Программа Гильберта

Оглавление:

Программа Гильберта
Программа Гильберта

Видео: Программа Гильберта

Видео: Программа Гильберта
Видео: "Ил-2 Штурмовик" нового поколения - "Битва за Сталинград" и "Битва за Москву" #13 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Программа Гильберта

Впервые опубликовано 31 июля 2003 г.; существенная редакция пт 24 мая 2019

В начале 1920-х годов немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) выдвинул новое предложение об основах классической математики, которое стало известно как Программа Гильберта. Это требует формализации всей математики в аксиоматической форме вместе с доказательством того, что эта аксиоматизация математики последовательна. Само доказательство непротиворечивости должно было быть выполнено, используя только то, что Гильберт назвал «финитарными» методами. Особый эпистемологический характер финитарных рассуждений дает необходимое обоснование классической математики. Хотя Гильберт предложил свою программу в таком виде только в 1921 году, различные ее аспекты уходят корнями в основополагающую работу, которую он проделал до 1900 года, когда он впервые указал на необходимость предоставления прямого доказательства последовательности анализа. Работа над программой значительно продвинулась в 1920-х годах благодаря участию таких логиков, как Пол Бернайс, Вильгельм Аккерманн, Джон фон Нейман и Жак Хербранд. Это также оказало большое влияние на Курта Гёделя, чьи работы по теорем о неполноте были мотивированы Программой Гильберта. Работа Гёделя, как правило, используется, чтобы показать, что Программа Гильберта не может быть выполнена. Тем не менее она продолжала оставаться влиятельной позицией в философии математики, и, начиная с работы Герхарда Генцена в 1930-х годах, работа над так называемыми релятивизированными гильбертовыми программами была центральной в развитии теории доказательств.чьи работы по теорем о неполноте были мотивированы Программой Гильберта. Работа Гёделя, как правило, используется, чтобы показать, что Программа Гильберта не может быть выполнена. Тем не менее она продолжала оставаться влиятельной позицией в философии математики, и, начиная с работы Герхарда Генцена в 1930-х годах, работа над так называемыми релятивизированными гильбертовыми программами была центральной в развитии теории доказательств.чьи работы по теорем о неполноте были мотивированы Программой Гильберта. Работа Гёделя, как правило, используется, чтобы показать, что Программа Гильберта не может быть выполнена. Тем не менее она продолжала оставаться влиятельной позицией в философии математики, и, начиная с работы Герхарда Генцена в 1930-х годах, работа над так называемыми релятивизированными гильбертовыми программами была центральной в развитии теории доказательств.

  • 1. Историческое развитие программы Гильберта

    • 1.1 Ранняя работа над фондами
    • 1.2 Влияние Principia Mathematica
    • 1.3 Финитизм и поиск доказательств непротиворечивости
    • 1.4. Влияние теорем Гёделя о неполноте
  • 2. Финальная точка зрения

    • 2.1 Финитарные объекты и финитистская эпистемология
    • 2.2 Конечнозначные суждения и финитарные рассуждения
    • 2.3 Финальные операции и финитарное доказательство
  • 3. Формализм, редукционизм и инструментализм
  • 4. Программа Гильберта и теоремы Гёделя о неполноте
  • 5. Пересмотренные программы Гильберта
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Историческое развитие программы Гильберта

1.1 Ранняя работа над фондами

Работа Гильберта по основам математики берет свое начало в его работе по геометрии 1890-х годов, кульминацией которой является его влиятельный учебник «Основы геометрии» (1899) (см. Геометрия 19-го века). Гильберт считал, что правильный способ развития любого научного предмета строго требует аксиоматического подхода. Предоставляя аксиоматическое лечение, теория будет развиваться независимо от какой-либо потребности в интуиции, и это облегчит анализ логических отношений между основными понятиями и аксиомами. Основополагающее значение для аксиоматического лечения, таким образом, Гильберт, исследование независимости и, прежде всего, последовательности аксиом. Для аксиом геометрии согласованность может быть доказана путем предоставления интерпретации системы в реальной плоскости, и, таким образом,согласованность геометрии сводится к согласованности анализа. Основа анализа, конечно, сама по себе требует аксиоматизации и доказательства согласованности. Гильберт представил такую аксиоматизацию в (1900b), но очень быстро стало ясно, что последовательность анализа сталкивается со значительными трудностями, в частности потому, что предпочтительный способ обеспечения основы для анализа в работе Дедекинда опирается на сомнительные предположения, схожие с теми, которые приводят к парадоксам теории множеств и парадоксу Рассела в фундаменте арифметики Фреге.в частности, потому что предпочтительный способ обеспечить основу для анализа в работе Дедекинда основывался на сомнительных предположениях, сродни тем, которые приводят к парадоксам теории множеств и парадоксу Рассела в фундаменте арифметики Фреге.в частности, потому что предпочтительный способ обеспечить основу для анализа в работе Дедекинда основывался на сомнительных предположениях, сродни тем, которые приводят к парадоксам теории множеств и парадоксу Рассела в фундаменте арифметики Фреге.

Таким образом, Гильберт понял, что необходимо прямое доказательство анализа, т. Е. Не основанное на сведении к другой теории. Он предложил проблему поиска такого доказательства в качестве второй из своих 23 математических задач в своем обращении к Международному конгрессу математиков в 1900 г. (1900 г.) и представил набросок такого доказательства в своем выступлении в Гейдельберге (1905 г.). Несколько факторов задержали дальнейшее развитие основополагающей программы Гильберта. Одним из них, возможно, была критика Пуанкаре (1906 г.) против того, что он рассматривал как порочно круговое использование индукции в набросанном доказательстве согласованности Гильберта (см. Steiner 1975, Приложение). Гильберт также понимал, что аксиоматические исследования требуют хорошо проработанного логического формализма. В то время он опирался на концепцию логики, основанную на алгебраической традиции, в частности, на работе Шредера,который не особо подходил как формализм для аксиоматизации математики. (См. Пекхаус 1990 о раннем развитии Программы Гильберта.)

1.2 Влияние Principia Mathematica

Публикация «Принципов математики» Рассела и Уайтхеда обеспечила необходимую логическую основу для возобновления атаки на фундаментальные вопросы. Начиная с 1914 года ученик Гильберта Генрих Беман и другие изучали систему Принципов (см. Mancosu 1999 о роли Бемана в школе Гильберта). Сам Гильберт вернулся к работе над основополагающими вопросами в 1917 году. В сентябре 1917 года он выступил с обращением к Швейцарскому математическому обществу под названием «Аксиоматическая мысль» (1918a). Это его первый опубликованный вклад в математические основы с 1905 года. В нем он еще раз подчеркивает необходимость доказательств непротиворечивости для аксиоматических систем: «Главное требование теории аксиом должно идти дальше [чем просто избегать известных парадоксов], а именно:показать, что в каждой области знаний противоречия, основанные на лежащей в основе системе аксиом, абсолютно невозможны ». Он снова доказывает непротиворечивость арифметики (и теории множеств) в качестве основных открытых проблем. В обоих этих случаях, кажется, нет ничего более фундаментального, к которому можно было бы привести непротиворечивость, кроме самой логики. И тогда Гильберт подумал, что эта проблема, по сути, была решена работой Рассела в «Принципах». Тем не менее, другие фундаментальные проблемы аксиоматики остались нерешенными, включая проблему «разрешимости каждого математического вопроса», которая также восходит к обращению Гильберта 1900 года.кажется, нет ничего более фундаментального, к которому можно было бы привести непротиворечивость, кроме самой логики. И тогда Гильберт подумал, что эта проблема, по сути, была решена работой Рассела в «Принципах». Тем не менее, другие фундаментальные проблемы аксиоматики остались нерешенными, включая проблему «разрешимости каждого математического вопроса», которая также восходит к обращению Гильберта 1900 года.кажется, нет ничего более фундаментального, к которому можно было бы привести непротиворечивость, кроме самой логики. И тогда Гильберт подумал, что эта проблема, по сути, была решена работой Рассела в «Принципах». Тем не менее, другие фундаментальные проблемы аксиоматики остались нерешенными, включая проблему «разрешимости каждого математического вопроса», которая также восходит к обращению Гильберта 1900 года.

Эти нерешенные проблемы аксиоматики заставили Гильберта приложить значительные усилия для работы над логикой в последующие годы. В 1917 году Пол Бернайс присоединился к нему в качестве его помощника в Геттингене. В серии курсов с 1917 по 1921 год Гильберт при содействии Бернайса и Бемана внес значительный новый вклад в формальную логику. Курс 1917 года (Hilbert, 1918b), в частности, содержит сложную разработку логики первого порядка и составляет основу учебника Гильберта и Аккермана «Принципы теоретической логики» (1928) (см. Ewald and Sieg 2013, Sieg 1999, и Зак 1999, 2003).

1.3 Финитизм и поиск доказательств непротиворечивости

Однако в течение следующих нескольких лет Гильберт отказался от логического решения Расселом проблемы согласованности арифметики. В то же время интуиционистская математика Брауэра приобрела популярность. В частности, бывший ученик Гильберта Герман Вейль обратился к интуиционизму. На статью Вейля «Новый фундаментальный кризис в математике» (1921) ответил Гильберт в трех выступлениях в Гамбурге летом 1921 года (1922b). Здесь Гильберт представил свое собственное предложение по решению проблемы основания математики. Это предложение включало в себя идеи Гильберта 1904 года, касающиеся прямых доказательств непротиворечивости, его концепции аксиоматических систем, а также технические разработки в области аксиоматизации математики в работе Рассела, а также дальнейшие разработки, выполненные им и его сотрудниками. Новым было то, каким образом Гильберт хотел наполнить свой проект согласованности философским значением, необходимым для того, чтобы ответить на критику Брауэра и Вейля: конечную точку зрения.

Согласно Гильберту, в математике есть привилегированная часть, содержательная элементарная теория чисел, которая опирается только на «чисто интуитивную основу конкретных знаков». В то время как работа с абстрактными понятиями считалась «неадекватной и неопределенной», существует сфера

экстралогические дискретные объекты, которые интуитивно существуют как непосредственный опыт перед всеми мыслями. Если логический вывод должен быть определенным, то эти объекты должны быть способны полностью обследоваться во всех их частях, и их представление, их различие, их последовательность (как и сами объекты) должны существовать для нас немедленно, интуитивно, как нечто, что не может быть сведенным к чему-то другому. (Hilbert 1922b, 202; отрывок повторяется почти дословно в Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 и Hilbert 1931b, 267)

Эти объекты были для Гильберта знаками. Область содержательной теории чисел состоит из конечных чисел, то есть последовательностей штрихов. Они не имеют значения, т. Е. Они не обозначают абстрактные объекты, но их можно оперировать (например, объединять) и сравнивать. Знание их свойств и отношений интуитивно понятно и не опосредовано логическим умозаключением. Согласно Гильберту, теория числового числа, разработанная таким образом, безопасна: не может возникнуть никаких противоречий просто потому, что в предложениях теории числового числа нет логической структуры.

Интуитивно-содержательные операции со знаками составляют основу метаматематики Гильберта. Как контентная теория чисел оперирует последовательностями штрихов, так и метаматематика оперирует последовательностями символов (формулы, доказательства). С формулами и доказательствами можно синтаксически манипулировать, а свойства и отношения формул и доказательств аналогичным образом основаны на свободной от логики интуитивной способности, которая гарантирует достоверность знаний о формулах и доказательствах, полученных такими синтаксическими операциями. Сама математика, однако, оперирует абстрактными понятиями, например кванторами, множествами, функциями, и использует логический вывод, основанный на таких принципах, как математическая индукция или принцип исключенного среднего. Эти «концептуальные образования» и способы рассуждения подвергались критике со стороны Брауэра и других на том основании, что они предполагают бесконечную тотальность, как дано, или что они содержат непредсказуемые определения (которые критики считали порочно круговыми). Целью Гильберта было оправдать их использование. С этой целью он указал, что они могут быть формализованы в аксиоматических системах (таких как системы Принципов или разработанных самим Гильбертом), и, таким образом, математические предложения и доказательства превращаются в формулы и выводы из аксиом в соответствии со строго ограниченными правилами вывода. Математика, так Гильберт, «становится инвентарём доказуемых формул». Таким образом, доказательства математики подлежат метаматематическому, содержательному исследованию. Цель программы Гильберта состоит в том, чтобы датьметаматематическое доказательство того, что не может быть происхождения противоречия, т. е. нет формальных производных формулы (A) и ее отрицания (neg A).

Этот набросок целей программы был разработан Гильбертом и его сотрудниками в последующие 10 лет. С концептуальной стороны конечная точка зрения и стратегия доказательства непротиворечивости были разработаны Гильбертом (1928); Гильберт (1923); Гильберт (1926) и Бернайс (1928b); Бернайс (1922); Бернейс (1930), из которых статья Гильберта «О бесконечности» (1926) дает наиболее детальную проработку финитарной точки зрения. Помимо Гильберта и Бернайса, в техническую работу над программой был вовлечен ряд других людей. В лекциях, прочитанных в Геттингене (Hilbert and Bernays, 1923; Hilbert, 1922a), Гильберт и Бернейс разработали исчисление (varepsilon) - как их окончательный формализм для систем аксиом для арифметики и анализа. Там же Гильберт представил свой подход к предоставлению доказательств непротиворечивости, используя свой так называемый метод (varepsilon) - замены. Аккерманн (1924) попытался распространить идею Гильберта на систему анализа. Однако доказательство было ошибочным (см. Zach 2003). Джон фон Нейман, затем посещавший Геттинген, дал исправленное доказательство непротиворечивости для системы (varepsilon) - формализма (которая, однако, не включала аксиому индукции) в 1925 году (опубликовано в 1927 году). Опираясь на работу фон Неймана, Аккерманн разработал новую (varepsilon) - процедуру замещения, которую он сообщил Бернайсу (см. Bernays 1928b). В своем обращении «Проблемы обоснования математики» на Международном конгрессе математиков в Болонье в 1928 году (1929),Гильберт оптимистично утверждал, что работа Аккермана и фон Неймана установила непротиворечивость теории чисел и что доказательство для анализа уже было выполнено Аккерманом «в той степени, в которой единственная оставшаяся задача состоит в доказательстве элементарной теоремы конечности, что чисто арифметический. »

1.4. Влияние теорем Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте показали, что оптимизм Гильберта был неоправданным. В сентябре 1930 года Курт Гёдель объявил о своей первой теореме о неполноте на конференции в Кенигсберге. Фон Нейман, который был в аудитории, сразу же осознал значение результата Геделя для программы Гильберта. Вскоре после конференции он написал Геделю, сообщив, что нашел следствие результатов Геделя. Гедель нашел тот же результат уже независимо: вторая теорема о неполноте, утверждающая, что система Принципов не доказывает формализацию утверждения о согласованности системы Принципов (если она есть). Однако все методы конечных рассуждений, использовавшиеся в доказательствах непротиворечивости до того времени, считались формализуемыми в Принципах. Следовательно,если бы последовательность Принципов была доказана методами, использованными в доказательствах Аккермана, то можно было бы формализовать это доказательство в Принципах; но это то, что утверждает вторая теорема о неполноте. Бернайс также осознал важность результатов Гёделя сразу после того, как он изучил работу Гёделя в январе 1931 года, написав Гёделю, что (при условии, что финитарные рассуждения могут быть формализованы в «Принципах»), теорема о неполноте показывает, что окончательное доказательство непротиворечивости Принципов невозможно. Вскоре после этого фон Нейман показал, что доказательство непротиворечивости Аккермана является ошибочным, и предоставил контрпример к предложенной (varepsilon) - процедуре замены (см. Zach 2003).но это то, что утверждает вторая теорема о неполноте. Бернайс также осознал важность результатов Гёделя сразу после того, как он изучил работу Гёделя в январе 1931 года, написав Гёделю, что (при условии, что финитарные рассуждения могут быть формализованы в «Принципах»), теорема о неполноте показывает, что окончательное доказательство непротиворечивости Принципов невозможно. Вскоре после этого фон Нейман показал, что доказательство непротиворечивости Аккермана является ошибочным, и предоставил контрпример к предложенной (varepsilon) - процедуре замены (см. Zach 2003).но это то, что утверждает вторая теорема о неполноте. Бернайс также осознал важность результатов Гёделя сразу после того, как он изучил работу Гёделя в январе 1931 года, написав Гёделю, что (при условии, что финитарные рассуждения могут быть формализованы в «Принципах»), теорема о неполноте показывает, что окончательное доказательство непротиворечивости Принципов невозможно. Вскоре после этого фон Нейман показал, что доказательство непротиворечивости Аккермана является ошибочным, и предоставил контрпример к предложенной (varepsilon) - процедуре замены (см. Zach 2003).написав Гёделю, что (при условии, что финитарные рассуждения могут быть формализованы в Принципах), теорема о неполноте показывает, что финитарное доказательство непротиворечивости Принципов невозможно. Вскоре после этого фон Нейман показал, что доказательство непротиворечивости Аккермана является ошибочным, и предоставил контрпример к предложенной (varepsilon) - процедуре замены (см. Zach 2003).написав Гёделю, что (при условии, что финитарные рассуждения могут быть формализованы в Принципах), теорема о неполноте показывает, что финитарное доказательство непротиворечивости Принципов невозможно. Вскоре после этого фон Нейман показал, что доказательство непротиворечивости Аккермана является ошибочным, и предоставил контрпример к предложенной (varepsilon) - процедуре замены (см. Zach 2003).

В (1936) Генцен опубликовал доказательство непротиворечивости арифметики Пеано первого порядка ((PA)). Как показал Гедель, это было необходимо, для доказательства Гентцена использовались методы, которые не могли быть формализованы в самом (PA), а именно, трансфинитная индукция вдоль ординала (varepsilon_0). Работа Генцена знаменует собой начало теории доказательств после Геделя и работы над релятивизированными гильбертовыми программами. Теория доказательств в традиции Генцена проанализировала аксиоматические системы в соответствии с тем, какие расширения финитарной точки зрения необходимы для доказательства их согласованности. Обычно прочность согласованности систем измеряется теоретическим порядком доказательства системы, т. Е. Порядковой трансфинитной индукцией, по которой достаточно доказать согласованность. В случае (PA) этот порядковый номер равен (varepsilon_0). (Для дальнейшего обсуждениясм. запись о разработке теории доказательств.)

2. Финальная точка зрения

Краеугольный камень философии математики Гильберта и принципиально новый аспект его основополагающей мысли, начиная с 1922 года, состоял в том, что он назвал финитарной точкой зрения. Эта методологическая точка зрения заключается в ограничении математического мышления теми объектами, которые «интуитивно представлены как непосредственный опыт, предшествующий всему мышлению», и теми операциями и методами рассуждения о таких объектах, которые не требуют введения абстрактных понятий, в в частности, без обращения к завершенной бесконечной совокупности.

Есть несколько основных и взаимосвязанных проблем в понимании финишной точки зрения Гильберта:

  1. Каковы объекты финитарного мышления?
  2. Каковы конечные смысловые предложения?
  3. Каковы конечно приемлемые методы построения и рассуждения?

2.1 Финитарные объекты и финитистская эпистемология

Гильберт охарактеризовал область финитарных рассуждений в хорошо известном абзаце, который встречается примерно в той же формулировке во всех более философских работах Гильберта 1920-х годов (1931b; 1922b; 1928; 1926):

Условие использования логических умозаключений и выполнения логических операций уже должно быть дано нашему факультету репрезентации, определенным внелогичным конкретным объектам, которые интуитивно присутствуют в качестве непосредственного опыта перед всей мыслью. Если логический вывод должен быть надежным, должна быть возможность полностью осмотреть эти объекты во всех их частях, и тот факт, что они происходят, что они отличаются друг от друга и что они следуют друг за другом или сцепляются, немедленно дается интуитивно, вместе с объектами, как то, что не может быть сведено ни к чему другому и не требует сокращения. Это основная философская позиция, которую я считаю необходимой для математики и, вообще, для всего научного мышления, понимания и общения. (Гильберт, 1926, 376)

Эти объекты для Гильберта являются знаками. Для предметной теории чисел рассматриваемые знаки - это такие цифры, как

1, 11, 111, 11111

На вопрос, как именно Гильберт понимал цифры, трудно ответить. Они не являются физическими объектами (например, фактические штрихи на бумаге), поскольку всегда необходимо иметь возможность расширить цифру, добавив еще один штрих (и, как Гильберт также утверждает в «На бесконечности» (1926), сомнительно, что физическая вселенная бесконечна). Согласно Гильберту (1922b, 202), их «форма может быть в целом и определенно признана нами независимо от пространства и времени, особых условий изготовления знака и незначительных различий в готовом изделии». Они не являются ментальными конструкциями, поскольку их свойства объективны, но их существование зависит от их интуитивного построения (см. Bernays 1923, 226). В любом случае ясно, что они логически примитивны, т.е.они не являются ни понятиями (как числа Фреге), ни множествами. Здесь важно не только их метафизический статус (абстрактный или конкретный в нынешнем смысле этих терминов), но и то, что они не вступают в логические отношения, например, они не могут быть предопределены чем-либо. В наиболее зрелых представлениях Бернитса о финитизме (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930) объекты финитизма характеризуются как формальные объекты, которые рекурсивно генерируются процессом повторения; символы штриха - это конкретные представления этих формальных объектов. В наиболее зрелых представлениях Бернитса о финитизме (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930) объекты финитизма характеризуются как формальные объекты, которые рекурсивно генерируются процессом повторения; символы штриха - это конкретные представления этих формальных объектов. В наиболее зрелых представлениях Бернитса о финитизме (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930) объекты финитизма характеризуются как формальные объекты, которые рекурсивно генерируются процессом повторения; символы штриха - это конкретные представления этих формальных объектов.

Вопрос о том, что считал Гильберт эпистемологическим статусом объектов финитизма, не менее сложен. Чтобы выполнить задачу обеспечения надежной основы для инфинитистической математики, доступ к конечным объектам должен быть немедленным и определенным. Философские корни Гильберта были в основном кантианскими, как и у Бернайса, который был тесно связан с неокантианской школой философии вокруг Леонарда Нельсона в Геттингене. Гильбертова характеристика финитизма часто относится к кантовской интуиции и объектам финитизма как объектам, данным интуитивно. Действительно, в эпистемологии Канта непосредственность является определяющей характеристикой интуитивного знания. Вопрос в том, какая интуиция в игре? Манкосу (1998b) определяет сдвиг в этом отношении. Он утверждает, что, хотя интуиция, использованная в ранних работах Гильберта, была своего рода интуицией восприятия, в более поздних работах (например, Bernays 1928a) она идентифицируется как форма чистой интуиции в кантовском смысле. Тем не менее, примерно в то же время Гильберт (1928, 469) все еще идентифицирует интуицию в игре как восприятие. В (1931b, 266–267) Гильберт рассматривает конечный способ мышления как отдельный источник априорного знания в дополнение к чистой интуиции (например, пространства) и разуму, утверждая, что он «распознал и охарактеризовал третий источник знание, которое сопровождает опыт и логику ». И Бернайс, и Гильберт оправдывают финитарные знания в широком кантианском выражении (однако не доходят до трансцендентального вывода), характеризуя финитарные рассуждения как вид рассуждений, который лежит в основе всех математических,и действительно, научный, думающий и без которого такая мысль была бы невозможна. (См. Китчер 1976 и Парсонс 1998 об эпистемологии финитизма, и Паттон 2014 об историческом и философском контексте теории знаков Гильберта.)

2.2 Конечнозначные суждения и финитарные рассуждения

Самые основные суждения о конечных числах - это суждения о равенстве и неравенстве. Кроме того, конечная точка зрения позволяет проводить операции с конечными объектами. Здесь самым основным является конкатенация. Объединение чисел 11 и 111 сообщается как «(2 + 3)», а утверждение, что 11, соединенное со 111, приводит к тому же числу, что и 111, соединенное с 11, как «(2 + 3 = 3 + 2).) «. В реальной теоретико-доказательной практике, а также явно в (Hilbert and Bernays, 1934; Bernays, 1930), эти основные операции обобщаются на операции, определяемые рекурсией, парадигмой, примитивной рекурсией, например, умножением и возведением в степень (см. Parsons 1998 для философские трудности в связи с возведением в степень и 2007 для расширенного обсуждения интуитивной математики и финитизма). Так же,Финальные суждения могут включать не только равенство или неравенство, но и основные разрешимые свойства, такие как «простое число». Это конечно приемлемо, если характеристическая функция такого свойства сама по себе является конечной: например, операция, которая преобразует число в 1, если оно является простым, и 11 в противном случае может быть определена примитивной рекурсией и, следовательно, является конечной. Такие конечные суждения могут быть объединены обычными логическими операциями соединения, дизъюнкции, отрицания, а также ограниченного количественного определения. (Гильберт, 1926) приводит пример предложения, что «между (p + 1) и (p! + 1) есть простое число , где (p) - некоторое большое простое число. Это утверждение конечно приемлемо, так как оно «служит только для сокращения предложения», которое (p + 1) или (p + 2) или (p + 3) или… или (p! + 1)) является простым.

Проблемные финитарные предложения - это те, которые выражают общие факты о цифрах, такие как это, для любой данной цифры (n, 1 + n = n + 1). Это проблематично, потому что, по выражению Гильберта, оно «с конечной точки зрения не способно к отрицанию» (1926, 378). Под этим он подразумевает, что противоречивое утверждение о существовании числительного (n), для которого (1 + n / ne n + 1) не имеет конечного смысла. «В конце концов, нельзя опробовать все числа» (1928, 470). По той же причине общее конечное суждение не следует понимать как бесконечное соединение, а «только как гипотетическое суждение, которое приходит к утверждению чего-либо, когда дается цифра» (там же). Несмотря на то, что они являются проблематичными в этом смысле, общие конечные утверждения имеют особое значение для теории доказательств Гильберта,поскольку утверждение о согласованности формальной системы (S) имеет такой общий вид: для любой заданной последовательности формул (P, P) не является выводом противоречия в (S).

2.3 Финальные операции и финитарное доказательство

Важнейшее значение как для понимания финитизма, так и для теории доказательств Гильберта имеет вопрос о том, какие операции и какие принципы доказательства должны быть разрешены с точки зрения финитизма. Необходим общий ответ ясен из требований теории доказательств Гильберта, т. Е. Не следует ожидать, что при формальной системе математики (или даже единой последовательности формул) можно «увидеть», что она согласована (или что это не может быть подлинным происхождением несоответствия), как мы можем видеть, например, что (11 + 111 = 111 + 11). Для доказательства непротиворечивости требуется операция, которая при формальном выводе преобразует такой вывод в специальную форму плюс доказательства того, что операция фактически делает это, и что доказательства специального вида не могут быть доказательствами несостоятельности,Чтобы считаться доказательством конечной согласованности, сама операция должна быть приемлемой с точки зрения финитизма, а требуемые доказательства должны использовать только конечно приемлемые принципы.

Гильберт никогда не давал общего описания того, какие операции и методы доказательства являются приемлемыми с точки зрения финитистов, а лишь примеры операций и методов вывода в содержательной теории конечных чисел, которые он принимал как конечные. Содержательная индукция была принята в ее применении к конечным высказываниям гипотетического, общего вида, явно в Гильберте (1922b). Он (1923, 1139) сказал, что интуитивное мышление «включает в себя рекурсию и интуитивную индукцию для конечной существующей совокупности», и использовал возведение в степень в примере в 1928 году. Бернейс (1930) объяснил, как возведение в степень можно понимать как конечную операцию над числами. Гильберт и Бернейс (1934) дают единственное общее изложение теории конечных содержательных чисел; в соответствии с этим,Операции, определенные примитивной рекурсией и доказательствами с использованием индукции, конечно приемлемы. Все эти методы могут быть формализованы в системе, известной как примитивно-рекурсивная арифметика ((PRA)), которая позволяет определять функции посредством примитивной рекурсии и индукции по формулам без кванторов (там же). Однако ни Гильберт, ни Бернайс никогда не утверждали, что только примитивно-рекурсивные операции считаются финитарными, и они фактически использовали некоторые не примитивно-рекурсивные методы в якобы финитарных доказательствах согласованности уже в 1923 г. (см. Tait 2002 и Zach 2003).ни Гильберт, ни Бернейс никогда не утверждали, что только примитивно-рекурсивные операции считаются финитарными, и они фактически использовали некоторые не примитивно-рекурсивные методы в якобы конечных доказательствах согласованности уже в 1923 г. (см. Tait 2002 и Zach 2003).ни Гильберт, ни Бернейс никогда не утверждали, что только примитивно-рекурсивные операции считаются финитарными, и они фактически использовали некоторые не примитивно-рекурсивные методы в якобы конечных доказательствах согласованности уже в 1923 г. (см. Tait 2002 и Zach 2003).

Более интересным концептуальным вопросом является то, какие операции следует рассматривать как конечные. Поскольку Гильберт не совсем ясно понимал, в чем заключается финитная точка зрения, существует некоторая свобода в установлении ограничений, эпистемологических и других, анализ финитистской операции и доказательство должны быть выполнены. Гильберт охарактеризовал (см. Выше) объекты теории конечных чисел как «интуитивно заданные», как «поддающиеся исследованию во всех их частях», и сказал, что их базовые свойства должны «существовать для нас интуитивно». Бернейс (1922, 216) предполагает, что в математической математике в игру вступают только «примитивные интуитивные познания», и использует термин «точка зрения интуитивного доказательства» в связи с финитизмом 1930, 250. Эта характеристика финитизма, в первую очередь связанная с интуицией и интуитивным знанием, была подчеркнута, в частности, (Parsons, 1998), который утверждает, что в этом понимании можно считать финитором не более, чем те арифметические операции, которые можно определить из сложения и умножения. используя ограниченную рекурсию. В частности, по его словам, возведение в степень и общая примитивная рекурсия не являются конечно приемлемыми.

Тезис о том, что финитизм совпадает с примитивно-рекурсивным рассуждением, получил мощную защиту (Tait 1981; см. Также 2002 и 2005b). Тейт, в отличие от Парсонса, отвергает аспект представительности в интуиции как отличительный признак финитария; вместо этого он принимает финитарные рассуждения как «минимальные рассуждения, предполагаемые всеми нетривиальными математическими рассуждениями о числах». и анализирует финитарные операции и методы доказательства как те, которые подразумеваются в самом понятии числа как формы конечной последовательности. Этот анализ финитизма подтверждается утверждением Гильберта о том, что финитарные рассуждения являются предварительным условием для логического и математического, в действительности любого научного мышления Гильберта (1931b, 267). Поскольку финитарные рассуждения являются той частью математики, которая предполагает все нетривиальные рассуждения о числах, этоИтак, Тэйт, «несомненный» в картезианском смысле, и эта несомненность, как все, что требуется от конечных рассуждений, чтобы обеспечить эпистемологическое обоснование математики, для которого Гильберт предназначал ее.

Крейзель (1960) предложил другой интересный анализ конечного доказательства, который, однако, не дает столь подробного философского обоснования. Это приводит к тому, что именно эти функции являются финитарными, которые можно доказать как суммарные в арифметике первого порядка (PA). Он основан на теоретико-доказательственной концепции принципа отражения; см. Zach (2006) для более подробной информации и Dean (2015) для анализа. Kreisel (1970, раздел 3.5) предоставляет другой анализ, сосредоточив внимание на том, что является «визуализируемым». Результат тот же: финитальная доказуемость оказывается сопряженной с доказуемостью в (PA).

Технический анализ Тейта показывает, что финитистические функции являются в точности примитивно-рекурсивными, а финитические теоретико-числовые истины в точности те, которые доказываются в теории примитивно-рекурсивной арифметики (PRA). Важно подчеркнуть, что этот анализ не проводится с точки зрения самого финитизма. Поскольку общие понятия «функция» и «доказательство» сами по себе не являются конечными, финитист не в состоянии понять тезис Тейта о том, что все доказуемое в (PRA) является финитистически верным. Согласно Тейту, надлежащий анализ финитической доказуемости не должен предполагать, что сам финитизм имеет доступ к таким нефинитистским понятиям. Подход Крейзеля и некоторые критические замечания Тейта, основанные на принципах отражения или (omega) - правилах, противоречат этому требованию (см. Тайт 2002, 2005b). С другой стороны,Можно утверждать, что (PRA) является слишком сильной теорией, чтобы считать ее формализацией того, что «предполагается всеми нетривиальными математическими рассуждениями о числах»: существуют более слабые, но нетривиальные теории, которые связаны с меньшими классами функций, чем примитивно-рекурсивные, такие как (PV) и (EA), связанные с полиномиальными и калмарно-элементарными функциями соответственно (см. Avigad 2003 о том, сколько математики можно выполнить в (EA)). Используя анализ в том же духе, что и у Таита, Ганеа (2010) пришел к соответствующему классу кальмар-элементарных функций как к финитистическим.существуют более слабые, но нетривиальные теории, связанные с меньшими классами функций, чем примитивно-рекурсивные, такие как (PV) и (EA), связанные с полиномиальными функциями и элементарными функциями Кальмара соответственно (см. Avigad 2003 о том, сколько математики можно выполнить в (EA)). Используя анализ в том же духе, что и у Таита, Ганеа (2010) пришел к соответствующему классу кальмар-элементарных функций как к финитистическим.существуют более слабые, но нетривиальные теории, связанные с меньшими классами функций, чем примитивно-рекурсивные, такие как (PV) и (EA), связанные с полиномиальными функциями и элементарными функциями Кальмара соответственно (см. Avigad 2003 о том, сколько математики можно выполнить в (EA)). Используя анализ в том же духе, что и у Таита, Ганеа (2010) пришел к соответствующему классу кальмар-элементарных функций как к финитистическим. Ganea (2010) пришла к соответствующему классу кальмар-элементарных функций как финитистическим. Ganea (2010) пришла к соответствующему классу кальмар-элементарных функций как финитистическим.

3. Формализм, редукционизм и инструментализм

Вейль (1925) был примирительной реакцией на предложение Гильберта в 1922 и 1923 годах, которое, тем не менее, содержало некоторые важные критические замечания. Вейль описал проект Гильберта как замену содержательной математики бессмысленной игрой формул. Он отметил, что Гильберт хотел «обеспечить не истину, а последовательность анализа», и предложил критику, которая повторяет более раннюю, предложенную Фреге: почему мы должны принимать последовательность формальной математической системы как повод верить в истинность доформальная математика это кодифицирует? Является ли бессмысленный перечень формул Гильберта не просто «бескровным призраком анализа»? Вейль предложил решение:

[I] Если математика остается серьезной культурной проблемой, то к игре формул Гильберта должен быть придан некоторый смысл, и я вижу только одну возможность приписать ей (включая ее трансфинитные компоненты) независимый интеллектуальный смысл. В теоретической физике перед нами замечательный пример [своего рода] знания совершенно другого характера, чем обычное или феноменальное знание, которое выражает чисто то, что дается в интуиции. Хотя в этом случае каждое суждение имеет свой смысл, который полностью реализуем в интуиции, это ни в коем случае не относится к утверждениям теоретической физики. В этом случае речь идет скорее о системе в целом, если она сталкивается с опытом. (Вейль, 1925, 140)

Поразительна аналогия с физикой, и подобные идеи можно найти в собственном сочинении Гильберта - возможно, на Гильберта повлиял Вейл. Хотя первые предложения Гильберта были сосредоточены исключительно на непротиворечивости, в мышлении Гильберта наблюдается заметное развитие в направлении общего редуктивистского проекта, довольно распространенного в философии науки того времени (на что указал Джаквинто в 1983 году). Во второй половине 1920-х годов Гильберт заменил программу согласованности программой консервативности: формализованная математика должна была рассматриваться по аналогии с теоретической физикой. Окончательное обоснование теоретической части заключается в ее консервативности над «реальной» математикой: всякий раз, когда теоретическая «идеальная» математика доказывает «реальное» утверждение, это утверждение также интуитивно верно. Это оправдывает использование трансфинитной математики: она не только внутренне непротиворечива, но и доказывает только истинные интуитивные суждения (и даже все, поскольку формализация интуитивной математики является частью формализации всей математики).

В 1926 году Гильберт ввел различие между реальными и идеальными формулами. Это различие отсутствовало в 1922 году, и на него только намекали в 1923 году. В последнем Гильберт впервые представляет формальную систему теории чисел без кванторов, о которой он говорит: «Все доказуемые формулы, которые мы получаем таким образом, имеют характер конечно »(1139). Затем добавляются трансфинитные аксиомы (то есть кванторы), чтобы упростить и дополнить теорию (1144). Здесь он впервые проводит аналогию с методом идеальных элементов: «В моей теории доказательств трансфинитные аксиомы и формулы примыкают к конечным аксиомам, так же как в теории комплексных переменных мнимые элементы примыкают к вещественному и так же, как в геометрии, идеальные конструкции примыкают к фактическим »(там же). Когда Гильберт,в 1926 году явно вводится понятие идеального суждения, а в 1928 году, когда он впервые говорит о реальных суждениях в дополнение к идеалу, ему совершенно ясно, что действительная часть теории состоит только из разрешимых формул без переменных. Предполагается, что они «непосредственно способны к проверке», как предположения, вытекающие из законов природы, которые можно проверить экспериментально (1928, 475). Новая картина программы была такова: классическая математика должна быть формализована в системе, которая включает формализации всех непосредственно проверяемых (путем вычисления) предложений содержательной теории конечных чисел. Доказательство непротиворечивости должно показать, что все реальные предложения, которые могут быть доказаны идеальными методами, верны, т. Е. Могут быть непосредственно проверены конечным вычислением.(Фактические доказательства, такие как (varepsilon) - подстановка, всегда были такого рода: предусмотреть финитарные процедуры, которые исключают трансфинитные элементы из доказательств реальных утверждений, в частности, (0 = 1).) Действительно, Гильберт видел, что что-то более сильное верно: не только доказательство непротиворечивости устанавливает истинность реальных формул, доказуемых идеальными методами, но и дает конечные доказательства конечных общих предложений, если соответствующая формула свободной переменной выводится идеальными методами (1928, 474),но это дает финитарные доказательства конечных общих предложений, если соответствующая формула свободной переменной выводится идеальными методами (1928, 474).но это дает финитарные доказательства конечных общих предложений, если соответствующая формула свободной переменной выводится идеальными методами (1928, 474).

Гильберт предложил дополнительные ограничения на теорию в дополнение к консервативности: простота, краткость доказательств, «экономия мысли» и математическая производительность. Формальная система трансфинитной логики не является произвольной: «Эта игра формул проводится по определенным определенным правилам, в которых выражается техника нашего мышления. […] Фундаментальная идея моей теории доказательств - не что иное, как описание деятельности нашего понимания, составление протокола о правилах, в соответствии с которыми наше мышление действительно действует »(Hilbert, 1928, 475). Когда Вейль (1928) в конце концов отвернулся от интуиционизма (по причинам, см. Mancosu and Ryckman, 2002), он подчеркнул эту мотивацию теории доказательств Гильберта: не превращать математику в бессмысленную игру символов,но превратить его в теоретическую науку, которая кодифицирует научную (математическую) практику.

Таким образом, формализм Гильберта был довольно сложным: он избежал двух принципиальных возражений: (1) Если формулы системы не имеют смысла, как выводимость в системе может породить какое-либо убеждение? (2) Зачем принимать систему (PA), а не любую другую непротиворечивую систему? Оба возражения знакомы по Фреге; на оба вопроса (частично) отвечает доказательство консервативности реальных утверждений. Для (2), кроме того, у Гильберта есть натуралистический критерий принятия: мы ограничены в выборе систем соображениями простоты, плодовитости, однородности и того, что на самом деле делают математики; Вейл добавил бы, что окончательным испытанием теории будет ее полезность в физике.

Большинство философов математики, пишущих о Гильберте, читали его как инструменталиста (включая Китчера 1976, Резника 1980, Джаквинто 1983, Зига 1990 и, в частности, Детлефсена 1986), поскольку они читали объяснение Гильберта о том, что идеальные суждения «сами по себе не имеют никакого значения» (Hilbert, 1926, 381), утверждая, что классическая математика является простым инструментом, и что утверждения трансфинитной математики не имеют истинного значения. Если это точно, то это следует понимать как методологический инструментализм: успешное выполнение теоретико-доказательной программы показало бы, что можно делать вид, будто математика бессмысленна. Поэтому аналогии с физикой нет: трансфинитные предложения не имеют смысла, так же как предложения, включающие теоретические термины, не имеют значения, но:трансфинитные суждения не требуют прямого интуитивного значения, так же как не нужно напрямую видеть электроны, чтобы теоретизировать о них. Hallett (1990), принимая во внимание математические основы 19-го века, из которых пришел Гильберт, а также опубликованные и неопубликованные источники за всю его карьеру (в частности, Hilbert 1992, наиболее обширное обсуждение метода идеальных элементов), приходит к следующему выводу:

[Трактовка Гильбертом философских вопросов] не подразумевает своего рода инструменталистский агностицизм в отношении существования и правды и так далее. Наоборот, оно предназначено для того, чтобы обеспечить не скептическое и позитивное решение таких проблем, решение, сформулированное в когнитивно доступных терминах. И, похоже, одно и то же решение справедливо как для математических, так и для физических теорий. Как только новые понятия или «идеальные элементы» или новые теоретические термины были приняты, они существуют в том смысле, в котором существуют любые теоретические объекты. (Hallett, 1990, 239)

4. Программа Гильберта и теоремы Гёделя о неполноте

Были некоторые споры о влиянии теорем Гёделя о неполноте на программу Гильберта и о том, была ли первая или вторая теорема о неполноте, которая принесла государственный переворот. Несомненно, мнение тех, кто был самым непосредственным образом вовлечен в развитие событий, было убеждено, что теоремы оказали решающее влияние. Гедель анонсировал вторую теорему о неполноте в реферате, опубликованном в октябре 1930 года: не представляется возможным доказать непротиворечивость таких систем, как Principia, теория множеств Цермело-Френкеля или системы, исследованные Аккерманом и фон Нейманом, методами, которые можно сформулировать в этих системах. В полной версии своей статьи Гедель (1931) оставил открытой возможность того, что могут существовать финитарные методы, которые не формализуются в этих системах и которые могут привести к требуемым доказательствам согласованности. Первой реакцией Бернайса в письме к Гёделю в январе 1931 г. было также то, что «если, как это делает фон Нейман, можно быть уверенным, что любое и всякое финитарное соображение может быть формализовано в системе (P) - как вы, я считаю что это никоим образом не является окончательным - мы приходим к выводу, что окончательная демонстрация согласованности (P) невозможна »(Gödel, 2003a, 87).

Как теоремы Геделя влияют на программу Гильберта? Посредством тщательного («Gödel» -) кодирования последовательностей символов (формул, доказательств) Гедель показал, что в теориях (T), которые содержат достаточное количество арифметики, можно получить формулу (Pr (x), y)) который «говорит», что (x) является (кодом) доказательством (формулы с кодом) (y). В частности, если (ulcorner 0 = 1 / urcorner) является кодом формулы (0 = 1), то (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) можно сказать «сказать», что (T) непротиворечиво (число не является кодом деривации в (T) из (0 = 1)). Вторая теорема о неполноте (G2) говорит о том, что при определенных предположениях о (T) и устройстве кодирования (T) не доказывает (Con_T). Теперь предположим, что имелось конечное доказательство непротиворечивости (T). Методы, использованные в таком доказательстве, предположительно были бы формализуемы в (T). («Формализуемо» означает, что, примерно, если в доказательстве используется финитарная операция (f) над производными, которая преобразует любое производное (D) в производное (f (D)) простой формы; является формулой (F (x, y)), так что для всех дифференцирований (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) Согласованность (T) будет выражаться конечным образом как общая гипотеза о том, что, если (D) - любая заданная последовательность символов, (D) не является производным от (T) формулы (0 = 1). Формализация этого предложения - формула (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), в которой переменная (x) встречается свободной. Если бы существовало финитарное доказательство непротиворечивости (T), его формализация дала бы вывод в (T) из (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), откуда (Con_T) можно вывести в (T) простым универсальным обобщением на (x). Тем не менее, вывод (Con_T) в (T) исключается G2.

Как упоминалось выше, первоначально Гёдель и Бернайс думали, что трудность доказательства целостности (PA) может быть преодолена с помощью методов, которые, хотя и не формализуемы в (PA), тем не менее являются конечными. Вопрос о том, будут ли такие методы считаться финитарными в соответствии с первоначальной концепцией финитизма или является продолжением первоначальной финитистской точки зрения, является предметом споров. Новые рассмотренные методы включали финитарную версию правила (omega) -, предложенного Гильбертом (1931b; 1931a). Однако справедливо сказать, что примерно после 1934 года почти повсеместно признавалось, что все методы доказательства, принятые как конечные до результатов Геделя, формализуемы в (PA). Расширения первоначальной финитистской точки зрения были предложены и защищены в широком смысле, например,Генценовские (1936) защищала использование индукции трансфинитной до (varepsilon_0) в его консистенции доказательства (PA) как «бесспорные» Такеутите (1987) дал другую защиту. Гедель (1958) представил еще одно расширение финитистской точки зрения; упомянутая выше работа Крейзеля может рассматриваться как еще одна попытка расширить финитизм, сохранив дух первоначальной концепции Гильберта.

Другая попытка обойти вторую теорему Геделя для Программы Гильберта была предложена Детлефсеном (1986; 2001; 1979). Детлефсен представляет несколько линий защиты, одна из которых похожа на только что описанную: утверждая, что версия правила (omega) - конечно приемлема, хотя и не способна к формализации (однако, см. Ignjatovic 1994). Другой аргумент Детлефсена против общей интерпретации второй теоремы Гёделя фокусируется на понятии формализации: то, что конкретная формализация «(T) согласована» по формуле Гёделя (Con_T) не доказуемо, не означает, что не могло t - это другие формулы, которые доказуемы в (T) и имеют такое же право называться «формализациями согласованности (T).«Они основаны на различных формализациях предиката доказуемости (Pr_T), чем стандартные. Известно, что формализованные утверждения согласованности недоказуемы, когда предикат доказуемости подчиняется определенным общим условиям выводимости. Детлефсен утверждает, что эти условия не являются необходимыми для того, чтобы предикат считался подлинным предикатом доказуемости, и, действительно, существуют предикаты доказуемости, которые нарушают условия доказуемости и которые приводят к формулам согласованности, которые доказуемы в их соответствующих теориях. Однако они зависят от нестандартных концепций доказуемости, которые, вероятно, не были бы приняты Гильбертом (см. Также Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991). Известно, что формализованные утверждения согласованности недоказуемы, когда предикат доказуемости подчиняется определенным общим условиям выводимости. Детлефсен утверждает, что эти условия не являются необходимыми для того, чтобы предикат считался подлинным предикатом доказуемости, и, действительно, существуют предикаты доказуемости, которые нарушают условия доказуемости и которые приводят к формулам согласованности, которые доказуемы в их соответствующих теориях. Однако они зависят от нестандартных концепций доказуемости, которые, вероятно, не были бы приняты Гильбертом (см. Также Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991). Известно, что формализованные утверждения согласованности недоказуемы, когда предикат доказуемости подчиняется определенным общим условиям выводимости. Детлефсен утверждает, что эти условия не являются необходимыми для того, чтобы предикат считался подлинным предикатом доказуемости, и, действительно, существуют предикаты доказуемости, которые нарушают условия доказуемости и которые приводят к формулам согласованности, которые доказуемы в их соответствующих теориях. Однако они зависят от нестандартных концепций доказуемости, которые, вероятно, не были бы приняты Гильбертом (см. Также Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991).и действительно, существуют предикаты доказуемости, которые нарушают условия доказуемости и порождают формулы согласованности, которые доказуемы в их соответствующих теориях. Однако они зависят от нестандартных концепций доказуемости, которые, вероятно, не были бы приняты Гильбертом (см. Также Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991).и действительно, существуют предикаты доказуемости, которые нарушают условия доказуемости и порождают формулы согласованности, которые доказуемы в их соответствующих теориях. Однако они зависят от нестандартных концепций доказуемости, которые, вероятно, не были бы приняты Гильбертом (см. Также Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991).

Сморинский (1977) утверждал, что уже первая теорема о неполноте побеждает Программу Гильберта. Целью Гильберта было не просто показать, что формализованная математика последовательна, но сделать это особым образом, показав, что идеальная математика никогда не может привести к выводам, не соответствующим реальной математике. Таким образом, чтобы преуспеть, идеальная математика должна быть консервативна в действительной части: всякий раз, когда формализованная идеальная математика доказывает, что реальная формула (P, P) сама (или конечное суждение, которое она выражает) должна быть конечно доказуема. Для Сморинского действительные формулы включают не только числовые равенства и их комбинации, но и общие формулы со свободными переменными, но без неограниченных кванторов.

Теперь первая теорема Гёделя о неполноте (G1) утверждает, что для любой достаточно сильной, непротиворечивой формальной теории (S) существует предложение (G_S), которое верно, но не выводимо в (S). (G_S) - реальное предложение согласно определению Сморинского. Теперь рассмотрим теорию (T), которая формализует идеальную математику, и ее подтеорию (S), которая формализует реальную математику. (S) удовлетворяет условиям G1 и, следовательно, (S) не выводит (G_S). Тем не менее, (T), будучи формализацией всей математики (включая то, что требуется, чтобы увидеть, что (G_S) верна), действительно выводит (G_S). Следовательно, у нас есть реальное утверждение, которое доказуемо в идеальной математике, а не в реальной математике.

Детлефсен (1986, Приложение; см. Также 1990) также защищал Программу Гильберта от этого аргумента. Детлефсен утверждает, что «гильбертовский» инструментализм избегает аргумента G1, отрицая, что идеальная математика должна быть консервативной в реальной части; все, что требуется, - это подлинность. Гильбертовский инструментализм требует только, чтобы идеальная теория не доказывала ничего, что противоречит реальной теории; не требуется, чтобы он доказывал только реальные утверждения, которые также доказывает реальная теория. (Более подробную информацию о проблеме консервативности и последовательности см. В Zach 2006, соответствующий раздел в записи о Геделе для дальнейшего обсуждения, Franks 2009 - о соответствующей защите и переоценке проекта Гильберта, а McCarthy 2016 - об альтернативном подходе к доказуемости. согласованности и G2 благодаря самому Геделю.)

5. Пересмотренные программы Гильберта

Даже если никакое окончательное доказательство непротиворечивости арифметики не может быть дано, вопрос поиска доказательств непротиворечивости, тем не менее, имеет ценность: методы, используемые в таких доказательствах, хотя они и должны выходить за рамки первоначального чувства конечности Гильберта, могут обеспечить подлинное понимание конструктивного содержания арифметические и более сильные теории. Результат Геделя показал, что не может быть абсолютного доказательства непротиворечивости всей математики; следовательно, работа в теории доказательств после того, как Гедель сконцентрировался на относительных результатах, как: относительно системы, для которой было дано доказательство непротиворечивости, так и относительно используемых методов доказательства.

Теория редуктивного доказательства в этом смысле следовала двум традициям: первая, в основном проводимая теоретиками доказательства после Гентцена и Шютте, преследовала программу того, что называется порядковым анализом, и иллюстрируется первым доказательством согласованности Гензена (PA)) по индукции до (varepsilon_0. / varepsilon_0) является неким трансфинитным (хотя и счетным) ординалом, однако «индукция до (varepsilon_0)» в используемом здесь смысле не является действительно трансфинитной процедурой. Порядковый анализ работает не с бесконечными порядковыми числами, а с порядковыми системами обозначений, которые сами по себе могут быть формализованы в очень слабых (по существу, конечных) системах. Порядковый анализ системы (T) дается, если:(а) можно создать систему порядковых обозначений, которая имитирует порядковые числа, меньшие некоторого порядкового числа (alpha_T), так что (b) можно окончательно доказать, что формализация (TI (alpha_T)) принципа индукция до (alpha_T) подразумевает согласованность (T) (т. е. (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) и (c) (T) доказывает (TI (beta)) для всех (beta / lt / alpha_T) ((S) является теорией, формализующей финитарную метаматематику, и, как правило, является слабой теорией (T)). Чтобы иметь какое-либо фундаментальное значение, также требуется, чтобы можно было дать конструктивный аргумент для трансфинитной индукции вплоть до (alpha_T). Как упомянуто выше, это было сделано Gentzen и Takeuti для (varepsilon_0), теоретического ординала доказательства (PA),но становится более трудным и все более сомнительным философским значением для более сильных теорий.

Крайсель (1983; 1968) и Феферман (Feferman, 1988; Feferman, 1993a) предложили философски более удовлетворительное продолжение «Программы Гильберта» в теоретических терминах доказательства. Эта работа исходит из более широкой концепции Программы Гильберта как попытки оправдать идеальную математику ограниченными средствами. В этой концепции цель теории доказательств Гильберта состояла в том, чтобы показать, что, по крайней мере, в отношении определенного класса реальных предложений идеальная математика не выходит за рамки реальной математики. Окончательное доказательство согласованности типа, предусмотренного Гильбертом, могло бы выполнить это: если идеальная математика доказывает реальное предложение, то это предложение уже доказуемо реальными (то есть, финитарными) методами. В некотором смысле это сводит идеальную математику к реальной математике. Теоретико-доказательственное приведение теории (T) к теории (S) показывает, что для некоторого класса предложений, если (T) доказывает предложение, то (S) это тоже доказывает, и доказательство этого факта само по себе является окончательным. Теоретическая программа доказательства Гильберта может тогда рассматриваться как поиск теоретического доказательства доказательства, сводящего всю математику к финитарной математике; в релятивизированной программе ищутся редукции теорий, более слабых, чем вся классическая математика, к теориям, часто более сильным, чем математика математики. Теоретики доказательства получили ряд таких результатов, в том числе редукции теорий, которые, по их мнению, требуют значительного количества идеальной математики для их обоснования (например, подсистемы анализа) для финитарных систем. (Феферман,1993b) использовал такие результаты в сочетании с другими результатами, которые показывают, что большая часть, если не вся, научно применимой математики может быть выполнена в системах, для которых такие сокращения доступны, чтобы аргументировать необязательный аргумент в философии математики. Философское значение таких доказательных теоретических сокращений в настоящее время является предметом обсуждения (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Программа так называемой обратной математики, разработанная, в частности, Фридманом и Симпсоном, является еще одним продолжением программы Гильберта. Перед лицом результатов Геделя, показывающих, что не вся классическая математика может быть сведена к финитарной, они пытаются ответить на вопрос: насколько классическая математика может быть настолько уменьшена? Обратная математика стремится дать точный ответ на этот вопрос, исследуя, какие теоремы классической математики доказуемы в слабых подсистемах анализа, которые сводятся к финитарной математике (в смысле, который обсуждался в предыдущем параграфе). Типичным результатом является то, что теорема Хана-Банаха о функциональном анализе доказуема в теории, известной как (WKL_0) (для «слабой леммы Кенига»); (WKL_0) консервативен над (PRA) для (Pi ^ {0} _2) предложений (т. Е.предложения вида (forall x / существует yA (x, y)). (См. Simpson 1988 для обзора и Simpson 1999 для технической обработки.)

Библиография

Расширенную версию первой редакции этой записи можно найти в Зак (2006).

  • Аккерманн, Вильгельм, 1924, “Begründung des” tertium non datur “mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit”, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
  • Auerbach, David, 1992, «Как говорить вещи с формализмами», в Доказательстве, Логике и Формализации, Майкл Детлефсен, изд., Лондон: Routledge, 77–93.
  • Авигад, Джереми, 2003, «Теория чисел и элементарная арифметика», Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Препринт доступен онлайн]
  • Bernays, Paul, 1922, «Uber Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Английский перевод в Mancosu (1998a, 215–222).
  • –––, 1923, «Erwiderung auf die Note Note Herrn Aloys Müller: Uber Zahlen als Zeichen», Mathematische Annalen, 90: 159–63. Английский перевод в Mancosu (1998a, 223–226).
  • –––, 1928a, «Uber Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik», Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
  • –––, 1928b, «Zusatz zu Hilberts Vortrag über« Die Grundlagen der Mathematik »», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Перевод на английский: van Heijenoort (1967, 485–489).
  • –––, 1930, «Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie», Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Перепечатано в Bernays (1976, 17–61). Английский перевод в Mancosu (1998a, 234–265).
  • –––, 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
  • Дин, Уолтер, 2015, «Арифметическое отражение и доказуемость правильности», Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
  • Детлефсен, Майкл, 1979, «О интерпретации второй теоремы Гёделя», журнал «Философская логика», 8: 297–313. Перепечатано с постскриптумом в Shanker (1988, 131–154).
  • –––, 1986, Программа Гильберта, Дордрехт: Рейдель.
  • –––, 1990, «О предполагаемом опровержении программы Гильберта с использованием первой теоремы Гёделя о неполноте», Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
  • –––, 2001, «Что говорит вторая теорема Гёделя?», Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
  • Эвальд, Уильям Брэгг (ред.), 1996, от Канта до Гильберта. Сборник книг по основам математики, вып. 2, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Эвальд, Уильям Брэгг и Уилфрид Зиг (ред.), 2013, Лекции Дэвида Гильберта об основах арифметики и логики 1917–1933 гг., Берлин и Гейдельберг: Springer.
  • Феферман, Соломон, 1988, «Релятивизированная программа Гильберта: доказательственно-теоретические и фундаментальные сокращения», Журнал символической логики, 53 (2): 364–284.
  • –––, 1993a, «Что от чего зависит? Доказательно-теоретический анализ математики », в кн. Философия математики. Материалы пятнадцатого Международного симпозиума Витгенштейна, часть 1, Йоханнес Чермак, изд., Вена: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Перепечатано в Feferman (1998, гл. 10, 187–208). Препринт доступен онлайн.
  • –––, 1993b, «Почему немножко идет длинный путь: логические основы научно применимой математики», PSA 1992, 2: 442–455. Перепечатано в Feferman (1998, гл. 14, 284–298). Препринт доступен онлайн.
  • –––, 1998, «В свете логики», Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • –––, 2000, «Имеет ли теория редуктивного доказательства жизнеспособное обоснование?», Эркеннтнис, 53: 63–96. Препринт доступен онлайн.
  • Фрэнкс, Кертис, 2009, Автономия математического знания: пересмотренная программа Гильберта, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Ганеа, Михай, 2010, «Два (или три) понятия финитизма», Обзор символической логики, 3: 119–144.
  • Генцен, Герхард, 1936, «Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie», Mathematische Annalen, 112: 493–565. Английский перевод в Гентцене (1969, 132–213).
  • –––, 1969, Сборник статей Герхарда Генцена, Амстердам: Северная Голландия.
  • Джаквинто, Маркус, 1983, «Философия математики Гильберта», Британский журнал по философии науки, 34: 119–132.
  • Гёдель, Курт, 1931, «Uber формально unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I», Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Перепечатано и переведено в Гёдель (1986, 144–195).
  • –––, 1958, «Uber eine bisher noch nicht nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes», Dialectica, 280–287. Перепечатано и переведено в Gödel (1990, 217–251).
  • –––, 1986, Собрание сочинений, вып. 1, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • –––, 1990, Собрание сочинений, вып. 2, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • –––, 2003, Собрание сочинений, вып. 4, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Hallett, Michael, 1990, «Физикализм, редукционизм и Гильберт», в Physicalism in Mathemtics, Andrew D. Irvine, ed., Dordrecht: Reidel, 183–257.
  • Гильберт, Дэвид, 1899, «Grundlagen der Geometrie», в Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals в Геттингене, Лейпциг: Teubner, 1–92, 1-е изд.
  • –––, 1900a, «Mathematische Problem», Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Классе, 253–297. Лекция, прочитанная на Международном конгрессе математиков, Париж, 1900 г. Частичный английский перевод в Эвальде (1996, 1096–1105).
  • –––, 1900b, «Uber den Zahlbegriff», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180-184. Английский перевод в Эвальде (1996, 1089–1096).
  • –––, 1905, «Uber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik», в Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses, Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904, A. Krazer, ed., Leipzig: Teubner, 174–85, Английский перевод в van Heijenoort (1967, 129–138).
  • –––, 1918a, «Axiomatisches Denken», Mathematische Annalen, 78: 405–15. Лекция в Швейцарском обществе математиков, 11 сентября 1917 г. Перепечатано в Гильберте (1935, 146–156). Английский перевод в Эвальде (1996, 1105–1115).
  • –––, 1918b, «Prinzipien der Mathematik», Конспект лекций Пола Бернайса. Зима-семестр 1917/18. Машинопись. Библиотека, Математический институт, Университет Геттингена. Отредактировано в Ewald and Sieg (2013, 59–221).
  • –––, 1922a, «Grundlagen der Mathematik», Vorlesung, Winter-Semester 1921/22. Конспект лекций Пола Бернайса. Машинопись. Библиотека, Математический институт, Университет Геттингена. Отредактировано в Ewald and Sieg (2013, 431–527).
  • –––, 1922b, «Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung», Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Серия докладов в Гамбургском университете, 25–27 июля 1921 г. Перепечатано с записями Бернайса в Гильберте (1935, 157–177). Английский перевод в Mancosu (1998a, 198–214) и Ewald (1996, 1115–1134).
  • –––, 1923, «Die logischen Grundlagen der Mathematik», Mathematische Annalen, 88: 151–165. Лекция, прочитанная в Deutsche Naturforscher-Gesellschaft, сентябрь 1922 г. Перепечатано в Гильберте (1935, 178–191). Английский перевод в Эвальде (1996, 1134–1148).
  • –––, 1926, «Uber das Unendliche», Mathematische Annalen, 95: 161–190. Лекция, прочитанная Мюнстером, 4 июня 1925 года. Английский перевод в van Heijenoort (1967, 367–392).
  • –––, 1928, «Die Grundlagen der Mathematik», Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Перепечатано в Ewald and Sieg (2013, 917–942). Английский перевод в van Heijenoort (1967, 464–479).
  • –––, 1929, «Probleme der Grundlegung der Mathematik», Mathematische Annalen, 102: 1–9. Лекция, прочитанная на Международном конгрессе математиков 3 сентября 1928 г. Перепечатано в Эвальде и Зиге (2013, 954–966). Английский перевод в Mancosu (1998a, 227–233).
  • –––, 1931a, «Beweis des Tertium non datur», Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-Phys. Классе, 120-125. Перепечатано в Ewald and Sieg (2013, 967–982).
  • –––, 1931b, «Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre», Mathematische Annalen, 104: 485–494. Перепечатано в Гильберте (1935, 192–195) и Эвальде и Зиге (2013, 983–990). Английский перевод в Эвальде (1996, 1148–1157).
  • –––, 1935, Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, Берлин: Springer.
  • –––, 1992, Natur und mathematisches Erkennen, Basel: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
  • Гильберт, Давид и Аккерманн, Вильгельм, 1928, Grundzüge der теоретический журнал, Берлин: Springer.
  • Hilbert, David and Bernays, Paul, 1923, «Logische Grundlagen der Mathematik», Vorlesung, Winter-Semester 1922-23. Конспект лекций Пола Бернайса с рукописными заметками Гильберта. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Г-жа Гильберт 567.
  • –––, 1934, Grundlagen der Mathematik, vol. 1, Берлин: Springer.
  • –––, 1939, Grundlagen der Mathematik, vol. 2, Берлин: Springer.
  • Хофвебер, Томас, 2000, «Теоретико-доказательственная редукция как инструмент философа», Эркеннтнис, 53: 127–146.
  • Игнятович, Александар, 1994, «Программа Гильберта и правило омеги», Журнал символической логики, 59: 322–343.
  • Китчер, Филипп, 1976, «Эпистемология Гильберта», Философия науки, 43: 99–115.
  • Kreisel, Georg, 1960, «Порядковые логики и характеристика неформальных понятий доказательства», в трудах Международного конгресса математиков. Эдинбург, 14–21 августа 1958 г., Дж. А. Тодд, изд. Кембридж: издательство Кембриджского университета, 289–299.
  • –––, 1968, «Обзор теории доказательств», Журнал символической логики, 33: 321–388.
  • –––, 1970, «Принципы доказательства и порядковые числа, подразумеваемые в данных понятиях», в «Интуиционизме и теории доказательств», A. Kino, J. Myhill и RE Veseley, eds., Amsterdam: North-Holland.
  • –––, 1983, «Программа Гильберта», «Философия математики», Пол Бенасерраф и Хилари Патнэм, ред. Кембридж: издательство Кембриджского университета, 207–238, 2-е изд.
  • Mancosu, Paolo (ed.), 1998a, от Брауэра до Гильберта. Дебаты об основах математики в 1920-х годах, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Mancosu, Paolo, 1998b, «Hilbert and Bernays on Metamatmatics», в (Mancosu, 1998a), 149–188. Перепечатано в Mancosu (2010).
  • –––, 1999, «Между Расселом и Гильбертом: Беман об основах математики», Бюллетень символической логики, 5 (3): 303–330. Перепечатано в Mancosu (2010).
  • –––, 2010, «Приключение разума: взаимодействие философии математики и математической логики», 1900–1940, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Манкосу, Паоло и Рикман, Томас, 2002, «Математика и феноменология: переписка между О. Беккером и Х. Вейлем», Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Перепечатано в Mancosu (2010).
  • Маккарти, Т., 2016, «Третья теорема Гёделя о неполноте», Диалектика 70: 87–112.
  • Парсонс, Чарльз, 1998, «Финитизм и интуитивное знание», в «Философии математики сегодня», Матиас Ширн, изд. Оксфорд: издательство Оксфордского университета, 249–270.
  • –––, 2007, «Математическая мысль и ее объекты», Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Паттон, Лидия, 2014, «Объективность Гильберта», Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
  • Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
  • Пуанкаре, Анри, 1906, «Математика и логика», Ревю метафизика и мораль, 14: 294–317. Английский перевод в Эвальде (1996, 1038–1052).
  • Resnik, Michael D., 1974, «О философском значении доказательств непротиворечивости», Journal of Philosophical Logic, 3: 133–47.
  • –––, 1980, Фреге и философия математики, Итака: издательство Корнеллского университета.
  • Шенкер, Стюарт Г., 1988, Теорема Геделя в фокусе, Лондон: Routledge.
  • Зиг, Уилфрид, 1990, «Размышления о программе Гильберта», в «Действуя и размышляя», Уилфрид Зиг, ред., Дордрехт: Kluwer, 171–82. Перепечатано в Sieg (2013).
  • –––, 1999, «Программы Гильберта: 1917–1922», Бюллетень символической логики, 5 (1): 1–44. Перепечатано в Sieg (2013).
  • –––, 2013, «Программы Гильберта и далее», Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.
  • Симпсон, Стивен Дж., 1988, «Частичные реализации программы Гильберта», Журнал символической логики, 53 (2): 349–363.
  • –––, 1999, Подсистемы арифметики второго порядка, Берлин: Springer.
  • Сморински, Крейг, 1977, «Теоремы неполноты», в Справочнике по математической логике, Джон Барвей, изд., Амстердам: Северная Голландия, 821–865.
  • Штейнер, Марк, 1975, математические знания, Итака: издательство Корнелльского университета.
  • –––, 1991, «Обзор программы Гильберта: очерк математического инструментализма (Детлефсен, 1986)», «Философский журнал», 88 (6): 331–336.
  • Tait, WW, 1981, «Finitism», Journal of Philosophy, 78: 524–546. Перепечатано в Tait (2005a, 21–42).
  • –––, 2002, «Замечания о финитизме», в «Размышлениях об основах математики». Очерки в честь Соломона Фефермана, Уилфрида Зига, Ричарда Соммера и Кэролин Тэлкотт, ред. Ассоциации символической логики, LNL 15. Перепечатано в Tait (2005a, 43–53). [Препринт доступен онлайн]
  • –––, 2005a, «Происхождение чистого разума: очерки по философии математики и ее истории», Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.
  • –––, 2005b, «Приложение к главам 1 и 2», Tait (2005a, 54–60)
  • Такеути, Гайси, 1987, Теория доказательств (Исследования по логике: 81), Амстердам: Северная Голландия, 2-е издание
  • van Heijenoort, Jean (ed.), 1967, от Фреге до Гёделя. Справочник по математической логике, 1897–1931 гг., Кембридж, штат Массачусетс: издательство Гарвардского университета.
  • фон Нейман, Иоганн, 1927, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Вейль, Герман, 1921, «Uber die neue Grundlagenkrise der Mathematik», Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Перепечатано в Вейле (1968, 143–180). Английский перевод в Mancosu (1998a, 86–118).
  • –––, 1925, «Die heutige Erkenntnislage in Mathematik», Symposion, 1: 1–23. Перепечатано в: Вейль (1968, 511–42). Английский перевод в: Mancosu (1998a, 123–42).
  • –––, 1928, «Дискуссии bemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Английский перевод в van Heijenoort (1967, 480–484).
  • –––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, Берлин: Springer Verlag.
  • Зак, Ричард, 1999, «Полнота перед Постом: Бернайс, Гильберт и развитие логики высказываний», Бюллетень символической логики, 5 (3): 331–366. [Препринт доступен онлайн]
  • –––, 2003, «Практика финитизма. Эпсилоновое исчисление и доказательства согласованности в программе Гильберта”, Synthese, 137: 211–259. [Препринт доступен онлайн]
  • –––, 2004, «Книга Гильберта« Verunglückter Beweis », первая эпсилон-теорема и доказательства непротиворечивости», История и философия логики, 25: 79–94. [Препринт доступен онлайн]
  • –––, 2006, «Программа Гильберта тогда и сейчас», в: Dale Jacquette, ed., Philosophy of Logic. Справочник по философии науки, вып. 5. Амстердам: Elsevier, 411–447. [Препринт доступен онлайн]

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

[Пожалуйста, свяжитесь с автором с предложениями.]

Рекомендуем: