Определения

Оглавление:

Определения
Определения

Видео: Определения

Видео: Определения
Видео: Как найти определение в предложении? Как сделать разбор по членам предложения? 2024, Март
Anonim

Входная навигация

  • Содержание входа
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Friends PDF Preview
  • Информация об авторе и цитировании
  • Вернуться к началу

Определения

Впервые опубликовано четверг, 10 апреля 2008 г.; существенная редакция пн 20 апреля 2015 г.

Определения интересовали философов с древних времен. Ранние диалоги Платона изображают Сократа, поднимающего вопросы об определениях (например, в Euthyphro, «Что такое благочестие?») - вопросы, которые кажутся одновременно глубокими и неуловимыми. Ключевым шагом в «Онтологическом доказательстве» Ансельма для существования Бога является определение «Бога», и то же самое относится к версии аргумента Декарта в его «Медитации V». Совсем недавно определение числа по Фреге-Расселу и определение истины Тарского оказали формирующее влияние на широкий круг современных философских дискуссий. Во всех этих случаях - и многих других можно привести - обсуждались не только конкретные определения; характер и требования к определениям также обсуждались. Некоторые из этих дебатов могут быть решены путем проведения необходимых различий,поскольку определения не все одного вида: определения служат различным функциям, и их общий характер зависит от функции. Однако некоторые другие споры не так легко решить, так как они включают спорные философские идеи, такие как сущность, концепция и значение.

  • 1. Некоторые разновидности определения

    • 1.1 Действительные и номинальные определения
    • 1.2 Словарные определения
    • 1.3 Стипулятивные определения
    • 1.4 Описательные определения
    • 1.5 Пояснительные определения
    • 1.6 Экстенсиональные определения
    • 1.7 Замечание
  • 2. Логика определений

    • 2.1 Два критерия
    • 2.2 Основы традиционного учета
    • 2.3 Консервативность и устраняемость
    • 2.4 Определения в нормальной форме
    • 2.5 Неявные определения
    • 2.6 Принцип замкнутого круга
    • 2.7 Круговые определения
  • Библиография
  • Академические инструменты
  • Другие интернет-ресурсы
  • Связанные Записи

1. Некоторые разновидности определения

Обычный дискурс признает несколько различных видов вещей в качестве возможных объектов определения, и он признает несколько видов деятельности как определяющих вещь. Чтобы привести несколько примеров, мы говорим о комиссии как об определении границы между двумя нациями; Верховного Суда, определяющего через свои решения «личность» и «гражданина»; о химике, который открыл определение золота, и о лексикографе, что означает «круто»; участника дискуссии как определяющего предмет спора; и математика как определение «группы». Различные виды вещей являются здесь объектами определения: граница, правовой статус, содержание, слово, тезис и абстрактный вид. Более того, разные определения не все имеют одну и ту же цель: пограничная комиссия может стремиться к достижению точности; Верховный суд, справедливость;химик и лексикограф, точность; спорщик, ясность; и математик, плодовитость. Таким образом, стандарты, по которым определяются определения, могут варьироваться от случая к случаю. Различные определения, возможно, можно отнести к формуле Аристотеля, согласно которой определение дает сущность вещи. Но это только подчеркивает тот факт, что «давать суть вещи» не является унитарным видом деятельности.

В философии также часто используются различные виды определений, и определения могут выполнять различные функции (например, повышать точность и ясность). Но в философии определения также призваны служить весьма отличительной роли: решению эпистемологических проблем. Например, эпистемологический статус математических истин ставит проблему. Иммануил Кант считал, что эти истины априори синтетичны, и для объяснения их статуса он предложил теорию пространства и времени, а именно пространства и времени как формы, соответственно, внешнего и внутреннего смысла. Готтлоб Фреге и Бертран Рассел пытались подорвать теорию Канта, утверждая, что арифметические истины являются аналитическими. Точнее, они пытались построить вывод арифметических принципов из определений арифметических понятий,используя только логические законы. Для успеха проекта Фреге-Рассела используемые определения должны иметь специальный символ. Они должны быть концептуальными или объясняющими значения; они не могут быть синтетическими. Именно такое определение вызвало в течение последнего столетия или около того наибольший интерес и наибольшее противоречие. И именно такое определение будет нашей главной задачей. Давайте начнем с обозначения некоторых предварительных, но важных отличий. Давайте начнем с обозначения некоторых предварительных, но важных отличий. Давайте начнем с обозначения некоторых предварительных, но важных отличий.

1.1 Действительные и номинальные определения

Джон Локк в своем эссе отличил «истинную сущность» от «номинальной сущности». Номинальная сущность, согласно Локку, является «абстрактной идеей, к которой приложено Имя (III.vi.2)». Таким образом, номинальная сущность имени «золото», по словам Локка, «состоит в том, что эта сложная идея означает слово« золото », пусть это будет, например, тело желтого цвета, определенного веса, податливое, плавкое и фиксированное». Напротив, подлинная сущность золота - это «составление нечувствительных частей этого тела, от которых зависят эти качества [упомянутые в номинальной сущности] и все другие свойства золота (III.vi.2)». Грубый способ обозначить различие между реальными и номинальными определениями состоит в том, чтобы, следуя Локку, сказать, что первое утверждает реальную сущность, а второе - номинальную сущность. Химик стремится к реальному определению,тогда как лексикограф стремится к номинальному определению.

Эта характеристика различия является грубой, потому что зоологическое определение «тигра» должно считаться реальным определением, даже если оно может не дать «состав нечувствительных частей» тигра. Более того, учет значения слова должен считаться номинальным определением, даже если он не может принять форму Локка, излагающую «абстрактную идею, к которой добавлено имя». Возможно, полезно обозначить различие между реальными и номинальными определениями следующим образом: чтобы обнаружить реальное определение термина (X), необходимо исследовать вещь или вещи, обозначаемые (X); Чтобы найти номинальное определение, нужно исследовать значение и использование (X). Идет ли поиск ответа на сократовский вопрос «Что такое добродетель?» Это поиск реального определения или поиск номинального определения зависит от концепции этой конкретной философской деятельности. Когда мы занимаемся вопросом Сократа, пытаемся ли мы получить более четкое представление о том, как мы используем слово «добродетель», или мы пытаемся описать идеал, который в некоторой степени не зависит от этих целей? В соответствии с прежней концепцией мы стремимся к номинальному определению; под последним, в реальном определении.мы стремимся к номинальному определению; под последним, в реальном определении.мы стремимся к номинальному определению; под последним, в реальном определении.

Критическое обсуждение различных видов деятельности, которые были отнесены к «реальному определению», см. В Robinson 1950. Древние представления об определениях см. В эссе в Charles 2010.

1.2 Словарные определения

Номинальные определения - определения, которые объясняют значение термина - не все одного вида. Словарь объясняет значение термина в одном смысле этой фразы. Словари имеют целью дать определения, которые содержат достаточно информации, чтобы дать понимание термина. Это факт о нас, пользователей языка, что мы каким-то образом понимаем и используем потенциальную бесконечность предложений, содержащих термин, как только нам дают определенное небольшое количество информации о термине. Как именно это происходит, большая загадка. Но это случается, и словари используют этот факт. Обратите внимание, что словарные записи не являются уникальными. Разные словари могут давать разные биты информации и в то же время одинаково эффективно объяснять значения терминов.

Определения, разыскиваемые философами, не являются такими, как в словаре. Определение числа Фреге (1884) и определение истины Альфреда Тарского (1983, гл. 8) не предлагаются в качестве кандидатов для словарных статей. Когда эпистемолог ищет определение «знания», она не ищет хорошую словарную статью для слова «знать». Философское стремление к определению иногда может быть плодотворно охарактеризовано как поиск объяснения значения. Но смысл «объяснения значения» здесь сильно отличается от того, в каком словаре объясняется значение слова.

1.3 Стипулятивные определения

Условное определение придает значение определенному термину и не предполагает никаких обязательств, согласно которым назначенное значение согласуется с предшествующим использованием (если оно есть) термина. Стипулятивные определения эпистемологически особенные. Они дают суждения с эпистемологическими характеристиками, которые озадачивают в другом месте. Если кто-то условно определяет «raimex» как, скажем, рациональное, образное, переживающее бытие, тогда суждение «raimexes являются рациональными» обязательно будет необходимым, определенным и априорным. Философы считают соблазнительным объяснять загадочные случаи, например, априорности, апелляцией к условным определениям.

Сол Крипке (1980) обратил внимание на особый вид условного определения. Мы можем условно ввести новое имя (например, «Джек Потрошитель») через описание (например, «человек, который убил (X, Y) и (Z)»). В таком условии, указал Крипке, описание служит только для фиксации ссылки на новое имя; имя не является синонимом описания. Ибо суждение

(1) Джек Потрошитель - это человек, который убил (X, Y) и (Z), если уникальный человек совершил убийство

является условным, хотя решение суда

Джек Потрошитель - Джек Потрошитель, если уникальный человек совершил убийство

это необходимо. Крипке утверждал, что такое имя, как «Джек Потрошитель», является жестким: оно выделяет одного и того же человека во всех возможных мирах; описание, с другой стороны, не является жестким. Крипке использовал такие условия фиксации ссылок, чтобы аргументировать существование условной априорной истины - (1) являющейся примером. Условно-фиксирующие условные определения могут быть даны не только для имен, но и для терминов в других категориях, например, нарицательных существительных.

См. Фреге 1914 для защиты строгого взгляда на то, что, по крайней мере, в математике должны приниматься только условные определения. [1]

1.4 Описательные определения

Описательные определения, как и условные, разъясняют смысл, но они также стремятся быть адекватными существующему использованию. Когда философы предлагают определения, например, «знать» и «бесплатно», они не являются обязательными: отсутствие соответствия существующему использованию является возражением против них.

Полезно различать три степени описательной адекватности определения: экстенсиональный, интенсиональный и смысловой. Определение вполне адекватно, если нет реальных контрпримеров к нему; оно намеренно адекватно, если нет никаких возможных контрпримеров к нему; и это достаточно адекватно (или аналитически), если оно наделяет определенный термин правильным смыслом. (Сам по себе последний уровень достаточности подразделяется на разные понятия, поскольку «смысл» можно выразить несколькими различными способами.) Например, определение «вода - это H 2 O», является намеренно адекватным, поскольку идентичность воды и H 2O необходим (если исходить из представления Крипке-Путнэма о жесткости натуральных терминов); следовательно, определение также является адекватным в экстенсивном отношении. Но это не чувственное адекватной, за чувство «воды» не совсем то же самое, что и «H 2 O». Определение «Джордж Вашингтон - первый президент Соединенных Штатов» является адекватным только в расширенной степени, но не в двух других классах, в то время как «человек - смеющееся животное» не может быть адекватным во всех трех классах. Когда определения используются для эпистемологического использования, интенциональная адекватность обычно недостаточна. Для таких определений нельзя обосновать рациональность или априорность проблемного предмета.

См. Quine 1951 и 1960 для скептицизма по поводу аналитических определений; см. также запись об аналитическом / синтетическом различии. Horty 2007 предлагает несколько способов осмысления смыслов определенных выражений, особенно в рамках семантической теории Фреге.

1.5 Пояснительные определения

Иногда определение предлагается не описательно и не условно, а как то, что Рудольф Карнап (1956, § 2) назвал, объяснением. Объяснение направлено на уважение некоторых основных употреблений термина, но является обязательным для других. Экспликация может быть предложена как абсолютное улучшение существующей, несовершенной концепции. Или это может быть предложено как «хорошая вещь, чтобы иметь в виду» термин в определенном контексте для конкретной цели. (Цитируемая фраза принадлежит Алану Россу Андерсону; см. Belnap 1993, 117.)

Простая иллюстрация экспликации дается определением упорядоченной пары в теории множеств. Здесь пара (langle x, y / rangle) определяется как множество ({ {x }, {x, y } }). Рассмотренное как объяснение, это определение не имеет целью охватить все аспекты предшествующего использования «упорядоченной пары» в математике (и в обычной жизни); вместо этого он стремится охватить основные виды использования. Существенным фактом использования нашего «упорядоченной пары» является то, что он руководствуется принципом, что пары идентичны, если их соответствующие компоненты идентичны:

(langle x, y / rangle = / langle u, v / rangle / text {iff} x = u / amp y = v.)

И можно убедиться, что приведенное выше определение удовлетворяет принципу. Определение имеет некоторые последствия, которые не согласуются с обычным понятием. Например, определение подразумевает, что объект (x) является членом члена пары (langle x, y / rangle), и это не является частью обычного понятия. Но несоответствие не является возражением против объяснения. Для объяснения важен не предшествующий смысл, а функция. Пока последнее сохраняется, первое можно отпустить. Именно эта особенность объяснения побудила В. В. Куайна (1960, §53) превозносить ее достоинства и поддержать определение «упорядоченной пары» как философской парадигмы.

Условно-функциональное условие дает еще одну иллюстрацию объяснения. Это условное отличается от обычного условного в некоторых существенных отношениях. Тем не менее, условно-функциональное условие может быть выдвинуто как объяснение обычного условия для определенных целей в определенных контекстах. Является ли предложение адекватным, в решающей степени зависит от рассматриваемых целей и условий. То, что эти два условия различаются по важным, даже существенным аспектам, автоматически не дисквалифицирует предложение.

1.6 Экстенсиональные определения

Обычно экстенсиональные определения зависят от контекста и опыта. Предположим, что разговорный контекст делает одну собаку заметной среди нескольких видимых. Затем можно ввести имя «Фредди» через условие «пусть Фредди будет этой собакой». В качестве другого примера, предположим, что вы смотрите на ветку куста и условно вводите имя «Чарли» так: «пусть Чарли будет насекомым на этой ветке». Это определение может привязать референта к «Чарли», даже если на ветке много насекомых. Если ваш визуальный опыт знакомит вас только с одним из этих насекомых (скажем, потому что другие слишком малы, чтобы их можно было увидеть), тогда это насекомое является обозначением вашего использования описания «насекомое на этой ветке». Мы можем думать об опыте как о представлении предмета с ограниченной частью мира. Эта часть может служить точкой оценки для выражений в демонстративном определении.[2] Следовательно, определение может с помощью опыта привязать референт к определенному термину, когда без этой помощи он не сможет этого сделать. В настоящем примере описание «насекомое на этой ветви» не означает, когда оно оценивается в мире в целом, но оно обозначает, когда оно оценивается в той его части, которая представлена в вашем визуальном опыте. См. Gupta 2019 для описания вклада опыта в значение явно определенного термина.

Наглядное определение может привести к существенному обогащению языка. Широкое определение «Чарли» обогащает язык названием конкретного насекомого, и вполне может быть, что до обогащения у языка не было ресурсов для обозначения этого конкретного насекомого. В отличие от других знакомых определений, демонстративные определения могут вводить термины, которые являются неизбежными. (Таким образом, демонстративные определения могут не соответствовать критерию допустимости, описанному ниже; они могут не соответствовать также критерию консервативности, также объясненному ниже.)

Способность демонстративных определений вводить принципиально новый словарь побудила некоторых мыслителей рассматривать их как источник всех примитивных понятий. Таким образом, Рассел утверждает в Человеческом Знании, что

все номинальные определения, если их отодвинуть достаточно далеко, должны в конечном итоге привести к терминам, имеющим только демонстративные определения, а в случае эмпирической науки эмпирические термины должны зависеть от терминов, для которых демонстративное определение дано в восприятии. (стр. 242)

В «Смысле и экстенсивном определении» К. Х. Уайтли полагает, что демонстративные определения являются «средством, с помощью которого люди узнают значения большинства, если не всех, этих элементарных выражений в своем языке, в терминах которых определяются другие выражения. » (332) Однако следует отметить, что ничто в логике и семантике демонстративных определений не гарантирует фундаменталистскую картину понятий или изучения языка. Такие фундаменталистские картины были решительно раскритикованы Людвигом Витгенштейном в его «Философских исследованиях». Однако позитивные взгляды Витгенштейна на демонстративное определение остаются неясными; интерпретацию см. в Hacker 1975.

Актуальные определения важны, но наше понимание их остается на зачаточном уровне. Они заслуживают большего внимания со стороны логики и философов.

1.7 Замечание

Виды, в которые мы отсортировали определения, не являются взаимоисключающими или исчерпывающими. Условное определение термина может, как это бывает, в достаточной степени адекватно предшествующему использованию этого термина. Словарь может предлагать подробные определения некоторых слов (например, цветных слов). Экстенсивные определения также могут быть объяснительными. Например, можно предложить улучшение существовавшей ранее концепции «одна нога», таким образом: «пусть одна нога будет текущей длиной этого стержня». В своем существующем ранее использовании понятие «одна нога» может быть довольно расплывчатым; наоборот, эксплицитно введенная экспликация может быть относительно точной. Более того, как мы увидим ниже, существуют другие виды определений, чем те, которые рассматриваются до сих пор.

2. Логика определений

Многие определения - условные, описательные и объяснительные - могут быть проанализированы на три элемента: термин, который определен ((X)), выражение, содержащее определенный термин ((ldots X / ldots)), и другой выражение ((- - - - - - -)), которое приравнивается определением к этому выражению. Такие определения можно представить так:

(tag {2} X: / ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

(Мы оставляем в стороне демонстративные определения, которые явно требуют более богатого представления.) Когда определенный термин становится понятным из контекста, представление может быть упрощено до

(ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

Выражение в левой части «(eqdf)» (т. Е. (Ldots X / ldots)) является определением определения, а выражение в правой части - его определением - предполагается, что дефиниенд и дефинисы принадлежат к одной и той же логической категории. Обратите внимание на различие между определенным термином и определением: определенным термином в данном примере является (X); определитель - это неопределенное выражение в левой части '(eqdf)', которое может совпадать или не совпадать с (X). (Некоторые авторы называют определенный термин «определением»; некоторые другие используют это выражение смущенно, иногда для обозначения определенного термина, а иногда и для самого определения.) Не все определения, найденные в логической и философской литературе, соответствуют схеме (2)., Частичные определения, например, выходят за рамки схемы;Другой пример представлен определениями логических констант в терминах правил введения и исключения, управляющих ими. Тем не менее, определения, которые соответствуют (2), являются наиболее важными, и они будут нашей главной задачей.

Давайте сосредоточимся на условных определениях и поразмышляем над их логикой. Как мы увидим, некоторые важные уроки здесь переносятся на описательные и объяснительные определения. Для простоты рассмотрим случай, когда одно определение условно вводит термин. (Множественные определения приносят нотационную сложность, но не вызывают новых концептуальных проблем.) Итак, предположим, что язык (L), основной язык, расширяется посредством добавления нового термина (X) в расширенный язык (L ^ {+}), где (X) условно определяется определением (mathcal {D}) вида (2). Какие логические правила управляют (mathcal {D})? Каким требованиям должно соответствовать определение?

Прежде чем обратиться к этим вопросам, давайте отметим различие, которое не отмечено в книгах по логике, но полезно при размышлениях об определениях. В одном виде определения - назовите его однородным определением - определенный термин и определение относятся к одной и той же логической категории. Таким образом, единичный термин определяется через единственный термин; общий термин через общий термин; предложение через предложение; и так далее. Допустим, однородное определение является регулярным, если его определение совпадает с определенным термином. Вот несколько примеров правильных однородных определений:

(tag {3} begin {align *} 1: 1 & / eqdf / text {преемник} 0, \\ / text {man}: / text {man} & / eqdf / text {рациональное животное}, \\ / text {The True}: / text {The True} & / eqdf / text {все идентично самому себе}. / Конец {выравнивание *})

Обратите внимание, что «Истина», как определено выше, относится к категории предложения, а не к категории единственного числа.

Иногда говорят, что определения - это просто рецепты сокращений. Так, Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел говорят об определениях, в частности тех, которые используются в Principia Mathematica, что они «строго говоря, типографские удобства (1925, 11)». Эта точка зрения имеет правдоподобие только для регулярных однородных определений, хотя на самом деле это даже не верно. (Собственные наблюдения Уайтхеда и Рассела ясно дают понять, что их определения представляют собой нечто большее, чем просто «типографские удобства». [3]), Во втором виде определения - назовите это гетерогенным определением - определенный термин и определение относятся к разным логическим категориям. Так, например, общий термин (например, «человек») может быть определен с помощью предложения определений (например, «(x) - это человек»). В другом примере единичный термин (например, «1») может быть определен с использованием предиката (например, «идентичен 1»). Гетерогенные определения встречаются гораздо чаще, чем однородные. Например, в знакомых языках первого порядка бессмысленно определять, скажем, одноместный предикат (G) по однородному определению. Эти языки не имеют ресурсов для формирования составных предикатов; следовательно, определения однородного определения (G) должны быть атомными. В гетерогенном определении, однако, определения могут легко быть сложными; например, (tag {4} Gx / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10.)

Если в языке есть устройство для абстракции - например, для формирования множеств - мы могли бы дать разный вид гетерогенного определения (G):

(tag {5} text {набор} G / text {s} eqdf / text {набор чисел от 3 до 10.})

Обратите внимание, что разнородное определение, такое как (4), не является простым сокращением. Ведь если бы это было так, выражение (x) в нем не было бы подлинной переменной, и определение не дало бы никаких указаний о роли (G) в контекстах, отличных от (Gx). Более того, если бы такие определения были аббревиатурами, на них распространялось бы требование о том, что определение должно быть короче определений, но такого требования не существует. С другой стороны, подлинные требования к определениям не имеют большого смысла. Следующее условие не является законным определением:

(tag {6} Gx / eqdf x / gt y / amp x / lt 10.)

Но если это рассматривается как простая аббревиатура, в этом нет ничего незаконного.

Некоторые условные определения - не что иное, как простые аббревиатуры (например, определения, регулирующие пропуск скобок в формулах; см. Church 1956, §11). Однако многие условные определения не относятся к этому виду; они вводят значимые предметы в наш дискурс. Таким образом, определение (4) делает (G) значимым унарным предикатом: (G) выражает, в силу (4), конкретное понятие. Напротив, при условии (6), (G) не является значимым предикатом и не выражает никакой концепции. Но каков источник разницы? Почему (4) является законным, а не (6)? В более общем смысле, когда определение является законным? Каким требованиям должны соответствовать определения? И, в этом отношении, определение? Должен ли определитель быть, например, атомарным, как в (3) и (4)? Если нет, то какие ограничения (если таковые имеются) существуют на определение?

2.1 Два критерия

При любом ответе на эти вопросы вполне вероятно соблюдение двух критериев. [4] Во-первых, условное определение не должно позволять нам устанавливать принципиально новые требования - назовите это критерием консервативности. Мы не должны быть в состоянии установить с помощью простого условия что-то новое, например, о Луне. Это правда, что, если этот критерий не будет уточнен, он будет подвергаться тривиальным контрпримерам, поскольку введение определения существенно влияет на некоторые факты. Тем не менее, критерий можно сделать точным и оправданным, и мы скоро увидим некоторые способы сделать это.

Во-вторых, определение должно исправить использование определенного выражения (X) - назовите это критерием использования. Этот критерий правдоподобен, поскольку только определение - и ничто иное - доступно, чтобы направлять нас в использовании (X). Здесь есть осложнения, однако. Что считается использованием (X)? Включены ли случаи в пределах «сказать» и «знать»? А как насчет вхождения (X) в цитатном контексте и в словах, например, «ксенофаны»? Последний вопрос должен получить, как понятно, ответ «Нет». Но ответы на предыдущие вопросы не так однозначны. Есть еще одно осложнение: даже если мы можем каким-то образом отделить подлинные вхождения (X), возможно, что некоторые из этих вхождений по праву игнорируются определением. Например,определение отношения может оставить некоторые вхождения термина неопределенными (например, где есть деление на 0). Ортодоксальная точка зрения состоит в том, чтобы считать такие определения нелегитимными, но ортодоксальность заслуживает того, чтобы здесь оспариваться. Однако давайте оставим этот вызов другому случаю и перейдем к обходу осложнений посредством идеализации. Давайте ограничимся основными языками, которые имеют четко определенную логическую структуру (например, язык первого порядка) и не содержат вхождений определенного термина (X). И давайте ограничимся определениями, которые не ограничивают законные случаи появления (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X). Ортодоксальная точка зрения состоит в том, чтобы считать такие определения нелегитимными, но ортодоксальность заслуживает того, чтобы здесь оспариваться. Однако давайте оставим этот вызов другому случаю и перейдем к обходу осложнений посредством идеализации. Давайте ограничимся основными языками, которые имеют четко определенную логическую структуру (например, язык первого порядка) и не содержат вхождений определенного термина (X). И давайте ограничимся определениями, которые не ограничивают законные случаи появления (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X). Ортодоксальная точка зрения состоит в том, чтобы считать такие определения нелегитимными, но ортодоксальность заслуживает того, чтобы здесь оспариваться. Однако давайте оставим этот вызов другому случаю и перейдем к обходу осложнений посредством идеализации. Давайте ограничимся основными языками, которые имеют четко определенную логическую структуру (например, язык первого порядка) и не содержат вхождений определенного термина (X). И давайте ограничимся определениями, которые не ограничивают законные случаи появления (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X). Давайте ограничимся основными языками, которые имеют четко определенную логическую структуру (например, язык первого порядка) и не содержат вхождений определенного термина (X). И давайте ограничимся определениями, которые не ограничивают законные случаи появления (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X). Давайте ограничимся основными языками, которые имеют четко определенную логическую структуру (например, язык первого порядка) и не содержат вхождений определенного термина (X). И давайте ограничимся определениями, которые не ограничивают законные случаи появления (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X). Теперь критерий использования диктует, что определение должно фиксировать использование всех выражений в расширенном языке, на котором встречается (X).

Вариант формулировки критерия использования заключается в следующем: определение должно фиксировать значение определения. Новая формулировка менее детерминированной и более спорным, поскольку он опирается на «значение» неоднозначной и теоретически спорного понятия.

Обратите внимание, что эти два критерия определяют все условные определения, независимо от того, являются ли они единичными или множественными, или имеют ли они форму (2) или нет.

2.2 Основы традиционного учета

Традиционное изложение определений основано на трех идеях. Первая идея состоит в том, что определения являются обобщенными тождествами; второе, что предложение является основным; и третье - сокращение. Первая идея - что определения являются обобщенными тождествами - мотивирует логические логические правила традиционных определений для определений. Это, грубо говоря, то, что (i) любое вхождение дефинидума может быть заменено вхождением дефиниенса (Устранение обобщенного дефинимента); и, наоборот, (ii) любое вхождение определений может быть заменено появлением определителя (обобщенное введение в определение).

Вторая идея - первичность предложения - коренится в мысли, что фундаментальное использование термина заключается в утверждении и аргументе: если мы понимаем использование определенного термина в утверждении и аргументе, то мы полностью понимаем термин. Однако предложение является основным в аргументации и утверждении. Следовательно, для объяснения использования определенного термина (X), как утверждает вторая идея, необходимо и достаточно объяснить использование предложений, содержащих (X). (Под «элементами предложения» здесь понимаются предложения и похожие на предложения вещи со свободными переменными, например, определения (4); отныне эти элементы будут называться формулами.) Вопросы, поднятые второй идеей, являются, конечно, большими и важно, но они не могут быть рассмотрены в кратком обзоре. Давайте примем идею просто как данность.

Третья идея - сокращение - использование формулы (Z), содержащей определенный термин, объясняется сокращением (Z) до формулы на основном языке. Эта идея, в сочетании с приматом предложения, приводит к сильной версии критерия использования, называемого критерием исключения: определение должно сводить каждую формулу, содержащую определенный термин, к формуле на основном языке, т.е. определенный термин. Исключимость является отличительным тезисом традиционного подхода, и, как мы увидим ниже, его можно оспорить.

Обратите внимание, что традиционная учетная запись не требует сокращения всех выражений расширенного языка; это требует сокращения только формул. Например, определение предиката (G) не должно предусматривать способа сокращения (G), взятого в отдельности, до предиката основного языка. Таким образом, традиционное объяснение согласуется с мыслью о том, что условное определение может добавить новый концептуальный ресурс к языку, поскольку ничто в основном языке не выражает предикативную концепцию, которую (G) выражает в расширенном языке. Это не означает, что никакое новое предложение - по крайней мере, в смысле истинности - не выражается в расширенном языке.

2.3 Консервативность и устраняемость

Давайте теперь посмотрим, как консервативность и исключимость могут быть уточнены. Сначала рассмотрим языки, которые имеют точную систему доказательств знакомого рода. Пусть основной язык (L) будет одним из таких. Система доказательств (L) может быть классической, или трехзначной, или модальной, или релевантной, или какой-либо другой; и он может содержать или не содержать некоторые нелогические аксиомы. Все, что мы предполагаем, это то, что у нас есть понятия «теорема о (L)» и «доказуемо эквивалентные в (L)», а также понятия «теорема о (L ^ {+})» и « доказуемо эквивалентный в (L ^ {+})”, который возникает, когда система доказательств (L) дополняется определением (mathcal {D}) и логическими правилами, определяющими определения. Теперь критерий консервативности можно уточнить следующим образом.

Критерий консервативности (синтаксическая формулировка): любая формула (L), доказуемая в (L ^ {+}), доказуема в (L).

То есть любая формула (L), которая доказуема с использованием определения (mathcal {D}), также доказуема без использования (mathcal {D}): определение не позволяет нам доказать что-либо новое в (L). Критерий исключения может быть уточнен таким образом:

Критерий исключимости (синтаксическая формулировка): для любой формулы (A) из (L ^ {+}) существует формула (L), которая доказуемо эквивалентна в (L ^ {+}) к (A).

(Фольклор благодарит польского логика С. Лесневского за формулировку критериев консервативности и элиминируемости, но это ошибка; см. Дудман 1973, Ходжес 2008, Урбанияк и Хямяри 2012 для обсуждения и дальнейших ссылок.) [5]

Теперь снабдим (L) теоретико-модельной семантикой. То есть мы связываем с (L) класс интерпретаций и делаем доступными понятия «действительный в (L) в интерпретации (M)» (иначе: «истинный в (L)» в (M) ") и" семантически эквивалентны в (L) относительно (M). " Пусть понятия «действительны в (L ^ {+}) в (M)» и «семантически эквивалентны в (L ^ {+}) относительно (M)» возникают, когда семантика (L) дополняется определением (mathcal {D}). Критерии консервативности и ликвидности теперь могут быть уточнены следующим образом:

Критерий консервативности (семантическая формулировка): Для всех формул (A) of (L) и всех интерпретаций (M), если (A) верен в (L ^ {+}) в (M), то (A) также справедливо в (L) в (M).

Критерий исключимости (семантическая формулировка): для любой формулы (A) из (L ^ {+}) существует формула (B) из (L) такая, что относительно всех интерпретаций (M, B) семантически эквивалентно в (L ^ {+}) (A).

Синтаксические и семантические формулировки двух критериев явно параллельны. Однако даже если мы предположим, что теоремы сильной полноты верны для (L) и (L ^ {+}), эти две формулировки не эквивалентны. В самом деле, несколько различных, неэквивалентных формулировок двух критериев возможны в каждой структуре, синтаксической и семантической.

Обратите внимание, что удовлетворение критериев консервативности и элиминируемости, будь то в их семантической или синтаксической формулировке, не является абсолютным свойством определения; удовлетворение относительно основного языка. Различные базовые языки могут быть связаны с различными системами доказательств и разными классами интерпретаций. Следовательно, определение может удовлетворять двум критериям при добавлении к одному языку, но может не выполняться при добавлении к другому языку. Для дальнейшего обсуждения критериев см. Suppes 1957 и Belnap 1993.

2.4 Определения в нормальной форме

Для конкретности, зафиксируем основной язык (L) как классический язык первого порядка с тождеством. Система доказательств (L) может содержать некоторые нелогические аксиомы (T); интерпретации (L) являются тогда классическими моделями (T). Как и прежде, (L ^ {+}) - это расширенный язык, который получается, когда в (L) добавляется определение (mathcal {D}) нелогической константы (X); следовательно, (X) может быть именем, предикатом или символом функции. Назовите два определения эквивалентными, если они дают те же теоремы в расширенном языке. Затем можно показать, что если (mathcal {D}) соответствует критериям консервативности и допустимости, то (mathcal {D}) эквивалентно определению в нормальной форме, как указано ниже. [6] Поскольку определения в нормальной форме отвечают требованиям консервативности и исключимости, традиционное объяснение подразумевает, что мы не теряем ничего существенного, если мы требуем, чтобы определения были в нормальной форме.

Нормальная форма определений может быть указана следующим образом. Определения имен (a, n) - арные предикаты (H) и (n) - арные символы функций (f) должны иметь, соответственно, следующие формы:

(begin {align} tag {7} a = x & / eqdf / psi (x), \\ / tag {8} H (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) & / eqdf / phi \, (x_ {1}, / ldots, x_ {n}), \\ / tag {9} f (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) = y & / eqdf / chi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n}, y), / end {align})

где переменные (x_ {1}),…, (x_ {n}), (y) - все различны, и в каждом случае значения определений удовлетворяют условиям, которые можно разделить на общее и конкретное часть. [7] Общее условие для определений одинаково в каждом случае: оно не должно содержать определенного термина или каких-либо свободных переменных, кроме указанных в определении. Общие условия остаются теми же, когда традиционный подход к определению применяется к неклассическим логикам (например, к многозначным и модальным логикам). Конкретные условия более изменчивы. В классической логике конкретное условие для определений (psi (x)) в (7) состоит в том, что оно удовлетворяет условию существования и единственности: доказуемо, что что-то удовлетворяет (psi (x)) и что не более чем одна вещь удовлетворяет (psi (x)). [8]Для (8) нет конкретных условий, но условие для (9) аналогично условию (7). Требование существования и уникальности должно иметь место: универсальное замыкание формулы

(существует y \, / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, y) amp / forall u / forall v (chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, u) amp / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

должно быть доказуемо. [9]

В логике, допускающей пустые имена, конкретное условие для определений (7) будет более слабым: условие существования будет отброшено. Напротив, в модальной логике, которая требует, чтобы имена были не пустыми и жесткими, конкретное условие было бы усилено: не только необходимо показать обязательное существование и уникальность, но и показать, что определению удовлетворяет один и один и тот же объект через возможные миры.

Определения, которые соответствуют (7) - (9), являются неоднородными; определение является приговоренным, а определение - нет. Одним из источников особых условий на (7) и (9) является их неоднородность. Особые условия необходимы, чтобы гарантировать, что определения, хотя и не относятся к логической категории определенного термина, придают ему правильное логическое поведение. Таким образом, условия гарантируют, что логика расширенного языка будет такой же, как и у основного языка. Это причина, почему конкретные условия в нормальных формах могут варьироваться в зависимости от логики основного языка. Заметьте, что, какой бы ни была эта логика, никаких особых условий для регулярных однородных определений не требуется.

Традиционный учет делает возможными простые логические правила для определений, а также простую семантику для расширенного языка. Предположим, что определение (mathcal {D}) имеет определение предложения. (В классической логике все определения могут быть легко преобразованы в соответствии с этим условием.) Пусть (mathcal {D})

(tag {10} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) eqdf / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}),)

где (x_ {1}),…, (x_ {n}) - все переменные, свободные в (phi) или (psi). И пусть (phi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) и (psi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) приводят к одновременной замене членов (t_ {1}),…, (t_ {n}) для (x_ {1}),…, (x_ {n}) в соответственно (phi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n})) и (psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n})); изменение связанных переменных по мере необходимости. Тогда правила вывода, управляющие (mathcal {D}), просто таковы:

(begin {align *} frac { phi (t_1, / ldots, t_n)} { psi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Устранение дефиниции}} & \\ / frac { psi (t_1, / ldots, t_n)} { phi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Введение в Definiendum} end {align *})

Семантика для расширенного языка также проста. Предположим, например, что (mathcal {D}) является определением имени (a), и предположим, что при нормальной форме оно эквивалентно (7). Тогда каждая классическая интерпретация (M) для (L) расширяется до единственной классической интерпретации (M ^ {+}) расширенного языка (L ^ {+}). Обозначение (a) в (M ^ {+}) является единственным объектом, который удовлетворяет (psi (x)) в (M); условия на (psi (x)) гарантируют, что такой объект существует. Семантика определенных предикатов и функциональных символов аналогична. Логика и семантика определений в неклассической логике получают, согласно традиционному подходу, параллельный подход.

Обратите внимание, что логическая сила добавления определения (10) к языку такая же, как сила добавления в качестве аксиомы универсального замыкания

(tag {11} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) leftrightarrow / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}).)

Однако это сходство в логическом поведении (10) и (11) не должно заслонять большие различия между двухусловной ('(leftrightarrow)') и эквивалентной дефиницией ('(eqdf)'). Первый является связующим предложением, но последний является транскатегоричным: не только формулы, но также предикаты, имена и элементы других логических категорий могут встречаться по обе стороны от (eqdf). Более того, двоякое условие может быть повторено, например, (((phi / leftrightarrow / psi) leftrightarrow / chi)), но не эквивалентно определению. Наконец, термин может быть введен посредством условного определения в основной язык, логические ресурсы которого ограничиваются, скажем, классическим соединением и дизъюнкцией. Это вполне выполнимо, несмотря на то, что двоякое условие не выражается в языке. В таких случаях,выводящая роль условного определения не отражается ни в одной формуле расширенного языка.

Традиционный учет определений не следует рассматривать как требующий определения в нормальной форме. Единственные требования, которые он предъявляет, состоят в том, чтобы (i) определение содержало определенный термин; (ii) что определение и определения принадлежат к одной и той же логической категории; и (iii) определение удовлетворяет консервативности и исключимости. Пока эти требования соблюдены, дальнейших ограничений нет. Определения, как и определения, могут быть сложными; и определения, как и определение, могут содержать определенный термин. Так, например, нет ничего формально неправильного, если определение функционального выражения «число» имеет в качестве своего определения формулу «число (F) s есть число (G) s». Роль нормальных форм заключается только в том, чтобы обеспечить простой способ гарантировать, что определения удовлетворяют консервативности и допустимости; они не обеспечивают единственного законного формата для условного введения термина. Таким образом, причина, по которой (4) есть, а (6) нет, законное определение не в том, что (4) находится в нормальной форме, а (6) нет.

(begin {align *} tag {4} Gx & / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10. \\ / tag {6} Gx & / eqdf x / gt y / amp x / lt 10. / конец {выравнивание *})

Причина в том, что (4) соблюдает, но (6) не учитывает два критерия. (Предполагается, что основной язык здесь содержит обычную арифметику; при этом предположении второе определение подразумевает противоречие.) Следующие два определения также не в нормальной форме:

(begin {align *} tag {12} Gx & / eqdf (x / gt 3 / amp x / lt 10) amp y = y. \\ / tag {13} Gx & / eqdf [x = 0 / amp (G0 / vee G1)] vee [x = 1 / amp ({ sim} G0 / amp { sim} G1)]. / Конец {выравнивание *})

Но оба должны считаться законными в соответствии с традиционным подходом, поскольку они соответствуют критериям консервативности и допустимости. Отсюда следует, что два определения могут быть приведены в нормальной форме. Определение (12) явно эквивалентно (4), а определение (13) эквивалентно (14):

(tag {14} Gx / eqdf x = 0.)

Заметим, что определения (13) не являются логически эквивалентными какой-либо (G) - свободной формуле. Тем не менее, определение имеет нормальную форму.

Точно так же традиционный отчет полностью совместим с рекурсивными (иначе говоря, индуктивными) определениями, такими как те, которые встречаются в логике и математике. Например, в арифметике Пеано возведение в степень можно определить с помощью следующих уравнений:

(tag {15} begin {align *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. / Конец {выравнивание *})

Здесь первое уравнение, называемое базовым предложением, определяет значение функции, когда показатель степени равен 0. А второе предложение, называемое рекурсивным предложением, использует значение функции, когда показатель степени равен (n), чтобы определить значение, когда показатель степени равен (n + 1). Это вполне законно, согласно традиционному объяснению, поскольку теорема арифметики Пеано устанавливает, что приведенное выше определение эквивалентно определению в нормальной форме. [10] Рекурсивные определения имеют круглую форму, и именно эта цикличность делает их заметными. Но округлость полностью на поверхности, как показывает существование нормальных форм. Смотрите обсуждение круговых определений ниже.

2.5 Неявные определения

Вышеупомянутая точка зрения позволяет традиционному объяснению включать в свои идеи, которые на первый взгляд могут показаться противоречащими ему. Иногда предлагается, чтобы термин (X) мог быть введен аксиоматически, то есть путем аксиом определенных предложений расширенного языка (L ^ {+}). Тогда говорят, что аксиомы неявно определяют (X). Эта идея легко согласуется с традиционным подходом. Пусть теория - это набор предложений расширенного языка (L ^ {+}). Тогда сказать, что теория (T ^ *) является неявным (условным) определением X, значит сказать, что (X) определяется определением

(phi / eqdf / text {The True},)

где (phi) - это соединение членов (T ^ *). (Если (T ^ *) бесконечно, то для каждого предложения (psi) в (T ^ *) потребуется условие вышеуказанной формы.) [11] Определение является законным, согласно традиционный счет, если он соответствует критериям консервативности и элиминации. Если он соответствует этим критериям, назовем (T ^ *) допустимым (для определения X). Таким образом, традиционный подход учитывает идею о том, что теории могут условно вводить новые термины, но он предъявляет строгие требования: теории должны быть допустимыми. [12]

Для конкретности рассмотрим частный случай классических языков первого порядка. Пусть основной язык (L) один из таких, и пусть его интерпретации являются моделями некоторых предложений (T). Скажем, что интерпретация (M ^ {+}) для (L ^ {+}) является расширением интерпретации (M) для (L) тогда и только тогда, когда (M) и (M ^ {+}) имеют одну и ту же область, и они присваивают одинаковые семантические значения нелогическим константам в (L). Кроме того, скажем, что

(T ^ *) является неявным семантическим определением X тогда и только тогда, когда для каждой интерпретации (M) из (L) существует уникальная модель (M ^ {+}) из (T ^ *) такой, что (M ^ {+}) является расширением (M).

Тогда следующая претензия является немедленной:

Если (T ^ *) допустимо, то (T ^ *) является неявным семантическим определением (X).

То есть допустимая теория фиксирует семантическое значение определенного термина в каждой интерпретации основного языка. Это наблюдение обеспечивает один естественный способ показать, что теория недопустима:

Метод Падоа. Чтобы показать, что (T ^ *) недопустимо, достаточно построить две модели (T ^ *), являющиеся расширениями одной и той же интерпретации основного языка (L). (Падоа, 1900)

Вот простое и философски полезное применение метода Падоа. Предположим, что система доказательств (L) является арифметикой Пеано, и что (L) расширяется добавлением унарного предиката (Tr) (для “числа Гёделя истинного предложения (L)”). Пусть (mathbf {H}) - теория, состоящая из всех предложений («бикондиционалы Тарского») следующего вида:

[Tr (s) leftrightarrow / psi,)

где (psi) - предложение (L), а (s) - каноническое имя числа Гёделя (psi). Метод Падоа подразумевает, что (mathbf {H}) недопустимо для определения (Tr). Для (mathbf {H}) не фиксирует интерпретацию (Tr) во всех интерпретациях (L). В частности, в стандартной модели этого не происходит, поскольку (mathbf {H}) не накладывает ограничений на поведение (Tr) для тех чисел, которые не являются геделевскими числами предложений. (Если кодирование переводит каждое натуральное число в число Гёделя предложения, то нестандартная модель арифметики Пеано дает необходимый контрпример: она имеет бесконечно много разложений, являющихся моделями (mathbf {H}).) A Вариант этого аргумента показывает, что теория истины Тарского, сформулированная в (L ^ {+}), недопустима для определения (Tr).

Как насчет обратного метода Падоа? Предположим, мы можем показать, что в каждой интерпретации основного языка теория (T ^ *) фиксирует уникальное семантическое значение для определенного термина. Можем ли мы сделать вывод, что (T ^ *) допустимо? Этот вопрос получает отрицательный ответ для некоторых семантических систем и положительный ответ для других. (Напротив, метод Падоа работает до тех пор, пока семантическая система не очень изобретательна.) Обратное неверно, например, для классических языков второго порядка, но оно справедливо для первого порядка:

Теорема Бета об определимости. Если (T ^ *) - неявное семантическое определение (X) в классическом языке первого порядка, то (T ^ *) допустимо.

Отметим, что теорема верна, даже если (T ^ *) бесконечное множество. Для доказательства теоремы см. Boolos, Burgess, and Jeffrey 2002; см. также Бет 1953.

Таким образом, идея неявного определения не противоречит традиционному подходу. Возникает конфликт в философских приложениях идеи. Провал строгих редукционистских программ конца девятнадцатого и начала двадцатого века побудил философов исследовать более слабые виды редукционизма. Например, определение числа Фреге оказалось непоследовательным и, таким образом, неспособным поддержать тезис логициста о том, что принципы арифметики являются аналитическими. Оказывается, однако, что принципы арифметики могут быть получены без определения Фреге. Все, что нужно, это одно из следствий, а именно, принцип Юма:

Принцип Юма. Число (F) s = число (G) s, если существует взаимно-однозначное соответствие между (F) s и (G) s.

Если мы добавим принцип Юма к логике второго порядка, то мы можем аналитически вывести (второго порядка) арифметику Пеано. (Суть аргумента найдена уже во Фреге 1884 г.). Центральный тезис неофрегеанства заключается в том, что принцип Юма является неявным определением функционального выражения «число» (см. Hale and Wright 2001). Если этот тезис можно отстоять, то логика об арифметике может быть поддержана при исключении явного (и непоследовательного) определения Фреге. Тем не менее, тезис нео-Фреге противоречит традиционному описанию определений, поскольку принцип Юма нарушает как консервативность, так и элиминируемость. Принцип позволяет доказать для произвольного (n), что существует не менее (n) объектов.(Соответствующее приложение направлено на поддержание аналитичности геометрии посредством идеи, что аксиомы геометрии являются неявными определениями геометрических понятий, таких как «точка» и «линия». Здесь также существует конфликт с традиционным объяснением консервативности. и допуски нарушаются.)

Другой пример: редукционистская программа для теоретических концепций (например, из физики), направленная на решение эпистемологических проблем, которые ставят эти концепции. Цель программы - сократить теоретические предложения до (классов) наблюдательных предложений. Тем не менее, сокращение оказалось трудно, если не невозможно, выдержать. Таким образом, возникло предположение, что, возможно, ненаблюдающий компонент теории может, без какого-либо требования сокращения, рассматриваться как неявное определение теоретических терминов. Точная характеристика ненаблюдаемого компонента может варьироваться в зависимости от конкретной эпистемологической проблемы. Но обязательно должно быть нарушение одного или обоих двух критериев: консервативности и элиминации. [13]

Последний пример: по теореме Тарского мы знаем, что никакая теория не может быть допустимым определением предиката истины (Tr) для языка арифметики Пеано, рассмотренного выше. Тем не менее, возможно, мы все еще можем рассматривать теорию (mathbf {H}) как неявное определение (Tr). (Пол Хорвич сделал тесно связанное предложение для обычного понятия истины.) Здесь опять-таки оказывается давление на границы, налагаемые традиционным изложением. (mathbf {H}) соответствует критерию консервативности, но не критерию допустимости.

Чтобы оценить проблему, которую эти философские приложения ставят перед традиционным изложением, нам необходимо решить проблемы, которые обсуждаются в настоящее время. Некоторые из проблем следующие. (i) Ясно, что некоторые нарушения консервативности являются незаконными: никто не может сделать это, если, например, Меркурий больше Венеры. Теперь, если философское приложение требует, чтобы некоторые нарушения консервативности были законными, нам необходимо учитывать различие между двумя типами случаев: законными нарушениями консервативности и нелегитимными. И нам нужно понять, что делает одного легитимным, а другого нет. (ii) Аналогичная проблема возникает в отношении исключения. Казалось бы, ни одна старая теория не может быть неявным определением термина (X).(Теория может содержать только тавтологии.) Если это так, то снова нам нужно разграничить теории, которые могут служить для неявного определения термина из тех, которые не могут. И нам нужно обоснование для различия. (iii) Философские приложения основаны на идее, что неявное определение фиксирует значение определенного термина. Поэтому нам необходимо объяснить, что это за значение, и как неявное определение исправляет его. Согласно традиционному подходу, формулы, содержащие определенный термин, могут рассматриваться как приобретающие свое значение из формул основного языка. (Ввиду первичности предложения, это фиксирует значение определенного термина.) Но этот шаг не доступен в рамках либерализованной концепции неявного определения. Тогда как,мы должны думать о значении формулы под предполагаемым отклонением от традиционного счета? (iv) Даже если предыдущие три вопроса решены удовлетворительно, важная проблема остается. Предположим, мы допускаем, что теория (T), скажем, физики может условно определять свои теоретические термины и наделяет термины определенными значениями. Остается вопрос, идентичны ли значения, приданные таким образом (или достаточно похожи) значениям, которые теоретические термины имеют в их реальном использовании в физике. На этот вопрос нужно ответить положительно, если неявные определения должны служить их философской функции. Цель использования неявных определений состоит в том, чтобы объяснить рациональность, априорность или аналитичность наших обычных суждений,не о каких-то необычных суждениях, которые так или иначе приписаны обычным знакам

Для дальнейшего обсуждения этих вопросов см. Horwich 1998, особенно главу 6; Hale and Wright 2001, особенно глава 5; и работы, цитируемые там.

2.6 Принцип замкнутого круга

Другой отход от традиционной теории начинается с идеи не о том, что теория слишком строгая, а о том, что она слишком либеральна, что она допускает определения, которые являются незаконными. Таким образом, традиционная теория допускает следующие определения соответственно «лжец» и класса натуральных чисел (mathbf {N}):

  • (16) (z) - лжец (eqdf), все утверждения, утвержденные (z), ложны;
  • (17) (z) принадлежит (mathbf {N}) (eqdf) (z) принадлежит каждому индуктивному классу, где класс индуктивен, когда содержит 0 и замкнут относительно последующая операция.

Рассел утверждал, что такие определения включают тонкий порочный круг. Определения первого определения вызывают, думал Рассел, совокупность всех предложений, но определение, если оно законно, приведет к предложениям, которые могут быть определены только со ссылкой на эту совокупность. Аналогичным образом, второе определение пытается определить класс (mathbf {N}) путем ссылки на все классы, в том числе класс (mathbf {N}), который определяется. Рассел утверждал, что такие определения незаконны. И он наложил следующее определение, называемое «принципом порочного круга», на определения и понятия. (Анри Пуанкаре также предложил аналогичную идею.)

Принцип замкнутого круга. «Что бы ни включало всю коллекцию, она не должна быть одной из коллекций (Рассел 1908, 63)».

Другая формулировка, которую Рассел дал Принципу, такова:

Принцип замкнутого круга (вариантная формулировка). «Если бы, если бы у определенной коллекции было общее количество, в ней были бы члены, определяемые только с точки зрения этой общей суммы, то у указанной коллекции нет общего количества (Рассел, 1908, 63)».

В добавленной сноске Рассел объяснил: «Когда я говорю, что коллекция не имеет общего количества, я имею в виду, что утверждения обо всех ее членах - это чепуха».

Основным мотивом Рассела для принципа Порочного круга были логические и семантические парадоксы. Такие понятия, как «истина», «суждение» и «класс», при определенных неблагоприятных условиях порождают парадоксальные выводы. Таким образом, утверждение «Чейни - лжец», где «лжец» понимается как в (16), приводит к парадоксальным выводам, если Чейни утверждал, что он лжец, а все другие высказанные им утверждения фактически являются ложными., Рассел принял принцип замкнутого круга, чтобы подразумевать, что если «Чейни лжец» выражает предложение, оно не может быть в рамках квантификатора в определениях (16). В более общем смысле, Рассел считал, что количественная оценка по всем предложениям и по всем классам нарушает Принцип замкнутого круга и поэтому является незаконной. Более того,он утверждал, что такие выражения, как «истина» и «ложь», не выражают уникальную концепцию - в терминологии Рассела, уникальную «пропозициональную функцию» - но одну из иерархии пропозициональных функций разных порядков. Таким образом, урок, который Рассел извлек из парадоксов, состоит в том, что область значимого более ограничена, чем это обычно может показаться, что традиционный учет понятий и определений необходимо сделать более ограничительным, чтобы исключить подобные (16) и (17).что традиционное изложение понятий и определений необходимо сделать более ограничительным, чтобы исключить подобные (16) и (17).что традиционное изложение понятий и определений необходимо сделать более ограничительным, чтобы исключить подобные (16) и (17).

Применительно к обычным, неформальным определениям принцип Порочного круга, как следует сказать, не дает четкого метода отграничения значимого от бессмысленного. Предполагается, что определение (16) нелегитимно, потому что в его определениях квантификатор охватывает всю совокупность всех предложений. И нам говорят, что это запрещено, потому что, если бы было разрешено, совокупность предложений «имела бы членов, определяемых только с точки зрения общего количества». Однако, если мы не знаем больше о природе предложений и доступных средствах их определения, невозможно определить, нарушает ли (16) Принцип. Вполне возможно, что такое предложение, как «Чейни лжец», или, например, менее спорный пример,«Либо Чейни лжец, либо нет», - можно дать определение, которое не обращается к совокупности всех предложений. Например, если предложения - это наборы возможных миров, то такое определение представляется возможным.

Принцип замкнутого круга, тем не менее, служит эффективной мотивацией для конкретного описания законных концепций и определений, а именно того, что воплощено в теории рассеченного типа Рассела. Идея здесь заключается в том, что каждый начинает с некоторых проблемных ресурсов, которые не включают количественную оценку предложений, концепций и тому подобного. Эти ресурсы позволяют определить, например, различные унарные понятия, которые, таким образом, гарантируют выполнение принципа замкнутого круга. Таким образом, количественное определение этих понятий должно быть законным и может быть добавлено к языку. То же самое касается предложений и концепций, относящихся к другим типам: для каждого типа может быть добавлен квантификатор, который охватывает элементы (этого типа), которые можно определить с использованием начальных беспроблемных ресурсов. Новые количественные ресурсы позволяют определять дополнительные элементы каждого типа; они также уважают Принцип, и опять же, квантификаторы, варьирующиеся по расширенной совокупности, могут быть законно добавлены к языку. Новые ресурсы позволяют определять еще больше предметов. И процесс повторяется. В результате мы имеем иерархию предложений и концепций различных порядков. Каждый тип в иерархии типов разветвляется на множество порядков. Это разветвление гарантирует, что определения, сформулированные в результирующем языке, должны уважать принцип замкнутого круга. Понятия и классы, которые могут быть определены в рамках этой схемы, называются предикативными (в одном смысле этого слова); другие, непредсказуемые.квантификаторы, варьирующиеся по расширенной совокупности, могут быть законно добавлены к языку. Новые ресурсы позволяют определять еще больше предметов. И процесс повторяется. В результате мы имеем иерархию предложений и концепций различных порядков. Каждый тип в иерархии типов разветвляется на множество порядков. Это разветвление гарантирует, что определения, сформулированные в результирующем языке, должны уважать принцип замкнутого круга. Понятия и классы, которые могут быть определены в рамках этой схемы, называются предикативными (в одном смысле этого слова); другие, непредсказуемые.квантификаторы, варьирующиеся по расширенной совокупности, могут быть законно добавлены к языку. Новые ресурсы позволяют определять еще больше предметов. И процесс повторяется. В результате мы имеем иерархию предложений и концепций различных порядков. Каждый тип в иерархии типов разветвляется на множество порядков. Это разветвление гарантирует, что определения, сформулированные в результирующем языке, должны уважать принцип замкнутого круга. Понятия и классы, которые могут быть определены в рамках этой схемы, называются предикативными (в одном смысле этого слова); другие, непредсказуемые. В результате мы имеем иерархию предложений и концепций различных порядков. Каждый тип в иерархии типов разветвляется на множество порядков. Это разветвление гарантирует, что определения, сформулированные в результирующем языке, должны уважать принцип замкнутого круга. Понятия и классы, которые могут быть определены в рамках этой схемы, называются предикативными (в одном смысле этого слова); другие, непредсказуемые. В результате мы имеем иерархию предложений и концепций различных порядков. Каждый тип в иерархии типов разветвляется на множество порядков. Это разветвление гарантирует, что определения, сформулированные в результирующем языке, должны уважать принцип замкнутого круга. Понятия и классы, которые могут быть определены в рамках этой схемы, называются предикативными (в одном смысле этого слова); другие, непредсказуемые.

Для дальнейшего обсуждения принципа замкнутого круга см. Рассел 1908, Уайтхед и Рассел 1925, Гедель 1944 и Тихара 1973. Официальное представление о теории разветвленных типов см. В Church 1976; для более неформального представления см. Hazen 1983. См. также записи по теории типов и Principia Mathematica, которые содержат дополнительные ссылки.

2.7 Круговые определения

Парадоксы могут также использоваться, чтобы мотивировать заключение, которое является полностью противоположным Расселу. Рассмотрим следующее определение одноместного предиката (G):

(tag {18} begin {align *} Gx / eqdf x = / text {Сократ} & / vee (x = / text {Plato} amp Gx) & / vee (x = / text {Аристотель } amp { sim} Gx). / Конец {выравнивание *})

Это определение по сути круговое; это не сводится к одному в нормальной форме. Тем не менее, интуитивно, он обеспечивает существенное руководство по использованию (G). Например, определение определяет, что Сократ подпадает под (G), и что ничто, кроме трех упомянутых древних философов, не делает этого. Определение оставляет нерешенным статус только двух объектов, а именно, Платона и Аристотеля. Если предположить, что Платон подпадает под (G), из определения следует, что Платон подпадает под (G) (поскольку Платон удовлетворяет определенным признакам), подтверждая тем самым наше предположение. То же самое происходит, если мы предположим обратное, а именно, что Платон не подпадает под (G); опять наше предположение подтверждается. С Аристотелем любая попытка решить, подпадает ли он под (G), ставит нас в еще более опасное положение:если мы предположим, что Аристотель подпадает под (G), мы можем прийти к заключению, определив, что он не подпадает под (G) (поскольку он не удовлетворяет определенным признакам); и, наоборот, если мы предположим, что он не подпадает под (G), мы можем прийти к выводу, что он делает. Но даже на Платоне и Аристотеле поведение (G) не является незнакомым: (G) ведет себя здесь так же, как концепция истины ведет себя на Рассказчике Истины («То, что я сейчас говорю, - правда») и лжец («То, что я сейчас говорю, неправда»). В более общем смысле, существует четкая параллель между поведением понятия истины и поведения понятий, определенных круговыми определениями. Оба, как правило, хорошо определены в ряде случаев, и оба демонстрируют различные необычные логические поведения в других случаях. На самом деле,все различные виды сбивающего с толку логического поведения, обнаруживаемые с понятием истины, обнаруживаются также в понятиях, определенных круговыми определениями. Этот сильный параллелизм предполагает, что, поскольку истина явно является законным понятием, также как и понятия, определенные круговыми определениями, такими как (18). Парадоксы, согласно этой точке зрения, не ставят под сомнение законность концепции истины. Они показывают только то, что логика и семантика круговых понятий отличается от логики некруглых. Эта точка зрения развита в пересмотре теории определений.не сомневайтесь в законности концепции истины. Они показывают только то, что логика и семантика круговых понятий отличается от логики некруглых. Эта точка зрения развита в пересмотре теории определений.не сомневайтесь в законности концепции истины. Они показывают только то, что логика и семантика круговых понятий отличается от логики некруглых. Эта точка зрения развита в пересмотре теории определений.

В этой теории круговое определение придает определенному термину значение, которое носит гипотетический характер; семантическое значение определенного термина - это правило пересмотра, а не правило с некруглыми определениями - правило применения. Рассмотрим (18) еще раз. Как и любое определение, (18) фиксирует интерпретацию определения (если) даны интерпретации нелогических констант в дефинионах. Проблема с (18) состоит в том, что определенный термин (G) встречается в дефинициях. Но предположим, что мы произвольно назначаем (G) интерпретацию - скажем, мы допустим, чтобы это было множество (U) всех объектов во вселенной дискурса (т. Е. Мы предполагаем, что (U) - это множество объекты, которые удовлетворяют (G)). Тогда легко увидеть, что определенность верна именно для Сократа и Платона. Таким образом, определение диктует, что, согласно нашей гипотезе,интерпретация (G) должна быть множеством ({ text {Сократ}, / text {Платон} }). Аналогичный расчет можно провести для любой гипотезы о интерпретации (G). Например, если гипотеза ({ text {Xenocrates} }), определение дает результат ({ text {Сократ}, / text {Аристотель} }). Короче говоря, хотя (18) не дает четкого определения того, какие объекты подпадают под (G), оно дает правило или функцию, которая, если дать гипотетическую интерпретацию в качестве входных данных, дает другой в качестве выходных данных. Фундаментальная идея теории пересмотра заключается в том, чтобы рассматривать это правило как правило пересмотра: выходная интерпретация лучше входной (или, по крайней мере, так же хороша; эта квалификация будет воспринята как прочитанная). Семантическое значение, которое определение придает определенному термину, не является расширением - разграничением вселенной дискурса на объекты, которые подпадают под определенный термин, и те, которые не соответствуют. Семантическая ценность является правилом пересмотра.

Правило пересмотра объясняет поведение, как обычное, так и необычное, круговой концепции. Пусть (delta) будет правилом пересмотра, полученным из определения, и пусть (V) будет произвольной гипотетической интерпретацией определенного термина. Мы можем попытаться улучшить нашу гипотезу (V) путем повторного применения правила (delta). Результирующая последовательность, [V, / delta (V), / delta (delta (V)), / delta (delta (delta (V))), / ldots,)

последовательность изменений для (delta). Совокупность последовательностей ревизий для (delta) для всех возможных начальных гипотез является процессом ревизии, генерируемым (delta). Например, правило ревизии для (18) генерирует процесс ревизии, который, среди прочего, состоит из следующих последовательностей ревизии:

[U, { text {Сократ}, / text {Платон} }, { text {Сократ}, / text {Платон}, / text {Аристотель} }, { text {Сократ}, / text {Платон} }, / ldots) ({ text {Xenocrates} }, { text {Сократ}, / text {Аристотель} }, { text {Сократ} }, { text {Сократ}, / text {Аристотель} }, / ldots)

Наблюдайте за поведением наших четырех древних философов в этом процессе. После некоторых начальных этапов пересмотра Сократ всегда попадает в пересмотренные интерпретации, а Ксенократ всегда выходит наружу. (В этом конкретном примере поведение обоих фиксируется после начальной стадии; в других случаях может потребоваться много этапов пересмотра, прежде чем статус объекта будет урегулирован.) Процесс пересмотра выдает категоричный вердикт двум философам: Сократ категорически подпадает под (G), а Ксенократ категорически подпадает под (G). Объекты, по которым процесс не дает категорического вердикта, называются патологическими (по отношению к правилу пересмотра, определению или определенному понятию). В нашем примере Платон и Аристотель являются патологическими по отношению к (18). Статус Аристотеля не стабилен ни в одной последовательности ревизий. Как будто процесс пересмотра не может определиться с ним. Иногда Аристотель считается подпадающим под (G), а затем процесс переворачивает себя и объявляет, что он не подпадает под (G), а затем процесс снова переворачивает себя. Когда объект ведет себя таким образом во всех последовательностях ревизий, это называется парадоксальным. Платон также патологичен относительно (G), но его поведение в процессе пересмотра отличается. Платон получает стабильный статус в каждой последовательности ревизий, но статус, который он приобретает, зависит от первоначальной гипотезы. Когда объект ведет себя таким образом во всех последовательностях ревизий, это называется парадоксальным. Платон также патологичен относительно (G), но его поведение в процессе пересмотра отличается. Платон получает стабильный статус в каждой последовательности ревизий, но статус, который он приобретает, зависит от первоначальной гипотезы. Когда объект ведет себя таким образом во всех последовательностях ревизий, это называется парадоксальным. Платон также патологичен относительно (G), но его поведение в процессе пересмотра отличается. Платон получает стабильный статус в каждой последовательности ревизий, но статус, который он приобретает, зависит от первоначальной гипотезы.

Процессы пересмотра помогают обеспечить семантику для циклических определений. [14] Они могут использоваться для определения семантических понятий, таких как «категориальная истина» и логических понятий, таких как «достоверность». Характеристики логических понятий, которые мы получаем, в решающей степени зависят от одного аспекта пересмотра: количества стадий, прежде чем объекты успокаиваются до их обычного поведения в процессе пересмотра. Определение называется конечным, если, грубо говоря, процесс его пересмотра обязательно требует лишь конечного числа таких этапов. [15] Для конечных определений существует простое логическое исчисление (mathbf {C} _ {0}), которое является правильным и полным для семантики ревизии. [16] С неконечными определениями процесс пересмотра распространяется на трансфинитный. [17]И эти определения могут добавить значительную выразительную силу к языку. (При добавлении к арифметике первого порядка эти определения делают все (Pi ^ {1} _ {2}) множествами натуральных чисел определимыми.) Из-за выразительной силы общее понятие справедливости для бесконечной круговой диаграммы определения не являются аксиоматизируемыми (Kremer 1993). Мы можем дать в лучшем случае хорошее логическое исчисление, но не полное. Ситуация аналогична логике второго порядка.

Рассмотрим некоторые общие черты ревизионной теории определений. (i) Согласно этой теории, логика и семантика некруговых определений, то есть определений в нормальной форме, остаются такими же, как в традиционном изложении. Правила введения и исключения действуют неограниченно, и этапы пересмотра являются необязательными. Отклонения от традиционного учета происходят только по круговым определениям. (ii) Согласно теории, круговые определения не нарушают логику основного языка. Предложения, содержащие определенные термины, подчиняются тем же логическим законам, что и предложения основного языка. (iii) Консервативность имеет место. Никакое определение, каким бы порочным оно ни было, не влечет за собой ничего нового на языке земли. Даже совершенно парадоксальное определение

[Gx / eqdf { sim} Gx)

уважает требование консервативности. (iv) Достижимость не сохраняется. Предложения расширенного языка, как правило, не сводятся к предложениям основного языка. Эта неудача имеет два источника. Во-первых, теория пересмотра фиксирует использование в утверждении и аргументации предложений расширенного языка, но не сводит предложения к предложениям основного языка. Таким образом, теория соответствует критерию использования, но не является более строгим критерием исключения. Во-вторых, в этой теории определение может добавить логическую и выразительную силу основному языку. Добавление кругового определения может привести к определимости новых множеств. Это еще одна причина, почему Eliminability не удается.

Можно возразить, что каждое понятие должно иметь расширение, что должна существовать определенная совокупность объектов, подпадающих под это понятие. Если это правильно, то предикат имеет смысл - он выражает концепцию - только если предикат обязательно четко разграничивает мир на те объекты, к которым он относится, и те, к которым он не относится. Следовательно, в возражении делается вывод, что ни один предикат с по существу круговым определением не может быть значимым. Возражение явно не является решающим, поскольку оно основывается на предпосылке, которая исключает многие обычные и явно значимые предикаты (например, «лысый»). Тем не менее, это примечательно, потому что оно иллюстрирует, как общие вопросы о значении и понятиях вступают в дискуссию о требованиях к законным определениям.

Основная мотивация для пересмотра теории носит описательный характер. Утверждалось, что теория помогает нам лучше понять наши обычные понятия, такие как истина, необходимость и рациональный выбор. Утверждается, что как обычное, так и запутанное поведение этих понятий коренится в круговороте понятий. Если это правильно, то в описательных и объяснительных определениях нет логического требования, чтобы они были некруглыми.

Для более подробного изучения этих тем см. Gupta 1988/89, Gupta and Belnap 1993 и Chapuis and Gupta 1999. См. Также запись о пересмотре теории истины. Критическое обсуждение теории пересмотра см. В работах Ванна МакГи и Дональда А. Мартина и ответе Гупты в Villanueva 1997. См. Также Shapiro 2006.

Библиография

  • Белнап, Н., 1993, «О строгих определениях», Философские исследования, 72: 115–146.
  • Бет, EW, 1953, «О методе Падоа в теории определений», Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
  • Boolos, GS, Burgess, JP, и Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, четвертое издание, Кембридж: издательство Cambridge University Press.
  • Карнап Р., 1956, Значение и необходимость: исследование семантики и модальной логики, расширенное издание, Чикаго: Университет Чикагской прессы.
  • Chapuis, A. и Gupta, A. (eds.), 1999, Циркулярность, Определение и Истина, Нью-Дели: Индийский совет философских исследований.
  • Чарльз, D. (ed.), 2010, Определение в греческой философии, Оксфорд: издательство Оксфордского университета.
  • Chihara, CS, 1973, Онтология и принцип замкнутого круга, Итака: издательство Корнеллского университета.
  • Черч, А., 1956, Введение в математическую логику, Принстон: издательство Принстонского университета.
  • –––, 1976, «Сравнение разрешения семантических антиномий Рассела с разрешением Тарского», Журнал символической логики, 41: 747–760.
  • Демопулос, В., 2003. «О рациональной реконструкции нашего теоретического знания», Британский журнал по философии науки, 54: 371–403.
  • Дудман, VH, 1973, «Фреге на определениях», Mind, 83: 609–610.
  • Фреге, Г., 1879, Begriffschrift, в книге «От Фреге к Геделю: сборник материалов по математической логике», 1879–1931, под редакцией Дж. Ван Хейеноорта, Кембридж, MA: издательство Гарвардского университета (1967), стр. 1–82.
  • –––, 1884, Основы арифметики: логико-математическое исследование концепции числа, второе пересмотренное издание (1980), Эванстон: Издательство Северо-Западного университета.
  • –––, 1914, «Логика в математике», в Gottlob Frege: Посмертные труды, под редакцией Х. Гермеса, Ф. Камбартеля и Ф. Каульбаха, Чикаго: Университет Чикагской прессы (1979), с. 203–250.
  • Гёдель, К., 1944, «Математическая логика Рассела», переиздан в сборнике «Том II. Публикации 1938–1974», Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета (1990), с. 119–141.
  • Гупта А., 1988/89, «Замечания об определениях и концепции истины», Труды Аристотелевского общества, 89: 227–246.
  • –––, 2006, «Определения конечных кругов», в Self-Reference, под редакцией Т. Боландера, В. Ф. Хендрикса и С. А. Андерсена, Стэнфорд: Публикации CSLI, стр. 79–93.
  • –––, 2019, «Сознательный опыт: логический запрос», Кембридж, Массачусетс, издательство Гарвардского университета.
  • Гупта, А. и Белнап, Н., 1993, пересмотр теории истины, Кембридж, MA: MIT Press.
  • Хакер, PMS, 1993, «Витгенштейн об экстенсионных определениях», Запрос, 18: 267–287.
  • Хейл Б. и Райт С., 2001, «Правильное исследование разума: очерки неофрегеанской философии математики», Оксфорд: Clarendon Press.
  • А. Хазен, 1983, «Предикативная логика», в «Справочнике философской логики: том I: Элементы классической логики», под редакцией Д. Габбая и Ф. Гюнтнера, Дордрехт: Рейдель, стр. 331–407.
  • Ходжес В., 1993, «Теория определения Тарского», в «Новых очерках о Тарском и философии», под редакцией Д. Паттерсона, Оксфорд: издательство Оксфордского университета, стр. 94–132.
  • Хорти, Дж., 2007, Фреге об определениях: тематическое исследование семантического содержания, Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.
  • Horwich, P., 1998, Значение, Оксфорд: Кларендон Пресс.
  • Кремер, П., 1993, «Системы Гупта-Белнапа (mathbf {S} ^ { #}) и (mathbf {S} ^ {*}) не являются аксиоматизируемыми», журнал Notre Dame Journal of Формальная логика, 34: 583–596.
  • Kripke, SA, 1980, Наименование и необходимость, Cambridge MA: издательство Гарвардского университета.
  • Локк, J., 1689, Эссе о человеческом понимании, под редакцией П. Х. Ниддича, Оксфорд: издательство Оксфордского университета (1975).
  • Мартинес, М., 2001, «Некоторые свойства замыкания конечных определений», Студия Логика, 68: 43–68.
  • Moschovakis, Y., 1974, Элементарная индукция абстрактных структур, Амстердам: Северная Голландия.
  • Падоа, А., 1900, «Логическое введение в любую дедуктивную теорию», «От Фреге к Гёделю: сборник материалов по математической логике», 1879–1931, под редакцией Дж. Ван Хейенуорта, Кембридж, MA: издательство Гарвардского университета (1967), С. 118–123.
  • Куайн, WVO, 1951, «Две догмы эмпиризма», переиздано в «С логической точки зрения», Кембридж, MA: издательство Гарвардского университета (1953), с. 20–46.
  • –––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.
  • Робинсон, Р., 1950, Определение, Оксфорд: Кларендон Пресс.
  • Рассел, Б., 1908, «Математическая логика как основанная на теории типов», переиздано в его «Логика и знание: очерки 1901–1950», Лондон: Джордж Аллен и Унвин (1956), стр. 59–102.
  • –––, 1948, «Человеческое знание: его границы и границы», Нью-Йорк: Саймон и Шустер.
  • Шапиро, Л., 2006, «Обоснование семантики ревизионных правил», Философские исследования, 129: 477–515.
  • Suppes, P., 1957, Введение в логику, Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
  • А. Тарский, 1983, логика, семантика, метаматематика: документы с 1923 по 1938 год, второе издание, под редакцией Дж. Коркорана, Индианаполис: издательство Hackett.
  • Urbaniak, R. и Hämäri, KS, 2012, «Разорение мифа о Лесневском и определениях», History and Philosophy of Logic, 33: 159–189.
  • Вильянуева, Е., (ред.), 1997, Правда (Философские проблемы 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.
  • Уайтхед А. Н. и Рассел Б., 1925, Principia Mathematica, vol. 1, второе издание, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
  • Уайтли, CH, 1956, «Значение и экстенсиональное определение», Mind, 65: 332–335.
  • Витгенштейн Л., 1953, Философские исследования, Нью-Йорк: Макмиллан.

Академические инструменты

значок сеп человек
значок сеп человек
Как процитировать эту запись.
значок сеп человек
значок сеп человек
Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho
значок Inpho
Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы
Фил документы
Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

Рекомендуем: