Геометрия девятнадцатого века

Оглавление:

Геометрия девятнадцатого века
Геометрия девятнадцатого века

Видео: Геометрия девятнадцатого века

Видео: Геометрия девятнадцатого века
Видео: Лобачевский – гений геометрии 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Геометрия девятнадцатого века

Впервые опубликовано пн 26 июля 1999 г.; существенная редакция чт 20 октября 2016 г.

В девятнадцатом веке геометрия, как и большинство академических дисциплин, пережила период роста, граничащий с катаклизмом. В течение этого периода содержание геометрии и ее внутреннее разнообразие увеличивались почти до неузнаваемости; Аксиоматический метод, хваленый с древности поклонниками геометрии, наконец достиг истинной логической достаточности, и была заложена основа для замены в описании физических явлений стандартной геометрии Евклида удивительно гибкой системой Римана. Современные философы всех направлений - Декарт и Гоббс, Спиноза и Локк, Юм и Кант - считали евклидову геометрию парадигмой эпистемологической достоверности. Внезапное сокращение евклидовой геометрии до подвида огромного семейства математических теорий пространства разрушило некоторые иллюзии и вызвало важные изменения в философской концепции человеческого знания. Так, например, после этих событий девятнадцатого века философы, мечтающие о совершенно определенном знании добра и зла, обеспеченном логическим выводом из самоочевидных принципов, больше не могут предлагать евклидову геометрию как пример, в котором подобная цель оказалась достижимой, В настоящей статье рассматриваются аспекты геометрии девятнадцатого века, которые представляют большой интерес для философии, и намекает на их мимолетное значение.философы, мечтающие о совершенно определенном знании добра и зла, обеспеченном логическим выводом из самоочевидных принципов, больше не могут предлагать евклидову геометрию как пример, в котором подобная цель оказалась достижимой. В настоящей статье рассматриваются аспекты геометрии девятнадцатого века, которые представляют большой интерес для философии, и намекает на их мимолетное значение.философы, мечтающие о совершенно определенном знании добра и зла, обеспеченном логическим выводом из самоочевидных принципов, больше не могут предлагать евклидову геометрию как пример, в котором подобная цель оказалась достижимой. В настоящей статье рассматриваются аспекты геометрии девятнадцатого века, которые представляют большой интерес для философии, и намекает на их мимолетное значение.

  • 1. Лобачевская геометрия
  • 2. Проективная геометрия
  • 3. Эрлангенская программа Кляйна
  • 4. Аксиоматика отточена
  • 5. Дифференциальная геометрия Римана
  • 6. Группы Ли

    Дополнение: современная формулировка теории Римана

  • Библиография

    • Основные источники
    • Вторичная литература
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Лобачевская геометрия

Евклид (эт. 300 г. до н.э.) поместил во главе своих Элементов ряд «определений» (например, «Точка - это то, что не имеет части») и «общих понятий» (например, «Если равные добавляются к равным, суммы равны ») и пять« запросов ». Предположительно, эти элементы передали всю информацию, необходимую для вывода теорем и решения проблем геометрии, но на самом деле это не так. Однако запросы (aitemata), обычно называемые на английском языке «постулатами», должны в любом случае быть удовлетворены, иначе доказательства Евклида не пройдут. Некоторые из них просто практичны:

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку. 3. Нарисовать круг с любым центром и любым радиусом.

Тем не менее, пятый походит больше на констатацию факта. Текст Евклида может быть представлен на английском языке следующим образом: «Если прямая линия [c], падающая на две прямые линии [a и b], делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии [a и b], если производится бесконечно долго, встречаются на той стороне, на которой углы меньше, чем два прямых угла »(термины в скобках добавлены для ясности). Это звучит надуманно. Тем не менее, его можно легко перефразировать как рецепт построения треугольников (см. Рис. 1.). Каждый треугольник состоит из трех копланарных прямых линий, которые встречаются парами в трех точках. Для любого отрезка PQ нарисуйте прямую линию от a до P и прямую линию от b до Q, чтобы a и b лежали в одной плоскости;убедитесь, что углы, которые a и b образуют с PQ на одной из двух сторон PQ, составляют в целом менее двух прямых углов; если это условие удовлетворяется, то должно быть предоставлено, что a и b встречаются в точке R на той же стороне PQ, таким образом формируя треугольник PQR. Этот запрос известен как «Постулат Евклида». Если запрос отклонен, скажем, потому что мы считаем, что мир конечен и в нем нет места для размещения вершины R, если рассматриваемые внутренние углы составляют в целом немного меньше двух прямых углов, то большая часть системы Евклида геометрия не пройдет.потому что мы считаем, что мир конечен и в нем нет места для размещения вершины R, если рассматриваемые внутренние углы составляют чуть меньше двух прямых углов - тогда большая часть геометрической системы Евклида не пройдет.потому что мы считаем, что мир конечен и в нем нет места для размещения вершины R, если рассматриваемые внутренние углы составляют чуть меньше двух прямых углов - тогда большая часть геометрической системы Евклида не пройдет.

фигура 1

фигура 1
фигура 1

В последующие мрачные века чувство математической свободы Евклида было утрачено, и философы и математики ожидали, что геометрия покоится на очевидных основаниях. Теперь, если a перпендикулярен, а b почти перпендикулярен PQ, a и b очень медленно сближаются друг с другом на одной стороне PQ, и не очевидно, что они в конечном итоге должны встретиться где-нибудь на этой стороне. В конце концов, гипербола бесконечно приближается к своим асимптотам и, тем не менее, никогда не встречает их. На протяжении веков несколько авторов требовали и пытались доказать постулат Евклида. Джон Уоллис (р. 1616, р. 1703) вывел это из предположения, что существуют многоугольники разных размеров, которые имеют одинаковую форму. Но тогда это предположение нуждается в доказательстве в свою очередь. Джироламо Саккери (р. 1667, д. 1733) пытался привести. Он сделал вывод из ряда отрицаний постулата Евклида, пока не достиг того, который он объявил «отвратительным по отношению к природе прямой». Но понимание Саккери этой «природы» коренится в евклидовой геометрии, и его вывод заставляет задуматься.

В 1820-х годах Николай Иванович Лобачевский (1793 г.р., 1856 г.) и Янош Боляй (1802 г.р., 1860) независимо друг от друга решали этот вопрос совершенно по-новому. Лобачевский построил на отрицании Постулата Евклида альтернативную систему геометрии, которую он назвал «мнимой» и попытался безрезультатно проверить достоверность в астрономическом масштабе, рассчитав сумму внутренних углов треугольников, образованных звездами на небе. Боляй исключил этот постулат из системы Евклида; оставшийся осколок - это «абсолютная геометрия», которая может быть дополнительно уточнена путем добавления к ней либо постулата Евклида, либо его отрицания. С 1790-х годов Карл Фридрих Гаусс (р. 1777, р. 1855) работал над этим вопросом в том же направлении, но воздерживался от публикации, опасаясь скандала. Так как Лобачевский был первым, кто опубликовал,система геометрии, основанная на упомянутой «абсолютной геометрии» плюс отрицание постулата Евклида, по праву называется геометрией Лобачевского.

Конструкция, представленная выше для объяснения постулата Евклида, также может быть использована для выяснения его отрицания. Нарисуйте прямую линию через точку P под прямым углом с отрезком PQ. Если постулат Евклида отрицается, то через Q есть множество прямых линий, копланарных с a, которые образуют острые углы с PQ, но никогда не встречают a. Рассмотрим множество действительных чисел, которые являются величинами этих острых углов. Пусть наибольшая нижняя граница этого множества равна µ. Очевидно, что μ> 0. Через Q ровно две прямые, копланарные с a, которые составляют угол размера μ с PQ. (См. Рисунок 2.) Назовите их b 1 и b 2. Ни b 1, ни b 2встречает a, но a встречает каждую линию через Q, которая компланарна с a и делает с PQ угол меньше, чем µ. Гаусс, Лобачевский и Боляй - без ведома друг друга - совпали в названии b 1 и b 2 параллелей от a до Q. μ называется углом параллелизма для сегмента PQ. Его размер зависит от длины PQ и уменьшается с увеличением последнего.

фигура 2

фигура 2
фигура 2

Предположим, что угол параллелизма для PQ равен половине прямого угла. В этом случае b 1 и b 2 образуют прямой угол в Q, и, таким образом, мы имеем две взаимно перпендикулярные прямые линии на одной плоскости с a, которые не могут встретить a.

Геометрия Лобачевского изобилует удивительными теоремами (многие из которых уже были найдены Саккери). Вот некоторые из них: Три внутренних угла треугольника составляют менее двух прямых углов. Разница или «дефект» пропорциональна площади треугольника. Следовательно, в геометрии Лобачевского подобные треугольники конгруэнтны. Более того, если треугольник делится на более мелкие треугольники, дефект целого равен сумме дефектов частей. Поскольку дефект не может быть больше двух прямых углов, площадь треугольников имеет конечный максимум. Если четырехугольник по построению имеет три прямых угла, четвертый угол обязательно острый. Таким образом, в геометрии Лобачевского нет прямоугольников.

Существует простое формальное соответствие между уравнениями лобачевской тригонометрии и уравнениями стандартной сферической тригонометрии. Основываясь на этом, Лобачевский утверждал, что любое противоречие, возникающее в его геометрии, неизбежно будет сопровождаться противоречием в евклидовой геометрии. Похоже, что это самый ранний пример предполагаемого доказательства относительной согласованности, с помощью которого доказывается, что теория является непротиворечивой, чтобы другая теория, чья последовательность обычно считается само собой разумеющейся, не была непоследовательной.

Лобачевской геометрии уделялось мало внимания до конца 1860-х годов. Когда философы наконец заметили это, их мнения разделились. Некоторые считали это формальным упражнением в логическом выводе, не имеющем физического или философского значения, в котором использовались обычные слова - такие как «прямой» и «плоскость» - с скрытно измененным значением. Другие приветствовали это как достаточное доказательство того, что, вопреки влиятельному тезису Канта, евклидова геометрия не передает каких-либо предпосылок человеческого опыта и что геометрическая структура физического пространства открыта для экспериментальных исследований. Третьи согласились, что неевклидовы геометрии являются законными альтернативами, но указали, что дизайн и интерпретация физических экспериментов обычно предполагают определенную геометрию и что эта роль была вытеснена системой Евклида.

Что бы ни говорили философы, для математиков геометрия Лобачевского, вероятно, была бы не более чем странным любопытством, если бы не было найдено ниши для нее как в проективной, так и в дифференциальной геометрии, двух основных направлениях геометрических исследований XIX века (§ § 2 и 5).

2. Проективная геометрия

Сегодня проективная геометрия не играет большой роли в математике, но в конце XIX века она стала синонимом современной геометрии. Проективные методы использовались Дезаргом (р. 1591, д. 1661) и Паскалем (р. 1623, д. 1662), но позже были затмлены методом координат Декарта. Они процветали, однако, после того, как Жан-Виктор Понселе (р. 1788, р. 1867) показал, что проективные свойства фигур дают основание для доказательства, которое, по крайней мере, столь же мощно, и, конечно, более интуитивно и якобы убедительно, чем декартова процедура установка и решение уравнений между числами, представляющими точки.

Проективные свойства - те, которые сохранены проектированием. Возьмем, к примеру, две плоскости Γ и H и точку P вне их. Пусть Ф - любая фигура на Г. Нарисуйте прямые линии от P через каждую точку Φ. Фигура, образованная точками, где эти линии встречаются с H, является проекцией Φ на H из P. Обычно эта цифра будет отличаться от Φ по размеру и форме. Но проекция любого числа прямых на Γ, встречающихся друг с другом в определенных точках, обычно состоит из равного числа прямых на H, встречающихся соответственно в проекции этих точек. Однако что произойдет, если прямая, соединяющая P с некоторой точкой Q из Γ, никогда не встречает H, поскольку PQ лежит на плоскости, параллельной H? (См. Рисунок 3.)

Рисунок 3

Рисунок 3
Рисунок 3

Чтобы избежать таких утомительных исключений, проективная геометрия добавила к каждой прямой в пространстве идеальную точку, разделяемую каждой линией, параллельной ей. Непрерывность требует, чтобы все идеальные точки лежали на одной идеальной плоскости, которая встречает каждое семейство параллельных плоскостей вдоль другой идеальной линии. Фундаменталисты могут содрогнуться от этого, казалось бы, бессмысленного умножения сущностей. Однако, это практиковалось в арифметике на протяжении веков, так как начальный запас натуральных чисел 1, 2, 3,… был дополнен нулями, отрицательными целыми числами, нецелыми рациональными числами, иррациональными числами и так называемыми мнимыми номера.

Точки прямой находятся во взаимоотношениях соседства и порядка. Чтобы увидеть, как идеальная точка вписывается в эти отношения, пусть H постоянно вращается вокруг прямой m, где она пересекает Γ. (См. Рисунок 4.) Когда H параллелен PQ, скажем, в момент t проекция Q на H из P является идеальной точкой прямой через P и Q. Прямо перед t упомянутая проекция является обычной точкой H, очень далекой от m. Сразу после t проекция снова является обычной точкой H, очень далекой от m, но на противоположном конце плоскости. Изучая непрерывное смещение проекции в течение короткого интервала времени, окружающего t, можно сделать вывод, что если A и B - это любые две точки H, которые находятся соответственно по обе стороны от m, идеальная точка прямой линии, проходящей через A и B должен быть расположен между А и В. Таким образом,в проективной геометрии точки прямой упорядочены циклически, т. е. как точки окружности. В результате этого отношения соседства между точками в проективном пространстве и на проективных плоскостях резко отличаются от тех, которые знакомы со стандартной геометрией, и очень противоречивы. Справедливо сказать, что проективная геометрия означала гораздо более глубокую и далеко идущую революцию в человеческом мышлении, чем простое отрицание Евклида. Справедливо сказать, что проективная геометрия означала гораздо более глубокую и далеко идущую революцию в человеческом мышлении, чем простое отрицание Евклида. Справедливо сказать, что проективная геометрия означала гораздо более глубокую и далеко идущую революцию в человеческом мышлении, чем простое отрицание Евклида.

Рисунок 4

Рисунок 4
Рисунок 4

В новых условиях проективные свойства фигур могут быть определены без исключения. однозначное отображение f проективного пространства на себя является коллинеацией, если оно отправляет любые три коллинеарные точки A, B и C в три точки (A), (B) и (C), которые также являются коллинеарными. Проективные свойства (и отношения) - это те, которые сохраняются с помощью коллинеаций. Вот несколько примеров проективных свойств. Из трех и более точек: лежать на одной прямой линии; лежать в одной плоскости. Из трех и более прямых: встречаться в одной точке; лежать в одной плоскости. Из трех и более плоскостей: пересекаются по одной прямой линии; разделить ту же точку зрения. Из кривых: быть коническим. Из поверхностей: быть квадрикой.

3. Эрлангенская программа Кляйна

В буклете, выпущенном, когда он поступил на факультет в Эрлангене (1872 г.), Феликс Кляйн (р. 1849, г. 1925 г.) рассказал об огромном росте и разнообразии геометрии и предложил точку зрения, с которой его многочисленные ветви могли бы быть организованы в система. С этой точки зрения задача ветви геометрии может быть сформулирована так:

Учитывая многообразие и группу преобразований многообразия, необходимо изучить конфигурации многообразия относительно тех признаков, которые не изменяются преобразованиями группы. (Кляйн 1893, стр. 67)

В математике XIX века «многообразие» часто обозначало то, что мы сейчас называем множеством, но Кляйн, очевидно, имел в виду нечто более конкретное:

Если заданы n переменных x 1,…, x n, то… системы ценностей, которые мы получим, если мы позволим переменным x независимо принимать действительные значения от −∞ до + ∞, составляют то, что мы будем называть… многообразием из n измерений. Каждая конкретная система ценностей (x 1,…, x n) называется элементом многообразия. (Кляйн 1873, стр. 116)

Если S является многообразием в любом смысле, под преобразованием S мы подразумеваем однозначное отображение S на себя. Ясно, что

  1. Если T 1 и T 2 являются преобразованиями S, составное отображение T 2  ○ T 1, которое состоит из T 1, за которым следует T 2, также является преобразованием S;
  2. композиция преобразований ассоциативна, так что, если T 1, T 2 и T 3 являются преобразованиями S, (T 3  ○ T 2) ○ T 1 = T 3  ○ (T 2  ○ T 1);
  3. отображение тождества I, которое отправляет каждую точку S в себя, является преобразованием S таким, что для любого преобразования T T ○ I = I ○ T = T;
  4. для каждого преобразования T существует преобразование T −1, обратное к T, так что T −1  ○ T = I (T −1 отправляет каждую точку S обратно туда, куда она была доставлена T).

В силу условий (i) - (iv) преобразования группы S образуют группу G S в точном смысле этого термина в алгебре. G S включает подгруппы, то есть подмножества, которые содержат I и удовлетворяют условиям (i) и (iv). Если H является подгруппой в G S и Φ является признаком S или его элементов или частей, на который не влияют преобразования из Φ, мы говорим, что Φ является H -инвариантным. Единственный G S-инвариант - мощность S (т. е. количество элементов в многообразии). С другой стороны, группа {I}, состоящая только из тождества, тривиально сохраняет все мыслимые свойства. Между этими двумя крайностями может быть много разных подгрупп со всеми видами интересных инвариантов, в зависимости от соответствующей структуры группы. Если S не произвольное (бесструктурное) множество, а числовое многообразие, описанное Кляйном, оно наследует структуру от поля действительных чисел, что способствует характеристике различных подгрупп в G S и их инвариантов. Таким образом, группа непрерывных преобразований сохраняет топологические свойства (отношения окрестностей), а группа линейных преобразований сохраняет проективные свойства.

Можно ли таким образом зафиксировать метрические свойства? Традиционно каждый определяет расстояние между двумя точками (x 1,…, x n) и (y 1,…, y n) числового многообразия как положительный квадратный корень из (x 1  - y 1) 2 +… + (x n  - y n) 2, Группа изометрий состоит из преобразований, сохраняющих эту функцию. Однако это всего лишь соглашение, принятое для обеспечения евклидовой геометрии. Используя проективную геометрию, Кляйн придумал что-то лучшее. Никакая действительная функция точечных пар, определенная на всем проективном пространстве, не является инвариантом проективной группы, но есть функция коллинеарных точечных четырехкратных, называемая перекрестным отношением, которая является таким инвариантом. Опираясь на работу Артура Кейли (р. 1821, д. 1895), Кляйн (1871, 1873) рассмотрел поперечное соотношение точечных четверок <P 1, P 2, P 3, P 4 >. такие, что P 3 и P 4 принадлежат данной конике κ на проективной плоскости, а P1 и P 2 располагаются в области R, которая ограничена или иным образом зафиксирована с помощью κ. Поскольку P 3 и P 4 должны быть точками, в которых прямая линия, проходящая через P 1 и P 2, пересекает κ, указанное перекрестное отношение можно рассматривать как функцию пары точек <P 1, P 2 >. Коллинеации, отображающие данную конику на себя, образуют группу, и указанная функция является явно инвариантом этой группы. Клейн показал, что определенная функция этой функции ведет себя как обычная функция расстояния на R, В соответствии с природой коники κ, структура, определяемая этой функцией, удовлетворяет либо (i) всем теоремам геометрии плоскости Евклида, либо (ii) всем теоремам геометрии плоскости Лобачевского, либо (iii) темам третьей геометрии, которые Кляйн сам обнаружил и окрестил «эллиптическим». (В эллиптической геометрии каждая прямая линия встречается друг с другом, и три внутренних угла треугольника всегда составляют более двух прямых углов. Названия Кляйна для геометрий Евклида и Лобачевского были «параболическими» и «гиперболическими» соответственно.)

Так работает подход Кляйна для геометрии Лобачевского на плоскости. Пусть κ - реальная коника - коника, состоящая только из реальных точек - на проективной плоскости. Пусть G κ - множество всех коллинеаций, отображающих κ на себя. G κ - подгруппа проективной группы. Теперь рассмотрим перекрестное соотношение точечных четверок <P 1, P 2, P 3, P 4 > так, что P 3 и P 4 принадлежат κ, а P 1 и P 2.диапазон внутри Int (κ) области реальной плоскости, ограниченной κ. (P ∈ Int (κ) тогда и только тогда, когда P является действительной точкой, а действительная касательная к κ не проходит через P.) Как отмечено выше, выбор точек P 1 и P 2 фиксирует P 3 и P 4, поэтому перекрестное отношение может рассматриваться как функция только первой пары точек, скажем, f κ (P 1, P 2). Функция f κ явно G κ -инвариантна. Положим d κ (P 1, P 2) = c log f κ (P 1, P 2), где c - произвольная действительная константа, отличная от 0, и log x обозначает главное значение натурального логарифма x. Кляйн смог показать, что d κ ведет себя точно так же, как функция расстояния Лобачевского на Int (κ). Другими словами, каждая теорема геометрии Лобачевского верна для подходящих фигур, образованных из точек Int (κ), если расстояние между любыми двумя из этих точек задано функцией d κ. Рассмотрим, например, четыре точки P 1, P 2, P 3 и P 4 в Int (κ), такие что d κ (P 1, P 2) = d κ (P 2, P 3) = d κ (P 3, P 4) = d κ (P 4, P 1). Это вершины равностороннего четырехугольника Q Лобачевского, который может иметь не более трех прямых углов, и в этом случае четвертый внутренний угол Q должен быть острым. (Где «прямой угол» означает, как обычно, угол, равный смежному с ним углу, и два угла в Int (κ) называются равными, если один является изображением другого посредством преобразования группы G κ).

Если κ обозначает другой вид коники, а не обычную действительную, функция d κ, полученная с помощью описанной выше процедуры, ведет себя в подходяще определенных областях проективной плоскости, таких как евклидова функция расстояния или как функция расстояния эллиптической геометрии (это зависит от о характере коники к). Таким образом, в зависимости от того, принадлежит ли κ одному или другому из трех видов коник, группа коллинеаций, отображающих κ на себя, структурно идентична одной из трех групп изометрий Лобачевского, Евклидова или эллиптической. Аналогичные результаты справедливы для трехмерного случая, когда κ - квадратичная поверхность.

В результате Кляйна Бертран Рассел (р. 1873, р. 1970) в своей неокантианской книге об основах геометрии (1897) утверждал, что общая «форма экстерналии» априори раскрывается нам в проективной геометрии, но его метрическая структура - которая может быть только лобачевской, евклидовой или эллиптической - должна быть определена апостериорным путем экспериментом. Анри Пуанкаре (р. 1854, р. 1912) занял более радикальную позицию: если геометрия есть не что иное, как изучение группы,

Можно сказать, что истинность геометрии Евклида не является несовместимой с истинностью геометрии Лобачевского, поскольку существование группы не несовместимо с существованием другой группы. (Пуанкаре 1887, стр. 290)

Приложение к физике немедленно: «Из всех возможных групп мы выбрали одну, в частности, чтобы обозначить все физические явления так же, как мы выбираем три координатные оси, чтобы обозначить их геометрическую фигуру» (там же, стр. 291). Выбор этой конкретной группы обусловлен ее математической простотой, а также тем фактом, что «в природе существуют некоторые замечательные тела, которые называются твердыми телами, и опыт подсказывает нам, что различные возможные движения этих тел тесно связаны друг с другом. так же, как различные операции выбранной группы »(там же). Эти замечания Пуанкаре ознаменовали начало конвенционализма в философии науки и обеспечили его первоначальную мотивацию.

Теоретический взгляд Кляйна на геометрию пользовался большой популярностью среди математиков и философов. Он добился большого успеха, когда Минковский (1909) показал, что суть специальной теории относительности Эйнштейна заключалась в (пространстве-времени) геометрии группы Лоренца, существенном результате, которым Кляйн (1911) жил, чтобы наслаждаться. Это подразумевает, что недавние дебаты о приоритете хроногеометрии Минковского над лоренц-инвариантностью или наоборот совершенно бесполезны, поскольку они логически эквивалентны и, таким образом, фактически являются двумя сторонами одной медали (как объяснил Acuña (2016)). Тем не менее, программа Эрлангена Кляйна не охватывала дифференциальную геометрию Римана (§ 5), которую Эйнштейн (1915, 1916) положил в основу своей общей теории относительности.

4. Аксиоматика отточена

Согласно Аристотелю, научное знание (episteme) должно выражаться в утверждениях, которые дедуктивно следуют из конечного списка самоочевидных утверждений (аксиом) и используют только термины, определенные из конечного списка понятных себе терминов (примитивов). На протяжении более двух тысячелетий считалось, что идеал Аристотеля фактически реализован в элементах Евклида. На самом деле, в Евклиде I.1 уже есть логический пробел (решение этой проблемы основывается на неустановленном допущении преемственности), и неясно, что Евклид считал свои постулаты самоочевидными (называя их « просит, он предложил, что он не сделал). Идея обеспечения знаний путем логического вывода из неоспоримых принципов была очень привлекательна для современных ученых, таких как Галилей и Ньютон, оба из которых с любовью практиковали аксиоматику,во всяком случае, как литературная форма, как Спиноза в своей этике. Тем не менее, действительно удовлетворительный и, если можно так выразиться, серьезный пример аксиоматизации отрасли знаний не был доступен в печати до 1882 года, когда Мориц Паш (р. 1843, р. 1930) опубликовал свои лекции по современной геометрии.

Паш рассматривал геометрию как естественную науку, чье успешное использование другими науками и в практической жизни основывается «исключительно на том факте, что геометрические концепции изначально согласовывались именно с эмпирическими объектами» (Pasch 1882, p. Iii). Геометрия отличается от других естественных наук тем, что непосредственно из опыта получает лишь очень мало концепций и законов и стремится получить из них законы более сложных явлений с помощью чисто дедуктивных средств. Эмпирическая основа геометрии была заключена Пашем в ядро основных понятий и базовых утверждений или аксиом. Основные понятия относятся к форме и размеру тел и их положениям относительно друг друга. Они не определены, поскольку никакое определение не может заменить «выставку соответствующих природных объектов», которая является единственным путем к пониманию такого простого,неприводимые понятия (там же, с. 16). Все остальные геометрические понятия должны быть в конечном итоге определены в терминах основных. Основные понятия связаны друг с другом аксиомами, которые «указывают на то, что наблюдалось на некоторых очень простых диаграммах» (стр. 43). Все другие геометрические утверждения должны быть доказаны из аксиом самыми строгими дедуктивными методами. Все, что необходимо для их доказательства, должно быть записано без исключения в аксиомах. Следовательно, они должны включать в себя весь эмпирический материал, разработанный геометрией, так что «после того, как они созданы, больше не нужно прибегать к чувственным восприятиям» (стр. 17). «Каждый вывод, который появляется в доказательстве, должен найти подтверждение на диаграмме, но он обосновывается не диаграммой, а определенным более ранним утверждением (или определением)» (стр. 43). Паш ясно понял смысл своего метода. Он пишет (стр. 98):

Если геометрия должна быть действительно дедуктивной, процесс вывода должен быть независимым во всех своих частях от значения геометрических понятий, так же, как он должен быть независимым от диаграмм. Все, что нужно учитывать, это отношения между геометрическими понятиями, записанными в утверждениях и определениях. В ходе дедукции разрешается и полезно иметь в виду значение геометрических понятий, которые в нем встречаются, но это вовсе не обязательно. Действительно, когда это действительно необходимо, это показывает, что в доказательстве есть пробел, и - если пробел не может быть устранен путем изменения аргумента, - что предпосылки слишком слабы, чтобы его поддержать.

Лекции Паша о современной геометрии были посвящены проективной геометрии. Первая аксиоматизация евклидовой геометрии, которая соответствовала стандартам Паша - «Основы геометрии» Дэвида Гильберта (р. 1862, р. 1943) - появилась в 1899 году и оказала огромное влияние на математику и философию двадцатого века. Гильберт предлагает читателю рассмотреть три произвольных набора объектов, которые он называет «точками», «прямыми» и «плоскостями», и пять неопределенных отношений между (i) точкой и прямой линией, (ii) прямой линией и плоскость, (iii) три точки, (iv) две пары точек («отрезки») и (v) два класса эквивалентности тройки точек («углы»). Условия, прописанные в Гильберте20 аксиом, включая аксиому полноты, добавленную во втором издании, достаточно для характеристики указанных объектов и отношений вплоть до изоморфизма. Однако изоморфизм, т. Е. Структурная эквивалентность, может иметь место между различными, интуитивно разрозненными системами объектов. Гильберт воспользовался этой особенностью аксиоматических теорий для изучения независимости некоторых аксиом от остальных. Чтобы доказать это, он предложил реальные примеры (модели) структуры, определяемой всеми аксиомами, кроме одной, плюс отрицание опущенной. Фреге жаловался, что геометрические аксиомы, сохраненные в этих упражнениях, могут быть применены к надуманным моделям Гильберта только путем искажения естественного значения слов (ср. Разговор Алисы с Шалтай-Болтай). Гильберт ответил 29 декабря 1899 года:структурная эквивалентность - может, однако, иметь место между различными, интуитивно разрозненными системами объектов. Гильберт воспользовался этой особенностью аксиоматических теорий для изучения независимости некоторых аксиом от остальных. Чтобы доказать это, он предложил реальные примеры (модели) структуры, определяемой всеми аксиомами, кроме одной, плюс отрицание опущенной. Фреге жаловался, что геометрические аксиомы, сохраненные в этих упражнениях, могут быть применены к надуманным моделям Гильберта только путем подмены естественного значения слов (ср. Разговор Алисы с Шалтай-Болтай). Гильберт ответил 29 декабря 1899 года:структурная эквивалентность - может, однако, иметь место между различными, интуитивно разрозненными системами объектов. Гильберт воспользовался этой особенностью аксиоматических теорий для изучения независимости некоторых аксиом от остальных. Чтобы доказать это, он предложил реальные примеры (модели) структуры, определяемой всеми аксиомами, кроме одной, плюс отрицание опущенной. Фреге жаловался, что геометрические аксиомы, сохраненные в этих упражнениях, могут быть применены к надуманным моделям Гильберта только путем подмены естественного значения слов (ср. Разговор Алисы с Шалтай-Болтай). Гильберт ответил 29 декабря 1899 года:Чтобы доказать это, он предложил реальные примеры (модели) структуры, определяемой всеми аксиомами, кроме одной, плюс отрицание опущенной. Фреге жаловался, что геометрические аксиомы, сохраненные в этих упражнениях, могут быть применены к надуманным моделям Гильберта только путем искажения естественного значения слов (ср. Разговор Алисы с Шалтай-Болтай). Гильберт ответил 29 декабря 1899 года:Чтобы доказать это, он предложил реальные примеры (модели) структуры, определяемой всеми аксиомами, кроме одной, плюс отрицание опущенной. Фреге жаловался, что геометрические аксиомы, сохраненные в этих упражнениях, могут быть применены к надуманным моделям Гильберта только путем искажения естественного значения слов (ср. Разговор Алисы с Шалтай-Болтай). Гильберт ответил 29 декабря 1899 года:

Каждая теория представляет собой лишь основу или схему концепций вместе с их необходимыми взаимоотношениями, и основные элементы могут быть заданы любым способом, который вы пожелаете. Если я возьму за свои очки любую систему вещей, например, систему любви, закона, трубочиста, … и я просто приму все свои аксиомы как отношения между этими вещами, мои теоремы, например, теорему Пифагора, также держать эти вещи. … Эта особенность теорий никогда не может быть недостатком и в любом случае неизбежна.

Все это вытекает, конечно, из самой природы аксиоматики, как объясняется в отрывке, цитируемом Пашем. Действительно, такие сохраняющие правду семантические перестановки не были новостями в геометрии после того, как Гергонн (1771–1859) обратил внимание в 1825 году на следующий принцип двойственности: любое истинное утверждение геометрии проективной плоскости порождает другое, одинаково истинное, двойственное утверждение, полученное заменяя 'point' на 'line', 'collinear' на 'concurrent', 'meet' на 'join' и наоборот, где бы эти слова ни встречались в первом. (В проективной геометрии пространства двойственность верна для точек и плоскостей.) Тот же результат достигается, конечно, путем обмена не словами, а их значениями.

5. Дифференциальная геометрия Римана

В лекции «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», прочитанной на факультете философии в Геттингене в 1854 году и посмертно опубликованной в 1867 году, Бернхард Риманн (р. 1826, р. 1866) представил некоторые радикально новаторские взгляды на эту тему. иметь значение. Он отметил, что измеримые свойства дискретного многообразия могут быть легко определены путем подсчета. (Подумайте о населении какой-либо страны и о доле рожденных свыше христиан или о парах, которые развелись в течение первого года после вступления в брак.) Но непрерывные многообразия не допускают такого подхода. В частности, измеримые свойства физического пространства, которые являются предметом геометрии, зависят от сил связи, действующих на него. Расстояние между двумя точками в пространстве можно определить с помощью стержня или ленты, или с помощью оптических средств,и результат существенно зависит от физического поведения используемых инструментов. До настоящего времени измеримые свойства пространства были успешно описаны в соответствии с евклидовой геометрией. Однако «эмпирические концепции, на которых основаны метрические определения пространства - концепции твердого тела и луча света - теряют свою силу в бесконечно малых; поэтому весьма вероятно, что метрические соотношения пространства в бесконечно малом не согласуются с предположениями о геометрии, и на самом деле нужно было бы принять это, как только феномен может быть объяснен тем самым более простым способом »(Риман, 1854 г.)., стр. 149). Чтобы подготовить физиков к этой возможности, Риман предложил более общую концепцию геометрии. Основная схема Римана учитывает гораздо большую общность, чем он фактически достигает; но,по его мнению, на данный момент должно быть достаточно охарактеризовать геометрию непрерывных многообразий таким образом, чтобы она оптимально согласовывалась с евклидовой геометрией в небольшой окрестности каждой точки.

Риман расширяет на n измерений методы, используемые Гауссом (1828) при изучении внутренней геометрии искривленных поверхностей, встроенных в евклидово пространство (называемой «внутренней», потому что она описывает метрические свойства, которые поверхности показывают сами по себе, независимо от того, как они лежать в космосе). Оглядываясь назад на работу Гаусса, можно лучше понять концепции Римана (см. Torretti 1978, с. 68–82). Однако для краткости и ясности желательно взглянуть вперед и воспользоваться некоторыми концепциями, введенными более поздними математиками, когда они пытались разобраться в предложении Римана. Рассмотрим современную формулировку теории Римана в приложении «Современная формулировка теории Римана».

В своем исследовании криволинейных поверхностей Гаусс ввел вещественную функцию, кривизну Гаусса, которая измеряет локальное отклонение поверхности от плоскостности с точки зрения внутренней геометрии поверхности. Риман распространил эту концепцию кривизны на римановы n -многообразия. Используя расширенную концепцию кривизны, он смог с большой элегантностью охарактеризовать метрические коллекторы, в которых все фигуры могут свободно перемещаться, не меняя их размер и форму. Это римановы многообразия постоянной кривизны. Эту идею можно прекрасно сочетать с классификацией метрик геометрии Кляйна. Евклидово пространство имеет постоянную нулевую кривизну, а пространство Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну, а эллиптическое пространство имеет постоянную положительную кривизну. В соответствии с Эрлангенской программой,каждая из этих геометрий постоянной кривизны характеризуется своей группой изометрий. Но концепция Кляйна слишком узка, чтобы охватить все римановы геометрии, которые включают пространства переменной кривизны. Действительно, в общем случае группа изометрий риманова n -многообразия является тривиальной группой, состоящей из одного тождества, структура которого вообще не несет никакой информации о соответствующей геометрии.

6. Группы Ли

Для философа наиболее удовлетворительной чертой огромного усложнения, достигнутого математикой 19-го века, была, пожалуй, быстрота, с которой недавно созданные (или обнаруженные?) Математические структуры нашли свой путь в эмпирическую науку, позволяющую интеллектуально понимать и обрабатывать реальные явления, Мы закончим этот обзор геометрии 19-го века несколькими легкими замечаниями об особенно богатой и плодотворной структуре, которая занимает почетное место в современной физике, а именно, о группах Ли, так называемых по имени Софуса Ли (1842–1899), норвежца. математик, который подробно изучил их после 1870 года. Группа Ли - это, конечно, группа в алгебраическом смысле, с которой мы встречались в § 3, то есть множество G такое, что (i) каждая упорядоченная пара <x, y> ∈ G связан с уникальным элементом x · y ∈ G (известным как произведение или сумма x и y);(ii) операция произведения ассоциативна, т. е. (x · y) · z = x · (y · z) для каждого x, y, z ∈ G; (iii) существует один и только один элемент 0 ∈ G, такой что для каждого x ∈ G x · 0 = 0 · x = x (0 - единица или нейтральный элемент группы G); (iv) для каждого x ∈ G существует один и только один элемент x−1 ∈ G такой, что x · x −1 = 0 (x − 1 называется обратным к x). Но группа Ли также является гладким многообразием, как описано в дополнении «Современная формулировка теории Римана»: множество G можно представить в виде кусочков системами вещественных (или альтернативно комплексных) координат, взаимно связанных четко определенными дифференцируемые преобразования координат везде, где их соответствующие участки перекрываются. Структуры группы и многообразия группы G связаны между собой условием, что операция произведения является дифференцируемым отображением группы G × G в группу G.

Простым, но важным примером группы Ли является группа SO (2), созданная поворотами плоскости вокруг произвольной неподвижной точки. Многообразие топологически компактно и поэтому не может быть покрыто одним координатным пятном, но будет достаточно трех: одного, скажем, всех вращений против часовой стрелки более чем на три радиана и менее четырех, которые можно естественным образом координировать с использованием действительных чисел в открытый интервал (3,4); другой патч, содержащий инверсии первого, который может быть отображен на открытый интервал (-4, -3), и третий патч, охватывающий все вращения против часовой стрелки менее чем на два прямых угла плюс их инверсии по часовой стрелке, которые могут быть отображены на открытый интервал (−π, π). Действительно, все группы, с которыми мы столкнулись в § 3,которые Кляйн использовал для характеристики евклидовой геометрии пространства и классической неевклидовой геометрии, являются группами Ли, и их соответствующие структуры гладких многообразий допускают топологические причуды. Таким образом, евклидовы изометрии составляют несвязное многообразие, зеркальное отражение которого не входит в тот же компонент, что и подгруппа евклидовых движений.

Как и все гладкие многообразия, группа Ли G имеет касательное векторное пространство, присоединенное к каждому элементу. В частности, касательное пространство в нейтральном элементе 0 группы G становится алгеброй Ли группы G по определению так называемой скобки Ли, билинейного отображения T 0 G × T 0 G в T 0 G, которое для всех u, v, w в T 0 G удовлетворяет условию [u, u] = 0 и тождеству Якоби: [u, [v, w] + [v, [w, u] + [w, [u, v] = 0. Алгебра Ли группы G проливает много света на структуру группы G посредством гомеоморфного («экспоненциального») отображения окрестности 0 ∈ T 0 G в окрестность 0 ∈ G.

В дополнении «Современная формулировка теории Римана» мы затрагиваем идею расслоения, образованного двумя гладкими многообразиями F и M, связанными «проекционным» отображением π группы F на M, которое разбивает многообразие F на «волокна».”, Нанесенный на π на различные точки M. Расслоение <F, M, π> становится главным расслоением <F, M, π, G>, если группа Ли G, известная как структурная группа расслоения, действует на F таким образом, что каждый слой F орбита действия и несколько других условий. Например, группа Лоренца является структурной группой главного расслоения тетрад (ортонормированных четырех наборов касательных векторов в каждой точке) в любом релятивистском пространстве-времени, каким бы странным оно ни было. Таким образом,Группы Ли обеспечивают способ объединения многих моделей, допускаемых физической теорией, и введения некоторой степени однородности между ними.

В течение последней трети 20-го века расслоения и их группы Ли фактически захватили фундаментальную физику. Это не место, чтобы объяснить, как и почему, но заслуживает внимания философов неостановимая эволюция физики в направлении все более математически изощренного, на первый взгляд менее простого представления ее предмета. Понятно, что концепция определенной стабильной вещи, которая, по крайней мере, в принципе, может удерживаться и манипулироваться, больше не так полезна для нас, как когда-то для наших кремневых предков.

Библиография

Основные источники

  • Bolyai, J., 1832. Scientia absoluteta spatii. Приложение к Bolyai, F., Tentamen juventutem studiosam у elementa matheseos purae elementis ac sublimioris, Methodo Intuitiva, Evidentiaque Huic Propria, вводить, Tomus Primus. Maros Vasarhely: J. et S. Kali. (Английский перевод Г. Б. Халстеда напечатан как дополнение к Боноле 1955 г.)
  • Cayley, Arthur, 1859. «Шестое воспоминание о количествах», Философские труды Лондонского королевского общества, 149: 61–90.
  • Ehresmann, Ch., 1957. «Les Connexions Infinitésimales dans un espace fibré diffrentitiable», в Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Брюссель, 1950, Париж: Массон, стр. 29–55.
  • Эйнштейн А., 1915. «Die Feldgleichungen der Gravitation», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1915), с. 844–847.
  • Эйнштейн А., 1916. «Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie», Annalen der Physik, 49: 769–822.
  • Euclides, Elementa, IL Heiberg (ed.), Leipzig: BG Teubner, 5 томов, 1883–88. (Перевод на английский см. Ниже под заголовком «Хит»).
  • Гаусс, CF, 1828. Разоблачение родов около надворных кривых, Геттинген: Дитрих. (Английский перевод А. Хильтебетеля и Дж. Морхеда: Хьюлетт, Нью-Йорк, Рейвен Пресс, 1965 г.)
  • Hilbert, D., 1899. «Die Grundlagen der Geometrie», в Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, стр. 3–92.
  • Hilbert, D., 1968. Grundlagen der Geometrie, mit Supplementen von P. Bernays. Zehnte Auflage. Штутгарт: Тубнер. (Десятое, исправленное издание Гильберта 1899 г.)
  • Кляйн Ф., 1871. «Uber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie», Mathematische Annalen, 4: 573–625.
  • Клейн, Ф., 1872. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometryrische Forschungen, Erlangen: A. Duchert.
  • Кляйн Ф., 1873. «Uber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz)», Mathematische Annalen, 6: 112–145.
  • Клейн Ф., 1893. «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometryrische Forschungen», Mathematische Annalen, 43: 63–100. (Пересмотренная версия Кляйна 1872 г.).
  • Кляйн Ф., 1911. «Uber die geometryrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe», Physikalische Zeitschrift, 12: 17–27.
  • Lie S., 1888–1893. Theorie der Transformationsgruppen (3 тома), Unter Mitwirkung von F. Engel, Leipzig: Teubner.
  • Лобачевский Н. И., 1837. «Géométrie imaginaire», Journal of für die reine und angewandte Mathematik, 17: 295–320.
  • Лобачевский Н. И., 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin: F. Fincke. (Английский перевод Г. Б. Халстеда напечатан как дополнение к Боноле 1955 г.)
  • Лобачевский Н. И., 1856. Пангеметрическая служба в области женской и женской политики, Казань: Университет.
  • Локк, Дж., 1690. Эссе о гуманном понимании (в четырех книгах), Лондон: напечатано для Томаса Бассета и продано Эдвардом Мори. (Опубликовано анонимно; имя автора добавлено во втором издании).
  • Минковский, H., 1909. «Raum und Zeit», Physikalische Zeitschrift, 10: 104–111.
  • Паш, М., 1882. Геометрия Vorlesungen über neueren, Лейпциг: Teubner.
  • Пуанкаре, H., 1887. «Sur les hipothèses fondamentales de la géométrie», Bulletin de la Société mathématique de France, 15: 203–216.
  • Понселе, СП, 1822. Собственность проективных деятелей, Париж: Башелье.
  • Риччи, Г. и Т. Леви-Чивита, 1901. «Методы вычислений различий в абсолютах и приложениях», Mathematische Annalen, 54: 125–201.
  • Риман, Б., 1854. «Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen», Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1867): 133–152. (Перевод на английский см. Ниже под «Спивак».)
  • Риман, Б., 1861. «Commentatio mathematica, qua responsedere tentatur quaestioni ab illustrissima Acad. Parisiensi propositae,”в Bernhard Riemanns gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Leipzig: Teubner, 1876, pp. 391–404.
  • Рассел, Б., 1897. Очерк основ геометрии, Кембридж: издательство Кембриджского университета. (Неизмененный оттиск: Нью-Йорк, Довер, 1956 г.)
  • Saccheri, G. 1733. Euclides ab omni nævo vindicatus sive conatus geometryus quo stabiliuntur prima ipsa universalæ geometryri Principia, Mediolani: Ex Typographia Pauli Antonii Montani. (Перепечатка с английским переводом Г. Б. Холстеда: Нью-Йорк, Челси, 1986 г.)

Вторичная литература

  • Acuña, Pablo, 2016. «Пространство-время Минковского и инвариантность Лоренца: телега и лошадь или две стороны одной монеты?», Исследования по истории и философии науки (Часть B: Исследования по истории и философии современной физики), 55: 1–12.
  • Блюменталь, Л. М., 1961. Современный взгляд на геометрию, Сан-Франциско: Фримен.
  • Boi, Luciano, 1995. Математический сборник пространства: Une quête de l'intelligible, Берлин: Springer.
  • Бонола Р., 1955. Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития. Перевод на английский язык с дополнительными приложениями Г. С. Карслава. Нью-Йорк: Довер.
  • Фрейденталь, H., 1957. «Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie», Nieuw Archief vor Wiskunde, 5: 105–142.
  • Freudenthal, H., 1960. «Die Grundlagen der Geometrie um die Wende des 19. Jahrhunderts», Mathematisch-physikalische Semesterbericht, 7: 2–25.
  • Галло, С., Д. Хулин и Дж. Лафонтен, 2004. Риманова геометрия, Берлин: Springer, 3-е издание. (Современный учебник с решениями нечетных упражнений. Раздел посвящен «псевдо» -римановой геометрии, используемой в теории относительности.)
  • Гедымин, Дж., 1982. Наука и конвенция: очерки философии науки Анри Пуанкаре и традиционной традиции, Оксфорд: Пергамон.
  • Гринберг, MJ, 2008. Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история, Нью-Йорк: Фриман, 4-е издание. (Отличный инструмент для самостоятельного обучения на уровне старшеклассника или первокурсника колледжа.)
  • Heath, TL, 1956. Тринадцать Книг Элементов Евклида, переведенные из текста Хейберга с введением и комментарием, New York: Dover, 3 тома, 2-е издание, пересмотренное с дополнениями.
  • Magnani, L., 2001. Философия и геометрия: теоретические и исторические проблемы, Дордрехт: Kluwer.
  • Нагель Э., 1939. «Формирование современных концепций формальной логики в развитии геометрии», Осирис, 7: 142–224.
  • О'Нил, Б., 1983. Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности, Нью-Йорк: Academic Press.
  • Номидзу, К., 1956. Группы Ли и дифференциальная геометрия, Токио: Математическое общество Японии.
  • Ронан, М., 2008. «Теория лжи», в T. Gowers (ed.), Принстонский компаньон по математике, Принстон, Нью-Джерси: издательство Принстонского университета, стр. 229–234.
  • Розенфельд, Б. А., 1988. История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства, перевод Абэ Шеницер, Нью-Йорк: Springer.
  • Спивак, М., 1979. Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (5 томов), Беркли: Публикация или гибель, 2-е издание. (Содержит превосходный перевод на английский язык с математическим комментарием лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основе геометрии»; см. Том 2, с. 135 и далее.)
  • Торретти Р., 1978. Философия геометрии от Римана до Пуанкаре, Дордрехт: Рейдель. (Исправленная перепечатка: Дордрехт, Рейдель, 1984).
  • Трюдо, Р. Дж., 1987. Неевклидова революция, Бостон: Биркхойзер.
  • Winnie, JW, 1986. «Инварианты и объективность: теория с приложениями к теории относительности и геометрии», в RG Colodny (ed.), «От кварков к квазарам», Питтсбург: издательство Pittsburgh University Press, стр. 71–180.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

[Пожалуйста, свяжитесь с автором с предложениями.]

Рекомендуем: