Логическое следствие

Оглавление:

Логическое следствие
Логическое следствие

Видео: Логическое следствие

Видео: Логическое следствие
Видео: Максимально сильное логическое следствие 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Логическое следствие

Впервые опубликовано пт 7 января 2005 г.; существенная редакция чт 21 февраля 2019 г.

Хорошим аргументом является тот, чьи выводы вытекают из его предпосылок; его выводы являются следствием его посылок. Но в каком смысле выводы следует из посылок? Что для заключения быть следствием посылки? Эти вопросы во многом лежат в основе логики (как философской дисциплины). Рассмотрим следующий аргумент:

  1. Если мы взимаем высокую плату за университет, зачисляются только богатые.

    Мы берем высокую плату за университет.

    Таким образом, только богатые будут записываться.

Есть много разных вещей, которые можно сказать об этом аргументе, но многие сходятся во мнении, что если мы не двусмысленны (если термины означают одно и то же в предпосылках и заключении), то аргумент действителен, то есть вывод следует дедуктивно из помещения. Это не значит, что вывод верен. Возможно, помещения не соответствуют действительности. Однако, если предпосылки верны, то заключение также верно, как логика. Эта запись о связи между посылками и выводами в обоснованных аргументах.

Современный анализ концепции следствия - следствия из отношения - считают его необходимым и формальным, причем такие ответы часто объясняются с помощью доказательств или моделей (или, в некоторых случаях, обоих). Наша цель в этой статье - дать краткую характеристику некоторых понятий, которые играют центральную роль в современных представлениях о логических последствиях.

Мы должны отметить, что мы только выдвигаем на первый план некоторые из философских аспектов логического следствия, опуская почти все технические детали, а также исключая большое количество философских дискуссий по этой теме. Наше обоснование для того, чтобы делать так много, состоит в том, что можно получить технические детали и конкретные философские проблемы, которые их мотивировали, при взгляде на конкретные логики - специфические теории логических последствий (например, соответствующие логики, субструктурные логики, немонотонные логики, динамические логика, модальная логика, теории количественного определения и т. д.). (Более того, дебаты о почти любой особенности языковой структуры по сравнению с формой предложений, суждений, чувствительности к контексту, значения, даже истины имеют отношение к дебатам о логических последствиях, что делает исчерпывающее обсуждение практически невозможным. Наша цель здесь состоит в том, чтобы просто затронуть некоторые из самых основных вопросов, которые имеют ключевое значение для логических последствий.

  • 1. Дедуктивное и индуктивное следствие
  • 2. Формальное и материальное следствие
  • 3. Математические инструменты: модели и доказательства

    • 3.1 Теоретико-модельный учет логического следствия
    • 3.2 Теоретико-доказательственное обоснование логического следствия
    • 3.3 Между моделями и доказательствами
  • 4. Помещения и выводы
  • 5. Один или много?
  • Библиография

    • История логического следствия
    • События 20-го века
    • Философия логического следствия
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Дедуктивное и индуктивное следствие

Некоторые аргументы таковы, что (совместная) истинность посылок обязательно достаточна для правдивости выводов. В смысле логических следствий, являющихся центральными в современной традиции, такая «необходимая достаточность» отличает дедуктивную валидность от индуктивной валидности. В индуктивно обоснованных аргументах (совместная) истинность посылок весьма вероятно (но не обязательно) достаточна для истинности заключения. Индуктивно обоснованный аргумент таков, что, как его часто называют, его предпосылки делают его заключение более вероятным или более разумным (даже если заключение вполне может быть неверным, учитывая общую правду предпосылок). Аргумент

  1. Все наблюдаемые до сих пор лебеди были белыми.

    Смути лебедь.

    Поэтому Смути белый.

не является дедуктивным, потому что помещения не обязательно являются достаточными для заключения. Смузи вполне может быть черным лебедем.

Различия могут быть проведены между различными индуктивными аргументами. Некоторые индуктивные аргументы кажутся вполне разумными, а другие менее реальными. Есть много разных способов попытаться проанализировать индуктивные последствия. Мы могли бы рассмотреть степень, в которой предпосылки делают заключение более вероятным (вероятностное чтение), или мы могли бы проверить, действительно ли наиболее нормальные обстоятельства, при которых предпосылки являются истинными, делают вывод также верным. (Это приводит к некоторым видам дефолтного или немонотонного вывода.) Область индуктивных последствий сложна и важна, но мы оставим эту тему здесь и сосредоточимся на дедуктивной валидности.

(См. Записи об индуктивной логике и немонотонной логике для получения дополнительной информации по этим темам.)

Ограничение необходимости недостаточно для того, чтобы уладить понятие дедуктивной действительности, поскольку понятие необходимости также может быть реализовано несколькими способами. Сказать, что вывод обязательно следует из предпосылки, значит сказать, что аргумент каким-то образом исключительный, но есть много разных способов сделать эту идею точной.

Первый удар по понятию может использовать то, что мы сейчас называем метафизической необходимостью. Возможно, аргумент действителен, если (метафизически) невозможно, чтобы предпосылки были правдивыми, а заключение неверным, действительным, если - проведение фиксировало толкования предпосылок и выводов - в каждом возможном мире, в котором находятся эти помещения, то вывод. Предполагается, что это ограничение является необходимым условием для логического следствия (если может быть, что предпосылки верны, а заключение неверно, то нет никаких сомнений в том, что заключение не вытекает из предпосылок); однако, на большинстве счетов логического следствия, это не является достаточным условием для действительности. Многие признают существование апостериорных потребностей, таких как утверждение, что вода есть H (_ 2) O. Если это требование необходимо, то аргумент:

  1. (х) это вода.

    Следовательно, (x) есть H (_ 2) O.

обязательно сохраняет правду, но это, кажется, далеко от дедуктивного действия. Это было подлинное открытие, что вода - это H (_ 2) O, которая потребовала значительного эмпирического исследования. В то время как могут быть подлинные открытия действительных аргументов, которые мы ранее не признавали как таковые, совсем другое дело думать, что эти открытия требуют эмпирического исследования.

Альтернативная линия о необходимом виде необходимости превращается в концептуальную необходимость. С этой точки зрения вывод (3) не является следствием его предпосылки, учитывая, что это не концептуальная истина, что вода есть H (_ 2) O. Понятие вода и понятие (H_2O) случайно выбирают одно и то же свойство, но это соглашение частично определяется миром.

Подобная картина логики принимает следствие того, что является аналитически верным, и это не аналитическая истина, что вода есть H (_ 2) O. Слово «вода» и формула «H (_ 2) O» совпадают в продолжении (и обязательно так), но они не совпадают по смыслу.

Если метафизическая необходимость слишком груба, чтобы определить логическое следствие (поскольку может потребоваться сделать слишком много аргументов дедуктивно действительными), обращение к концептуальной или аналитической необходимости может показаться лучшим путем. Проблема, как утверждал Куайн, заключается в том, что различие между аналитической и синтетической (и аналогично, концептуальной и неконцептуальной) истинами не так просто, как мы могли подумать в начале 20-го века. (См. Статью об аналитическом / синтетическом различии.) Кроме того, многие аргументы кажутся правдоподобными только на основе одного анализа:

  1. Питер - сын брата матери Грега.

    Поэтому Питер - двоюродный брат Грега.

Можно понять, что вывод следует из предпосылок, исходя из понимания вовлеченных концепций. Не нужно ничего знать о личности Питера, двоюродного брата Грега. Тем не менее, многие считают, что (4) не имеет дедуктивной силы, несмотря на то, что его полномочия сохраняют истину на аналитических или концептуальных основаниях. Это не так широко, как могло бы быть, потому что это не так формально, как могло бы быть. Аргумент успешен только из-за определенных деталей вовлеченных семейных понятий.

Еще одной возможностью вычленить отличительное понятие необходимости, обосновывающее логическое следствие, является понятие априорности. Дедуктивно обоснованные аргументы, какими бы они ни были, могут быть известны без обращения к опыту, поэтому они должны быть узнаваемы априори. Ограничение априорности, безусловно, исключает аргумент (3) как дедуктивно действительный, и это правильно. Однако это не поможет исключить аргумент (4). Если мы возьмем такие аргументы, как (4), чтобы включить не вопросы дедуктивной валидности, а что-то еще, например, априорно понятное определение, тогда мы должны искать в другом месте характеристику логических следствий.

2. Формальное и материальное следствие

Самым сильным и наиболее распространенным предложением найти более узкий критерий логического следствия является обращение к формальности. Шаг в (4) от «Питер - сын брата матери Грега» к «Питер - мой двоюродный брат» - это материальное, а не формальное следствие, потому что для перехода от предпосылки к заключению нам нужно больше, чем структура или Форма заявленных претензий: мы должны понимать и их содержание.

Что может означать различие между формой и содержанием? Мы имеем в виду, что следствие является формальным, если оно зависит от формы, а не от сути притязаний. Но как это понимать? Мы дадим самое большее эскиз, который, опять же, может быть заполнен несколькими способами.

Первым очевидным шагом является то, что все представления правил логического следствия основаны на схемах. Силлогизм Аристотеля - гордый пример.

F er io: Нет (F) есть (G). Некоторая (H) есть (G). Следовательно, некоторое (H) не является (F).

Схемы логического вывода, подобные приведенной выше, отображают структуру допустимых аргументов. Возможно, сказать, что аргумент формально действителен, значит сказать, что он подпадает под некоторую общую схему, в которой каждый экземпляр действителен, например, F er io.

Это тоже неполное определение формальности. Материальный аргумент (4) является примером:

  1. (x) - сын брата (y) матери.

    Следовательно, (x) является двоюродным братом (y).

каждый экземпляр которого действителен. Мы должны сказать больше, чтобы объяснить, почему некоторые схемы считаются должным образом формальными (и, следовательно, достаточным основанием для логических последствий), а другие - нет. Общий ответ сформулирует понятие логической формы, которая сама по себе является важной проблемой (включая, среди прочего, понятие логических констант). Вместо того, чтобы исследовать детали различных кандидатов на логическую форму, мы упомянем различные предложения относительно сути упражнения.

Какой смысл требовать, чтобы валидность поддерживалась понятием логической формы? Существует как минимум три разных предложения для требуемого понятия формальности, и каждое из них дает разный вид ответа на этот вопрос.

Мы могли бы принять формальные правила логики как полностью нейтральные по отношению к определенным особенностям объектов. Законы логики, с этой точки зрения, должны абстрагироваться от особенностей объектов. Логика формальна в том смысле, что она совершенно общая. Один из способов охарактеризовать то, что считается абсолютно общим понятием, - это перестановки. Тарский предложил (1986), чтобы операция или предикат в области считалась общей (или логической), если она была инвариантной при перестановках объектов. (Перестановка набора объектов присваивает каждому объекту уникальный объект в этой коллекции, так что ни один объект не назначается более одного раза. Перестановка ({a, b, c, d }) может, для Например, назначьте (b) для (a, d) для (b, c) для (c) и (a) для (d).) A (2) предикат места (R) инвариантен относительно перестановки, если для любой перестановки (p),всякий раз, когда выполняется (Rxy), выполняется (Rp (x) p (y)). Вы можете видеть, что тождественное отношение инвариантно относительно перестановки: если (x = y), то (p (x) = p (y)) - но отношение матери - нет. У нас могут быть перестановки (p) такие, что хотя (x) является матерью (y), (p (x)) не является матерью (p (y)). Мы можем использовать перестановку для характеристики логичности не только для предикатов: мы можем сказать, что однозначное связующее связующее '(bullet)' инвариантно относительно перестановки тогда и только тогда, когда для всех (A), (p (bullet A)) верно тогда и только тогда, когда (bullet p (A)) верно. Определение этого строго требует установления того, как перестановки работают с предложениями, и это выводит нас за рамки данной статьи. Достаточно сказать, что такая операция, как отрицание, проходит проверку на инвариантность, но такая операция, как «JC считает, что» терпит неудачу.(Rp (x) p (y)) тоже верно. Вы можете видеть, что тождественное отношение инвариантно относительно перестановки: если (x = y), то (p (x) = p (y)) - но отношение матери - нет. У нас могут быть перестановки (p) такие, что хотя (x) является матерью (y), (p (x)) не является матерью (p (y)). Мы можем использовать перестановку для характеристики логичности не только для предикатов: мы можем сказать, что однозначное связующее связующее '(bullet)' инвариантно относительно перестановки тогда и только тогда, когда для всех (A), (p (bullet A)) верно тогда и только тогда, когда (bullet p (A)) верно. Определение этого строго требует установления того, как перестановки работают с предложениями, и это выводит нас за рамки данной статьи. Достаточно сказать, что такая операция, как отрицание, проходит проверку на инвариантность, но такая операция, как «JC считает, что» терпит неудачу.(Rp (x) p (y)) тоже верно. Вы можете видеть, что тождественное отношение инвариантно относительно перестановки: если (x = y), то (p (x) = p (y)) - но отношение матери - нет. У нас могут быть перестановки (p) такие, что хотя (x) является матерью (y), (p (x)) не является матерью (p (y)). Мы можем использовать перестановку для характеристики логичности не только для предикатов: мы можем сказать, что однозначное связующее связующее '(bullet)' инвариантно относительно перестановки тогда и только тогда, когда для всех (A), (p (bullet A)) верно тогда и только тогда, когда (bullet p (A)) верно. Определение этого строго требует установления того, как перестановки работают с предложениями, и это выводит нас за рамки данной статьи. Достаточно сказать, что такая операция, как отрицание, проходит проверку на инвариантность, но такая операция, как «JC считает, что» терпит неудачу. Вы можете видеть, что тождественное отношение инвариантно относительно перестановки: если (x = y), то (p (x) = p (y)) - но отношение матери - нет. У нас могут быть перестановки (p) такие, что хотя (x) является матерью (y), (p (x)) не является матерью (p (y)). Мы можем использовать перестановку для характеристики логичности не только для предикатов: мы можем сказать, что однозначное связующее связующее '(bullet)' инвариантно относительно перестановки тогда и только тогда, когда для всех (A), (p (bullet A)) верно тогда и только тогда, когда (bullet p (A)) верно. Определение этого строго требует установления того, как перестановки работают с предложениями, и это выводит нас за рамки данной статьи. Достаточно сказать, что такая операция, как отрицание, проходит проверку на инвариантность, но такая операция, как «JC считает, что» терпит неудачу. Вы можете видеть, что тождественное отношение инвариантно относительно перестановки: если (x = y), то (p (x) = p (y)) - но отношение матери - нет. У нас могут быть перестановки (p) такие, что хотя (x) является матерью (y), (p (x)) не является матерью (p (y)). Мы можем использовать перестановку для характеристики логичности не только для предикатов: мы можем сказать, что однозначное связующее связующее '(bullet)' инвариантно относительно перестановки тогда и только тогда, когда для всех (A), (p (bullet A)) верно тогда и только тогда, когда (bullet p (A)) верно. Определение этого строго требует установления того, как перестановки работают с предложениями, и это выводит нас за рамки данной статьи. Достаточно сказать, что такая операция, как отрицание, проходит проверку на инвариантность, но такая операция, как «JC считает, что» терпит неудачу.

Тесно связанный анализ формальности заключается в том, что формальные правила являются абсолютно абстрактными. Они абстрагируются от семантического содержания мыслей или утверждений, оставляя только семантическую структуру. Термины «мать» и «двоюродный брат» в основном вступают в спор (5). С этой точки зрения, такие выражения, как пропозициональные связки и квантификаторы, не добавляют новый семантический контент к выражениям, а вместо этого добавляют только способы объединения и структурирования семантического контента. Выражения «мама» и «двоюродный брат», напротив, добавляют новый смысловой контент.

Другой способ провести различие (или, возможно, провести другое различие) состоит в том, чтобы принять формальные правила логики как конститутивные нормы для мышления, независимо от его предмета. Можно утверждать, что независимо от того, о чем мы думаем, имеет смысл объединяться, разъединяться и отвергать наши мысли, чтобы создавать новые мысли. Также может иметь смысл дать количественную оценку. Таким образом, поведение логической лексики может использоваться для структурирования и регулирования любой теории, а нормы, регулирующие логическую лексику, применяются абсолютно повсеместно. Нормы действительного аргумента на этой картинке - это те нормы, которые применяются к мышлению независимо от конкретного содержания этой мысли. [1]

3. Математические инструменты: модели и доказательства

Техническая работа двадцатого века над понятием логического следствия была сосредоточена на двух различных математических инструментах: теории доказательств и теории моделей. Каждый из них можно рассматривать как объяснение различных аспектов концепции логического следствия, подкрепленных различными философскими взглядами.

3.1 Теоретико-модельный учет логического следствия

Мы охарактеризовали логическое следствие как необходимое сохранение истины в силу формы. Эта идея может быть объяснена формально. Можно использовать математические структуры для учета диапазона возможностей, в которых истина должна быть сохранена. Формальность логического следствия может быть объяснена формально, придавая особую роль логическому словарю, принимаемому за формирование форм предложений. Давайте посмотрим, как теория моделей помогает обеим этим задачам.

В модельно-ориентированном подходе к логическим следствиям аргумент обоснован отсутствием контрпримеров. Контрпример к аргументу - это, в общем, некоторый способ показать, каким образом предпосылки аргумента не приводят к выводу. Один из способов сделать это - предоставить аргумент той же формы, для которой предпосылки явно верны, а заключение явно ложно. Другой способ сделать это состоит в том, чтобы предоставить обстоятельства, при которых предпосылки верны, а заключение неверно. В современной литературе интуитивная идея контрпримера превращается в теорию моделей.

Точная структура модели будет зависеть от типа имеющегося языка (экстенсиональный / интенсиональный, первого / высшего порядка и т. Д.). Модель для расширенного языка первого порядка состоит из непустого набора, который составляет домен, и функции интерпретации, которая назначает каждому нелогическому термину расширение по домену - любое расширение, согласующееся с его семантическим типом (отдельные константы являются назначенными элементами для области функциональным символам назначаются функции от домена к самому себе, однозначным предикатам первого порядка назначаются подмножества домена и т. д.).

Современное теоретико-модельное определение логического следствия восходит к Тарскому (1936). Он основан на определении истины в модели, данной Тарским в (1935). Тарский рекурсивно определяет истинное предложение в модели, задавая условия истины (или удовлетворения) в логическом словаре. Например, конъюнкция истинна в модели тогда и только тогда, когда обе конъюнкты истинны в этой модели. Универсально выраженное предложение (forall xFx) истинно в модели тогда и только тогда, когда каждый экземпляр истинен в модели. (Или, с точки зрения Тарского, удовлетворенности, если и только если открытое предложение (Fx) удовлетворяется каждым объектом в области модели. Подробнее о том, как это сделать, см. Статью об определениях истинности Тарского.) Теперь мы можем определить логическое следствие как сохранение правды над моделями:Аргумент действителен, если в любой модели, в которой посылки верны (или в любой интерпретации посылок, согласно которой они верны), заключение также верно.

Теоретическое определение модели является одним из наиболее успешных математических объяснений философской концепции на сегодняшний день. Он обещает охватить как необходимость логического следствия - путем рассмотрения истины во всех моделях, так и формальность логического следствия - путем варьирования интерпретаций нелогического словаря в разных моделях: аргумент действителен независимо от значения нелогического словаря. Тем не менее, модели - это просто наборы, которые являются просто математическими объектами. Как они учитывают диапазон возможностей или требуемые обстоятельства? Джон Этчеменди (1990) предлагает две перспективы для понимания моделей. На репрезентативном подходе каждая модель используется для представления возможного мира. Если аргумент сохраняет правду над моделями, тогда мы гарантируем, что он сохраняет правду над возможными мирами,и если мы примем отождествление необходимости с истиной во всех возможных мирах, мы получим необходимое сохранение истины с логическим следствием. Проблема этого подхода заключается в том, что он отождествляет логическое следствие с метафизическим следствием и не учитывает формальность логического следствия. На репрезентативном подходе нет никаких оснований для различия между логическим и нелогическим словарем, и нет объяснения того, почему интерпретации нелогического словаря максимально различны. Второе представление о моделях обеспечивается интерпретационным подходом, при котором каждая модель присваивает расширения нелогическому словарю из реального мира: между моделями различается не изображаемый мир, а значение терминов. Здесь беспокоит то, что необходимость не уловлена. Например, при обычном делении словаря на логический и нелогический, идентичность считается логическим термином и может использоваться для формирования утверждений о количестве элементов в области (например, «есть как минимум две вещи»), которые верны при каждой реинтерпретации, но, возможно, не обязательно верны. При таком подходе нет оснований рассматривать модели с доменами, отличными от вселенной того, что действительно существует, и, в частности, нет объяснения использования теорией моделей доменов разных размеров. Каждый подход, как описано здесь, имеет недостатки в отношении нашего анализа логических последствий как необходимых и формальных. Интерпретационный подход, рассматривая только реальный мир, не учитывает необходимость, а репрезентативный подход не учитывает формальность (подробнее см. Etchemendy 1990,Sher 1996 и Shapiro 1998, а уточнения см. Etchemendy 2008). Возможным ответом на Etchemendy было бы смешать репрезентативные и интерпретационные перспективы, рассматривая каждую модель как представляющую возможный мир при переосмыслении нелогического словаря (Shapiro 1998, см. Также Sher 1996 и Hanson 1997 для альтернативных ответов).

Одной из основных задач, поставленных теоретико-модельным определением логического следствия, является различие между логическим и нелогическим словарем. Логический словарь определяется во всех моделях рекурсивными предложениями (такими, как упомянутые выше для соединения и универсального квантификатора), и в этом смысле его значение является фиксированным. Выбор логического словаря определяет класс моделей, рассматриваемых при оценке достоверности, и, таким образом, определяет класс логически обоснованных аргументов. Теперь, хотя каждый формальный язык обычно определяется с помощью выбора логического словаря, можно попросить о более принципиальной характеристике логического словаря. Тарский оставил вопрос о принципиальном различении открытым в 1936 году и дал лишь линии релятивистской позиции:с помощью которого различные варианты логического словаря могут быть допустимы. Другие предложили критерии логичности, требуя, чтобы логические константы были надлежащим образом формальными, общими или тематически нейтральными (ссылки и подробности см. В статье о логических константах). Обратите внимание, что выбор логического словаря является частным случаем установки ограничений на класс моделей, которые будут использоваться. Было высказано предположение, что упор на критерии для логической лексики упускает этот момент и что в более общем плане вопрос заключается в том, какие семантические ограничения следует принять, ограничивая допустимые модели для языка (Sagi 2014a, Zinke 2017). Обратите внимание, что выбор логического словаря является частным случаем установки ограничений на класс моделей, которые будут использоваться. Было высказано предположение, что упор на критерии для логической лексики упускает этот момент и что в более общем плане вопрос заключается в том, какие семантические ограничения следует принять, ограничивая допустимые модели для языка (Sagi 2014a, Zinke 2017). Обратите внимание, что выбор логического словаря является частным случаем установки ограничений на класс моделей, которые будут использоваться. Было высказано предположение, что упор на критерии для логической лексики упускает этот момент и что в более общем плане вопрос заключается в том, какие семантические ограничения следует принять, ограничивая допустимые модели для языка (Sagi 2014a, Zinke 2017).

Другая проблема, с которой сталкивается теоретико-модельное объяснение, связана с ограниченностью его теоретико-множественной основы. Напомним, что модели являются комплектами. Беспокойство заключается в том, что сохранение правды по сравнению с моделями может не гарантировать необходимого сохранения правды, более того, оно может даже не гарантировать материального сохранения правды (сохранение правды в реальном мире). Причина в том, что каждый домен модели является набором, но реальный мир предположительно содержит все наборы, и поскольку коллекция, которая включает в себя все наборы, слишком «большая», чтобы быть набором (он представляет собой надлежащий класс), фактический мир не учитывается ни одной моделью (см. Shapiro 1987).

Одним из способов справиться с этим беспокойством является использование внешних средств, таких как теория доказательств, в поддержку теоретико-модельного определения. Это сделано Георгом Крейзелем в его «аргументе сжатия», который мы представляем в разделе 3.3. Аргументация Крейзеля в решающей степени зависит от того, на каком языке речь идет о наличии надежной и полной системы доказательств. Другой вариант заключается в использовании теоретико-множественных принципов отражения. Вообще говоря, принципы отражения утверждают, что все, что верно для вселенной множеств, уже верно в ее начальном сегменте (который всегда является множеством). Если принципы отражения приняты, то, по крайней мере, что касается соответствующего языка, можно утверждать, что аргумент действителен тогда и только тогда, когда не существует контр-сет-модели (см. Kreisel 1967, Shapiro 1987, Kennedy & Väänänen 2017).

Наконец, объяснение логических последствий в терминах истины в моделях обычно предпочитают «реалисты», которые считают истинность предложений независимой от того, что может быть известно. Объяснение логического следствия с точки зрения истины в моделях довольно близко к объяснению логического следствия с точки зрения истины, и анализ истины в модели иногда считается объяснением истины с точки зрения соответствия, как правило, реалистического понятия., Некоторые, однако, рассматривают логическое следствие как наличие необходимого эпистемического компонента, связанного с тем, как мы устанавливаем заключение на основе предпосылок. «Антиреалисты», которые избегают воспринимать истину (или, по крайней мере, переписку-истину) в качестве объяснительного понятия, обычно предпочитают объяснять логическое следствие в терминах доказательства - к которому мы обратимся далее.

3.2 Теоретико-доказательственное обоснование логического следствия

При центрированном на доказательствах подходе к логическим следствиям обоснованность аргумента сводится к тому, чтобы быть доказательством выводов из предпосылок. Точно, что доказательства - большая проблема, но идея довольно проста (по крайней мере, если вы подвергались какой-либо системе доказательств или другой). Доказательства состоят из небольших шагов, принципов примитивного вывода системы доказательств. В 20-м веке наблюдалось очень много различных видов систем доказательств, от так называемых доказательств Гильберта с простыми правилами и сложными аксиомами, до систем естественного вывода с несколькими (или даже без) аксиомами и очень многими правилами.

Основанный на доказательствах подход выдвигает на первый план эпистемологические аспекты логического следствия. Доказательство не просто подтверждает правильность аргумента: оно предоставляет шаги, с помощью которых мы можем установить эту достоверность. И поэтому, если у аргументатора есть основания для обоснования аргумента, и они делают вывод через ряд применений действующих правил вывода, они тем самым получают основания для заключения (см. Prawitz 2012). Можно пойти дальше и присоединиться к инференциализму, точке зрения, по которой значение выражений определяется их ролью в умозаключении. Идея состоит в том, что наше использование лингвистического выражения регулируется правилами, и для понимания выражения достаточно освоить правила. Это дает нам предварительное ограничение на то, какими могут быть семантические значения выражений:они не могут делать какие-либо различия, не учитываемые правилами. Затем можно пойти еще дальше и отвергнуть любое значение, выходящее за рамки правил, приняв более поздний витгенштейновский лозунг «смысл есть использование». Антиреалисты одобряют эту точку зрения о значении, поскольку значение этой точки зрения полностью объясняется тем, что можно понять.

Условие необходимости логического следствия получает новую интерпретацию в доказательственно-ориентированном подходе. Условие может быть переформулировано таким образом: в действительном аргументе истинность заключения следует из истинности предпосылок по необходимости мышления (Prawitz 2005). Давайте разберем эту формулировку. Истина понимается конструктивно: предложения являются истинными в силу потенциальных доказательств для них, а факты, описываемые истинными предложениями, таким образом воспринимаются как построенные с точки зрения потенциальных доказательств. (Обратите внимание, что можно полностью отказаться от ссылки на истину и вместо этого говорить об утверждении или принятии предложений.) Теперь необходимость мысли, с помощью которой аргумент является действительным, объясняется значением задействованных терминов, что вынуждает нас принять истинность заключения дана из истинности посылки. Значения выражений,в свою очередь, понимаются через правила, регулирующие их использование: обычные условия истинности уступают место проверочным условиям формул, содержащих выражение.

Таким образом, можно обеспечить теоретико-доказательную семантику для языка (Schroeder-Heister 1991). Представляя свою систему естественных дедукций, Генцен отметил, что правила введения для логических выражений представляют их «определения», а правила исключения являются следствием этих определений (Gentzen 1933). Например, правило введения для конъюнкции диктует, что конъюнкция (A / amp B) может быть выведена из обоих конъюнктов (A) и (B), и это правило фиксирует значение связки. Наоборот, правило исключения для соединения говорит, что из (A / amp B) можно вывести как (A), так и (B). Правила универсального квантификатора говорят нам, что из универсально квантифицированного утверждения (forall xFx) мы можем вывести любой экземпляр (Fa), и мы можем вывести (forall xFx) из экземпляра (Fa),при условии, что не было сделано никаких других предположений, касающихся имени (a). При определенных требованиях можно показать, что правило исключения подтверждается правилом введения.

Одной из основных проблем для подхода, основанного на доказательствах, является различие между правилами, которые действительно определяют смысл, и теми, которые не являются таковыми. Некоторые правила для соединительных элементов, если их добавить в систему, приведут к тривиальности. До (1960) предложил следующие правила для соединительного «(tonk)». Правило введения гласит, что из (A) можно вывести (A / tonk B), а правило исключения гласит, что из (A / tonk B) можно вывести (B). С введением этих правил система становится тривиальной, если хотя бы одна вещь доказуема, поскольку из любого предположения (A) можно сделать любой вывод (B). Некоторые ограничения должны быть наложены на правила вывода, и большая часть последующей литературы была посвящена этим ограничениям (Belnap 1962, Dummett 1991, Prawitz 1974).

Чтобы систематизировать понятия доказательства и валидности, Правитц ввел понятие канонического доказательства. Предложение может быть доказано несколькими различными способами, но именно прямое или каноническое доказательство составляет его значение. Каноническое доказательство - это доказательство, последним этапом которого является применение правила введения, и его непосредственные подкрепления являются каноническими (если только они не имеют свободных переменных или невыполненных предположений - подробности см. В Prawitz 2005). Каноническое доказательство понимается как прямое доказательство доказанного предложения, поскольку оно устанавливает истинность предложения правилом, определяющим значение его связок. Для получения дополнительной информации о канонических доказательствах и способах, которыми к ним можно привести другие доказательства, см. Статью о теоретико-доказательной семантике.

Мы указали, как условие необходимости может быть интерпретировано в подходе, основанном на доказательствах. Условие формальности может быть учтено также. Обратите внимание, что и в настоящем аспекте существует разделение словаря на логический и нелогический. Это деление можно использовать для определения подстановки аргумента. Подстановка аргумента - это аргумент, полученный из исходного путем замены нелогических терминов терминами из одной и той же синтаксической категории единообразным образом. Определение действительности, которое соблюдает условие формальности, повлечет за собой то, что аргумент является действительным, если и только если все его замены являются действительными, и в настоящем контексте это требование, чтобы было доказательство всех его замен. Это условие выполняется в любой системе доказательств, где правила даются только для логического словаря. Конечно, и в подходе, основанном на доказательствах, возникает вопрос о различении логического словаря (см. Статью о логических константах).

Наконец, следует отметить, что теоретическая семантика доказательства может быть дана для классической логики, а также для множества неклассических логик. Однако из-за эпистемического антиреалистического подхода, лежащего в основе подхода, основанного на доказательствах, его сторонники обычно отстаивали интуиционистскую логику (см. Dummett 1991).

Более подробно об ориентированной на доказательства перспективе и теоретической семантике см. Статью о теоретико-доказательной семантике.

3.3 Между моделями и доказательствами

Теоретико-доказательная и теоретико-модельная перспективы рассматривались как обеспечивающие конкурирующее изложение логических последствий. Однако можно также рассматривать «логическое следствие» и «обоснованность» как выражение кластерных концепций: «Ряд различных, тесно связанных между собой понятий идут под этими именами. Они затрагивают вопросы модальности, значения, эффективности, обоснованности, рациональности и формы »(Shapiro 2014). Можно также отметить, что разделение между теоретико-модельной и теоретико-теоретической перспективами является современным, и оно стало возможным только тогда, когда были разработаны инструменты для метаматематических исследований. Например, Begriffsschrift Фреге, который предшествовал разработке этих инструментов, сформулирован как аксиоматическая система доказательств, но значения связок даны через условия истинности.

Когда есть два разных анализа отношения логических последствий, можно спросить о возможных взаимодействиях, и мы сделаем это дальше. Можно также спросить, какие общие черты имеет такое отношение независимо от его анализа как теоретико-доказательственное или теоретико-модельное. Один из способов ответить на этот вопрос восходит к Тарскому, который ввел понятие последствий операций. Для наших целей отметим только некоторые особенности таких операций. Пусть (Cn (X)) - следствия (X). (Можно думать об операторе (Cn) как о производном от предыдущего отношения следствия, которое, принимая (X) в качестве набора «вход (или предпосылка)», говорит вам, что следует из (X). Но Можно также увидеть «процесс» в обратном порядке, и ключевой момент заключается в том, что отношения последствий и соответствующие операции, по сути, являются взаимозависимыми. Подробности смотрите в статье об алгебраической пропозициональной логике. Среди некоторых минимальных условий, которые могут быть наложены на отношение следствия, следующие два (из Тарского):

  1. (X) является подмножеством (Cn (X)).
  2. (Cn (Cn (X)) = Cn (X)).

Если вы думаете о (X) как о наборе утверждений, то первое условие говорит вам, что последствия набора утверждений включают в себя сами утверждения. Второе условие требует, чтобы последствия (X) были просто последствиями последствий (X). Оба эти условия могут быть мотивированы из размышлений о теоретико-модельном и теоретико-теоретическом подходах; и есть другие такие условия тоже. (Для общего обсуждения см. Статью об алгебраической логике высказываний.) Но, как и во многих фундаментальных вопросах (например, «каковы основные характеристики отношений следствий в целом?»), Даже такие минимальные условия являются спорными в философской логике и философия логики. Например, некоторые могут считать условие (2) нежелательным на том основании, что по причинам неопределенности (или более)отношения важных последствий над естественными языками (как бы они ни были формализованы), как правило, не являются транзитивными способами, отраженными в (2). (См. Tennant 1994, Cobreros et al 2012 и Ripley 2013, для философских мотивов против переходных последствий.) Но мы оставляем эти вопросы для более углубленного обсуждения.

Хотя философское разделение между реалистами и антиреалистами остается огромным, во многих случаях объединенные (по крайней мере, в отношении расширения) ориентированные на доказательство и основанные на моделях описания последствий были объединены. Теоремы об обоснованности и полноте для разных систем доказательств (или, с другой стороны, для разных теоретико-модельных семантик) показывают, что в важном смысле оба подхода часто совпадают, по крайней мере, в продолжении. Система доказательств является надежной по отношению к теоретико-модельной семантике, если каждый аргумент, имеющий доказательство в системе, теоретически верен. Система доказательств является полной относительно теоретико-модельной семантики, если у каждого теоретически обоснованного аргумента модели есть доказательство в системе. В то время как разумность является основным условием любой системы доказательств, достойной своего названия, полнота не всегда может ожидаться. По общему признанию,эти определения смещены в сторону теоретико-модельной перспективы: теоретико-модельная семантика устанавливает стандарт того, что является «звуковым» и «полным». Если оставить в стороне терминологические вопросы, если система доказательств является как надежной, так и полной по отношению к теоретико-модельной семантике (как, что существенно, в случае логики предикатов первого порядка), то система доказательств и теоретико-модельная семантика договариваются о том, какие аргументы действительны.тогда система доказательств и теоретико-модельная семантика договариваются о том, какие аргументы верны.тогда система доказательств и теоретико-модельная семантика договариваются о том, какие аргументы верны.

Результаты полноты могут также поддержать адекватность теоретико-модельного объяснения, как в «аргументе Крайзеля». Мы отметили слабость теоретико-модельного объяснения: все модели являются множествами, и, возможно, ни одна модель не представляет реальный мир. Крейзель показал, что если у нас есть система доказательств, которая «интуитивно понятна» и полна относительно теоретико-модельной семантики, мы не упустим ни одной модели: каждый интуитивно верный аргумент будет иметь контр-модель. Пусть (L) - язык первого порядка. Пусть (Val) обозначает множество интуитивно верных аргументов в (L). Kreisel принимает интуитивную валидность как сохранение правды во всех структурах (независимо от того, установлены они или нет). Его анализ предпочитает модальный анализ логических следствий, но обратите внимание, что слабость, к которой мы обращаемся, заключается в том, что рассмотрения теоретико-множественных структур может быть недостаточно. Обозначим через (V) множество теоретико-модельных истинностей в (L): аргументы, сохраняющие истину над моделями. Пусть (D) - множество дедуктивно допустимых аргументов некоторой принятой системой доказательств для логики первого порядка. Теперь любая такая система доказательств является «интуитивно обоснованной», а это означает, что то, что дедуктивно действует в системе, является интуитивно допустимым. Это дает нам (D / subseteq Val). И, очевидно, согласно определениям, которые мы дали, (Val / subseteq V), поскольку аргумент, который сохраняет правду над всеми структурами, будет сохранять правду над множествами-структурами. Пусть (D) - множество дедуктивно допустимых аргументов некоторой принятой системой доказательств для логики первого порядка. Теперь любая такая система доказательств является «интуитивно обоснованной», а это означает, что то, что дедуктивно действует в системе, является интуитивно допустимым. Это дает нам (D / subseteq Val). И, очевидно, согласно определениям, которые мы дали, (Val / subseteq V), поскольку аргумент, который сохраняет правду над всеми структурами, будет сохранять правду над множествами-структурами. Пусть (D) - множество дедуктивно допустимых аргументов некоторой принятой системой доказательств для логики первого порядка. Теперь любая такая система доказательств является «интуитивно обоснованной», а это означает, что то, что дедуктивно действует в системе, является интуитивно допустимым. Это дает нам (D / subseteq Val). И, очевидно, согласно определениям, которые мы дали, (Val / subseteq V), поскольку аргумент, который сохраняет правду над всеми структурами, будет сохранять правду над множествами-структурами.

По результату полноты логики первого порядка имеем: (V) ⊆ (D). Соединяя три включения («сжатие»), мы получаем, что все три набора должны быть равны, и в частности: (V = Val). Таким образом, мы доказали, что если существует некоторая структура, которая является контрпримером к аргументу первого порядка, то существует теоретико-множественная.

Другая область взаимодействия между теоретико-доказательственной и теоретико-модельной перспективами связана с определением логического словаря. Например, можно придерживаться «умеренного» инференциалистского взгляда, который определяет значения логических связок через их семантику (то есть условия истинности), но требует, чтобы значение связки определялось правилами вывода. Карнап отлично показал, что классические правила вывода допускают нестандартные интерпретации логических выражений (Carnap 1943). Многие недавние работы в этой области были посвящены точному характеру и масштабам проблемы категоричности Карнапа (Raatikainen 2008, Murzi and Hjortland 2009, Woods 2012, Garson 2013, Peregrin 2014, Bonnay and Westerståhl 2016. См. Также статью о связях предложений в формальная логика).

Наконец, мы должны отметить, что, хотя теория моделей и теория доказательств являются наиболее заметными претендентами на объяснение логических следствий, существуют альтернативные структуры формальной семантики, такие как алгебраическая семантика, теоретико-игровая семантика и динамическая семантика (см. Wansig 2000).

4. Помещения и выводы

Даже во времена Аристотеля также существовало несогласие с «формой» логического следствия. В частности, нет определенного консенсуса в отношении количества предпосылок или выводов, подходящих для «связывания» взаимосвязи последствий.

В силлогизме Аристотеля силлогизм связывает два или более предпосылок и один вывод. На самом деле Аристотель сосредотачивается на аргументах с двумя предпосылками (основной предпосылкой и второстепенной предпосылкой), но ничто в его определении не запрещает аргументы с тремя и более предпосылками. Конечно, такие аргументы должны быть разрешены: если, например, у нас есть один силлогизм из двух предпосылок (A) и (B) к выводу (C), а у нас есть другой из предпосылок (C) и (D) к выводу (E), то в некотором смысле более длинный аргумент из посылок (A, B) и (D) к выводу (E) является хорошим один. Это можно найти, связав воедино два меньших аргумента. Если два исходных аргумента формально действительны, то также более длинный аргумент из трех предпосылок. С другой стороны, при общепринятом прочтении аристотелевского определения силлогизмаоднозначные аргументы исключены, но это кажется произвольным, так как даже собственные «конверсионные» выводы Аристотеля, таким образом, исключаются.

По этим причинам многие приняли логическое следствие для объединения произвольного (возможно, бесконечного) набора посылок с одним выводом. Эта учетная запись обладает дополнительным преимуществом наличия особого случая пустой коллекции помещений. Аргументами к заключению ни из каких предпосылок не являются те, в которых заключение истинно только с помощью логики. Такие «выводы» представляют собой логические истины (иногда тавтологии) или, на основе подхода, основанного на доказательствах, теоремы.

Возможно, есть причина, по которой понятие логического следствия может применяться еще шире. В теории доказательств Генцена для классической логики определено понятие следствия, которое сохраняется между множественными предпосылками и множественными выводами. Аргумент из набора (X) посылок в набор (Y) выводов действителен, если истинность каждого члена (X) гарантирует (в соответствующем смысле) истинность некоторого члена (Y). Нет сомнений в том, что это формально очевидно, но философская применимость смысла логических следствий с множественными предпосылками и множественными выводами остается открытой философской проблемой. В частности, те антиреалисты, которые берут логические следствия для определения в терминах доказательств (например, Майкл Дамметт), отвергают множественные выводы анализа логических следствий. Для антиреалистов,кто делает хороший вывод, чтобы охарактеризовать способ передачи ордера от предпосылки к заключению, кажется, что многократный анализ логических последствий исключен. В аргументе множественного вывода из (A) в (B, C) любой ордер на (A), который у нас есть, не обязательно передает (B) или (C): единственный вывод нам нужно нарисовать это дизъюнкция (B) или (C), поэтому для анализа последствий с точки зрения ордера нам необходимо понять некоторый логический словарь (в данном случае дизъюнкцию), чтобы понять отношение следствия. Это неприемлемо, если мы надеемся использовать логические последствия в качестве инструмента для определения этого логического словаря. Похоже, таких проблем не возникает при едином заключении. (Тем не мение,см. Restall (2005) для защиты последствий множественных выводов для антиреалистов; и см. Beall (2011) о защите некоторых субклассических логик с множественными выводами на службе неклассических решений парадокса.)

Другая линия, по которой понятие было расширено (или по которому некоторые пытались его расширить), включает недавнюю работу над субструктурной логикой. Предложение здесь состоит в том, что мы можем рассмотреть возможность обходиться без некоторых стандартных правил, регулирующих способ объединения предпосылок (или выводов) аргумента. Структурные правила имеют дело с формой или структурой аргумента в смысле способа, которым собраны посылки и выводы, а не способа, которым построены эти утверждения. Например, структурное правило ослабления гласит, что если аргумент из некоторой совокупности посылок (X) к выводу (C) действителен, то аргумент из (X) вместе с другой предпосылкой (A) к выводу (С) также справедливо. Некоторым это правило показалось проблематичным (главным образом на том основании, что нет необходимости использовать дополнительную предпосылку (A) при выводе заключения (C) и, следовательно, (C) не следует из помещение (X, A) в соответствующем смысле). Соответствующие логики призваны уважать эту мысль и обходиться без структурного правила ослабления. (Для теоретико-доказательной картины см. Negri and von Plato (2001).)

Другие структурные правила также подвергаются сомнению. Другое возможное применение субструктурной логики находится в анализе парадоксов, таких как парадокс Карри. Критическое движение в рассуждениях в парадоксе Карри и других парадоксах, подобных этому, кажется, требует шага, сводящего два применения предположения к одному (которое затем сбрасывается). По мнению некоторых, этот шаг проблематичен, и поэтому они должны различать аргумент от (A) до (B) и аргумент от (A, A) до (B). Правило сокращения отклоняется.

В других примерах важен порядок, в котором используются предпосылки, и аргумент от (A, B) до (C) следует отличать от аргумента от (B, A) до (C). (За более подробной информацией обращайтесь к статье о субструктурной логике.) Нет сомнений в том, что формальные системы субструктурной логики изящны и интересны, но аргумент в пользу философской важности и применимости субструктурной логики не закрыт.

5. Один или много?

Мы затронули лишь несколько центральных аспектов понятия логического следствия, оставляя дальнейшие проблемы, дебаты и, в частности, детали, возникающие в конкретных отчетах (отчетах, которые хорошо представлены в этой энциклопедии). Но даже быстрый взгляд на соответствующий раздел ссылок (ниже) свидетельствует о довольно большом количестве различных логических теорий, из которых следует, что (логически) следует из чего. И это наблюдение поднимает вопрос, с которым мы закроем: есть ли какое-то понятие логического следствия, которое является целью всех таких теорий, или их много?

Мы все согласны с тем, что существует много разных формальных методов изучения логических следствий, и очень много разных формальных систем, каждая из которых предлагает разные отношения логических следствий. Но учитывая конкретный аргумент, является ли вопрос относительно того, является ли он дедуктивно действительным делом "все или ничего"? Православие, логический монизм, отвечает утвердительно. Существует одно отношение дедуктивного следствия, и разные формальные системы лучше или хуже моделируют это отношение. (См., Например, Priest 1999 о защите монизма.) Логический контекстуалист или релятивист говорит, что достоверность аргумента зависит от предмета или системы отсчета или какого-либо другого контекста оценки. (Например, использование закона исключенного среднего может быть допустимым в классическом учебнике математики,но не в интуиционистском учебнике по математике или в контексте, в котором мы рассуждаем о художественной литературе или неясных вопросах.) С другой стороны, логический плюралист говорит, что одного и того же аргумента в одном и том же контексте иногда бывают разные вещи нужно сказать относительно его действительности. Например, возможно, следует сказать, что аргумент от противоречивой совокупности посылок к несвязанному заключению действителен в том смысле, что в силу своей формы это не тот случай, когда посылки верны, а вывод неверен (поэтому он действителен в одном точном смысле), но, тем не менее, в другом смысле форма аргумента не гарантирует, что истинность посылок приводит к истинности заключения. Монист или контекстуалист считает, что в случае одного аргумента должен быть найден единственный ответ на вопрос о его обоснованности. Плюралист отрицает это. Плюралист считает, что само понятие логического следствия может быть уточнено более чем одним способом, точно так же, как первоначальная идея «хорошего аргумента» превращается в дедуктивную и индуктивную валидность (см. Beall and Restall 2000 для защиты плюрализма).,

Библиография

История логического следствия

Экспозиции

  • Коффа, Дж. Альберто, 1993, Семантическая традиция от Канта до Карнапа, Линда Вессельс (ред.), Кембридж: издательство Кембриджского университета.

    Исторический отчет о кантовских истоках возникновения аналитической философии и ее развития от Больцано до Карнапа.

  • Kneale, W. and Kneale, M., 1962, Развитие логики, Оксфорд: издательство Оксфордского университета; переиздан, 1984.

    Классический текст по истории логики до середины 20-го века.

Исходный материал

  • Эвальд, Уильям, 1996, От Канта до Гильберта: сборник материалов по основам математики (тома I и II), Оксфорд: издательство Оксфордского университета.

    Перепечатки и переводы важных текстов, в том числе Больцано о логических последствиях.

  • van Heijenoort, Jean, 1967, From Frege to Gödel: сборник по математической логике, 1879–1931, Кембридж, Массачусетс, издательство Гарвардского университета.

    Перепечатки и переводы центральных текстов в развитии логики.

  • Husserl, Edmund, 1900 [2001], Logical Investigations (тома 1 и 2), JN Findlay (перевод), Dermot Moran (вводный), Лондон: Routledge.
  • Милл, Джон Стюарт, 1872 [1973], «Система логики» (8-е издание), в книге Дж. М. Робсона (ред.), Собрание сочинений Джона Стюарта Милля (тома 7 и 8), Торонто: Университет Торонто Пресс.

События 20-го века

  • Андерсон А. Р. и Белнап Н. Д., 1975, «Заключение: логика актуальности и необходимости» (том I), Принстон: издательство Принстонского университета.
  • Anderson, AR, Belnap, ND Jr., и Dunn, JM, 1992, Entailment (том II), Принстон: издательство Принстонского университета.

    Эта и предыдущая книги обобщают работу в соответствующей логике в традиции Андерсона-Белнапа. В некоторых главах этих книг есть другие авторы, такие как Роберт К. Мейер и Аласдэр Уркхарт.

  • Дамметт, Майкл, 1991 Логические основы метафизики, Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета.

    Инновационное использование естественных доказательств дедукции для предоставления антиреалистичного объяснения логических последствий как центральной части теории смысла.

  • Gentzen, Gerhard, 1969, Сборник статей Герхарда Генцена, ME Szabo (ed.), Амстердам: Северная Голландия.
  • Манкосу, Паоло, 1998, От Брауэра до Гильберта, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.

    Перепечатки и переводы исходного материала о конструктивистских дебатах по основам математики в 1920-х гг.

  • Негри, Сара и фон Платон, январь 2001 г., Теория структурного доказательства, Кембридж: издательство Кембриджского университета.

    Очень доступное изложение так называемой теории структурного доказательства (которая включает отказ от некоторых стандартных структурных правил в основе теории доказательства для классической логики).

  • Shoesmith DJ and Smiley, TJ, 1978, Логика множественных выводов, Кембридж: издательство Кембриджского университета.

    Первая полномасштабная экспозиция и защита представления о том, что логическое следствие связывает несколько посылок и множество выводов.

  • Restall, Грег, 2000, Введение в субструктурную логику, Лонд: Routledge. (Précis доступен онлайн)

    Введение в область субструктурной логики.

  • Тарский, Альфред, 1935, «Концепция истины в формализованных языках», Дж. Х. Вудгер (пер.), Тарский, 1983, с. 152–278.
  • –––, 1936, «О концепции логического следствия», Дж. Х. Вудгер (пер.), В Tarski 1983, pp. 409–420.
  • –––, 1983, Логика, Семантика, Метаматематика: статьи с 1923 по 1938 год, второе издание, Дж. Х. Вуджер (пер.), Дж. Коркоран (ред.), Индианаполис, И. Н. Хакет.

Философия логического следствия

Есть много (много) других работ на эту тему, но библиографии ниже будут служить подходящим ресурсом для исследования области.

  • Аврон, Арнон, 1994, «Что такое логическая система?» в Что такое логическая система?, Д. М. Габбей (ред.), Оксфорд: Кларендон Пресс (Исследования в области логики и вычислений: том 4), с. 217–238.
  • Beall, Jc, 2011, «Множественный вывод LP и классичность по умолчанию», Обзор символической логики, 4 (2): 326–336.
  • Beall, Jc and Restall, Greg, 2000, «Logical Pluralism», Australasian Journal of Philosophy, 78: 457–493.
  • Belnap, Nuel D., 1962, «Тонк, Плонк и Плинк», Анализ, 22 (6): 130–134.
  • Bonnay, Denis and Westerståhl, Dag, 2012, «Изучение последствий: константы против отношений следствий», Journal of Philosophical Logic, 41 (4): 671–709.
  • –––, 2016, «Композиционность решает проблему Карнапа», Erkenntnis, 81 (4): 721–739.
  • Брандом, Роберт, 1994, «Делая это явным», Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета. [См. Особенно главы 5 и 6 относительно логических последствий, согласно которым истина не является фундаментальным объяснительным понятием.]
  • Caret, Colin R. и Hjortland, Ole T. (eds.), 2015, Основы логического следствия, Оксфорд: издательство Oxford University Press.
  • Карнап, Рудольф, 1943, формализация логики, Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета.
  • Кобрерос, Пабло; Эгре, Поль; Рипли, Дэвид и ван Рой, Роберт, 2012, «Терпимость и смешанные последствия в оценочной среде», Studia Logica, 100 (4): 855–877.
  • Etchemendy, Джон, 1990, Концепция логического следствия, Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета.
  • –––, 2008, «Размышления о следствии», в D. Patterson (ed.), 2008.
  • Гарсон, Джеймс В., 2013, Что означает логика: от теории доказательства к теоретико-модельной семантике, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Гомес-Торренте, Марио, 1996, «Тарски о логическом следствии», Нотр-Дамский журнал формальной логики, 37: 125–151.
  • Hanson, William H., 1997, «Концепция логического следствия», The Philosophical Review, 106 (3): 365–409.
  • Кеннеди, Джульетта и Вяянянен, Jouko, 2017, «Сжатие аргументов и сильная логика», в Ханнес Лейтгеб, Илкка Ниинилуото, Эллиот Собер и П. Сеппяля (ред.), Логика, Методология и Философия науки: Труды Пятнадцатый международный конгресс (CLMPS 2015), Лондон: публикации колледжа.
  • Kreisel, Georg, 1967, «Неформальное доказательство строгости и полноты», в I. Lakatos (ed.), Проблемы философии математики, (Исследования по логике и основам математики: Том 47), Амстердам: Северная Голландия, стр. 138–186.
  • McGee, Vann, 1992, «Две проблемы с теорией следствия Тарского», Труды Аристотелевского общества, 92: 273–292.
  • Murzi, Julien and Carrara, Massimiliano, 2014, «Больше размышлений о последствиях», Logique et Analyze, 57 (227): 223–258.
  • Murzi, Julien and Hjortland, Ole T., 2009, «Инференциализм и проблема категоричности: ответ Раатикайнену», Анализ, 69 (3): 480–488.
  • Patterson, Douglas, (ed.), 2008, New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
  • Перегрин, Ярослав, 2014, Инференциализм: почему правила важны, Великобритания: Palgrave Macmillan.
  • Prawitz, Dag, 1974, «Об идее общей теории доказательств», Synthese, 27 (1–2): 63–77.
  • –––, 1985, «Замечания о некоторых подходах к понятию логического следствия», Synthese, 62: 153–171.
  • –––, 2005, «Логическое следствие с конструктивистской точки зрения», в S. Shapiro (ed.), Оксфордский справочник по философии математики и логики, Оксфорд: издательство Oxford University Press, стр. 671–695.
  • –––, 2012, «Эпистемическое значение достоверного вывода», Synthese, 187: 887–898.
  • Прист, Грэхем, 1999, «Действительность», Европейское обозрение философии, 4: 183–205 (Специальный выпуск: Природа логики, Ахилл К. Варци (ред.), Стэнфорд: CSLI Publications.
  • Приор, Артур Н., 1960, «Билет о маломерном судоходстве», Анализ, 21 (2): 38–39.
  • Патнэм, Хилари, 1971, Философия логики, Нью-Йорк: Харпер и Роу.
  • Quine, WVO, 1986 (2-е изд.), Philosophy of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Раатикайнен, Пану, 2008, «О правилах вывода и значениях логических констант», Анализ, 68 (300): 282–287.
  • Рэй, Грег, 1996, «Логическое следствие: защита Тарского», The Journal of Philosophical Logic, 25 (6): 617–677.
  • Читайте, Стивен, 1994, «Формальное и материальное следствие», The Journal of Philosophical Logic, 23 (3): 247–265.
  • Ресталл, Грег, 2005, «Многочисленные выводы», в P. Hájek, L. Valdés-Villanueva и D. Westerståhl (eds.), Logic, Методология и философия науки: Материалы двенадцатого Международного конгресса, Лондон: KCL Publications., с. 189–205. Препринт доступен онлайн в формате PDF.
  • Рипли, Дэвид, 2013, «Парадоксы и неудачи реза», Австралийский философский журнал, 91 (1): 139–164. doi: 10.1080 / 00048402.2011.630010.
  • Саги, Гил, 2014a, «Формальность в логике: от логических терминов к семантическим ограничениям», Logique et Analyze, 57 (227): 259–276.
  • –––, 2014b, «Модели и логические следствия», журнал Philosophical Logic, 43 (5): 943–964.
  • Шапиро, Стюарт, 1987, «Принципы отражения и логика второго порядка», журнал «Философская логика» 16 (3): 309–333.
  • –––, 1998, «Логическое следствие: модели и модальность», в книге М. Ширна (ред.), «Философия математики сегодня», Оксфорд: издательство Оксфордского университета, стр. 131–156.
  • –––, 2005, «Логическое следствие, теория доказательства и теория моделей», в книге С. Шапиро (ред.), Оксфордский справочник по философии математики и логики, Оксфорд: издательство Оксфордского университета, стр. 651–670.
  • –––, 2014, «Разновидности логики», Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Шер, Джила, 1991, «Границы логики», Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
  • –––, 1996, «Тарский совершил ошибку Тарского?», Журнал символической логики, 61 (2): 653–686.
  • Шредер-Хейстер, Питер, 1991, «Теоретико-равномерная семантика доказательства для логических констант (Аннотация)», Журнал символической логики, 56: 1142.
  • Тарский, Альфред, 1986, «Что такое логические понятия», История и философия логики, 7: 143–154.
  • Теннант, Нил, 1994, «Передача правды и транзитивность дедукции», в Что такое логическая система? (Исследования в области логики и вычислений: том 4), Д. М. Габбей (ред.), Оксфорд: Кларендон Пресс, стр. 161–177.
  • Wansing, Heinrich, 2000, «Идея доказательственно-теоретической семантики и смысл логических операций», Studia Logica, 64 (1): 3–20.
  • Вестерстол, Даг, 2012, «От констант к следствию и обратно», Synthese, 187 (3): 957–971.
  • Вудс, Джек, 2012, «Неудачи категоричности и композиционности для интуиционистской дизъюнкции», мысль: философский журнал, 1 (4): 281–291.
  • Zinke, Александра, 2018, Метафизика логического следствия (Исследования по теоретической философии: Том 6), Франкфурт-на-Майне: Витторио Клостерманн.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы