Раннее развитие теории множеств

Оглавление:

Раннее развитие теории множеств
Раннее развитие теории множеств

Видео: Раннее развитие теории множеств

Видео: Раннее развитие теории множеств
Видео: Лекция 1. Теория множеств 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Раннее развитие теории множеств

Впервые опубликовано вт 10 апреля 2007 г.; существенная редакция чт 18 июня 2020 г.

Теория множеств является одним из величайших достижений современной математики. В основном все математические понятия, методы и результаты допускают представление в рамках аксиоматической теории множеств. Таким образом, теория множеств сыграла довольно уникальную роль, систематизировав современную математику и подойдя в единой форме ко всем основным вопросам о допустимых математических аргументах, включая сложный вопрос о принципах существования. Эта статья в общих чертах описывает запутанный процесс возникновения теории множеств, охватывающий примерно 1850-1930 годы.

В 1910 году Гильберт написал, что теория множеств

та математическая дисциплина, которая сегодня занимает выдающуюся роль в нашей науке и излучает [ausströmt] ее мощное влияние на все разделы математики. [Hilbert 1910, 466; перевод по автору записи]

Это уже говорит о том, что для обсуждения ранней истории необходимо различать два аспекта теории множеств: ее роль как основного языка и хранилище основных принципов современной математики; и его роль как самостоятельного раздела математики, классифицированного (сегодня) как раздел математической логики. Оба аспекта рассматриваются здесь.

В первом разделе рассматриваются происхождение и возникновение теоретической математики по множеству около 1870 г.; за этим следует обсуждение периода расширения и консолидации теории до 1900 года. Раздел 3 дает обзор критического периода в период с 1897 по 1918 годы, а раздел 4 посвящен времени от Цермело до Геделя (из теории метатеории), с особым вниманием к часто пропускаемой, но важной описательной теории множеств.

  • 1. Появление
  • 2. Консолидация
  • 3. Критический период
  • 4. Из Цермело в Гедель
  • Библиография

    • Цитируемые работы
    • Дальнейшее чтение
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Появление

Концепция набора кажется обманчиво простой, по крайней мере, для обученного математика, и до такой степени, что становится трудно судить и правильно оценивать вклад пионеров. То, что стоило им больших усилий по производству и потребовало значительного времени для математического сообщества, может показаться нам довольно очевидным или даже тривиальным. В начале следует отметить три исторических заблуждения, которые широко распространены в литературе:

  1. Это не тот случай, когда фактическая бесконечность была повсеместно отвергнута до Кантора.
  2. Теоретико-множественные представления возникли не только из анализа, но и в алгебре, теории чисел и геометрии.
  3. Фактически, развитие теоретико-множественной математики предшествовало решающему вкладу Кантора.

Все эти пункты станут ясны в дальнейшем.

Понятие коллекции стара как подсчитывать, и логические представления о классах существовали с тех пор по крайней мере, «дерево Порфирия» (3 - й век н.э.). Таким образом, становится трудно разобраться в происхождении концепции множества. Но наборы не являются ни коллекциями в обычном смысле этого слова, ни «классами» в смысле логики до середины 19- го века. Ключевым отсутствующим элементом является объектность - набор - это математический объект, с которым нужно работать так же, как и с любым другим объектом (набор (mathbf {N}) является такой же «вещью», как число 3). Чтобы прояснить этот момент, Рассел использовал полезное различие между классом как многие (это традиционная идея) и классом как один (или набором).

Эрнст Цермело, ключевая фигура в нашей истории, сказал, что теория исторически «была создана Кантором и Дедекиндом» [Zermelo 1908, 262]. Это говорит о хорошем прагматическом критерии: начинать следует с авторов, которые значительно повлияли на концепции Кантора, Дедекинда и Цермело. По большей части, это критерий, принятый здесь. Тем не менее, поскольку каждое правило требует исключения, случай Больцано является важным и поучительным, хотя Больцано не оказал значительного влияния на более поздних авторов.

В немецкоязычных областях 19- го века были некоторые интеллектуальные тенденции, которые способствовали принятию фактического бесконечного (например, возрождение мысли Лейбница). Несмотря на предупреждение Гаусса о том, что бесконечность может быть только манерой речи, некоторые второстепенные и три основные фигуры (Больцано, Риман, Дедекинд) предшествовали Кантору в полном принятии фактического бесконечного в математике. Эти три автора были активны в продвижении теоретико-множественной формулировки математических идей, причем вклад Дедекинда в большое количество классических работ (1871, 1872, 1876/77, 1888) имеет центральное значение.

Хронологически Бернард Больцано был первым, но он почти не оказывал влияния. Высокое качество его работ по логике и основам математики хорошо известно. Книга, озаглавленная «Paradoxien des Unendlichen», была посмертно опубликована в 1851 году. Здесь Больцано подробно доказывал, что множество парадоксов, окружающих бесконечность, логически безвредны, и создал мощную защиту реальной бесконечности. Он предложил интересный аргумент, пытаясь доказать существование бесконечных множеств, что сопоставимо с более поздним аргументом Дедекинда (1888). Хотя он использовал сложные различия различных видов множеств или классов, Больцано ясно осознавал возможность помещения двух бесконечных множеств в однозначное соответствие, как это легко можно сделать, например, с интервалами ([0, 5]) и ([0, 12]) функцией (5y = 12x). Тем не мение,Больцано не согласился с выводом, что оба набора «равны по множественности их частей» [1851, 30–31]. По всей вероятности, традиционные идеи измерения были все еще слишком сильны в его мышлении, и поэтому он пропустил открытие концепции кардинальности (однако, можно рассмотреть неканторианские идеи, о которых см. Mancosu 2009).

Случай Больцано предполагает, что освобождение от метрических концепций (которые пришли с развитием теорий проективной геометрии и особенно топологии) должно было сыграть решающую роль в создании возможности абстрактной точки зрения теории множеств. Бернхард Риманн предложил дальновидные идеи о топологии и о том, как основывать всю математику на понятии множества или «многообразия» в смысле класса (Mannigfaltigkeit), в своей знаменитой инаугурационной лекции «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» (1 854 / 1868a). Для Римана также характерно большое внимание к концептуальной математике, особенно заметной в его подходе к комплексному анализу (который снова углубился в топологию). Чтобы дать, но самый простой пример,Риман был восторженным последователем идеи Дирихле о том, что функция должна пониматься как произвольное соответствие между числовыми значениями, независимо от того, представимо оно формулой или нет; это означало оставить позади времена, когда функция была определена как аналитическое выражение. Благодаря этому новому стилю математики, а также благодаря его видению новой роли для множеств и полноценной программы по развитию топологии, Риман оказал решающее влияние как на Дедекинда, так и на Кантора (см. Ferreirós 1999). Риман оказал решающее влияние на Дедекинда и Кантора (см. Ferreirós 1999). Риман оказал решающее влияние на Дедекинда и Кантора (см. Ferreirós 1999).

Пятилетний период 1868–1872 гг. Ознаменовался множеством теоретических предложений в Германии, настолько, что мы могли рассматривать его как рождение теоретико-множественной математики. Геометрическая лекция Римана, прочитанная в 1854 году, была опубликована Дедекиндом в 1868 году совместно с работой Римана по тригонометрическим рядам (1854/1868b, в которой представлен интеграл Римана). Последнее стало отправной точкой для глубокой работы в реальном анализе, начиная с изучения «серьезно» прерывистых функций. Молодой Георг Кантор вошел в эту область, что привело его к изучению наборов очков. В 1872 году Кантор ввел операцию над наборами точек (см. Ниже), и вскоре он размышлял о возможности повторения этой операции до бесконечности и за ее пределами: это был первый проблеск трансфинитного царства.

Тем временем Ричард Дедекинд предложил еще одно важное развитие событий в 1871 году. В контексте своей работы над теорией алгебраических чисел Дедекинд представил принципиально теоретико-множественную точку зрения, определяющую поля и идеалы алгебраических чисел. Эти идеи были представлены в очень зрелой форме с использованием операций над множествами и отображений, сохраняющих структуру (см. Соответствующий отрывок в Ferreirós 1999: 92–93; Кантор использовал терминологию Дедекинда для операций в своей собственной работе над теорией множеств около 1880 г. [1999: 204]). Рассматривая кольцо целых чисел в данном поле алгебраических чисел, Дедекинд определил некоторые подмножества, называемые «идеалами», и оперировал этими множествами как новыми объектами. Эта процедура была ключом к его общему подходу к теме. В других работах он очень четко и точно имел дело с отношениями эквивалентности, множествами разбиений,гомоморфизмы и автоморфизмы (об истории отношений эквивалентности см. Asghari 2018). Таким образом, многие из обычных теоретико-множественных процедур математики двадцатого века восходят к его работе. Несколько лет спустя (в 1888 году) Дедекинд опубликует презентацию основных элементов теории множеств, сделав лишь чуть более явные операции над множествами и отображениями, которые он использовал с 1871 года.

В следующем году Дедекинд опубликовал статью [1872], в которой он дал аксиоматический анализ структуры множества (mathbf {R}) действительных чисел. Он определил его как упорядоченное поле, которое также является полным (в том смысле, что все дедекиндовые разрезы на (mathbf {R}) соответствуют элементу в (mathbf {R})); полнота в этом смысле имеет следствие архимедовой аксиомы. Кантор также дал определение (mathbf {R}) в 1872 году, используя последовательности Коши рациональных чисел, что было элегантным упрощением определения, предложенного Карлом Вейерштрассом в его лекциях. Аксиомой полноты, которую предпочитал Вейерштрасс, был принцип Больцано о том, что последовательность вложенных замкнутых интервалов в (mathbf {R}) (такая последовательность, что ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}] subset [a_ {m}, b_ {m}])) «содержит» хотя бы одно действительное число (или, как мы бы сказали,имеет непустое пересечение).

Определения действительных чисел Кантора и Дедекинда неявно опирались на теорию множеств и могут быть рассмотрены в ретроспективе с предположением о принципе множества множеств. Оба взяли как заданный набор рациональных чисел, и для определения (mathbf {R}) они опирались на определенную совокупность бесконечных наборов рациональных чисел (либо совокупность последовательностей Коши, либо всех разрезов Дедекинда), С этим также начала появляться конструктивистская критика теории множеств, когда Леопольд Кронекер начал возражать против таких бесконечных процедур. Одновременно началось изучение топологии (mathbf {R}), в частности в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Теоретико-множественный подход также использовался несколькими авторами в областях реального анализа и комплексного анализа (например, Ханкель, дю Буа-Реймонд, Х. Дж. Смит, У. Дини) и Дедекиндом в совместной работе с Вебером (1882), пионером в алгебраической геометрии.

Производные от Кантора представляют особый интерес (для контекста этой идеи в реальном анализе см., Например, Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Кантор принял как дано «концептуальную сферу» действительных чисел, и он рассмотрел произвольные подмножества (P), которые он назвал «точечными наборами». Вещественное число (r) называется предельной точкой (P), когда все окрестности (r) содержат точки (P). Это может произойти, только если (P) бесконечно. Благодаря этой концепции, благодаря Вейерштрассу, Кантор продолжал определять производное множество (P ') из (P) как множество всех предельных точек (P). В общем, (P ') может быть бесконечным и иметь свои предельные точки (см. Статью Кантора в Ewald [1996, т. 2, 840ff], особенно стр. 848). Таким образом, можно выполнить итерацию операции и получить дополнительные производные множества (P ''), (P '' ')… (P ^ {(n)})… Легко привести примеры множества (P), которое приведет к непустым производным множествам (P ^ {(n)}) для всех конечных (n). (Довольно тривиальным примером является (P = / mathbf {Q} _ {[0,1]}), множество рациональных чисел в единичном интервале; в этом случае (P '= [0,1] = P '').) Таким образом, можно определить (P ^ {(infty)}) как пересечение всех (P ^ {(n)}) для конечного (n). Это была первая встреча Кантора с трансфинитными итерациями. Это была первая встреча Кантора с трансфинитными итерациями. Это была первая встреча Кантора с трансфинитными итерациями.

Затем, в конце 1873 года, произошло удивительное открытие, полностью открывшее царство трансфинита. В переписке с Дедекиндом (см. Ewald 1996, vol. 2) Кантор задал вопрос, могут ли бесконечные множества (mathbf {N}) натуральных чисел и (mathbf {R}) действительных чисел размещены в личной переписке. В ответ Дедекинд предложил удивительное доказательство того, что множество (A) всех алгебраических чисел является счетным (т. Е. Существует взаимно однозначное соответствие с (mathbf {N})). Несколько дней спустя Кантору удалось доказать, что предположение о том, что (mathbf {R}) является счетным, приводит к противоречию. С этой целью он использовал упомянутый выше принцип полноты Больцано-Вейерштрасса. Таким образом, он показал, что в (mathbf {R}) больше элементов, чем в (mathbf {N}) или (mathbf {Q}) или (A),в точном смысле, что мощность (mathbf {R}) строго больше, чем у (mathbf {N}).

2. Консолидация

Теория множеств начинала становиться неотъемлемой частью нового «современного» подхода к математике. Но эта точка зрения была оспорена, и ее консолидация заняла довольно много времени. Алгебраический стиль Дедекинда начал находить последователей только в 1890-х годах; Дэвид Гильберт был среди них. Почва была лучше подготовлена для современных теорий реальных функций: итальянские, немецкие, французские и британские математики внесли свой вклад в 1880-х годах. И новые основополагающие взгляды были восприняты Пеано и его последователями, в некоторой степени Фреге, Гильбертом в 1890-х годах, а затем Расселом.

Между тем Кантор провел 1878–1885 годы, публикуя ключевые работы, которые помогли превратить теорию множеств в автономный раздел математики. Запишем (A / эквивалента B), чтобы выразить, что два набора (A), (B) могут быть приведены в однозначном соответствии (имеют одинаковую мощность). После доказательства того, что иррациональные числа можно поставить в однозначное соответствие с (mathbf {R}), и, что удивительно, это также (mathbf {R} ^ {n} эквивалента / mathbf {R }), Кантор предположил в 1878 году, что любое подмножество (mathbf {R}) будет либо счетным ((экв / mathbf {N})), либо (экв / mathbf {R}), Это первая и самая слабая форма знаменитой гипотезы континуума. В последующие годы Кантор исследовал мир множеств точек, представляя несколько важных топологических идей (например, идеальное множество, замкнутое множество, изолированное множество),и пришли к таким результатам, как теорема Кантора-Бендиксона.

Множество точек (P) замкнуто, если его производное множество (P '\ subseteq P), и идеально, если (P = P'). Теорема Кантора-Бендиксона тогда утверждает, что замкнутое множество точек может быть разложено на два подмножества (R) и (S), так что (R) является счетным и (S) является совершенным (действительно, (S) - это (a) производный набор (P) для счетного ординала (a)). Поэтому говорят, что закрытые множества обладают свойством совершенного множества. Кроме того, Кантор смог доказать, что совершенные множества обладают силой континуума (1884). Оба результата подразумевают, что гипотеза континуума верна для всех множеств замкнутых точек. Много лет спустя, в 1916 году, Павел Александров и Феликс Хаусдорф смогли показать, что у более широкого класса борелевских множеств тоже есть свойство идеального множества.

Его работа над наборами точек привела Кантора в 1882 году к мысли о трансфинитных числах (см. Ferreirós 1999: 267 и далее). Это стало поворотным моментом в его исследованиях, поскольку с тех пор он изучал абстрактную теорию множеств независимо от более конкретных вопросов, связанных с наборами точек и их топологией (до середины 1880-х годов эти вопросы занимали важное место в его повестке дня). Впоследствии Кантор сосредоточился на трансфинитных кардинальных и порядковых числах, а также на типах общего порядка, независимо от топологических свойств (mathbf {R}).

Трансфинитные ординалы были введены как новые числа в важной математико-философской статье 1883 года, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (обратите внимание, что Кантор до сих пор использует римановский термин Mannigfaltigkeit или «многообразие» для обозначения множеств). Кантор определил их с помощью двух «генерирующих принципов»: первый (1) возвращает преемника (a + 1) для любого заданного числа (a), а второй (2) оговаривает, что существует число (b), который следует сразу после любой заданной последовательности чисел без последнего элемента. Таким образом, после всех конечных чисел, согласно (2), первое трансфинитное число, (omega) (читай: omega); за этим следуют (omega + 1), (omega + 2),…, (omega + / omega = / omega / cdot 2),…, (omega / cdot n), (omega / cdot n +1),…, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1),…, (omega ^ { omega }),… И так далее, и тому подобное. Всякий раз, когда появляется последовательность без последнего элемента, можно продолжать и, так сказать, перейти на более высокую ступень с помощью (2).

Внедрение этих новых чисел казалось пустым предположением большинству его современников, но для Кантора они выполняли две очень важные функции. С этой целью он классифицировал трансфинитные ординалы следующим образом: «первый класс чисел» состоял из конечных ординалов, множества (mathbf {N}) натуральных чисел; «второй класс чисел» был образован ω и всеми последующими за ним числами (включая (omega ^ { omega}) и многие другие), которые имеют только перечислимый набор предшественников. Это критическое условие было предложено проблемой доказательства теоремы Кантора-Бендиксона (см. Ferreirós 1995). Исходя из этого, Кантор может установить, что мощность «второго класса чисел» больше, чем у (mathbf {N}); и что никакой промежуточной мощности не существует. Таким образом, если вы напишите (textit {card} (mathbf {N}) = / aleph_ {0}) (читайте:aleph zero), его теоремы оправдывают называть мощность «вторым классом чисел» (aleph_ {1}).

После второго числового класса следует «третий числовой класс» (все трансфинитные ординалы, чей набор предшественников имеет кардинальность (aleph_ {1})); мощность этого нового класса чисел может быть доказана как (aleph_ {2}). И так далее. Таким образом, первая функция трансфинитных ординалов заключалась в том, чтобы установить четко определенную шкалу увеличения трансфинитных кардиналов. (Используемая выше система обозначений алефов была введена Кантором только в 1895 г.). Это позволило гораздо более точно сформулировать проблему континуума; Гипотеза Кантора стала гипотезой, что (textit {card} (mathbf {R}) = / aleph_ {1}). Кроме того, опираясь на трансфинитные ординалы, Кантор смог доказать теорему Кантора-Бендиксона, округлив результаты на точечных множествах, которые он разрабатывал в эти критические годы. Теорема Кантора-Бендиксона гласит:замкнутые множества (mathbf {R} ^ n) (обобщаемые на польские пространства) обладают свойством совершенного множества, так что любое замкнутое множество (S) в (mathbf {R} ^ n) может быть записывается однозначно как несвязное объединение совершенного множества (P) и счетного множества (R). Более того, (P) есть (S ^ α) для счетного ординала α.

Изучение трансфинитных ординалов направило внимание Кантора на упорядоченные множества и, в частности, упорядоченные множества. Множество (S) хорошо упорядочено соотношением <iff <является полным порядком, и каждое подмножество (S) имеет наименьший элемент в <-упорядочении. (Действительные числа не упорядочены в обычном порядке: просто рассмотрите открытый интервал. Между тем, (mathbf {N}) - простейшее бесконечное упорядоченное множество.) Кантор утверждал, что трансфинитные ординалы действительно заслуживают названия чисел, потому что они выражают «тип порядка» любого возможного упорядоченного набора. Также обратите внимание, что Кантору было легко указать, как изменить порядок натуральных чисел, чтобы они соответствовали типам порядка (omega + 1), (omega + 2),…, (omega / cdot 2),…, (omega / cdot n),…, (omega ^ 2),…, (omega ^ { omega}),… и так далее.(Например, переупорядочив (mathbf {N}) в виде: 2, 4, 6, …, 5, 15, 25, 35, …, 1, 3, 7, 9, … мы получаем набор, который имеет тип заказа (omega / cdot 3).)

Также обратите внимание, что гипотеза континуума, если она истинна, повлечет за собой то, что множество (mathbf {R}) действительных чисел действительно может быть упорядоченным. Кантор был настолько предан этой точке зрения, что представил следующую гипотезу о том, что каждый набор может быть упорядочен как «фундаментальный и важный закон мысли». Несколько лет спустя Гильберт обратил внимание на гипотезу континуума и проблему упорядочения как проблему 1 в своем знаменитом списке «Проблема математики» (1900). Это было разумным способом подчеркнуть важность теории множеств для будущего математики и плодотворность ее новых методов и задач.

В 1895 и 1897 годах Кантор опубликовал свои последние две статьи. Они были хорошо организованной презентацией его результатов о трансфинитных числах (кардиналах и порядковых числах) и их теории, а также о типах порядка и хорошо упорядоченных множествах. Однако эти документы не выдвинули значительных новых идей. К сожалению, у Кантора были сомнения относительно третьей части, которую он подготовил, в которой обсуждались бы очень важные вопросы, связанные с проблемой упорядоченности и парадоксов (см. Ниже). Удивительно, но Кантор также не смог включить в статьи 1895/97 г. теорему, которую он опубликовал несколько лет назад и которая известна просто как теорема Кантора: для любого множества (S) существует другое множество, мощность которого больше (это набор мощности (mathcal {P} (S)), как мы сейчас говорим, Кантор использовал вместо этого набор всех функций вида (f):(S / rightarrow {0, 1 }), что эквивалентно). В той же короткой статье (1892 г.) Кантор представил свое знаменитое доказательство того, что (mathbf {R}) не является счетным по методу диагонализации, который он затем расширил для доказательства теоремы Кантора. (Соответствующая форма аргументации появилась ранее в работе P. du Bois-Reymond [1875], см. Среди прочих [Wang 1974, 570] и [Borel 1898], Note II.)

Тем временем другие авторы изучали возможности, открываемые теорией множеств для оснований математики. Наиболее важным был вклад Дедекинда (1888) с глубоким изложением теории натуральных чисел. Он сформулировал некоторые основные принципы теории множеств (и отображения); дал аксиомы для системы натуральных чисел; доказано, что математическая индукция является окончательной, а рекурсивные определения безупречны; разработал основы теории арифметики; представил конечных кардиналов; и доказал, что его система аксиом является категориальной. У его системы было четыре аксиомы. Для заданной на (S) функции φ, множества (N / subseteq S) и выделенного элемента (1 / in N) они имеют следующий вид:

(begin {align} tag {α} & / phi (N) subset N \\ / tag {β} & N = / phi_ {o} {1 } / \ tag {γ} & 1 / not / in / phi (N) / \ tag {δ} & / textrm {функция} phi / textrm {является инъективной.} end {align})

Условие (β) является критическим, поскольку оно обеспечивает минимальность для множества натуральных чисел, что объясняет достоверность доказательств математической индукцией. (N = / phi_ {o} {1 }) читается: (N) - цепочка синглтона {1} по функции φ, то есть минимальное замыкание {1} по функции φ. В общем случае рассматривается цепочка множества (A) при произвольном отображении γ, обозначаемом (gamma_ {o} (A)); В своем буклете Дедекинд разработал интересную теорию таких цепочек, которая позволила ему доказать теорему Кантора-Бернштейна. Позднее теория была обобщена Цермело и применена Сколемом, Куратовским и т. Д.

В последующие годы Джузеппе Пеано дал более поверхностный (но также и более известный) подход к натуральным числам, используя новый символический язык логики, а Готтлоб Фреге разработал свои собственные идеи, которые, однако, стали жертвой парадоксов. Важной книгой, вдохновленной теоретико-множественным стилем мышления, была «Grundlagen der Geometrie» Гильберта (1899), в которой «математика аксиом» вышла на шаг впереди Дедекинда благодаря обширному изучению геометрических систем, мотивированных вопросами независимости его аксиом. Книга Гильберта прояснила новую аксиоматическую методологию, которая формировалась в связи с новыми методами теории множеств, и он объединил ее с аксиоматическими тенденциями, исходящими из проективной геометрии.

Тем не менее, как мы уже говорили, было много критики теоретико-множественных, инфинитаристических методов. Уже в 1870 году Кронекер начал высказывать критические замечания о конструктивистском уклоне, который много лет спустя будет повторяться выдающимися мыслителями, такими как Брауэр или Витгенштейн. Критическая ориентация Кронекера указала на способ отказа от действительной системы счисления и классического анализа в пользу некоторой более строгой формы анализа - примерами этого может быть предиктивный анализ в двадцатом веке (Г. Вейль, опираясь на основные понятия Пуанкаре, см. Феферман, 1988).) и интуиционистский анализ (Брауэр). Даже Вейерштрасс имел возражения (по крайней мере, в 1874 году) против идеи различения размеров бесконечности и против лицезрения Кантора. Примеров предостаточно,и поэтому в 1900-х годах многие математики выражали сомнения относительно ключевых идей и методов теории множеств. Примером прототипа является Э. Борель, который после представления идей Кантора во Франции [1898] стал все более подозрительным к теории множеств (пять писем, которыми он обменялся с Бэром, Лебегом, Адамаром в 1905 году, см. Эвальд [1996], том 2]). Но есть и случаи Пуанкаре, Вейля, Сколема и так далее. Среди философов наиболее ярким примером является Витгенштейн, который осудил теорию множеств, основанную на «бессмыслице» вымышленной символики, предложив «неправильные образы» и так далее. Адамар в 1905 году прославился; см. Ewald [1996, vol. 2]). Но есть и случаи Пуанкаре, Вейля, Сколема и так далее. Среди философов наиболее ярким примером является Витгенштейн, который осудил теорию множеств, основанную на «бессмыслице» вымышленной символики, предложив «неправильные образы» и так далее. Адамар в 1905 году прославился; см. Ewald [1996, vol. 2]). Но есть и случаи Пуанкаре, Вейля, Сколема и так далее. Среди философов наиболее ярким примером является Витгенштейн, который осудил теорию множеств, основанную на «бессмыслице» вымышленной символики, предложив «неправильные образы» и так далее.

3. Критический период

В конце девятнадцатого века было распространено мнение, что чистая математика - не что иное, как сложная форма арифметики. Таким образом, обычно говорили об «арифметизации» математики и о том, как она привела к высочайшим стандартам строгости. Вместе с Дедекиндом и Гильбертом эта точка зрения привела к идее обоснования всей чистой математики в теории множеств. Самыми трудными шагами в изложении этой точки зрения было установление теории действительных чисел и теоретико-множественная редукция натуральных чисел. Обе проблемы были решены работой Кантора и Дедекинда. Но именно тогда, когда математики праздновали, что «полная строгость» была наконец достигнута, возникли серьезные проблемы для основ теории множеств. Сначала Кантор, а затем Рассел обнаружили парадоксы в теории множеств.

Кантора привели к парадоксам, введя «концептуальную сферу» трансфинитных чисел. Каждый трансфинитный ординал является типом порядка множества его предшественников; например, ω является типом порядка ({0, 1, 2, 3, / ldots }), а (omega + 2) является типом порядка ({0, 1, 2, 3, / ldots, / omega, / omega +1 }). Таким образом, каждому начальному сегменту ряда ординалов соответствует непосредственно больший порядковый номер. Теперь «целая серия» всех трансфинитных ординалов образует упорядоченный набор, и ему будет соответствовать новый порядковый номер. Это недопустимо, поскольку этот порядковый номер (o) должен быть больше, чем все члены «целого ряда», и в частности (o <o). Это обычно называют парадоксом Бурали-Форти, или парадоксом ординалов (хотя сам Бурали-Форти не смог сформулировать это ясно,см. Moore & Garciadiego 1981).

Хотя вполне возможно, что Кантор, возможно, обнаружил этот парадокс уже в 1883 году, сразу после введения трансфинитных ординалов (аргументы в пользу этой идеи см. Purkert & Ilgauds 1987 и Tait 2000), свидетельства ясно указывают, что это было до 1896 года. / 97 что он нашел этот парадоксальный аргумент и осознал его значение. К этому времени он также смог использовать теорему Кантора для получения парадокса Кантора или парадокса алефов: если бы существовал «набор всех» кардинальных чисел (алеф), примененная к нему теорема Кантора дала бы новый алеф (aleph), такой что (aleph <\ aleph). Великий теоретик множеств прекрасно понимал, что эти парадоксы являются фатальным ударом по «логическим» подходам к сетам, предпочитаемым Фреге и Дедекиндом. Кантор подчеркнул, что его взгляды «диаметрально противоположны» взглядам Дедекинда и, в частности, его «наивному предположению о том, что все четко определенные коллекции или системы также являются« последовательными системами »» (см. Письмо Гильберту от 15 ноября. 1899, в Purkert & Ilgauds, 1987: 154). (Вопреки тому, что часто заявлялось, неоднозначное определение множества Кантора в его статье 1895 года было задумано как «диаметрально противоположное» пониманию логистов множеств, часто называемых «наивной» теорией множеств, которую более правильно можно назвать дихотомическая концепция множеств, следуя предложению Гёделя.)(Вопреки тому, что часто заявлялось, неоднозначное определение множества Кантора в его статье 1895 года было задумано как «диаметрально противоположное» пониманию логистов множеств, часто называемых «наивной» теорией множеств, которую более правильно можно назвать дихотомическая концепция множеств, следуя предложению Гёделя.)(Вопреки тому, что часто заявлялось, неоднозначное определение множества Кантора в его статье 1895 года было задумано как «диаметрально противоположное» пониманию логистов множеств, часто называемых «наивной» теорией множеств, которую более правильно можно назвать дихотомическая концепция множеств, следуя предложению Гёделя.)

Кантор думал, что он может решить проблему парадоксов, различая «согласованные кратности» или множества и «противоречивые кратности». Но в отсутствие четких критериев для разграничения это был просто устный ответ на проблему. Зная о недостатках своих новых идей, Кантор так и не опубликовал последнюю статью, которую он готовил, в которой он планировал обсудить парадоксы и проблему упорядочения (мы хорошо знаем содержание этой неопубликованной статьи, как Кантор обсуждал это в переписке с Дедекиндом и Гильбертом; см. письма 1899 года Дедекинду в Канторе 1932 года или Эвальда 1996 года: том 2). Кантор представил аргумент, который основывался на парадоксе ординалов «Бурали-Форти» и был направлен на то, чтобы доказать, что каждый набор можно упорядочить. Позднее этот аргумент был вновь открыт британским математиком PEB Jourdain, но он открыт для критики, поскольку работает с «непоследовательной множественностью» (термин Кантора в вышеупомянутых письмах).

Парадоксы Кантора убедили Гильберта и Дедекинда в том, что существуют серьезные сомнения относительно основ теории множеств. Гильберт сформулировал собственный парадокс (Peckhaus & Kahle 2002) и обсудил эту проблему с математиками в своем круге Геттингена. Эрнст Цермело, таким образом, был вынужден открыть парадокс «множества» всех множеств, которые не являются членами самих себя (Rang & Thomas 1981). Это было независимо обнаружено Бертраном Расселом, которого привело к тщательному изучению теоремы Кантора, которая глубоко противоречила вере Рассела в универсальное множество. Некоторое время спустя, в июне 1902 года, он сообщил о «противоречии» Готтлобу Фреге, который заканчивал свое собственное логическое обоснование арифметики, в известном письме [van Heijenoort 1967, 124]. Реакция Фреге прояснила глубокое влияние этого противоречия на программу логики. «Могу ли я всегда говорить о классе, о расширении концепции? А если нет, как я могу узнать об исключениях? » Столкнувшись с этим, «я не могу понять, как арифметика могла бы дать научное обоснование, как числа могут быть восприняты как логические объекты» (Frege 1903: 253).

Публикация второго тома «Grundgesetze» Фреге (1903 г.) и, прежде всего, работы Рассела «Принципы математики» (1903 г.), позволили математическому сообществу полностью осознать существование теоретико-множественных парадоксов, их влияние и важность. Есть свидетельства того, что до того времени даже Гильберт и Цермело не полностью оценили ущерб. Обратите внимание, что парадокс Рассела-Цермело оперирует очень простыми понятиями - отрицание и набор концепций членства, которые широко считались чисто логическими. «Набор» (R = {x: x / not / in x }) существует в соответствии с принципом понимания (который позволяет любому открытому предложению определить класс), но если это так, (R / in R / textit {iff} R / not / in R). Это является прямым противоречием принципу, поддерживаемому Фреге и Расселом.

Очевидно, было необходимо уточнить основы теории множеств, но общая ситуация не сделала эту задачу легкой. Различные конкурирующие точки зрения были широко расходящимися. Кантор имел метафизическое понимание теории множеств и, хотя у него был один из самых острых взглядов на поле, он не мог предложить точную основу. Для него было ясно (как это было несколько загадочно для Эрнста Шредера в его книге «Vorlesungen über die Algebra der Logik», 1891), что нужно отвергнуть идею универсального набора, одобренного Фреге и Дедекиндом. Фреге и Рассел основали свой подход на принципе понимания, который оказался противоречивым. Дедекинд избегал этого принципа, но постулировал, что Абсолютная Вселенная была набором, «вещью» в его техническом смысле Геданкендинга;и он связал это предположение с полным принятием произвольных подмножеств.

Эта идея допущения произвольных подмножеств была одной из глубинных идей Кантора и Дедекинда, но никто из них не тематизировал ее. (Здесь их современное понимание анализа сыграло важную, но неявную фоновую роль, поскольку они работали в рамках традиции Дирихле-Римана о «произвольных» функциях.) Что касается ныне известной итеративной концепции, в ней были некоторые элементы (особенно в работе Дедекинда). с его итеративным развитием системы счисления и его взглядами на «системы» и «вещи»), но она явно отсутствовала у многих соответствующих авторов. Как правило, например, Кантор не повторял процесс формирования множества: он имел тенденцию рассматривать наборы однородных элементов, элементы, которые, как предполагалось, принадлежали «в некоторой концептуальной сфере» (или числа, или точки, или функции,или даже физические частицы - но не смешанные). Впервые итеративная концепция была предложена Куртом Гёделем в [1933 г.] в связи с технической работой фон Неймана и Цермело несколькими годами ранее; Гедель будет настаивать на идее в своей известной статье о проблеме континуума Кантора. Это произошло только после того, как было разработано и систематизировано очень существенное количество теории множеств.

Это разнообразие противоречивых точек зрения внесло большой вклад в общую путаницу, но было и другое. В дополнение к рассмотренным выше парадоксам (как мы говорим, теоретико-множественные парадоксы) в список «логических» парадоксов вошел целый ряд других (позже названных «семантическими»). Среди них парадоксы из-за Рассела, Ричарда, Кенига, Берри, Греллинга и т. Д., А также древний парадокс лжецов из-за Эпименида. И диагнозы, и предлагаемые лекарства от повреждения были чрезвычайно разнообразны. Некоторые авторы, такие как Рассел, считали необходимым найти новую логическую систему, которая могла бы разрешить все парадоксы одновременно. Это привело его к теории разветвленного типа, которая легла в основу Principia Mathematica (3 тома, Whitehead and Russell 1910–1913), его совместной работы с Альфредом Уайтхедом. Другие авторы, такие как Цермело,Считалось, что большинство из этих парадоксов исчезли, как только один работал в рамках ограниченной аксиоматической системы. Они сконцентрировались на «теоретико-множественных» парадоксах (как мы это делали выше) и привели к поиску аксиоматических систем теории множеств.

Еще более важно то, что вопросы, оставленные Кантором и подчеркнутые Гильбертом в его первой проблеме 1900 года, вызвали жаркие споры. На Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 году Дьюла (Юлий) Кениг предложил очень подробное доказательство того, что мощность континуума не может быть ни одним из канторовских алефов. Его доказательство было ошибочным только потому, что он опирался на результат, ранее «доказанный» Феликсом Бернштейном, учеником Кантора и Гильберта. Феликсу Хаусдорфу потребовалось несколько месяцев, чтобы выявить ошибку и исправить ее, правильно указав особые условия, при которых результат Бернштейна был действительным (см. Hausdorff 2001, vol. 1). После исправления таким образом теорема Кенига стала одним из немногих результатов, ограничивающих возможные решения проблемы континуума, подразумевая, например,что (textit {card} (mathbf {R})) не равно (aleph _ { omega}). Тем временем Цермело смог представить доказательство того, что каждый набор можно упорядочить, используя Аксиому выбора [1904]. В течение следующего года выдающиеся математики в Германии, Франции, Италии и Англии обсуждали аксиому выбора и ее приемлемость.

Аксиома выбора гласит: для каждого множества (A) непустых множеств существует множество, которое имеет ровно один общий элемент с каждым множеством в (A). Это положило начало целой эпохе, в течение которой Аксиома выбора воспринималась наиболее осторожно как сомнительная гипотеза (см. Монументальное исследование Мура, 1982). И это иронично, поскольку из всех обычных принципов теории множеств аксиома выбора является единственной, которая явно обеспечивает существование некоторых произвольных подмножеств. Но, как бы ни была важна эта идея в мотивации Кантора и Дедекинда, и как бы она ни была связана с классическим анализом, многие другие авторы отвергли бесконечные произвольные подмножества. Среди наиболее влиятельных в последующий период следует выделить имена Рассела, Германа Вейля и, конечно, Брауэра.

Выбор был, в течение долгого времени, спорная аксиомы. С одной стороны, он широко используется в математике и, действительно, он является ключом ко многим важным теоремам анализа (это постепенно стало ясно с помощью таких работ, как Серпинский [1918]). С другой стороны, это имеет довольно неинтуитивные последствия, такие как парадокс Банаха-Тарского, который говорит, что единичный шар может быть разделен на конечное число «частей» (подмножеств), которые затем могут быть перегруппированы, чтобы сформировать два единичных шара (см. Tomkowicz & Wagon [2019]). Возражения против аксиомы возникают из-за того, что она утверждает существование множеств, которые не могут быть явно определены. В течение 1920-х и 1930-х годов существовала ритуальная практика явного упоминания о ней, всякий раз, когда теорема зависела от аксиомы. Это прекратилось только после того, как Гёдель доказал относительную согласованность, обсуждаемую ниже.

Впечатляющая полемика, которая окружала его теорему о порядке упорядочения, и самая интересная и трудная проблема, поставленная основами математики, побудили Цермело сосредоточиться на аксиоматической теории множеств. В результате своего резкого анализа в 1908 году он опубликовал свою систему аксиом, показывающую, как она блокирует известные парадоксы и в то же время позволяет мастерски развить теорию кардиналов и ординалов. Это, однако, тема другой статьи (о жизни и творчестве Цермело, см. Ebbinghaus [2015]).

4. Из Цермело в Гедель

В период 1900–1930 гг. Рубрика «теория множеств» все еще понималась как включающая темы топологии и теории функций. Хотя Кантор, Дедекинд и Цермело оставили этот этап позади, чтобы сконцентрироваться на чистой теории множеств, для математиков в целом это все равно займет много времени. Так, на первом Международном конгрессе математиков в 1897 году основные выступления Адамара и Гурвица защищали теорию множеств на основе ее важности для анализа. Около 1900 года, мотивированные темами анализа, важная работа была проделана тремя французскими экспертами: Борелем [1898], Байром [1899] и Лебегом [1902] [1905]. Их работа положила начало развитию описательной теории множеств, расширив исследования Кантора по определимым наборам действительных чисел (в которых он установил, что гипотеза континуума верна для замкнутых множеств). Они представили иерархию борелевских множеств, иерархию функций Бэра и концепцию меры Лебега - важнейшую концепцию современного анализа.

Описательная теория множеств (DST) - это изучение определенных видов определяемых множеств действительных чисел, которые получаются из простых видов (таких как открытые множества и закрытые множества) с помощью хорошо понятных операций, таких как дополнение или проекция. Борелевские множества были первой иерархией определимых множеств, введенных в книге Эмиля Бореля 1898 года; они получены из открытых множеств путем повторного применения операций счетного объединения и дополнения. В 1905 году Лебег изучал борелевские множества в эпохальном мемуаре, показывая, что их иерархия имеет уровни для всех счетных ординалов, и анализируя функции Бэра как аналоги борелевских множеств. Основная цель описательной теории множеств - найти структурные свойства, общие для всех таких определяемых множеств: например, было показано, что борелевские множества обладают свойством совершенного множества (если оно неисчислимо,они имеют идеальное подмножество) и, таким образом, чтобы соответствовать гипотезе континуума (СН). Этот результат был установлен в 1916 году Хаусдорфом и Александровым, работая независимо. Другие важные «свойства регулярности», изучаемые в DST, являются свойством измеримости по Лебегу и так называемым свойством Бэра (отличаться от открытого множества так называемым скудным множеством или множеством первой категории).

Также важным в то время было изучение аналитических множеств, а именно непрерывных изображений борелевских множеств или, что эквивалентно, проекций борелевских множеств. Молодой русский математик Михаил Суслин нашел ошибку в мемуарах Лебега 1905 года, когда понял, что проекция борелевского множества не является борелевской вообще [Suslin 1917]. Однако он смог установить, что аналитические множества также обладают свойством совершенного множества и, таким образом, проверяют CH. К 1923 году Николай Лусин и Вацлав Серпинский изучали соаналитические множества, и это должно было привести их к новой иерархии проективных множеств, которая начинается с аналитических множеств ((Sigma ^ {1} _ {1})), их дополнения (коаналитические, (Pi ^ {1} _ {1}) наборы), проекции этих последних ((Sigma ^ {1} _ {2}) наборов), их дополняет ((Pi ^ {1} _ {2}) наборы) и так далее. В течение 1920-х годов над этими новыми типами декораций была проделана большая работа, в основном польскими математиками вокруг Серпинского и русской школой Люсина и его учениками. Важным результатом, полученным Серпиньским, было то, что каждый (Sigma ^ {1} _ {2}) набор является объединением (aleph_ {1}) борелевских множеств (то же самое верно для (Sigma ^ { 1} _ {1}) наборы), но такого рода традиционные исследования по этой теме застоялись бы примерно после 1940 года (см. Канамори [1995]).

Вскоре Люсин, Серпиньски и их коллеги столкнулись с чрезвычайными трудностями в своей работе. Лусин был в таком отчаянии, что в статье 1925 года он пришел к «совершенно неожиданному» выводу, что «человек не знает и никогда не узнает», обладают ли проективные множества желаемыми свойствами регулярности (цит. В Канамори, 1995: 250). Такие комментарии очень интересны в свете более поздних событий, которые привели к гипотезам, которые решают все соответствующие вопросы (в частности, проективная детерминированность). Они подчеркивают сложные методологические и философские проблемы, поднятые этими более поздними гипотезами, а именно проблему, касающуюся тех доказательств, которые их поддерживают.

Люсин суммировал современное состояние в своей книге «Leçons sur les ensem Analytics» (Париж, Готье-Виллар) 1930 года, которая должна была стать ключевым ориентиром на долгие годы. После этой работы стало привычным представлять результаты DST для пространства Бэра (^ { omega}) (omega) бесконечных последовательностей натуральных чисел, которое фактически было введено Рене Бэром в статья, опубликованная в 1909 году. Пространство Бэра наделено определенной топологией, которая делает его гомеоморфным множеству иррациональных чисел, и эксперты считают его «пожалуй, самым фундаментальным объектом изучения теории множеств» рядом с множеством натуральные числа [Moschovakis 1994, 135].

Этот поток работ по ТЛЧ должен считаться одним из наиболее важных вкладов теории множеств в анализ и топологию. Но то, что началось как попытка доказать гипотезу континуума, не могло достичь этой цели. Вскоре с помощью Аксиомы выбора было показано, что существуют не измеримые по Лебегу множества действительных чисел (Виталий 1905), а также бесчисленные множества действительных чисел без идеального подмножества (Бернштейн 1908). Такие результаты прояснили невозможность достижения цели CH, концентрируясь на определенных и «хорошо управляемых» наборах реалов.

Кроме того, с работой Гёделя в 1940 году (а также с форсированием в 1960-х годах) стало ясно, почему исследования 1920-х и 30-х годов застоялись: фундаментальные новые результаты независимости показали, что теоремы, установленные Суслином (идеальное свойство множества для аналитических множеств), Наборы Серпинского ((Sigma ^ {1} _ {2}) как объединения (aleph_ {1}) борелевских множеств) и некоторые другие были наилучшими возможными результатами на основе системы аксиом ZFC. Это важно философски: уже исследования мира множеств, определяемых из открытых (или закрытых) множеств дополнением, счетным объединением и проекцией, было достаточно, чтобы достичь пределов системы ZFC. Отсюда необходимость в новых аксиомах, которые Гёдель подчеркнул после Второй мировой войны [Gödel 1947].

Давайте теперь обратимся к другому главному наследию Кантора - изучению трансфинитных чисел. К 1908 году Хаусдорф работал над несчетными типами заказов и представил обобщенную гипотезу континуума ((2 ^ { aleph_ {a}} = / aleph_ {a + 1})). Он также был первым, кто рассмотрел возможность «непомерного» кардинала, а именно слабо недоступного, т. Е. Обычного кардинала, который не является преемником (кардинал (alpha) называется регулярным при разложении (alpha)) в сумму меньших кардиналов требуется (alpha) - много таких чисел). Несколько лет спустя, в начале 1910-х годов, Пол Мало изучал иерархии таких крупных кардиналов в работе, которые первыми стали тем, что должно было стать центральной областью теории множеств; он получил последовательность недоступных кардиналов, применив определенную операцию, которая включает понятие стационарного подмножества; они называются Мало кардиналов. Но изучение крупных кардиналов развивалось медленно. Тем временем в учебнике Хаусдорфа «Grundzüge der Mengenlehre» (1914) было представлено два поколения математиков в теории множеств и общей топологии.

Следующие важные шаги в «очень высокую» бесконечность были сделаны в 1930 году. Понятие сильно недоступных кардиналов было затем выделено Серпинским и Тарским и Цермело [1930]. Сильно недоступным является обычный кардинал (alpha) такой, что (2 ^ x) меньше (alpha) всякий раз, когда (x <\ alpha). В то время как слабые недоступные просто подразумевают закрытие при операции-преемнике, сильные недоступные подразумевают гораздо более сильное понятие закрытия при работе с набором мощности. В том же году в новаторской статье о моделях ZFC Цермело [1930] установил связь между бесчисленными (сильно) недоступными кардиналами и некоторыми «естественными» моделями ZFC (в работе которого он предположил, что работа блока питания так сказать, полностью определенная).

В том же году Станислав Улам руководствовался соображениями, вытекающими из анализа (теория меры), к концепции, которая должна была стать центральной: измеримые кардиналы. Оказалось, что такие кардиналы, определяемые теоретико-мерным свойством, должны были (сильно) быть недоступными. Действительно, много лет спустя было установлено (Ханф, работая над более ранней работой Тарского), что первый недоступный кардинал не поддается измерению, показывая, что эти новые кардиналы были еще более «непомерными». Как видно, польская школа во главе с Серпиньским играла центральную роль в развитии теории множеств между войнами. Измеримые кардиналы стали особенно известны в конце 1960-х годов, когда стало ясно, что существование измеримого кардинала противоречит аксиоме конструктивности Гёделя ((V = L) в обозначениях классов). Это снова подтвердило убеждения Геделя, выраженные в том, что иногда называют «программой Геделя» для новых аксиом.

Теоретико-множественная математика продолжила свое развитие в мощный аксиоматический и структурный подход, который должен был доминировать большую часть 20- говека. Чтобы привести только пару примеров, ранняя аксиоматическая работа Гильберта (например, в его знаменитых арках Основах геометрии) была глубоко теоретико-множественной; Эрнст Штайниц опубликовал в 1910 году свои исследования по абстрактной теории поля, в которых в основном использовалась аксиома выбора; и примерно в то же время изучение функциональных пространств началось с работ Гильберта, Мориса Фреше и других. В течение 20-30-х годов первый специализированный математический журнал Fundamenta Mathematicae был посвящен теории множеств в том виде, в каком она понималась (централизованно, включая топологию и теорию функций). В те десятилетия структурная алгебра достигла совершеннолетия, абстрактная топология постепенно становилась самостоятельной отраслью исследования, и изучение теории множеств положило начало метатеоретическому повороту.

С тех пор «теория множеств» обычно отождествляется с областью математической логики, которая изучает трансфинитные множества, что вытекает из результата Кантора, что (mathbf {R}) имеет большую мощность, чем (mathbf {N}), Но, как показывает предшествующее обсуждение, теория множеств была и следствием, и причиной возникновения современной математики: следы этого происхождения неизгладимо отпечатаны на ее аксиоматической структуре.

Библиография

Цитируемые работы

  • Александров, Павел, 1916, «Sur la puissance des ensembles mesuresbles B», Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 162: 323–325.
  • Асгари, Амир, 2019, «Эквивалентность: попытка истории идеи», Synthese, 196: 4657–4677.
  • Baire, René, 1899, «Surfonctions of variable reelles», Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie IIIa, vol. 3, с. 1–122.
  • –––, 1909, «Sur la représentation des fonctions прекращается», Acta Mathematica, 32: 97–176.
  • Bernstein, Felix, 1908, “Zur Theorie der trigonometrischen Reihen”, Sitzungsberichte der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse, 60: 325–338.
  • du Bois – Reymond, Paul, 1875, «Ueber asymptotische Werthe, бесконечное приближение и бесконечность Auflösung von Gleichungen», Mathematische Annalen, 8: 363–414.
  • Больцано, Бернард, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Лейпциг, Reclam; Английский перевод London, Routledge, 1920.
  • Борель, Эмиль, 1898, Leçons sur la theéorie des fonctions, Paris, Gauthier-Villars. 4- е изд 1950 г. с многочисленными дополнениями.
  • Кантор, Георг, 1872, «Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen», Mathematische Annalen, 5: 123–132. В Канторе 1932: 92–102.
  • –––, 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. В Канторе 1932: 165–208. Английский перевод в Эвальде, 1996: том. 2.
  • –––, 1884, «Uber unndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, 6», Mathematische Annalen, 23: 453–88. Перепечатано в Канторе 1932: 210–244.
  • –––, 1892, «Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 1: 75–78. Перепечатано в Канторе 1932: 278–280. Английский перевод в Эвальде 1996: т.2.
  • –––, 1895/97, «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre», в Канторе, 1932: 282–351. Английский перевод в Канторе, Вклад в основание теории трансфинитных чисел, Нью-Йорк: Довер, 1955.
  • –––, 1932, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philophisischen Inhalts, E. Zermelo (ed.), Berlin: Springer. Перепечатка Хильдесхайм: Олмс, 1966.
  • Даубен, Иосиф, 1979, Георг Кантор. Его Математика и Философия Бесконечного, Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета.
  • Дедекинд, Ричард, 1871, «Uber die Komposition der binären quadratischen Formen», Дополнение X к Г. Л. Дирихле и Р. Дедекинд, Vorlesungen über Zahlentheorie, Брауншвейг: Vieweg. [Более поздние издания в качестве Приложения XI, четвертый из которых переиздан в Нью-Йорке: Челси, 1968.] Частичная перепечатка в Dedekind 1930/32: том 3, 223–261.
  • –––, 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig: Vieweg. В Дедекинде 1930/32: том 3, 315–334 Английский перевод в Эвальде, 1996: том. 2.
  • –––, 1876/77, «Sur la théorie des nombres entiers algébriques», Бюллетень математических и астрономических наук, 1- я серия, XI (1876): 278–293; 2- я серия, I (1877): 17–41, 69–92, 144–164, 207–248. Отдельное издание, Paris: Gauthier-Villars, 1977. Английский перевод Дж. Стиллвелла: Теория алгебраических целых чисел, Кембридж: издательство Cambridge University Press, 2004.
  • –––, 1888, Был ли Син и Соллен умерли Захлен?, Брауншвейг: Vieweg. В Дедекинде 1930/32: вып. 3. Английский в Эвальде, 1996: вып. 2.
  • –––, 1930/32. Gesammelte mathematische Werke, R. Fricke, E. Noether & Ö. Руда (ред.), Брауншвейг: Vieweg, 3 тома. Перепечатка Нью-Йорк: Челси, 1969.
  • Дедекинд Р. и Генрих Вебер, 1882, «Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen», Journal for für reine und angew. Математик, 92: 181–290; перепечатано в «Дедекинде 1930/32» (том 1), с. 238–350; Английский перевод Джона Стиллвелла, Теория алгебраических функций одной переменной, Провиденс: Американское математическое общество и Лондонское математическое общество, 2012.
  • Эббингхаус, HD, 2015, Эрнст Цермело: подход к его жизни и работе, второе издание, Берлин: Springer Verlag.
  • Эвальд, Уильям Б., 1996, От Канта до Гильберта: сборник материалов по основам математики, 2 тома, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Феферман, Соломон, 1988, «Вейл подтвердил: Das Kontinuum 70 лет спустя», перепечатано в «В свете логики», Оксфорд: издательство Оксфордского университета, 1998, глава. 13.
  • Феррейрос, Хосе, 1995, «Что бродило во мне годами: канторское открытие трансфинитных чисел», Historia Mathematica, 22: 33–42.
  • –––, 1999, Лабиринт мысли. История теории множеств и ее роль в современной математике, Базель: Биркхойзер.
  • Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, vol. 2, Йена: Pohle. Перепечатка Хильдесхайм: Олмс, 1966.
  • Гёдель, Курт, 1933, «Современная ситуация в основах математики», в S. Feferman et al. (ред.), Собрание сочинений, Vol. 3, издательство Оксфордского университета, стр. 45–53.
  • –––, 1947, «Что такое проблема континуума Кантора?», Американский математический ежемесячник, 54. Перепечатано в S. Feferman et al. (ред.), Собрание сочинений, Vol. 2, издательство Оксфордского университета, стр. 176–187.
  • Hallett, Michael, 1984, Канторианская теория множеств и ограничение размера, Оксфорд: Кларендон.
  • Hausdorff, Felix, 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Viet. Перепечатано Нью-Йорк: AMS Chelsea Publishing, 1949. Перепечатано как Том II Хаусдорфа 2001–. Третье издание (1937) было переведено на английский язык, 1957, Теория множеств, Нью-Йорк: AMS Chelsea Publishing. онлайн сканирование Hausdorff 1914.
  • –––, 1916, «Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen», Mathematische Annalen, 77 (3): 430–437. В Hausdorff [2001-], vol. 3. doi: 10.1007 / BF01475871
  • –––, 2001–, Gesammelte Werke, 9 томов, E. Brieskorn, W. Purkert, U. Felgner, E. Scholz et al. (ред.), Берлин: Springer.
  • van Heijenoort, Jean, 1967, From Frege to Gödel: сборник по математической логике, 1879–1931, Кембридж, Массачусетс, издательство Гарвардского университета. Перепечатка в мягкой обложке, 2000.
  • Канамори, Акихиро, 1995, «Возникновение описательной теории множеств», Synthese, 251: 241–262.,
  • –––, 1996, «Математическое развитие теории множеств от Кантора до Коэна», Бюллетень символической логики, 2: 1–71.
  • Лавин, Шауган, 1994, Понимание Бесконечного, Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета.
  • Lebesgue, Henri, 1902, «Intégrale, longueur, aire», Annali di Matematica Pura ed Applicata, 7 (1): 231–359.
  • –––, 1905, «Анализ представлений о происшествиях», Journal of Mathématiques, (6e серия), 1: 139–216.
  • Lusin, Николай, 1925, «Sur les ensembles projctifs de M. Lebesgue», Comptes Rendus Acad. Scie. Paris, 180: 1572–74.
  • –––, 1930, Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications, с предисловием Лебега и запиской Серпинского, Париж: Готье-Виллар.
  • Манкосу, Паоло, 2009, «Измерение размера бесконечных наборов натуральных чисел: была ли неизбежна теория Кантора о бесконечном числе?», «Обзор символической логики», 2 (04): 612 - 646.
  • Мур, Грегори Х., 1982, Аксиома выбора Цермело. Происхождение, развитие и влияние, Берлин: Springer.
  • Moore, Gregory H. & A. Garciadiego, 1981, «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его происхождения», Historia Mathematica, 8: 319–50.
  • Moschovakis, Яннис Н., 1994, заметки о теории множеств, Нью-Йорк: Springer.
  • Пекхаус, Фолькер и Р. Кале, 2002, «Парадокс Гильберта», Historia Mathematica, 29 (2): 157–175.
  • Purkert, Walter & HJ Ilgauds, 1987, Georg Cantor 1845–1918, Basel: Birkhäuser.
  • Rang, Bernhard & W. Thomas, 1981, «Открытие Цермело« парадокса Рассела »», Historia Mathematica, 8: 15–22.
  • Риман, Бернхард, 1854/1868a, «Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» (Habilitationsvotrag), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 133–152. В Римане 1892: 272–287. Английский перевод Клиффорда, перепечатанный в Ewald 1996: vol. 2.
  • –––, 1854 / 1868b, «Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe», (Habilitationsschrift), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 87–132. В Римане 1892: 227-265.
  • –––, 1892, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber и R. Dedekind (eds.), Leipzig, Teubner. Перепечатано (вместе с «Nachträge») М. Нетером и В. Виртингером (ред.), Нью-Йорк: Довер, 1953.
  • Рассел, Бертран, 1903, Принципы математики, Кембридж, издательство университета. Перепечатка 2- го изд. (1937): Лондон: Allen & Unwin, 1948.
  • Серпиньски, Вацлав, 1918, «Аксиома М. Цермело и сын ансамблей и анализ», Бюллетень Академии наук Кракови (Cl. Sci. Math. A), 99–152.; перепечатано в Sierpiński, Oeuvres choisies, S. Hartman, et al. (ред.), том 2, Варшава: Научные издания, Pologne, 1974.
  • Серпиньски, Вацлав и Альфред Тарский, 1930, «Непредвиденный характер и недоступность», Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300.
  • Steinitz, Ernst, 1910, “Algebraische Theorie der Körper”, Journal for reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309.
  • Суслин, Михаил Я., 1917, «Сюжеты определений измеримых B sans nombres transfinis», Comptes Rendues Acad. Sci. Paris, 164: 88–91.
  • Томкович Г. и Вагон С., 2019, парадокс Банаха-Тарского, второе издание, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Vitali, G., 1905, Sul problemma della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna: Gamberini e Parmeggiani.
  • Уайтхед, Альфред Н. и Бертран Рассел, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 тома, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Тейт, Уильям У., 2000, «Кантурский грандлаген и парадоксы теории множеств», Между логикой и интуицией: очерки в честь Чарльза Парсонса, Дж. Шера и Р. Тиссена (ред.), Кембридж: издательство Кембриджского университета, стр. 269-290. Перепечатано в книге «Происхождение чистого разума», Оксфорд: издательство Оксфордского университета, 2005, с. 252–275.
  • Wang, Hao, 1974, «Концепция множества», «От математики к философии», Лондон, Routledge; перепечатано в P. Benacerraf & H. Putnam, Философия математики: избранные чтения, Cambridge Univ. Press, 1983, 530–570.
  • Цермело, Эрнст, 1904, «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann», Mathematische Annalen, 59: 514–516; в Цермело [2010], вып. 1, 80–119. Английский перевод в van Heijenoort 1967 («Доказательство того, что каждый набор можно упорядочить»).
  • –––, 1908, «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre», Mathematische Annalen, 65: 261–281;; в Цермело [2010], вып. 1, 160–229. Английский перевод в van Heijenoort 1967 («Исследования по основам теории множеств I»).
  • –––, 2010–2011, Собрание сочинений / Gesammelte Werke, Vol. Я и II, Х.-Д. Эббингхаус и соавт. (ред.), Спрингер: Берлин,

Дальнейшее чтение

  • Кавайе, Жан, 1962, Philosophie mathématique, Париж: Герман.
  • Эббингхаус, Хайнц-Дитер, 2007, Эрнст Цермело: подход к его жизни, работа, Нью-Йорк: Springer.
  • Fraenkel, Abraham, 1928, Einleitung in die Mengenlehre, 3- е изд. Берлин: Спрингер.
  • Grattan-Guinness, Ivor (ed.), 1980, От исчисления к теории множеств, 1630–1910, Лондон: Duckworth.
  • Канамори, Акихиро, 2004, «Цермело и теория множеств», Бюллетень символической логики, 10 (4): 487–553.
  • –––, 2007, «Гедель и теория множеств», Бюллетень символической логики, 13 (2): 153–188.
  • –––, 2008, «Коэн и теория множеств», Бюллетень символической логики, 14 (3): 351–378.
  • –––, 2009, «Бернейс и теория множеств», Бюллетень символической логики, 15 (1): 43–60.
  • Мэдди, Пенелопа, 1988, «Верить аксиомам», Журнал символической логики, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736–764.
  • Вагон, Стан, 1993, парадокс Банаха-Тарского, Кембридж: издательство Кембриджского университета.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

  • История теории множеств Дж. Дж. О'Коннора и Э. Ф. Робертсона в архиве истории математики MacTutor. Обратите внимание, что их реконструкция в некоторых точках противоречит приведенной здесь.
  • Программа Годеля (PowerPoint), интересный доклад Джона Р. Стила (Математика, Калифорнийский университет в Беркли).
  • Домашняя страница для Аксиомы выбора, поддерживаемая Эриком Шехтером (Математика, Университет Вандербильта).

Рекомендуем: