное определение

  • Фреге, Г., 1906, «Grundlagen der Geometrie», Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293–309, 377–403, 423–430.
  • Жергонн, J., 1818, «Очерк теории определений», Annales Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner.
  • Ходжес, В., 2008, «Теория определения Тарского», в Паттерсон, Д. Новые очерки о Тарском и философии, Оксфорд: издательство Оксфордского университета, стр. 94–132.
  • Ласкар Д., 1998 г., «Перспективная историческая теория отношений с современностью и искусством», Revue d'histoire des mathématiques, 4: 237–260.
  • Манкосу, П., Зак, Р. и Бадеса, C., 2009, «Развитие математической логики от Рассела до Тарского», в L. Haaparanta (ed.), Развитие современной логики, Оксфорд: издательство Oxford University Press, С. 318–470.
  • Паш, М., 1882, геометрия Vorlesungen über Neuere, Берлин: Springer-Verlag.
  • Робинсон А., 1952, «О применении символической логики к алгебре», Труды Международного конгресса математиков (Кембридж, М. А., 1950, том 1), Провиденс, Р. И., Американское математическое общество, с. 686–694.
  • Suppes, P., 1957, «Теория определения» в Введение в логику (глава 8), Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд.
  • Тарский А., 1954, «Вклад в теорию моделей I», Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Теоретико-модельное следствие

  • Бланшетт П., 1996, «Фреге и Гильберт о согласованности», «Философский журнал», 93: 317–336.
  • Бланшетт, П., 2012, Концепция логики Фреге, Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.
  • Бул, Г., 1847, Математический анализ логики, Кембридж: Макмиллан, Барклай и Макмиллан.
  • Etchemendy, J., 1990, Концепция логического следствия, Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета.
  • Фреге Г., 1971. Об основах геометрии и формальных теориях арифметики. Э. Клюге (пер.), Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета.
  • Гомес-Торренте, М., 1996, «Тарски о логических следствиях», Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
  • Ходжес, W. 2004, «Важность и пренебрежение концептуальным анализом: Hilbert-Ackermann iii.3», в V. Hendricks et al. (ред.), Пересмотренная логика первого порядка, Берлин: Логос, стр. 129–153.
  • Крейзель Г., 1969, «Неформальные доказательства строгости и полноты», в J. Hintikka (ed.), Философия математики, Лондон: издательство Оксфордского университета, стр. 78–94.
  • Тарский, А., 1983, «О концепции логического следствия», в переводе А. Тарского, Логика, Семантика, Метаматематика, Дж. Коркоран (ред.), Индианаполис: Хакетт, с. 409–420.
  • Ван Бентем, J., 1991 [1983], «Логика времени: теоретико-модельное исследование многообразий временной онтологии и временного дискурса», Dordrecht: Reidel, 1983; второе издание, Springer, 1991.

Выразительная сила

  • Cutland, N., 2009, Нестандартный анализ и его приложения, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Ebbinghaus, H.-D., и Flum, J., 1999, Теория конечных моделей, Берлин: Springer-Verlag.
  • Эббингхаус, Х.-Д., Флум, Дж. И Томас, В., 1984, Математическая логика, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  • Fleuriot, J., 2001, Комбинация доказательства теорем геометрии и нестандартного анализа, с применением к принципам Ньютона, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  • Иммерман, Н., 1999, Описательная сложность, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  • Либкин Л., 2004, Элементы теории конечных моделей, Берлин: Springer-Verlag.
  • Loeb, P. and Wolff, M. (eds.), 2000, Нестандартный анализ для рабочего математика, Dordrecht: Kluwer.
  • Робинсон, А., 1967, «Метафизика исчисления», в «Проблемы философии математики», И. Лакатос (ред.), Амстердам: Северная Голландия, стр. 28–40.

Модели и моделирование

  • Allwein, G. and Barwise, J. (eds.), 1996, Логическое обоснование с диаграммами, Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.
  • Börger, E. and Stärk, R., 2003, Абстрактные машины состояний: метод проектирования и анализа систем высокого уровня, Берлин: Springer-Verlag.
  • Фаулер, М., 2000, UML Distilled, Бостон: Аддисон-Уэсли.
  • Гарнхем, А., 2001, Ментальные модели и интерпретация Анафоры, Филадельфия: Тейлор и Фрэнсис.
  • Гентнер Д. и Стивенс А. (ред.), 1983, «Ментальные модели», Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум.
  • Джонсон-Лэрд, П., 1983, «Ментальные модели: на пути к когнитивной науке о языке, умозаключениях и сознании», Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Meijers, A. (ed.), 2009, Философия технологии и технических наук, Амстердам: Elsevier; см. главы В. Ходжеса «Функциональное моделирование и математические модели»; Р. Мюллер, «Понятие модели, теории моделей и история»; и Н. Нерсесян, «Модельное мышление в междисциплинарной инженерии».
  • Моктефи А. и Шин С.-Ж. (ред.), 2013, Визуальные рассуждения с диаграммами, Базель: Биркхойзер.
  • Морган, М. С. и Моррисон, М. (ред.), 1999, Модели как посредники, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Pullum, GK и Scholz, BC, 2001, «О различии между теоретико-модельными и порождающе-перечислительными синтаксическими структурами», в «Логических аспектах вычислительной лингвистики» (Конспект лекций по информатике: том 2099), P. De Groote et al. (ред.), Берлин: Springer-Verlag, с. 17–43.
  • Стеннинг, К., 2002, Видя причину, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Suppes, P., 1969, Исследования по методологии и основам науки, Dordrecht: Reidel.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

  • mentalmodelsblog: Ментальные модели в человеческом мышлении и рассуждениях, Рут Бирн.
  • Теория алгоритмических моделей, Э. Грэдел, Д. Бервангер и М. Хельцель (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
  • Абстрактные государственные машины, Джим Хаггинс

Рекомендуем: