Парадокс карри

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последнее изменение: 2023-06-06 01:29

Входная навигация

• Содержание входа
• Библиография
• Академические инструменты
• Friends PDF Preview
• Информация об авторе и цитировании
• Вернуться к началу

Парадокс карри

Впервые опубликовано ср 6 сентября 2017 г.; основная редакция пт 19 января 2018 г.

«Парадокс Карри», как термин, используемый современными философами, относится к широкому спектру парадоксов самореференции или циркулярности, которые прослеживают их современное происхождение от Карри (1942b) и Лёба (1955). ^[1]Общей характеристикой этих так называемых парадоксов Карри является то, как они используют понятие импликации, следствия или следствия либо в форме связующего, либо в форме предиката. Парадокс Карри возникает в ряде различных областей. Как и парадокс Рассела, он может принимать форму парадокса теории множеств или теории свойств. Но он также может принимать форму смыслового парадокса, тесно связанного с парадоксом лжецов. Парадокс Карри отличается как от парадокса Рассела, так и от парадокса Лжеца тем, что он по существу не включает в себя понятие отрицания. Распространенные теоретические версии включают предложение, которое говорит о себе, что если оно истинно, то произвольно выбранное утверждение истинно, или - если использовать более зловещий экземпляр - говорит о себе, что если оно истинно, то каждая ложь истинна. Парадокс заключается в том, что существование такого предложения, по-видимому, подразумевает истинность произвольно выбранного утверждения или, в более зловещем случае, любой лжи. В этой статье мы покажем, как можно построить различные парадоксы Карри, исследуем пространство доступных решений и объясним, каким образом парадокс Карри имеет большое значение и создает особые проблемы.

• 1. Введение: два облика парадокса

  • 1.1 Неофициальный аргумент
  • 1.2 Ограничение на теории
  • 1.3 Обзор

• 2. Построение предложений карри

  • 2.1 Первый метод Карри и теоретико-множественные предложения Карри
  • 2.2 Второй метод Карри и теоретико-правдивые предложения Карри

• 3. Вывод парадокса

  • 3.1 Лемма о карри-парадоксе
  • 3.2 Альтернативные помещения

• 4. Ответы на парадокс Карри

  • 4.1 Ответы о неполном карри

  • 4.2 Ответы о карри-полноте

    • 4.2.1 Ответы без сокращений
    • 4.2.2 Ответы без отрыва
    • 4.2.3 Применение к неформальному аргументу

• 5. Значение парадокса Карри

  • 5.1 Лихие надежды на решение парадоксов отрицания

    • 5.1.1. Параконсистентные решения разочарованы
    • 5.1.2 Разочарованные решения
  • 5.2 Указание на общую структуру парадокса

• 6. Срок действия карри

  • 6.1 Соединительная форма
  • 6.2 Форма предиката
  • 6.3 Значение

• Библиография

  • Ключевые исторические источники
  • Другие ссылки
• Академические инструменты
• Другие интернет-ресурсы
• Связанные Записи

1. Введение: два облика парадокса

1.1 Неофициальный аргумент

Предположим, что ваш друг говорит вам: «Если то, что я говорю, используя это предложение, верно, то время бесконечно». Оказывается, есть короткий и, казалось бы, убедительный аргумент для следующего вывода:

(P) Простое существование утверждения вашего друга влечет за собой (или как следствие), что время бесконечно

Многие считают, что (P) находится за пределами веры (и, в этом смысле, парадоксально), даже если время действительно бесконечно. Или, если это не так уж плохо, рассмотрите другую версию, на этот раз с заявлением, которое известно как ложное. Вместо этого пусть ваш друг скажет: «Если то, что я говорю, используя это самое предложение, верно, то все числа простые». Теперь, mutatis mutandis, тот же короткий и, казалось бы, убедительный аргумент дает (Q):

(Q) Простое существование утверждения вашего друга влечет за собой (или как следствие), что все числа простые

Вот аргумент для (P). Пусть (k) будет само-ссылочным предложением, произнесенным вашим другом, несколько упрощенным, так что оно гласит: «Если (k) верно, то время бесконечно». Ввиду того, что говорит (k), мы знаем это очень много:

(1) Если предположить, что (k) верно, то если k верно, то время бесконечно

Но, конечно, у нас также есть

(2) Если предположить, что (k) верно, то верно, что k верно

Предполагая, что (k) верно, мы, таким образом, вывели условное выражение вместе с его предшественником. Используя modus ponens в рамках предположения, мы теперь выводим условное следствие при том же предположении:

(3) Если предположить, что (k) верно, то время бесконечно

Правило условного доказательства теперь дает нам право утвердить условное с нашим предположением как предшествующее:

(4) Если (k) верно, то время бесконечно

Но, поскольку (4) просто есть (k), мы имеем

(5) (k) верно

Наконец, сложив (4) и (5) вместе modus ponens, получим

(6) Время бесконечно

Похоже, мы установили, что время бесконечно, не используя никаких предположений, помимо существования самоссылочного предложения (k), наряду с кажущимися очевидными принципами истины, которые привели нас к (1), а также из (4) в (5). То же самое относится и к (Q), поскольку мы могли бы использовать одну и ту же форму аргумента, чтобы прийти к ложному выводу, что все числа простые.

1.2 Ограничение на теории

Одна из проблем, возникающих в связи с парадоксом Карри, состоит в том, чтобы определить, что идет не так в предыдущем неформальном аргументе для (P), (Q) или тому подобное. Но начиная с первоначальной презентации Карри в «Карри 1942b» (см. Дополнительный документ о «Карри о парадоксе Карри»), обсуждение парадокса Карри обычно имело иной фокус. Это касалось различных формальных систем - чаще всего устанавливает теории или теории истины. В этой ситуации парадокс является доказательством того, что система обладает определенной особенностью. Как правило, рассматриваемая особенность - тривиальность. Теория называется тривиальной или абсолютно непоследовательной, когда она подтверждает каждое утверждение, выражаемое на языке теории. ^[2]

Аргумент, устанавливающий, что конкретная формальная теория тривиальна, создаст проблему, если имеет место одно из следующего: (i) мы хотим использовать формальную теорию в наших запросах, как мы используем теорию множеств при выполнении математики, или (ii) мы хотим использовать формальную теорию для того, чтобы смоделировать особенности языка или мышления, в частности утверждения, которым привержены некоторые ораторы или мыслители. В любом случае, тривиальность целевой теории показала бы, что она не соответствует своему назначению. Так что это второй вызов, вызванный парадоксом Карри.

Чтобы объяснить смысл, в котором парадокс Карри ограничивает теории, нам нужно сказать, что такое предложение Карри. Неформально предложение Карри - это предложение, которое, в свете некоторых теорий, эквивалентно условному с самим собой в качестве антецедента. Например, можно считать, что аргумент раздела 1.1 апеллирует к неформальной теории истины. Тогда предложение «(k) истинно» служит предложением Карри для этой теории. Это потому, что, учитывая то, что наша неформальная теория говорит нам о том, что включает в себя (k) истина, «(k) истинно» должно быть эквивалентно «Если (k) истинно, то время бесконечно »(Поскольку это условие является (k) само по себе).

В дальнейшем обозначение (vdash _ { mathcal {T}} alpha) используется, чтобы сказать, что теория (mathcal {T}) содержит предложение (alpha) и (Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) используется, чтобы сказать, что (alpha) следует из помещений, собранных в (Gamma) в соответствии с (mathcal {T}) (т. е. в соответствии с отношением следствий (mathcal {T}) (vdash _ { mathcal {T}})). ^{[3] Однако, за} исключением раздела 4.2.1, нас будут интересовать только утверждения о том, что следует согласно теории из одной предпосылки, т. Е. Утверждения, выраженные предложениями формы (gamma \ vdash _ { mathcal {T }} alpha). (Мы полагаемся на контекст, чтобы прояснить, где такое предложение используется и где оно только упоминается.)

Два предложения (на языке теории (mathcal {T})) будут называться интерзамещаемыми согласно (mathcal {T}) при условии истинности любого утверждения вида (Gamma \ vdash _ { На mathcal {T}} alpha) не влияют замены одного на другой в (alpha) или в любом предложении в (Gamma). Наконец, мы предполагаем, что язык содержит связку ({ rightarrow}), которая в некотором подходящем смысле служит условной. В целях следующего определения мы не предъявляем никаких особых требований к поведению этого условия. Теперь мы можем определить понятие предложения Карри для пары теория предложений.

Определение 1 (предложение Карри). Пусть (pi) - предложение языка (mathcal {T}). Предложение Карри для (pi) и (mathcal {T}) - это любое предложение (kappa) такое, что (kappa) и (kappa { rightarrow} pi) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T}). ^[4]

Различные версии парадокса Карри возникают из-за существования аргументов в пользу следующего очень общего утверждения. (Эти аргументы, основанные на предположениях об условном ({ rightarrow}), будут подробно обсуждаться в разделе 3.)

Тревожное утверждение Для любой теории (mathcal {T}) и любого предложения (pi) на языке (mathcal {T}), если есть предложение Карри для (pi) и (mathcal {T}), затем (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Аргумент, который, по-видимому, устанавливает Утверждение о беспокойстве, будет считаться парадоксальным, если есть также веские основания полагать, что это утверждение является ложным. Контрпримером к Тревожному Утверждению будет любая теория (mathcal {T}) и предложение (pi), такие, что есть предложение Карри для (pi) и (mathcal {T}) но это не тот случай, когда (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Как отмечалось выше, парадокс Карри часто понимается как вызов существованию нетривиальных теорий. Учитывая тревожное утверждение, теория будет тривиальной всякий раз, когда предложение Карри может быть сформулировано для любого предложения на языке теории. Действительно, тривиальность следует из более слабого условия, которое следующее определение делает явным.

Определение 2 (теория полного по Карри) Теория (mathcal {T}) является полной по Карри при условии, что для каждого предложения (pi) в языке (mathcal {T}) существует некоторые (pi ') такие, что (i) есть предложение карри для (pi') и (mathcal {T}) и (ii) if (vdash _ { mathcal {T }} pi ') затем (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Хотя одним экземпляром (pi '), удовлетворяющим условию (ii), был бы сам (pi), другим примером будет "взрывное" предложение (bot), которое содержится в теории только в том случае, если каждое предложение содержится в теории. ^[5]

Утверждение о тревоге теперь имеет непосредственное следствие: теория полного карри должна содержать каждое предложение на своем языке.

Следствие, вызывающее беспокойство. Каждая теория, полная Карри, тривиальна.

Снова, любой аргумент, который, кажется, устанавливает Следствие Беспокойства, будет считаться парадоксальным при условии, что есть веская причина полагать, что есть нетривиальные теории (действительно истинные теории), которые являются полными Карри.

1.3 Обзор

В оставшейся части этой статьи парадокс Карри будет пониматься как наложение парадоксального ограничения на теории, а именно того, которое сформулировано вышеупомянутым следствием беспокойства. Представление версии парадокса Карри, понимаемой таким образом, включает в себя две вещи:

• утверждая, что (mathcal {T}) является карри-полным, для некоторой явно нетривиальной теории целей (mathcal {T}), и
• приводя аргумент для Тревожного Претензии. ^[6]

В разделах 2 и 3 обсуждаются эти две задачи в указанном порядке. На данный момент, основная идея может быть передана на примере самоссылочного предложения (k), которое гласит: «Если (k) истинно, то время бесконечно». Во-первых, учитывая наше понимание истины, мы признаем, что предложение «(k) истинно» взаимозаменяемо с «Если (k) истинно, то время бесконечно». Во-вторых, неформальный аргумент раздела 1.1 выводит парадоксальный вывод из этой эквивалентности. Читатели, в основном заинтересованные в логических принципах, связанных с этим аргументом и связанных с ним, а также о вариантах противодействия таким аргументам, могут обратиться к разделу 3.

2. Построение предложений карри

Как это стандартно представлено сегодня, парадокс Карри поражает «наивные» теории истины (те, которые имеют «прозрачный» предикат истины) и «наивные» теории множеств (те, которые показывают неограниченную абстракцию множеств). Этот раздел объяснит, как каждый вид теории может привести к предложениям Карри. Начнем, однако, с версии, касающейся теорий свойств, версии, которая больше напоминает формулировку Карри. (Дополнительный документ «Карри о парадоксе Карри» кратко характеризует цели собственных версий Карри.)

Теория свойств имеет неограниченную абстракцию свойств при условии, что для любого условия, которое можно определить на языке теории, существует свойство, которое (согласно теории) иллюстрируется именно тем, что соответствует этому условию. Рассмотрим теорию (mathcal {T_P}), сформулированную на языке с устройством абстракции свойств ([x: \ phi x]) и примером отношения (epsilon). Например, если (phi (t)) говорит, что объект, который обозначает термин (t), является треугольным, (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) говорит, что этот объект иллюстрирует свойство треугольности. Тогда, учитывая неограниченную абстракцию свойства, мы должны иметь следующий принцип.

(Свойство) Для каждого открытого предложения (phi) с одной свободной переменной и каждого терма (t), предложений (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) и (phi t) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T_P}).

Фактически, Карри (1942b) рисует два «метода конструирования» предложений Карри, используя его аналог (Свойство). Он говорит, что первый «основан на парадоксе Рассела», а второй «основан на парадоксе Эпименида». Хотя оба метода являются теоретико-имущественными, первый метод дает предшественник теоретико-множественных версий парадокса Карри, а второй - предшественников теоретико-правдивых версий.

2.1 Первый метод Карри и теоретико-множественные предложения Карри

Версия парадокса Рассела, на которую похож первый метод Карри, касается версии, иллюстрирующей свойства. Его тема - это свойство быть таким, что человек не может служить примером для себя. Мы получаем теоретико-имущественное предложение Карри, рассматривая вместо этого свойство быть таковым, что можно показывать себя только в том случае, если время бесконечно. Скажем, что мы вводим имя (h) для этого свойства, указав (h = _ {def} [x: x \ \ epsilon \ x { rightarrow} pi]), где предложение (пи) говорит, что время бесконечно. ^[7] Применяя принцип (Свойство) к предложению (h \ \ epsilon \ h), находим:

(h \ \ epsilon \ h) и (h \ epsilon \ h { rightarrow} pi) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T_P}).

Другими словами, (h \ \ epsilon \ h) - это предложение Карри для (pi) и (mathcal {T_P}).

Первый метод Карри впоследствии привел к теоретико-множественным предложениям Карри. Теория множеств имеет неограниченную абстракцию множества при условии, что для любого условия, которое можно определить на языке теории, существует множество, которое (согласно теории) содержит все и только то, что соответствует этому условию. Пусть (mathcal {T_S}) - наша теория множеств, сформулированная на языке, который выражает абстракцию множеств с помощью ({x: \ phi x }) и членство в множествах с помощью (in). Тогда аналог (Свойство)

(Установить) Для каждого открытого предложения (phi) с одной свободной переменной и каждого члена (t), предложений (t \ in {x: \ phi x }) и (phi t) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T_S}).

Чтобы получить теоретико-множественное предложение Карри, рассмотрим множество, состоящее из всего, что является его собственным, только если время бесконечно. Скажем, что мы вводим имя (c) для этого набора, указав (c = _ {def} {x: x \ in x { rightarrow} pi }). Применяя принцип (Set) к предложению (c \ in c), находим:

(c \ in c) и (c \ in c { rightarrow} pi) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T_S}).

Другими словами, (c \ in c) является предложением Карри для (pi) и (mathcal {T_S}).

Теоретико-множественная версия парадокса Карри была введена в Fitch 1952 г. ^[8], а также представлена в Moh 1954 и Prior 1955.

2.2 Второй метод Карри и теоретико-правдивые предложения Карри

Несмотря на его замечание о «парадоксе Эпименида», форме парадокса Лжеца, второй метод Карри является вариантом родственного семантического парадокса, парадокса Греллинга. ^[9]В своей первоначальной форме парадокс Греллинга рассматривает свойство, которым обладают многие слова, а именно свойство, которым обладает слово, когда оно не может служить примером свойства, которое оно отстаивает (Grelling & Nelson 1908). Например, слово «оскорбительность» обладает этим свойством: оно не может служить примером того свойства, за которое оно выступает, поскольку оно не оскорбительно (см. Статью о парадоксах и современной логике). По сути, Карри рассматривает вместо свойства, которое слово предоставило, оно иллюстрирует свойство, за которое оно выступает, только если время бесконечно. Теперь предположим, что наша теория вводит имя (u) для этого свойства. Затем Карри показывает, как построить предложение, которое (говоря неформально) говорит, что имя (u) иллюстрирует свойство, которое оно обозначает. Он показывает, что это предложение будет служить предложением Карри для теории свойств и обозначения имен.^[10]

Хотя этот метод получения предложения Curry основан на семантической функции выражений, он все еще опирается на абстракцию свойства. Тем не менее, его можно рассматривать как предшественник полностью семантической версии. (Вместо того, чтобы рассматривать вышеупомянутое свойство, можно считать, что предикат «применяется к самому себе, только если время бесконечно».) Соответственно, поскольку Geach (1955) и Löb (1955) были первыми, кто показал, предложения Карри могут быть получены используя только семантические принципы, не полагаясь на абстракцию свойства. Их маршрут соответствует неформальному аргументу в разделе 1.1, включающему само-ссылочное предложение (k), которое гласит: «Если (k) истинно, то время бесконечно».

Для этого пусть (mathcal {T_T}) - теория истины, где (T) - предикат истины. Принять принцип «прозрачности»

(Правда) Для каждого предложения (alpha) предложения (T \ langle \ alpha \ rangle) и (alpha) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T_T}).

Чтобы получить предложение Карри, используя этот принцип, предположим, что есть предложение (xi), которое является (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi). ^[11] Тогда из (Истины) немедленно следует, что

(T \ langle \ xi \ rangle) и (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) взаимозаменяемы в соответствии с (mathcal {T_T}).

Другими словами, (T \ langle \ xi \ rangle) - это предложение Карри для (pi) и (mathcal {T_T}).

Гич отмечает, что смысловой парадокс, возникающий из предложения типа (T \ langle \ xi \ rangle), напоминает «парадокс Карри в теории множеств». Лёб, который не упоминает работу Карри, приписывает парадокс наблюдению судьи о доказательстве того, что сейчас известно как теорема Лёба о доказуемости (см. Статью о теоремах Гёделя о неполноте). Судья, который теперь известен как Леон Хенкин (Halbach & Visser 2014: 257), предположил, что метод Лёба, использованный в его доказательстве, «приводит к новому выводу парадоксов на естественном языке», а именно к неформальному аргументу из раздела 1.1 выше. ^[12]

3. Вывод парадокса

Предположим, что мы использовали один из приведенных выше методов, чтобы показать для некоторой теории истины, множеств или свойств, что теория полна карри (в силу, скажем, содержания предложения карри для каждого предложения языка, или за взрывное предложение). Чтобы сделать вывод о том, что данная теория тривиальна, теперь достаточно привести аргумент для тревожного утверждения. Это утверждение, что для каждой теории (mathcal {T}), если для (pi) и (mathcal {T}) есть предложение Карри, то (vdash _ { mathcal {T}} pi). Такой аргумент будет использовать предположения о логическом поведении условного ({ rightarrow}), упомянутого в определении 1. Если предположить, что требованию о тревоге нужно сопротивляться, это соответственно накладывает ограничения на поведение этого условного выражения.

3.1 Лемма о карри-парадоксе

Для начала приведем очень общий ограничительный результат, близкий вариант леммы в Карри 1942b. ^[13]

Лемма о парадоксе Карри Предположим, что теория (mathcal {T}) и предложение (pi) таковы, что (i) существует предложение Карри для (pi) и (mathcal {T}), (ii) все экземпляры правила тождества (Id) (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) имеют место, и (iii) условное выражение ({ rightarrow}) удовлетворяет из следующих принципов:

(tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

Тогда (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Здесь MP - версия modus ponens, а Cont - принцип сжатия: два вхождения предложения (alpha) «сокращены» в одно. (Вскоре мы столкнемся со смежными принципами, которые чаще называют сокращением. ^[14]) Лемма Карри-Парадокса влечет за собой то, что любая теория, полная Карри, должна нарушать один или несколько из Id, MP или Cont под угрозой тривиальности.

Чтобы доказать лемму, нужно показать, что Id, MP и Cont вместе с «интерсистемозависимостью Карри» для (kappa) с (kappa { rightarrow} pi) достаточно для установления (vdash_ { mathcal {T}} pi). Следующий вывод напоминает неформальный аргумент раздела 1.1. Этот аргумент также содержал подзаголовок принципа Cont, который будет рассмотрен ниже.

(begin {array} {rll} 1 & \ kappa \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {Id} \ 2 & \ kappa \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {1 карри-интерситутивность} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {2 Cont} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {3 карри-интерситутивность} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 MP} end {array})

В разделе 4 будут обсуждаться способы оправдания или отклонения каждого из двух принципов, касающихся ({ rightarrow}), принятых в лемме Карри-парадокса.

3.2 Альтернативные помещения

Существуют аналоги леммы о карри-парадоксе, которые используют альтернативные наборы логических принципов (см., Например, Rogerson & Restall 2004 и Bimbó 2006). Вероятно, самая распространенная версия заменяет правила Id и Cont соответствующими законами:

(tag {IdL} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} alpha) (tag {ContL} vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)) { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta))

Вывод теперь идет следующим образом:

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} kappa & \ textrm {IdL} \ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & \ textrm {1 карри-интерситутивность} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} (kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi)) { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & \ textrm {2 ContL} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm { 2, 3 MP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {4 карри-интерситутивность} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {4, 5 MP} \ \ end {array})

Второй общий аналог леммы Карри-Парадокса принадлежит Мейеру, Роутли и Данну (1979). ^[15] Он использует два принципа, касающихся конъюнктуры: форма закона modus ponens и идемпотентность конъюнктуры.

(tag {MPL} vdash _ { mathcal {T}} ((alpha { rightarrow} beta) wedge \ alpha) { rightarrow} beta)

(То же самое (_ { wedge})) Предложения (alpha) и (alpha \ wedge \ alpha) взаимозаменяемы в соответствии с (T)

На этот раз вывод происходит следующим образом:

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} ((kappa { rightarrow} pi) wedge \ kappa) { rightarrow} pi & \ textrm {MPL} \ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} (kappa \ wedge \ kappa) { rightarrow} pi & \ textrm {1 карри-интерситутивность} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {2 Idem (_ { wedge})} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {4 карри-интерситутивность} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 MP} \ \ end {array})

Формулировка леммы о карри-парадоксе с использованием Cont, а не ContL или MPL, облегчит обратить внимание (в следующем разделе) на значительные различия в классе ответов, которые отвергают оба последних принципа. ^[16]

4. Ответы на парадокс Карри

Ответы на парадокс Карри можно разделить на два класса в зависимости от того, принимают ли они тревожное следствие того, что все теории, полные карри, тривиальны.

• Ответы о неполноте карри принимают тревожное следствие. Тем не менее, они отрицают, что целевые теории свойств, множеств или истин являются карри-полными. Ответы на неполноту карри могут и обычно включают классическую логику.
• Ответы о полноте карри отвергают тревожное следствие; они настаивают на том, что могут быть нетривиальные карри-полные теории. Любая такая теория должна нарушать один или несколько логических принципов, принятых в лемме Карри-Парадокса. Так как классическая логика подтверждает эти принципы, эти ответы вызывают неклассическую логику. ^[17]

Существует также возможность отреагировать ответом на неполноту Карри на парадоксы Карри, возникающие в одной области, скажем, теории множеств, при этом отразить отклик на полноту карри на парадоксы Карри, возникающие в другой области, скажем, теорию свойств (например, Field 2008; Beall 2009).).

4.1 Ответы о неполном карри

Примеры выдающихся теорий истины, которые обеспечивают отклики неполноты Карри на парадокс Карри, включают иерархическую теорию Тарского, ревизионную теорию истины (Gupta & Belnap 1993) и контекстуалистские подходы (Burge 1979, Simmons 1993 и Glanzberg 2001, 2004). Все эти теории ограничивают принцип «наивной» прозрачности (Истина). Для обзора, смотрите запись о парадоксе лжецов. В контексте теории множеств отклики на неполноту Карри включают в себя расселевские теории типов и различные теории, ограничивающие «наивный» принцип абстракции множеств (Set). Смотрите записи о парадоксе Рассела и альтернативных аксиоматических теориях множеств.

В общем, соображения, относящиеся к оценке большинства ответов о неполной структуре Карри, как представляется, не являются специфическими для парадокса Карри, но в равной степени относятся к парадоксу Лжера (в области теории истинности) и парадоксу Рассела (в множестве и свойстве). теоретические области). ^[18] По этой причине оставшаяся часть этой статьи будет посвящена ответам о полноте Карри, хотя в разделе 6.3 кратко возвращается к различию в контексте так называемых парадоксов Карри достоверности.

4.2 Ответы о карри-полноте

Ответы на полноту карри на парадокс Карри считают, что существуют теории, полные карри, но нетривиальные; такая теория должна нарушать один или несколько логических принципов, принятых в лемме Карри-парадокса. Поскольку правило Id обычно не подвергалось сомнению (но см. French 2016 и Nicolai & Rossi, готовится к выпуску), это означало отрицание того, что условная ({ rightarrow}) нетривиальной теории полного карри удовлетворяет как MP, так и Cont. Соответственно, ответы попали в две категории.

(I) Наиболее распространенная стратегия состояла в том, чтобы признать, что такая теория условно подчиняется MP, но отрицать, что она подчиняется Cont. Поскольку Cont является принципом сокращения, такие ответы можно назвать без сжатия. Эта стратегия была впервые предложена Мохом (1954), который был одобрен Гичем (1955) и Приором (1955)

(II) Вторая и гораздо более свежая стратегия состоит в том, чтобы признать, что такая теория условно подчиняется Cont, но отрицать, что она подчиняется MP (иногда называемой правилом «отрешенности»). Такие ответы можно назвать безотказными. Эта стратегия по-разному поддерживается Рипли (2013) и Биллом (2015)

Каждая категория ответов о полноте Карри, в свою очередь, может быть подразделена в соответствии с тем, как она блокирует предполагаемые производные Cont и MP.

4.2.1 Ответы без сокращений

Принцип Cont, который отклоняется ответами без сокращений, следует из двух стандартных принципов. Это однозначное условное доказательство и несколько более общая версия modus ponens, включающая не более одной предпосылки (gamma):

• (MP ') Если (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) и (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha), то (гамма \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CP) Если (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta), то (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

(begin {array} {rll} 1 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \ textrm {Id} \ 3 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1, 2 MP '} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow } beta & \ textrm {3 CP} \ \ end {array})

Таким образом, ответы без сжатия должны отвергать один или другой из этих двух принципов для условной нетривиальной теории полного карри. Соответственно можно выделить две подкатегории теоретиков в категории (I):

(Ia) Ответ без сильных сокращений отрицает, что ({ rightarrow}) подчиняется MP '(например, Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)

(Ib) Слабый ответ без сжатия принимает, что ({ rightarrow}) подчиняется MP ', но отрицает, что он подчиняется CP (например, Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)

Причина, по которой ответы в категории (Ib) считаются только слабо свободными от сжатия, заключается в том, что, как показывают шаги 1-3, они принимают принцип сжатия, согласно которому if (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) затем (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta).

Сторонники откликов без сильных сокращений считают, что MP 'неправильно выражает соответствующую форму modus ponens. Как правило, они представляют свою собственную форму этого правила в «субструктурной» структуре, в частности, которая позволяет нам отличать то, что следует от предпосылки, взятой один раз, и то, что следует от той же предпосылки, взятой дважды. (См. Запись о субструктурной логике.) Соответственно, MP 'необходимо заменить на

(MP ″) Если (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) и (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha), то (гамма, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

и правило «структурного сокращения» должно быть отклонено:

(sCont) Если (Gamma, \ gamma, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta), то (Gamma, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

Именно потому, что они отвергают структурное сжатие, подходы со строгим отсутствием сжатия могут претендовать на сохранение modus ponens, несмотря на отказ от MP »(см. Shapiro 2011, Zardini 2013 и Ripley 2015a).

Ответы без сильных сокращений также должны блокировать вывод MP, используя пару принципов, включающих соединение:

(MP '(_ { land})) If (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) и (delta \ vdash _ { mathcal {T} } alpha) затем (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

(То же самое (_ { wedge})) Предложения (alpha) и (alpha \ wedge \ alpha) взаимозаменяемы в соответствии с (T)

(begin {array} {rll} 1 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & \ gamma \ wedge \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1, 2 MP '(_ { wedge})} \ 4 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {3 Idem (_ { wedge})} \ \ end {array})

Чтобы избежать этого вывода MP ', нужно отрицать, что существует конъюнкция (wedge), которая подчиняется как MP' (_ { wedge}), так и Idem (_ { wedge}). Согласно многим ответам без сильных сокращений (например, Mares & Paoli 2014; Zardini 2011), один тип соединения - «мультипликативный» или «слияние» - подчиняется MP '(_ { wedge}), но не Idem (_ { wedge}), тогда как другой вид - «аддитивный» вид - подчиняется Idem (_ { wedge}), но не MP '(_ { wedge}) (см. Статью о линейном логика и Рипли 2015a). Если используется вышеупомянутая субструктурная структура, сбой MP '(_ { wedge}) сводится к тому, что для аддитивного соединения (gamma, \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta) не эквивалентно (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta).

Что касается ответов со слабым сокращением, то провал CP иногда мотивировался использованием семантики «миров», которая включает в себя различие между логически возможными и невозможными мирами (например, Beall 2009; Nolan 2016). Чтобы опровергнуть CP, нам нужны истина (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) и ложность (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta). В целевых подходах к «мирам» (vdash_ \ mathcal {T}) определяется как сохранение истины над соответствующим подмножеством миров (в модели), а именно «возможных миров» модели. Следовательно, для того, чтобы (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) было истинным, необходимо, чтобы не было никакого возможного мира (в любой модели), в котором (alpha) является истинным и (beta \ не соответствует действительности В свою очередь, чтобы опровергнуть (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta), нам нужен возможный мир, в котором (alpha { rightarrow} beta) не соответствует действительности. Как это происходит? Поскольку соединительные элементы определены таким образом, что учитываются все (типы) миров в модели (возможно и, если возможно, невозможно), существует возможность, что (alpha { rightarrow} beta) не соответствует действительности в возможном мире в силу того, что (alpha) является правдой и (beta) не соответствует действительности в невозможном мире. И это именно то, что происходит на целевых подходах. (Точно, как каждый определяет условия «правда в мире» и «ложь в мире» для стрелки, зависит от точного подхода к «мирам»). И это именно то, что происходит на целевых подходах. (Точно, как каждый определяет условия «правда в мире» и «ложь в мире» для стрелки, зависит от точного подхода к «мирам»). И это именно то, что происходит на целевых подходах. (Точно, как каждый определяет условия «правда в мире» и «ложь в мире» для стрелки, зависит от точного подхода к «мирам»).

4.2.2 Ответы без отрыва

Ответы без отрыва должны блокировать прямое получение MP, основанное на принципе транзитивности, вместе с обратным условием однозначного условного доказательства:

• (Trans) Если (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta) и (vdash _ { mathcal {T}} alpha), то (vdash _ { mathcal {T}} бета)
• (CCP) Если (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), то (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1 CCP} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {2, 3 Trans} \ \ end {array })

В категории (II) есть две подкатегории теоретиков:

• (IIa) В ответе без отрешенности отрицается, что ({ rightarrow}) подчиняется CCP (Goodship 1996; Beall 2015).
• (IIb) Слабый ответ без отрыва принимает, что ({ rightarrow}) подчиняется CCP, но отвергает Trans (Ripley 2013).

Причина, по которой ответы в категории (IIb) слабо свободны от отказов, заключается в том, что КПК, которую принимают эти ответы, может рассматриваться как своего рода принцип отстранения для условного.

Одной из стратегий ответа на обвинение в том, что ответы без отрядов являются нелогичными, было обращение к связи между следствием и нашим принятием и отклонением приговоров. В соответствии с этой связью, всякий раз, когда (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta), это означает (или, по крайней мере, подразумевает), что это не согласуется с огнями теории (mathcal {T}) принять (alpha) при отклонении (beta) (см. Restall 2005). Предположим теперь, что в свете теории (mathcal {T}) несогласованно отклонять (alpha) и несогласованно принимать (alpha) при отклонении (beta). Затем, как утверждает Рипли (2013), в теории не должно быть ничего непоследовательного в том, что мы отвергаем (beta), если не принимать (alpha). Таким образом, есть возможность отказаться от Транс и принять слабо свободный отрешенный ответ на парадокс Карри. Защита Биллом подхода без отрыва основывается на смежных соображениях. По сути, он утверждает, что принцип, более слабый, чем CCP, может сыграть важную роль в ограничении комбинаций принятия и отклонения предложений, включая (alpha), (beta) и (alpha { rightarrow) }\бета).

4.2.3 Применение к неформальному аргументу

Подходы к парадоксу Карри, только что выделенные, находят ложь в разных выводах и под выводах неформального парадоксального аргумента в разделе 1.1. Отклик с сильным отсутствием сжатия соответствует этапу блокировки (3) этого аргумента, поскольку он отклоняет MP '. Вместо этого слабо свободный ответ блокирует шаг (4), так как он отклоняет CP. Ни один из видов ответа без отрыва не примет обоснование на этапе (3). Так как они принимают Cont, ответы без отрыва позволяют нам сделать вывод (4), откуда слабо ответы без отрыва далее позволяют нам получить заключение (3) CCP. Тем не менее, оба вида реакции без отрыва находят ошибку в последнем шаге MP к (6).

5. Значение парадокса Карри

В этом разделе мы объясняем некоторые отличительные уроки, которые можно извлечь, рассматривая парадокс Карри. Для обсуждения видов значимости, которые версии парадокса Карри разделяют со связанными парадоксами, см. Записи о парадоксе Рассела и парадоксе Лжеца.

5.1 Лихие надежды на решение парадоксов отрицания

Начиная с Church (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) и Prior (1955), обсуждение парадокса Карри подчеркнуло, что он отличается от парадокса Рассела и парадокса Лжеца тем, что он не «В сущности, вовлечено отрицание» (Anderson 1975: 128). ^[19] Одна из причин отсутствия статуса отрицания парадокса Карри состоит в том, что он делает парадокс устойчивым к некоторым резолюциям, которые могут быть адекватными для таких «парадоксов отрицания».

Гич утверждает, что парадокс Карри представляет собой проблему для любых сторонников наивной теории истины или наивной теории множеств, которые, столкнувшись с парадоксами отрицания,

мог бы… надеяться избежать [этих парадоксов], используя логическую систему, в которой «(p) тогда и только тогда, когда - (p)» были теоремой для некоторых интерпретаций «(p)» без нашего быть в состоянии вывести отсюда любое произвольное утверждение… (Geach 1955: 71)

Проблема, говорит он, заключается в том, что парадокс Карри «не может быть решен просто путем принятия системы, которая содержит странный вид отрицания». Скорее, «если мы хотим сохранить наивный взгляд на истину или наивный взгляд на классы…, то мы должны изменить элементарные правила вывода, относящиеся к« если »» (1955: 72). Мейер, Роутли и Данн (1979: 127) подтверждают, что взгляд Гича на значение парадокса Карри Они заключают, что парадокс Карри расстраивает тех, кто «надеялся, что ослабление классических принципов отрицания» разрешит парадокс Рассела. ^[20]

Короче говоря, дело в том, что существуют неклассические логики со слабыми принципами отрицания, которые разрешают парадокс Рассела и Лжеца, но остаются уязвимыми для парадокса Карри. Это логика со следующими функциями:

• (а) Они могут служить основой для нетривиальной теории, согласно которой некоторое предложение взаимозаменяемо с его собственным отрицанием.
• (б) Они не могут служить основой для нетривиальной теории, полной Карри.

Хотя неясно, какую логику мог иметь в виду Гич, действительно существуют неклассические логики, которые удовлетворяют этим двум условиям. Теории, основанные на этих логиках, соответственно остаются уязвимыми для парадокса Карри.

5.1.1. Параконсистентные решения разочарованы

Мейер, Роутли и Данн (1979) обращают внимание на один класс логик, которые удовлетворяют условиям (а) и (б). Они входят в число противоречивых логик, которые представляют собой логику, согласно которой предложение вместе с его отрицанием не повлечет за собой произвольного предложения. Паранепротиворечивая логика может быть использована для получения теорий, которые разрешают парадокс Рассела и Лжеца, принимая непоследовательность отрицания, не поддаваясь тривиальности.

В соответствии с такой теорией (mathcal {T}) предложения (lambda) и (lnot \ lambda) могут быть взаимозаменяемыми до тех пор, пока оба (vdash _ { mathcal {T} } lambda) и (vdash _ { mathcal {T}} lnot \ lambda). Такие теории являются «ненасытными» в том смысле, что они подтверждают какое-то предложение вместе с его отрицанием (см. Статью о диалектизме). И все же ряд выдающихся паранепротиворечивых логик не может служить основой для полных карри теорий под угрозой тривиальности. Иногда говорят, что такая логика не является «параконсистентной по Карри» (Slaney 1989). ^[21]

5.1.2 Разочарованные решения

Многие из неклассических логик, которые были предложены, чтобы подтвердить ответы на парадокс Рассела и парадокс Лжеца, - это неполные логики, логики, которые отвергают закон исключенного среднего. Эта логика делает возможными «пустые» теории. В частности, где (lambda) и (lnot \ lambda) являются взаимозаменяемыми в соответствии с такой теорией (mathcal {T}), это не будет так, что (vdash _ { mathcal {T}} lambda \ lor \ lnot \ lambda). Некоторые из этих параполных логик также соответствуют условиям (а) и (б).

Одним из примеров является логика Ł (_ {3}), основанная на трехзначных таблицах истинности Лукасевича (см., Например, Priest 2008). Так как он удовлетворяет условию (а), Ł (_ {3}) предлагает возможный ответ на парадокс Рассела и, в частности, лжеца, ответ на случайную ошибку. Однако рассмотрим повторное условное выражение (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)), которое мы сокращаем как (alpha \ Rightarrow \ beta). Предположим, что предложение Карри для (pi) и теории, основанной на ((_ {3}) (mathcal {T}), переопределено как любое предложение (kappa), заменяемое с помощью (kappa \ Rightarrow \ pi). Тогда (mathcal {T}) будет удовлетворять всем условиям леммы Карри-Парадокса, как впервые было отмечено Мохом (1954). Следовательно, пока существует (kappa), который взаимозаменяем с (kappa \ Rightarrow \ pi) в соответствии с (mathcal {T}), то (vdash _ { mathcal { T}} pi). Следовательно, Ł (_ {3}) не подпишет ответ на парадокс Карри.^[22]

Подводя итог: парадокс Карри стоит на пути некоторых других доступных способов разрешения семантических парадоксов с помощью ненормативной или порочной теории. В результате, необходимость избежать парадокса Карри сыграла значительную роль в развитии неклассической логики (например, Priest 2006; Field 2008).

5.2 Указание на общую структуру парадокса

Отсутствие отрицания статуса парадокса Карри имеет значение по второй причине. Приор делает следующий важный момент:

Мы можем … сказать не только, что парадокс Карри не связан с отрицанием, но что даже парадокс Рассела предполагает только те свойства отрицания, которые он разделяет с подтекстом. (До 1955: 180) ^[23]

Он имеет в виду, что парадокс Рассела и парадокс Карри могут быть поняты как результат одной и той же общей структуры, которая может быть реализована с использованием отрицания или условного выражения. ^[24]

Общую структуру можно сделать явной, определив тип унарного связующего, который порождает парадокс Карри, и показывая, как этот тип иллюстрируется как отрицанием, так и унарным соединителем, определяемым в терминах условного выражения.

Определение 3 (связка Карри). Пусть (pi) - предложение на языке теории (mathcal {T}). Унарный соединитель (odot) является соединителем Карри для (pi) и (mathcal {T}) при условии, что он удовлетворяет двум принципам:

(tag {P1} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} pi.) (tag {P2} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha.)

Обобщенная лемма о карри-парадоксе Предположим, что (mathcal {T}) таков, что имеет место Id и что для некоторой пары предложений (pi) и (mu), (i) (mu) и (odot \ mu) являются взаимозаменяемыми в соответствии с (mathcal {T}), а (ii) (odot) является соединением Карри для (pi) и (mathcal { Т}). В этом случае (vdash _ { mathcal {T}} pi). ^[25]

Доказательство:

(begin {array} {rll} 1 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {Id} \ 2 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {2 P2} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 P1} \ \ end {array})

Обобщенную лемму о парадоксе Карри можно теперь создать двумя различными способами, чтобы получить либо парадокс Карри, либо парадокс отрицания:

• Чтобы получить парадокс Карри, пусть унарный соединитель (odot) таков, что (odot \ alpha) равен (alpha { rightarrow} pi), и пусть (mu) будет предложение заменяется на (mu { rightarrow} pi) в соответствии с (mathcal {T}). Тогда P1 равняется экземпляру MP, использованному в нашем выводе леммы Карри-Парадокса, в то время как P2 - не что иное, как наше правило Cont.

  (tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

• Чтобы получить парадокс отрицания, пусть (odot \ alpha) будет (lnot \ alpha), и пусть (mu) будет предложением, заменяемым на (lnot \ mu) в соответствии с (mathcal {T},). ^[26] Тогда P1 представляет собой случай ex противоречивого quodlibet (или «взрыва»), в то время как P2 является принципом сокращения.

  (tag {ECQ} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Red} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha)

Приор считает, что черты отрицания, которые имеют отношение к парадоксу Рассела или парадоксу Лжеца, исчерпаны его статусом связующего Карри. Это объясняет, почему эти парадоксы не зависят от особенностей отрицания, таких как исключение среднего или двойного отрицания, которые не могут быть выполнены в неклассических теориях, где отрицание остается соединительным элементом Карри (например, в интуиционистских теориях, где оба ECQ и красный имеют место), ^[27]

Более того, соединительный элемент карри вовсе не обязательно должен быть очень отрицательным. Это может быть даже минимальное отрицание (см. Статью об отрицании), поскольку оно не должно подчиняться закону двойного введения:

(tag {DI} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ odot \ alpha.)

Например, предположим, что (odot \ alpha) равно (alpha { rightarrow} pi). Тогда для того, чтобы (odot) подчинялся DI, должен быть случай, когда (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} pi) { rightarrow} число Пи). Этот принцип нарушается рядом неклассических теорий, для которых (odot), при таком определении, квалифицируется как связка Карри. ^[28]

Подводя итог: парадокс Карри указывает на общую структуру, созданную широким спектром парадоксов. Эта структура сама по себе не предполагает отрицания, но она также демонстрируется парадоксами, которые (в отличие от парадокса Карри) по существу включают отрицание, такие как парадокс Рассела и парадокс Лжеца.

Вопрос о том, какие парадоксы проявляют общую структуру, становится важным в свете «принципа единообразного решения», активно пропагандируемого Пристом (1994). Согласно этому принципу, парадоксы, принадлежащие к «одному виду», должны получить «такое же решение». Предположим, что мы разграничиваем один вид парадокса следующим образом:

Определение 4 (парадокс обобщенного карри). У нас есть обобщенный парадокс карри в любом случае, когда предположения, сформулированные в лемме об обобщенном карри-парадоксе, оказываются верными.

Предполагая, что кто-то принимает принцип равномерного решения, возникает вопрос, что считается предложением равномерного решения всех обобщенных парадоксов Карри. В частности, достаточно ли показать, для каждого экземпляра такого рода, который разделен таким образом, что то, что кажется соединительным элементом Карри, на самом деле не одно целое? Казалось бы, этого действительно должно быть достаточно. Неясно, почему единообразие должно дополнительно требовать, чтобы все кажущиеся связки Карри не соответствовали таковым в силу нарушения одного и того же условия. Например, предположим, что отрицание и наша унарная связка, определенные с помощью ({ rightarrow}), похоже, удовлетворяют обобщенному принципу P2, в первом случае, потому что ({ lnot}), кажется, подчиняется Красному, а во втором дело, потому что ({ rightarrow}), кажется, подчиняется продолжению Если эти два появления не имеют общего источника (например,подразумеваемая зависимость от структурного сокращения, как утверждает Zardini 2011), не должно быть ничего явно неоднородного в том, чтобы принимать одно явление за чистую монету, отвергая другое как обманчивое. (Для обсуждения философской проблемы здесь, примененной к другому классу парадоксов, см. Обмен в Смит 2000 и Прист 2000).

Если это правильно, то решение о том, что обобщенные парадоксы Карри должны быть разрешены единообразно, не должно делать различий между различными логически ревизионными решениями, которые были использованы. К ним относятся следующие три варианта:

• Можно было бы считать, что только принцип P1 не работает, когда (odot \ alpha) создается как (lnot \ alpha) (чтобы получить парадокс отрицания), тогда как только P2 не работает, когда (odot \ alpha) создается как (alpha { rightarrow} pi) (чтобы получить парадокс Карри). При таком подходе ECQ и Cont терпят неудачу, в то время как Red и MP держатся (Priest 1994, 2006).
• Можно предположить, что один P2 не работает для обоих экземпляров (odot). При таком подходе Red и Cont терпят неудачу, в то время как ECQ и MP держатся (Field 2008; Zardini 2011).
• Можно было бы считать, что P1 не работает для обоих экземпляров (odot). При таком подходе ECQ и MP терпят неудачу, в то время как Red и Cont держатся (Beall 2015; Ripley 2013).

Таким образом, например, собственный подход Приста мог бы считаться разрешением парадокса Карри и парадокса Лжеца в равной степени как примеры обобщенного парадокса Карри. Это было бы так, несмотря на тот факт, что Прист оценивает предложения лжецов как истинные и ложные, тогда как он отвергает утверждение, что предложения Карри верны.

В любом случае парадокс Карри ставит проблемы в связи с вопросом о том, какой тип однородности должен требоваться для решения различных парадоксов (см. Также Zardini 2015). Сам Прист обращает внимание на своего рода парадокс, более узкий, чем обобщенные парадоксы Карри, тот тип, чьи примеры включают парадоксы отрицания, но исключают парадокс Карри. Этот вид выбран «Приложением Схема» (2002); см. запись о самостоятельной ссылке. Один из продолжающихся споров связан с тем, может ли существовать версия парадокса Карри, которая считается «парадоксом вложения», хотя он противостоит единому диалектическому решению Приста для таких парадоксов (см. Обмен в Beall 2014b, Weber et al. 2014 и Beall 2014a)., а также Pleitz 2015).

6. Срок действия карри

В последнее десятилетие (на момент написания этой версии этой записи) наблюдался бум внимания к парадоксам Карри и, возможно, особенно к тому, что было названо парадоксами действительности Карри или v-карри (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi 2013). ^[29] V-Curry включает предложения Curry, которые специально вызывают отношение теории к «следствию» или «валидности», используя условный или предикат, предназначенный для выражения отношения теории (mathcal {T}) (vdash_ \ mathcal {T}) на языке самого (mathcal {T}).

6.1 Соединительная форма

Для одной из форм парадокса v-карри, пусть условие, упомянутое в определении предложения Карри (определение 1), будет связующим следствием ({ Rightarrow}). Предложение с ({ Rightarrow}) в качестве основного оператора следует интерпретировать следующим образом: «Это (p) влечет (согласно (mathcal {T})), что (q) . Теперь мы немедленно получаем теорию свойств, теоретико-множественные или истинно-теоретические версии парадокса Карри, при условии, что только ({ Rightarrow}) удовлетворяет условиям MP и Cont леммы о карри-парадоксе.

Что делает этот пример леммы Карри-парадокса особенно проблематичным, так это то, что он создает препятствие для одного общего ответа на парадокс Карри, а именно, ответ слабо без сжатия, обсуждаемый в разделе 4.2.1. Этот ответ зависел от отказа от правила CP однозначного условного доказательства, одного направления «теоремы вычета». Но это правило, которому трудно было противостоять из-за связывающего последствия (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Если (beta) является следствием (alpha) в соответствии с отношением следствий теории (mathcal {T}), где эта теория имеет ({ Rightarrow}) как собственное следствие соединительный, то (mathcal {T}) должен обязательно содержать утверждение о последствиях (alpha { Rightarrow} beta). Точно так же, этот парадокс Карри создает препятствия для ответов без отрыва,которые требуют отклонить правило МП. Если теория со своим собственным связным следствием содержит как (alpha), так и условное следствие (alpha { Rightarrow} beta), то она обязательно должна также содержать (beta). Или, по крайней мере, так показалось. Следует признать, что сторонник слабо свободного отрыва ответа будет утверждать, что MP для ({ Rightarrow}) незаконно строит транзитивность (см. Раздел 4.2.2). Тем не менее, то, что кажется неизбежным, это обратное CP, правило CCP, которое является другим направлением теоремы однозначного вывода. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов. Если теория со своим собственным связным следствием содержит как (alpha), так и условное следствие (alpha { Rightarrow} beta), то она обязательно должна также содержать (beta). Или, по крайней мере, так показалось. Следует признать, что сторонник слабо свободного отрыва ответа будет утверждать, что MP для ({ Rightarrow}) незаконно строит транзитивность (см. Раздел 4.2.2). Тем не менее, то, что кажется неизбежным, это обратное CP, правило CCP, которое является другим направлением теоремы однозначного вывода. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов. Если теория со своим собственным связным следствием содержит как (alpha), так и условное следствие (alpha { Rightarrow} beta), то она обязательно должна также содержать (beta). Или, по крайней мере, так показалось. Следует признать, что сторонник слабо свободного отрыва ответа будет утверждать, что MP для ({ Rightarrow}) незаконно строит транзитивность (см. Раздел 4.2.2). Тем не менее, то, что кажется неизбежным, это обратное CP, правило CCP, которое является другим направлением теоремы однозначного вывода. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов.это казалось. Следует признать, что сторонник слабо свободного отрыва ответа будет утверждать, что MP для ({ Rightarrow}) незаконно строит транзитивность (см. Раздел 4.2.2). Тем не менее, то, что кажется неизбежным, это обратное CP, правило CCP, которое является другим направлением теоремы однозначного вывода. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов.это казалось. Следует признать, что сторонник слабо свободного отрыва ответа будет утверждать, что MP для ({ Rightarrow}) незаконно строит транзитивность (см. Раздел 4.2.2). Тем не менее, то, что кажется неизбежным, это обратное CP, правило CCP, которое является другим направлением теоремы однозначного вывода. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов. Если теория содержит следствие условное (alpha { Rightarrow} beta), то, конечно, (beta) следует из (alpha) согласно теории. Это все равно исключило бы решительный ответ без отказов.

6.2 Форма предиката

Вторая форма парадокса v-карри возникает для теории (mathcal {T} _V), предметом которой является однозначное следствие (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) согласно этой самой теории, между предложениями на его языке. ^[30] Пусть это отношение выражается предикатом (Val (x, y)), и далее предположим, что есть предложение (chi), которое либо (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) или, по крайней мере, взаимозаменяемо с последним в соответствии с (mathcal {T} _V). Одна из форм парадокса v-Curry использует два принципа, управляющих (Val), которые мы называем «отделением действительности» и «доказательством действительности» после Beall & Murzi (2013).

(tag {VD} textrm {If} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ alpha \ rangle, \ langle \ beta \ rangle) textrm {and} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} alpha \ textrm {then} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta) (tag {VP} textrm {If } alpha \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ alpha \ rangle, \ langle \ beta \ рангл))

Используя эти принципы, мы получаем следующий быстрый аргумент для (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).

(begin {array} {rll} 1 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {Id} \ 2 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {2 карри-интерситутивность} \ 3 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm {1, 2 VD} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {3 VP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {4 карри-интерситутивность} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm { 4, 5 VD} \ \ end {array})

Применительно к этой предикатной форме v-Curry, слабо свободный от сжатия ответ будет противостоять «сжатию» от шага 2 до шага 4, отклоняя правило VP, а свободный от отрыва ответ будет отклонять VD, даже в нулевом Форма предпосылки, использованная на шаге 6. Опять же, как VP, так и VD с нулевой предпосылкой казались неизбежными ввиду предполагаемой интерпретации предиката (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest 2015; Зардини 2014). ^[31] Наконец, даже если VD отвергается как незаконно включающий транзитивность, то, что кажется неизбежным, является противоположностью VP. Если так, то это, по крайней мере, исключило бы решительный ответ без отрыва.

Возможно более мощная версия рассуждений v-Curry представлена Shapiro (2013) и Field (2017: 7). Это рассуждение может принимать либо соединительную, либо предикатную форму, но оно не зависит от CP или VP. Здесь мы даем форму предиката, используя (Val). Как и выше, мы сначала получаем, что (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), используя VD. Ввиду значения (Val), вывод о том, что (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) показывает, что (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) верно, т. е. что (chi) верно. Но если (chi) истинно и (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), то кажется, что (pi) также должно быть истинно. Поскольку слабо свободные от отрывов (нетранзитивные) ответы на v-Curry действительно позволяют получить (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), эти рассуждения также возражают против таких ответов,

6.3 Значение

Если, на самом деле, парадоксы v-карри не поддаются слабым ответам без сжатия или сильному отрыву, то (при условии, что правило Id сохраняется) пространство ответов с полным карри ограничено сильно без сжатия и слабо Ответы без отрядов. Первые ответы, как объяснено в разделе 4.2.1, обычно представлены путем переформулирования modus ponens (или отделения для предиката достоверности) в субструктурной системе вычетов и отказа от правила структурного сжатия sCont. Последние ответы, как объяснено в разделе 4.2.2, отвергают структурный принцип транзитивности. По этой причине иногда использовались парадоксы v-Curry для мотивации субструктурных отношений последствий (например, Barrio et al. Готовится к публикации; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). ^[32]

Оживленные и широкомасштабные дебаты о парадоксах v-карри привели к подлинному прогрессу в нашем понимании парадоксов карри. В конце концов, стало ясно, что хотя парадоксы v-Curry могут вызывать разные разрешения от парадоксов не v-Curry, они остаются в той же форме, что и обобщенные парадоксы Curry. В частности, в общем шаблоне раздела 5.2 можно взять (odot), чтобы выразить (или как предикат, или как связующее) следствие в свете самой (vdash_ \ mathcal {T}). Это сердце V-карри. Поскольку существует (много) различных (формальных) отношений следствия, определяемых на нашем языке (например, логическое следствие в силу логического словаря, эпистемическое следствие в силу логического плюс эпистемического словаря и т. Д.), Таким образом, существует много различных -Выполнить парадоксы, которые могут возникнуть. По-прежнему,пространство решений этих парадоксов - это пространство решений обобщенных парадоксов Карри, описанных в этой статье.

Однако остаются, по крайней мере, две причины, по которым парадоксы v-карри заслуживают отдельного внимания. Во-первых, как отмечалось выше, две категории карри-полных решений - варианты со слабым без сжатия и без отрывов - оказались особенно проблематичными в случае парадоксов v-карри. Во-вторых, предположим, что кто-то рассматривает обычный парадокс Карри (теоретико-имущественный, теоретико-множественный или семантический) способом, полным карри. Тем не менее может существовать причина рассматривать соответствующий (соединительный или предикатный) парадокс v-Карри неполноценным по Карри способом, возможно, в силу того, что отношение к следствиям теории по существу выходит за рамки захвата любого связующего или предиката на языке теории (см., например, Myhill 1975; Whittle 2004). Таким образом,«неоднородное» решение обычных парадоксов Карри и их аналогов v-Curry может, опять же, быть мотивированной неоднородностью.^[33]

Библиография

Ключевые исторические источники

• Карри, Хаскелл Б., 1942а, «Комбинаторные основы математической логики», Журнал символической логики, 7 (2): 49–64. DOI: 10,2307 / 2266302
• –––, 1942b, «Несоответствие некоторых формальных логик», Журнал символической логики, 7 (3): 115–117. DOI: 10,2307 / 2269292
• Curry, Haskell B. и Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, том 1, Амстердам: Северная Голландия.
• Фитч, Фредерик Б., 1952, Символическая логика: Введение, Нью-Йорк: Рональд Пресс Компани.
• Geach, PT, 1955, «On Insolubilia», Анализ, 15 (3): 71–72. DOI: 10,1093 / Analys / 15.3.71
• Лёб М. Х., 1955, «Решение проблемы Леона Хенкина», Журнал символической логики, 20 (2): 115–118. DOI: 10,2307 / 2266895
• Meyer, Robert K., Richard Routley и J. Michael Dunn, 1979, «Парадокс Карри», Анализ, 39 (3): 124–128. DOI: 10,1093 / Analys / 39.3.124
• Мох Шоу-Квей, 1954, «Логические парадоксы для многозначных систем», Журнал символической логики, 19 (1): 37–40. DOI: 10,2307 / 2267648
• Приор, AN, 1955, «Парадокс Карри и 3-значная логика», Австралийский философский журнал, 33 (3): 177–82. DOI: 10,1080 / 00048405585200201

Другие ссылки

• Anderson, Alan Ross, 1975, «Fitch on Consistency», в Anderson, Marcus, and Martin 1975: 123–141.
• Андерсон, Алан Росс и Нуэль Д. Белнап, мл., 1975, «Влияние: логика актуальности и необходимости», том 1, Принстон, Нью-Джерси: издательство Принстонского университета.
• Андерсон, Алан Росс, Рут Баркан Маркус и Р. М. Мартин (ред.), 1975, The Logical Enterprise, Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета.
• Эшворт, EJ, 1974, язык и логика в пост-средневековье, Дордрехт: Рейдель.
• Бэкон, Эндрю, 2015, «Парадоксы логической эквивалентности и идентичности», Топой, 34 (1): 89–98. DOI: 10.1007 / s11245-013-9193-8
• Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt и Diego Tajer, готовящиеся к публикации, «Обретение наивной достоверности в подходе без вырезов», Synthese, впервые в сети 1 сентября 2016 года. Doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
• Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Оксфорд: издательство Оксфордского университета. DOI: 10,1093 / acprof: осо / 9780199268733.001.0001
• –––, 2014a, «Конец инклюзии», Mind, 123 (491): 829–849. DOI: 10,1093 / ум / fzu075
• –––, 2014b, «В поисках толерантности без клейков», Mind, 123 (491): 791–811. DOI: 10,1093 / ум / fzu081
• –––, 2015, «Без отрешенности: логика, рациональность и слабость», Noûs, 49 (2): 410–423. DOI: 10.1111 / nous.12029
• Beall, Jc and Julien Murzi, 2013, «Два вкуса парадокса Карри», «Философский журнал», 110 (3): 143–165. DOI: 10.5840 / jphil2013110336
• Бимбо, Каталин, 2006, «Парадоксы типа карри», Logique & Analyze, 49 (195): 227–240.
• Брэди, Росс, 2006, Universal Logic, Стэнфорд, Калифорния: Публикации CSLI.
• Бандер, М. В., 1986, «Тавтологии, которые с неограниченной аксиомой понимания приводят к непоследовательности или тривиальности», журнал неклассической логики, 3 (2): 5–12.
• Burge, Tyler, 1979, «Semantical Paradox», Journal of Philosophy, 76 (4): 169–198. DOI: 10,2307 / 2025724
• Карнап, Рудольф, 1934, «Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik», Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
• –––, 1937, «Логический синтаксис языка», Amethe Smeaton (trans), London: K. Paul Trench.
• Черч, Алонзо, 1932, «Набор постулатов для основания логики», Анналы математики, 33 (2): 346–366. DOI: 10,2307 / 1968337
• –––, 1942, «Обзор: Несоответствие некоторых формальных логик Хаскеллом Б. Карри», Журнал символической логики, 7 (4): 170–71. DOI: 10,2307 / 2268117
• Кук, Рой Т., 2014, «Нет парадокса логической обоснованности!», Logica Universalis, 8 (3–4): 447–467. DOI: 10.1007 / s11787-014-0094-4
• Curry, Haskell B., 1930, «Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I & II)», Американский журнал математики, 52: 509–36, 789–834.
• –––, 1950, Теория формальной дедукции, (Нотр-Дам Математические лекции, 6), Нотр-Дам, IN: Университет Нотр-Дам Пресс. [Карри 1950 доступен онлайн]
• –––, 1952, «Об определении отрицания по фиксированному предложению в инференциальном исчислении», Журнал символической логики, 17 (2): 98–104. DOI: 10,2307 / 2266240
• Curry, Haskell B., J. Roger Hindley и Jonathan P. Seldin, 1972, Combinatory Logic, том 2, (Исследования по логике и основам математики, 65), Амстердам: Северная Голландия.
• Поле, Хартри, 2008, Спасая правду от Парадокса, Оксфорд: издательство Оксфордского университета. DOI: 10,1093 / acprof: осо / 9780199230747.001.0001
• –––, 2017, «Разоружение парадокса действительности», Notre Dame Journal of Formal Logic, 58 (1): 1–19. DOI: 10,1215 / 00294527-3699865
• Фитч, Фредерик Б., 1969, «Метод избежания парадокса Карри», в книге Николаса Решера (ред.), «Очерки в честь Карла». Г. Хемпель, Дордрехт: Рейдель, с. 255–265.
• French, Rohan, 2016, «Структурная рефлексивность и парадоксы самоссылки», Ergo, 3 (5): 113–131. DOI: 10,3998 / ergo.12405314.0003.005
• Гланцберг, Майкл, 2001, «Лжец в контексте», Философские исследования, 103 (3): 217–251. DOI: 10,1023 / A: 1010314719817
• –––, 2004, «Контекстно-иерархический подход к истине и парадоксу лжеца», Journal of Philosophical Logic, 33 (1): 27–88. DOI: 10,1023 / Б: LOGI.0000019227.09236.f5
• Goldstein, Laurence, 2000, «Единое решение некоторых парадоксов», Труды Аристотелевского общества, 100 (1): 53–74. DOI: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00003.x
• Товарищество, Лаура, 1996, «О диалетизме», Австралийский философский журнал, 74 (1): 153–161. DOI: 10,1080 / 00048409612347131
• Grelling, Kurt and Leonard Nelson, 1908, «Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti», Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
• Гупта, Анил и Нуэль Белнап, 1993, пересмотренная теория истины, Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
• Хальбах, Фолькер и Альберт Виссер, 2014, «Приговор Хенкина», в Мария Мансано, Илдико Саин и Энрике Алонсо (ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, (Исследования по универсальной логике), Cham: Springer International, стр. 249–264. DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_17
• Ханке, Мирослав, 2013, «Подразумеваемый анализ условного выражения Курриана», История и философия логики, 34 (4): 367–380. DOI: 10,1080 / 01445340.2013.812832
• Гильберт, Дэвид и Пол Бернайс, 1939, Grundlagen der Mathematik, том II, Берлин: Springer.
• Humberstone, Lloyd, 2006, «Вариации на тему карри», Notre Dame Journal of Formal Logic, 47 (1): 101–131. DOI: 10,1305 / ndjfl / 1143468315
• Крипке, Саул А., 1975, «Изложение теории истины», Journal of Philosophy, 72 (19): 690–716. DOI: 10,2307 / 2024634
• Mares, Edwin and Francesco Paoli, 2014, «Логическое следствие и парадоксы», Journal of Philosophical Logic, 43 (2–3): 439–469. DOI: 10.1007 / s10992-013-9268-4
• Meadows, Toby, 2014, «Фиксированные точки для следственных отношений», Logique & Analyze, 57 (227): 333–357.
• Мурзи, Жюльен, 2014, «Невыразимость действительности», Анализ, 74 (1): 65–81. DOI: 10,1093 / Analys / ant096
• Murzi, Julien и Lorenzo Rossi, готовится к изданию «Наивная достоверность», Synthese, впервые в сети 27 сентября 2017 года. Doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
• Murzi, Julien and Lionel Shapiro, 2015, «Действительность и сохранение истины», в Theodora Achourioti, Henri Galinon, Хосе Мартинес-Фернандес и Кентаро Фухимото (ред.), «Объединение философии истины», Dordrecht: Springer. DOI: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_22
• Myhill, John, 1975, «Уровни импликации», в Anderson, Marcus и Martin 1975: 179–185.
• Николай, Карло и Лоренцо Росси, готовящиеся к изданию «Принципы объектно-лингвистического следствия: от логического к нерефлексивному», журнал философской логики, впервые в сети 20 июня 2017 г. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
• Нолан, Даниэль, 2016, «Условные и карри», Философские исследования, 173 (10): 2629–2649. DOI: 10.1007 / s11098-016-0666-7
• Плейц, Мартин, 2015, «Парадокс Карри и схема вложения», в Pavel Arazim и Michal Dančák (eds), Logica Yearbook 2014, London: College Publishing.
• Прист, Грэм, 1994, «Структура парадоксов самоссылки», Mind, 103 (409): 25–34. DOI: 10,1093 / ум / 103.409.25
• –––, 2000, «О принципе равномерного решения: ответ Смиту», Mind, 109 (433): 123–126. DOI: 10,1093 / ум / 109.433.123
• –––, 2002, «За пределами мысли», Оксфорд: издательство Оксфордского университета. DOI: 10,1093 / acprof: осо / 9780199254057.001.0001
• –––, 2006, In Contradiction, Oxford: Oxford University Press. Расширенное издание (впервые опубликовано в 1987 году). DOI: 10,1093 / acprof: осо / 9780199263301.001.0001
• –––, 2008, Введение в неклассическую логику: «Если есть», второе издание, Кембридж: издательство Кембриджского университета. DOI: 10,1017 / CBO9780511801174
• –––, 2015, «Fusion and Confusion», Topoi, 34 (1): 55–61. DOI: 10.1007 / s11245-013-9175-х
• Quine, WVO, 1953, “Mr. Строусон о логической теории », Mind, 62 (248): 433–451. DOI: 10,1093 / ум / LXII.248.433
• Читайте, Стивен, 2001, «Самоссылка и возвращение к действительности», в Mikko Yrjönsuuri (ed.), Medieval Formal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, стр. 183–196. DOI: 10.1007 / 978-94-015-9713-5_7
• Restall, Грег, 1993, «Как быть действительно свободным от сокращений», Studia Logica, 52 (3): 381–91. DOI: 10.1007 / BF01057653
• –––, 1994, «О логике без сжатия», кандидатская диссертация, Университет Квинсленда. [Restall 1994 доступен онлайн]
• –––, 2005, «Множественные выводы», в Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva и Dag Westerståhl (eds), «Логика, методология и философия науки: материалы двенадцатого международного конгресса», Лондон: публикации в колледже, стр. 189-205. [Restall 2005 доступен онлайн]
• Рипли, Дэвид, 2013, «Парадоксы и неудачи резания», Австралийский философский журнал, 91: 139–164. DOI: 10,1080 / 00048402.2011.630010
• –––, 2015a, «Сравнение субструктурных теорий истины», Ergo, 2 (13): 299–328. DOI: 10,3998 / ergo.12405314.0002.013
• –––, 2015b, «Сокращение и закрытие», мысль, 4 (2): 131–138. DOI: 10.1002 / tht3.166
• Роджерсон, Сьюзен, 2007, «Естественная дедукция и парадокс Карри», журнал «Философская логика», 36 (2): 155–179. DOI: 10.1007 / s10992-006-9032-0
• Rogerson, Susan and Greg Restall, 2004, «Пути к тривиальности», Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 421–436. DOI: 10,1023 / Б: LOGI.0000036853.44128.8f
• Розенблатт, Лукас, 2017, «Наивная валидность, интернализация и субструктурные подходы к парадоксу», Ergo, 4 (4): 93–120. DOI: 10,3998 / ergo.12405314.0004.004
• Селдин, Джонатан П., 2006, «Логика карри и церкви», в Dov M. Gabbay и John Woods (eds), Справочник по истории логики, том 5: Логика от Рассела до Церкви, Амстердам: Elsevier, стр. 819–873.
• Шапиро, Лайонел, 2011, «Дефлятирование логических следствий», The Philosophical Quarterly, 61 (243): 320–42. DOI: 10.1111 / j.1467-9213.2010.678.x
• –––, 2013, «Укрепление карри в силе», Мысль, 2: 100–107. DOI: 10.1002 / tht3.80
• –––, 2015, «Наивная структура, сжатие и парадокс», Топой, 34 (1): 75–87. DOI: 10.1007 / s11245-014-9235-х
• Симмонс, Кит, 1993, Универсальность и лжец: очерк об истине и диагональном аргументе, Кембридж: издательство Кембриджского университета.
• Слэни, Джон, 1989, «RWX в« Не противоречащем карри », в Graham Priest, Ричарде Роутли и Джине Нормане (ред.),« Параконсистентная логика: очерки о непоследовательности », Мюнхен:« Философия », стр. 472–480.
• –––, 1990, «Общая логика», Австралийский философский журнал, 68 (1): 74–88. DOI: 10,1080 / 00048409012340183
• Смит, Николас Дж., 2000. «Принцип равномерного решения (парадоксов самоссылки)», Mind, 109 (433): 117–122. DOI: 10,1093 / ум / 109.433.117
• Tajer, Diego и Federico Pailos, 2017, «Действительность в рамках диалектизма», Logique & Analyze, 60 (238): 191–202.
• Ван Бентем, Йохан, 1978, «Четыре парадокса», журнал «Философская логика», 7 (1): 49–72. DOI: 10.1007 / BF00245920
• Wansing, Heinrich and Graham Priest, 2015, «Внешние карри», журнал «Философская логика», 44 (4): 453–471. DOI: 10.1007 / s10992-014-9336-4
• Вебер, Зак, 2014, «Наивная достоверность», The Philosophical Quarterly, 64 (254): 99–114. DOI: 10,1093 / рд / pqt016
• Вебер, Зак, Дэвид Рипли, Грэхем Прист, Доминик Хайд и Марк Коливан, 2014, «Толерантные клея», разум, 123 (491): 813–828. DOI: 10,1093 / ум / fzu057
• Вейр, Алан, 2015, «Надежная непереходная логика», Topoi, 34 (1): 99–107. DOI: 10.1007 / s11245-013-9176-9
• Уайт, Ричард Б., 1979, «Согласованность аксиомы понимания в бесконечной предикатной логике Лукасевича», Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 509–534. DOI: 10.1007 / BF00258447
• Уиттл, Бруно, 2004, «Далеетизм, логическое следствие и иерархия», Анализ, 64: 318–26. DOI: 10,1093 / Analys / 64.4.318
• Зардини, Элия, 2011, «Правда без контрацепции», Обзор символической логики, 4 (4): 498–535. DOI: 10,1017 / S1755020311000177
• –––, 2013, «Naive Modus Ponens», Journal of Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. DOI: 10.1007 / s10992-012-9239-1
• –––, 2014, «Наивная правда и наивные логические свойства», Обзор символической логики, 7 (2): 351–384. DOI: 10,1017 / S1755020314000045
• –––, 2015, «Получение один на двоих или плохая сделка подрядчиков. На пути к единому решению семантических парадоксов », в Теодоре Ашуриоти, Анри Галиноне, Хосе Мартинес-Фернандесе и Кентаро Фухимото (ред.),« Объединяя философию правды », Дордрехт: Спрингер. DOI: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_23

Академические инструменты

	Как процитировать эту запись.
	Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
	Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
	Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

[Пожалуйста, свяжитесь с автором с предложениями.]