Континуальная гипотеза

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последнее изменение: 2023-05-24 11:17

Входная навигация

Содержание входа
Библиография
Академические инструменты
Friends PDF Preview
Информация об авторе и цитировании
Вернуться к началу

Впервые опубликовано ср 22 мая 2013

Гипотезы континуума (CH) являются одной из центральных открытых проблем в теории множеств, которая важна как по математическим, так и по философским причинам.

Проблема фактически возникла с рождением теории множеств; действительно, во многих отношениях это стимулировало рождение теории множеств. В 1874 году Кантор показал, что существует взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и алгебраическими числами. Что еще более удивительно, он показал, что не существует однозначного соответствия между натуральными числами и действительными числами. Принимая во внимание наличие взаимно-однозначного соответствия в качестве критерия того, когда два набора имеют одинаковый размер (что он определенно сделал к 1878 году), этот результат показывает, что существует более одного уровня бесконечности и, таким образом, породил более высокий уровень. бесконечен в математике. Кантор немедленно попытался определить, существуют ли какие-либо бесконечные наборы вещественных чисел промежуточного размера, то естьсуществовал ли бесконечный набор действительных чисел, которые нельзя было бы привести в однозначное соответствие с натуральными числами и не могли бы быть приведены в однозначное соответствие с действительными числами. Гипотеза континуума (согласно одной формулировке) - это просто утверждение, что такого набора действительных чисел не существует. Именно благодаря его попытке доказать эту гипотезу Кантор действительно превратил теорию множеств в сложную область математики.^[1]

Несмотря на свои усилия, Кантор не смог разрешить СН. Проблема сохранялась и считалась Гильбертом настолько важной, что он поместил ее первым в свой знаменитый список открытых проблем, с которыми столкнется 20- ^й век. Гильберт также изо всех сил пытался решить CH, снова безуспешно. В конечном счете, это отсутствие прогресса было объяснено совместными результатами Геделя и Коэна, которые вместе показали, что СН не может быть решена на основе аксиом, которые применяли математики; в современных терминах CH не зависит от теории множеств Цермело-Френкеля, расширенной с помощью Аксиомы выбора (ZFC).

За этим результатом независимости последовали многие другие. Методы независимости были настолько мощными, что теоретики множества вскоре оказались заняты мета-теоретическим предприятием доказательства того, что некоторые фундаментальные утверждения не могут быть доказаны или опровергнуты в ZFC. Тогда возник вопрос о том, существуют ли способы урегулирования независимых заявлений. Сообщество математиков и философов математики было во многом разделено по этому вопросу. Плюралисты (как и Коэн) утверждали, что результаты независимости эффективно решили вопрос, показав, что у него нет ответа. С этой точки зрения можно было бы принять систему, в которойскажем, CH был аксиомой, и можно было принять систему, в которой ¬CH была аксиомой, и это было концом вопроса - не было никакого вопроса относительно того, какое из двух несовместимых расширений было «правильным». Не плюралисты (такие как Гёдель) считали, что результаты независимости просто указывают на недостаток наших средств для описания математической истины. С этой точки зрения, были необходимы новые аксиомы, аксиомы, которые как оправданы, так и достаточны для этой задачи. Гедель фактически пошел дальше в предложении кандидатов на новые аксиомы - большие кардинальные аксиомы - и он предположил, что они урегулируют CH. Гедель фактически пошел дальше в предложении кандидатов на новые аксиомы - большие кардинальные аксиомы - и он предположил, что они урегулируют CH. Гедель фактически пошел дальше в предложении кандидатов на новые аксиомы - большие кардинальные аксиомы - и он предположил, что они урегулируют CH.

Программа Гёделя для больших кардинальных аксиом оказалась чрезвычайно успешной. В течение следующих 30 лет было показано, что большие кардинальные аксиомы решают многие вопросы, которые, как было показано, были независимыми в эпоху независимости. Однако CH остался нетронутым. Ситуация оказалась довольно ироничной, поскольку в конце было показано (в определенном смысле, что можно уточнить), что хотя стандартные большие кардинальные аксиомы эффективно решают все вопросы сложности строго ниже, чем CH, они не могут (по результатам Леви и Соловай и др.) Заселяются самим СН. Таким образом, выбирая CH в качестве тестового примера для своей программы, Гёдель точно указал пальцем на то место, где он потерпел неудачу. Именно по этой причине CH продолжает играть центральную роль в поиске новых аксиом.

В этой статье мы дадим обзор основных подходов к урегулированию CH и обсудим некоторые основные фундаментальные основы, которые утверждают, что CH не имеет ответа. Тема обширная, и нам пришлось пожертвовать полной всесторонностью в двух измерениях. Во-первых, нам не удалось обсудить основные философские проблемы, лежащие на заднем плане. Для этого читатель направляется к записи «Большие кардиналы и детерминированность», в которой содержится общее обсуждение результатов независимости, природы аксиом, природы обоснования и успехов больших кардинальных аксиом в области «ниже СН»., Во-вторых, мы не смогли обсудить все подходы к СН, которые есть в литературе. Вместо этого мы ограничились теми подходами, которые кажутся наиболее многообещающими с философской точки зрения и где математика была развита до достаточно продвинутого состояния. В подходах мы обсудим аксиомы принуждения, теорию внутренней модели, квазибольшие кардиналы - математика была продвинута на очень продвинутую стадию в течение 40 лет. И это сделало нашу задачу несколько сложной. Мы постарались сделать обсуждение как можно более доступным и поместили больше технических пунктов в примечания. Но читатель должен помнить, что мы представляем с высоты птичьего полета и что для более высокого разрешения в любой момент читатель должен окунуться в предлагаемые показания, которые появляются в конце каждого раздела. В подходах мы обсудим аксиомы принуждения, теорию внутренней модели, квазибольшие кардиналы - математика была продвинута на очень продвинутую стадию в течение 40 лет. И это сделало нашу задачу несколько сложной. Мы постарались сделать обсуждение как можно более доступным и поместили больше технических пунктов в примечания. Но читатель должен помнить, что мы представляем с высоты птичьего полета и что для более высокого разрешения в любой момент читатель должен окунуться в предлагаемые показания, которые появляются в конце каждого раздела. В подходах мы обсудим аксиомы принуждения, теорию внутренней модели, квазибольшие кардиналы - математика была продвинута на очень продвинутую стадию в течение 40 лет. И это сделало нашу задачу несколько сложной. Мы постарались сделать обсуждение как можно более доступным и поместили больше технических пунктов в примечания. Но читатель должен помнить, что мы представляем с высоты птичьего полета и что для более высокого разрешения в любой момент читатель должен окунуться в предлагаемые показания, которые появляются в конце каждого раздела. Мы постарались сделать обсуждение как можно более доступным и поместили больше технических пунктов в примечания. Но читатель должен помнить, что мы представляем с высоты птичьего полета и что для более высокого разрешения в любой момент читатель должен окунуться в предлагаемые показания, которые появляются в конце каждого раздела. Мы постарались сделать обсуждение как можно более доступным и поместили больше технических пунктов в примечания. Но читатель должен помнить, что мы представляем с высоты птичьего полета и что для более высокого разрешения в любой момент читатель должен окунуться в предлагаемые показания, которые появляются в конце каждого раздела.^[2]

Есть действительно два вида подходов к новым аксиомам - локальный подход и глобальный подход. При локальном подходе мы ищем аксиомы, которые отвечают на вопросы относительно определенного фрагмента вселенной, такого как V _{ω + 1} или V _{ω + 2}, где лежит CH. На глобальном подходе мы ищем аксиомы, которые пытаются осветить всю структуру вселенной множеств. Глобальный подход явно намного сложнее. В этой статье мы начнем с локального подхода, а в конце кратко коснемся глобального подхода.

Вот краткий обзор записи: Раздел 1 рассматривает результаты независимости в кардинальной арифметике, охватывающей как случай регулярных кардиналов (где лежит CH), так и единичных кардиналов. В разделе 2 рассматриваются подходы к СН, где последовательно проверяется иерархия приближений к СН, каждый из которых является «эффективной» версией СН. Этот подход привел к замечательному открытию Вудина того, что возможно (при наличии больших кардиналов) иметь эффективный сбой СН, тем самым показывая, что эффективный сбой СН столь же трудно поддается (в отношении больших кардинальных аксиом), как Сам CH. Раздел 3 продолжается событиями, которые явились результатом этого открытия. Центральным моментом обсуждения является открытие «канонической» модели, в которой CH терпит неудачу. Это послужило основой для сети результатов, которые Вудин в совокупности представил как случай неудачи СН. Чтобы представить этот случай в наиболее обтекаемой форме, введем сильную логику Ω-логику. В разделе 4 рассматривается конкурирующая основополагающая точка зрения о том, что решения СН не существует. Эта точка зрения обостряется с точки зрения общей многовекторной концепции истины, и эта точка зрения затем тщательно исследуется. Раздел 5 продолжает оценку случая для ¬CH, расследуя параллельный случай для CH. В оставшихся двух разделах мы обратимся к глобальному подходу к новым аксиомам, и здесь мы будем намного короче. Раздел 6 обсуждает подход через теорию внутренней модели. Раздел 7 обсуждает подход через квази-большие кардинальные аксиомы. Чтобы представить этот случай в наиболее обтекаемой форме, введем сильную логику Ω-логику. В разделе 4 рассматривается конкурирующая основополагающая точка зрения о том, что решения СН не существует. Эта точка зрения обостряется с точки зрения общей многовекторной концепции истины, и эта точка зрения затем тщательно исследуется. Раздел 5 продолжает оценку случая для ¬CH, расследуя параллельный случай для CH. В оставшихся двух разделах мы обратимся к глобальному подходу к новым аксиомам, и здесь мы будем намного короче. Раздел 6 обсуждает подход через теорию внутренней модели. Раздел 7 обсуждает подход через квази-большие кардинальные аксиомы. Чтобы представить этот случай в наиболее обтекаемой форме, введем сильную логику Ω-логику. В разделе 4 рассматривается конкурирующая основополагающая точка зрения о том, что решения СН не существует. Эта точка зрения обостряется с точки зрения общей многовекторной концепции истины, и эта точка зрения затем тщательно исследуется. Раздел 5 продолжает оценку случая для ¬CH, расследуя параллельный случай для CH. В оставшихся двух разделах мы обратимся к глобальному подходу к новым аксиомам, и здесь мы будем намного короче. Раздел 6 обсуждает подход через теорию внутренней модели. Раздел 7 обсуждает подход через квази-большие кардинальные аксиомы. Раздел 5 продолжает оценку случая для ¬CH, расследуя параллельный случай для CH. В оставшихся двух разделах мы обратимся к глобальному подходу к новым аксиомам, и здесь мы будем намного короче. Раздел 6 обсуждает подход через теорию внутренней модели. Раздел 7 обсуждает подход через квази-большие кардинальные аксиомы. Раздел 5 продолжает оценку случая для ¬CH, расследуя параллельный случай для CH. В оставшихся двух разделах мы обратимся к глобальному подходу к новым аксиомам, и здесь мы будем намного короче. Раздел 6 обсуждает подход через теорию внутренней модели. Раздел 7 обсуждает подход через квази-большие кардинальные аксиомы.

1 Независимость в кардинальной арифметике
- 1.1 Регулярные кардиналы
- 1.2 Единственные кардиналы
2 Определимые версии гипотезы континуума и ее отрицание
- 2.1 Три версии
- 2.2 Программа Форман-Магидор
3 Дело за ¬CH
- 3.1 ℙ _макс
- 3.2 Ω-логика
- 3.3 Дело
4 Мультивселенная
- 4.1 Широкие Мультивселенные Представления
- 4.2 Универсальный Мультивселенная
- 4.3. Гипотеза Ω и общий мультиверс
- 4.4 Есть ли выход?
5 Местный случай вновь
- 5.1 Дело за ¬CH
- 5.2 Параллельный случай для CH
- 5.3 Оценка
6 Ультимативная внутренняя модель
7 Теория структуры L (V _{λ + 1})
Библиография
Академические инструменты
Другие интернет-ресурсы
Связанные Записи

1. Независимость в кардинальной арифметике

В этом разделе мы обсудим результаты независимости в кардинальной арифметике. Во-первых, мы рассмотрим случай регулярных кардиналов, где CH лежит и где очень мало определяется в контексте ZFC. Во-вторых, ради полноты, мы обсудим случай единичных кардиналов, где гораздо больше может быть установлено в контексте ZFC.

1.1 Регулярные кардиналы

Сложение и умножение бесконечных кардинальных чисел тривиально: для бесконечных кардиналов κ и λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Ситуация становится интересной, когда обращаются к возведению в степень и попытке вычислить κ ^λ для бесконечных кардиналов.

На заре теории множеств Кантор показал, что для каждого кардинала κ,

2 ^κ > κ.

Нет никаких загадок относительно размера 2 ⁿ для конечного n. Тогда возникает первый естественный вопрос: где 2 ^{ℵ ₀} находится в иерархии алеф: это ℵ ₁,, ₂,…, ℵ ₁₇ или нечто гораздо большее?

Кардинал 2 ^{ℵ ₀} важен, так как это размер континуума (множество действительных чисел). Знаменитая континуальная гипотеза Кантора (CH) - это утверждение, что 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁. Это частный случай обобщенной гипотезы континуума (GCH), которая утверждает, что для всех α, 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1}. Одним из достоинств GCH является то, что он дает полное решение задачи вычисления κ ^λ для бесконечных кардиналов: если предположить, что GCH, если κ ≤ λ, то κ ^λ = λ ⁺; если cf (κ) ≤ λ ≤ κ, то κ ^λ = κ ⁺; и если λ <cf (κ), то κ ^λ = κ.

Очень маленький прогресс был достигнут на CH и GCH. На самом деле, в раннюю эру теории множеств единственный другой прогресс, кроме результата Кантора, это 2 ^κ > κ (и тривиальный результат, что если κ ≤ λ, то 2 ^κ ≤ 2 ^λ) был результатом Кенига, что cf (2 ^κ) > κ. Объяснение отсутствия прогресса было дано результатами независимости в теории множеств:

Теорема 1.1 (Гедель, 1938а, 1938б).: Предположим, что ZFC является последовательным. Тогда ZFC + CH и ZFC + GCH согласованы.

Чтобы доказать это, Гедель изобрел метод внутренних моделей - он показал, что CH и GCH содержатся в минимальной внутренней модели L ZFC. Коэн затем дополнил этот результат:

Теорема 1.2 (Коэн, 1963).: Предположим, что ZFC является последовательным. Тогда ZFC + ¬CH и ZFC + ¬GCH согласуются.

Он сделал это, изобрел метод внешних моделей и показал, что CH не удалось в общем расширении V ^B of V. Таким образом, объединенные результаты Геделя и Коэна демонстрируют, что, предполагая согласованность ZFC, в принципе невозможно установить CH или GCH в ZFC.

Осенью 1963 года Истон завершил картину, показав, что для бесконечных регулярных кардиналов κ единственными ограничениями на функцию κ ↦ 2 ^κ, которые доказуемы в ZFC, являются тривиальное ограничение и результаты Кантора и Кенига:

Теорема 1.3 (Истон, 1963).

Предположим, что ZFC является последовательным. Предположим, что функция F (определимый класс) определена на бесконечных регулярных кардиналах, таких что

если κ ≤ λ, то F (κ) ≤ F (λ),
F (κ)> κ и
ср (F (κ))> κ.

Тогда ZFC + «Для всех бесконечных регулярных кардиналов κ, 2 ^κ = F (κ)» согласуется.

Таким образом, теоретики множеств выдвинули кардинальную арифметику обычных кардиналов настолько, насколько она могла быть вытеснена в пределах ZFC.

1.2 Единственные кардиналы

Случай кардинальной арифметики на единичных кардиналах гораздо более тонкий. Для полноты картины мы остановимся, чтобы кратко обсудить это, прежде чем перейти к гипотезе континуума.

В целом считалось, что, как и в случае с обычными кардиналами, поведение функции κ ↦ 2 ^κ будет относительно неограниченным в рамках настройки ZFC. Но затем Сильвер доказал следующий замечательный результат: ^[3]

Теорема 1.4 (Серебро, 1974).: Если ℵ _δ является единственным кардиналом несчетного cofinality, то, если GCH имеет место ниже ℵ _δ, то GCH имеет место при ℵ _δ.

Оказывается, что (по глубокому результату Магидора, опубликованному в 1977 г.) GCH может сначала потерпеть неудачу при ℵ _ω (при условии согласованности суперкомпактного кардинала). Теорема Сильвера показывает, что она не может сначала потерпеть неудачу при ℵ _{ω _1, и это доказуемо в ZFC.}

В этой связи возникает вопрос о том, можно «контроль» размером 2 ли ^{ℵ _б} с более слабым, чем предположением, что ℵ _{& delta}; является особой кардинальным бесчисленных конфинальности таким образом, что имеет место ОСЬ ниже ℵ _б. Естественная гипотеза, которую следует рассмотреть, состоит в том, что ℵ _δ является единственным кардиналом несчетного cofinality, который является сильным предельным кардиналом, то есть, что для всех α <ℵ _δ, 2 ^α <ℵ _δ. В 1975 году Гальвин и Хайнал доказали (среди прочего), что при этом более слабом предположении действительно существует граница:

Теорема 1.5 (Гальвин и Хайнал, 1975).: Если ℵ _δ - особый сильный предельный кардинал несчетного cofinality, то

2 ^{ℵ _δ} <ℵ _{(| δ | ^{cf (δ)}) ⁺}.

Возможно, что произошел скачок, Вудин показал (опять-таки, предполагая большие кардиналы), что возможно для всех κ, 2 ^κ = κ ⁺⁺. Вышеприведенная теорема показывает, что в ZFC существует доказуемое ограничение на то, насколько большим может быть скачок.

Следующий вопрос состоит в том, преобладает ли подобная ситуация с единичными кардиналами счетного cofinality. В 1978 году Шелах показал, что это действительно так. Чтобы исправить идеи, давайте сосредоточимся на ℵ _ω.

Теорема 1.6 (Шела, 1978).: Если ℵ _ω является сильным предельным кардиналом, то

2 ^{ℵ _ω} <ℵ _{(2 ^{ℵ ₀}) ⁺}.

Один недостаток этого результата состоит в том, что граница чувствительна к фактическому размеру 2 ^{ℵ ₀}, который может быть любым ниже ℵ _ω. Примечательно, что позднее Шела смог исправить это с развитием своей теории pcf (возможные конечности). Одним из весьма убедительных результатов этой теории является следующее:

Теорема 1.7 (Шела 1982).: Если ℵ _ω является сильным предельным кардиналом, то (независимо от размера 2 ^{ℵ ₀})

2 ^{ℵ _ω} <ℵ _{ω ₄.}

Таким образом, хотя функция континуума в регулярных кардиналах относительно не ограничена в ZFC, функция континуума в единичных кардиналах (предположительно в ZFC) существенно ограничена поведением функции континуума в меньших кардиналах.

Дальнейшее чтение: для более кардинальной арифметики см. Jech (2003). Более подробно о случае сингулярных кардиналов и теории PCF см. Abraham & Magidor (2010) и Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Определимые версии гипотезы континуума и ее отрицание

Вернемся к функции континуума на регулярных кардиналах и сконцентрируемся на простейшем случае размером 2 ^{ℵ ₀}. Одним из оригинальных подходов Кантора к CH было исследование «простых» наборов действительных чисел (см. Hallett (1984), стр. 3–5 и §2.3 (b)). Одним из первых результатов в этом направлении является теорема Кантора-Бендиксона о том, что каждое бесконечное замкнутое множество либо счетно, либо содержит совершенное подмножество, и в этом случае оно имеет ту же мощность, что и множество вещественных чисел. Другими словами, CH имеет место (в этой формулировке), когда человек ограничивает свое внимание закрытыми наборами вещественных чисел. В общем, вопросы о «определимых» наборах действительнее, чем вопросы о произвольных наборах действительных чисел, и это предлагает рассмотреть определимые версии гипотезы континуума.

2.1 Три версии

Существует три различных формулировки гипотезы континуума: интерполяционная версия, версия с упорядоченным порядком и версия с сюррекцией. Все эти версии эквивалентны друг другу в ZFC, но мы будем налагать ограничение определимости, и в этом случае могут быть интересные различия (наше обсуждение следует за Martin (1976)). На самом деле существует иерархия понятий определимости, охватывающая иерархию Бореля, проективную иерархию, иерархию в L (ℝ) и, в более общем смысле, иерархию универсально множеств Бэра, и поэтому каждая из этих трех общих версий на самом деле это иерархия версий, каждая из которых соответствует определенному уровню иерархии определимости (обсуждение иерархии определимости см. в пп.2.2.1 и п.4.6 статьи «Большие кардиналы и детерминированность»).

2.1.1 Интерполантная версия

Первая формулировка CH состоит в том, что нет интерполяции, то есть не существует бесконечного множества A действительных чисел, такого, что мощность A строго находится между множеством натуральных чисел и действительными числами. Чтобы получить определяемые версии, просто утверждают, что «определимого» интерполанта не существует, и это приводит к иерархии определяемых интерполяционных версий, в зависимости от того, какое понятие определимости используется. Точнее говоря, для данного точечного класса Γ в иерархии определимых множеств веществ соответствующая определимая интерполяционная версия CH утверждает, что в Γ нет интерполанта.

Теорема Кантора-Бендиксона показывает, что в Γ нет интерполанта в случае, когда Γ является точечным классом замкнутых множеств, что подтверждает эту версию CH. Это было улучшено Суслином, который показал, что эта версия CH справедлива для Γ, где Γ является классом Σ̰11 множеств. Нельзя идти намного дальше в ZFC - чтобы доказать более сильные версии, нужно внести более сильные предположения. Оказывается, этого достигают аксиомы определимой определенности и большие кардинальные аксиомы. Например, результаты Кехриса и Мартина показывают, что если выполняется Δ n1 n -детерминированность, то эта версия CH справедлива для точечного класса Σ̰1n + 1 множеств. Идем дальше, если принять AD ^{L (ℝ)}тогда эта версия CH справедлива для всех множеств действительных чисел, фигурирующих в L (ℝ). Так как эти гипотезы следуют из больших кардинальных аксиом, у каждого также есть то, что более сильные и сильные большие кардинальные предположения обеспечивают более сильные и более сильные версии этой версии эффективной гипотезы континуума. Действительно, большие кардинальные аксиомы подразумевают, что эта версия CH справедлива для всех множеств вещественных чисел в иерархии определимости, которую мы рассматриваем; точнее, если существует надлежащий класс кардиналов Вудина, то эта версия CH справедлива для всех универсально бэровских множеств вещественных чисел.

2.1.2 Верная версия

Вторая формулировка CH утверждает, что каждый хорошо упорядоченный реал имеет тип порядка меньше чем ℵ ₂. Для данного точечного класса Γ в иерархии соответствующая определенная версия упорядочения CH хорошо утверждает, что каждый упорядоченный порядок (закодированный множеством) в Γ имеет тип порядка меньше ℵ ₂.

Опять же, аксиомы определимой определенности и большие кардинальные аксиомы подразумевают эту версию CH для более богатых понятий определимости. Например, если AD ^{L (ℝ)} выполняется, то эта версия CH выполняется для всех множеств действительных чисел в L (ℝ). И если существует надлежащий класс кардиналов Вудина, то эта версия CH справедлива для всех универсально бэровских множеств вещественных чисел.

2.1.3 Версия Surjection

Третий вариант формулировки CH утверждает, что нет сюръекции ρ: ℝ → ℵ ₂, или, что то же самое, что нет предварительного упорядочения ℝ длины ℵ ₂. Для данного точечного класса Γ в иерархии определимости, соответствующая версия с сюръекцией CH утверждает, что нет такого сюръекции ρ: ℝ → ℵ ₂, что (код для) ρ находится в Γ.

Здесь ситуация интереснее. Аксиомы определимой детерминированности и большие кардинальные аксиомы имеют отношение к этой версии, так как они устанавливают границы того, как долго могут быть определяемые предзаказы. Пусть δ̰1 n - супремум длин Σ̰1 n -предупорядочений вещественных чисел, и пусть Θ ^{L (ℝ)} - супремум длин предпреложений действительных чисел, где предупорядочение определимо в смысле нахождения в L (ℝ). Это классический результат, что δ̰11 = ℵ ₁. Мартин показал, что δ̰12 ≤ ℵ ₂ и что если есть измеримый кардинал, то δ̰13 ≤ ℵ ₃. Кунен и Мартин также показали под PD, δ̰14 ≤ ℵ _4, а Джексон показал, что под PD для каждого n <ω, δ̰1 n <ℵ _ω, Таким образом, предполагая, что кардиналов Вудина бесконечно много, эти оценки верны. Более того, границы продолжают удерживаться независимо от размера 2 ^{ℵ ₀}. Конечно, вопрос заключается в том, можно ли улучшить эти границы, чтобы показать, что предварительные распоряжения короче, чем ℵ ₂. В 1986 году Форман и Магидор начали программу, чтобы установить это. В самой общей форме они стремились показать, что большие кардинальные аксиомы подразумевают, что эта версия CH имеет место для всех универсально бэровских наборов действительных чисел.

2.1.4 Потенциальное отношение к СН

Обратите внимание, что в контексте ZFC все эти три иерархии версий CH являются последовательными приближениями CH, а в предельном случае, где Γ является точечным классом всех наборов вещественных чисел, они эквивалентны CH. Вопрос состоит в том, могут ли эти приближения дать какое-либо представление о самой CH.

Мартин указал на асимметрию, а именно на то, что определяемый контрпример к CH является реальным контрпримером, в то время как независимо от того, как далеко вы продвигаетесь в проверке определимых версий CH, ни на одной стадии он не коснется самого CH. Другими словами, подход определимости может опровергнуть CH, но не может доказать это.

Тем не менее, можно утверждать, что, хотя подход определимости не может доказать CH, он может предоставить некоторые доказательства этого. В случае первых двух версий мы теперь знаем, что CH выполняется для всех определяемых множеств. Предоставляет ли это свидетельство CH? Мартин указал (до того, как были получены полные результаты), что это весьма сомнительно, поскольку в каждом случае мы имеем дело с нетипичными наборами. Например, в первой версии на каждом этапе каждый обеспечивает определимую версию CH, показывая, что все множества в классе определимости имеют свойство совершенного множества; все же такие наборы нетипичны в том, что, предполагая AC, легко показать, что есть наборы без этого свойства. Во втором варианте на каждом этапе фактически показано не только то, что каждый упорядоченный реал в классе определимости имеет тип упорядочения меньше чем ₂, но также и то, что он имеет тип заказа меньше чем ₁. Так что ни одна из этих версий на самом деле не освещает СН.

Третья версия на самом деле имеет преимущество в этом отношении, поскольку не все множества, с которыми она имеет дело, нетипичны. Например, хотя все Σ̰11-множества имеют длину меньше ℵ ₁, существует Π̰11-множества длины ℵ ₁. Конечно, может оказаться, что даже если программа Форман-Магидор будет успешной, наборы могут оказаться нетипичными в другом смысле, и в этом случае она будет мало освещать СН. Более интересным, однако, является возможность того, что, в отличие от первых двух версий, он фактически предоставит реальный контрпример к CH. Это, конечно, потребует провала программы Форман-Магидор.

2.2 Программа Форман-Магидор

Целью программы Формана-Магидора было показать, что большие кардинальные аксиомы также подразумевают, что третья версия CH имеет место для всех множеств в L (ℝ) и, в более общем смысле, для всех универсально множеств Бэра. Другими словами, цель состояла в том, чтобы показать, что большие кардинальные аксиомы подразумевают, что Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ и, в более общем плане, что Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ для каждого универсального множества Бэра A.

Мотивация пришла от знаменитых результатов Формана, Магидора и Шелаха о максимуме Мартина (ММ), которые показали, что, принимая большие кардинальные аксиомы, всегда можно добиться стремительного достижения идеала на ℵ ₂ без коллапса на ℵ ₂ (см. Форман, Магидор и Шелах) (1988)). Программа включала двухэтапную стратегию:

Укрепим этот результат, чтобы показать, что, принимая большие кардинальные аксиомы, всегда можно заставить получить насыщенный идеал на without ₂ без коллапса ℵ ₂.
Покажите, что существование такого насыщенного идеала означает, что Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ и, в более общем смысле, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ для любого универсально бэровского множества A.

Это показало бы, что показывают, что Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ и, в более общем смысле, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ для любого универсально бэровского множества A. ^[4]

В декабре 1991 года следующий результат разбил надежды на эту программу.

Теорема 2.1 (Вудин).: Предположим, что нестационарный идеал на ℵ ₁ насыщен и существует измеримый кардинал. Тогда δ̰12 = ℵ ₂.

Дело в том, что гипотеза этой теоремы всегда может быть вынуждена, предполагая большие кардиналы. Таким образом, можно иметь Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₂ (фактически δ̰13> ℵ ₂).

Где программа пошла не так? Форман и Магидор имели приближение к (B), и в итоге оказалось, что (B) верно.

Теорема 2.2 (Вудин).: Предположим, что существует собственный класс кардиналов Вудина и что на ℵ ₂ существует насыщенный идеал. Тогда для любого A ∈ ^∞, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂.

Так что проблема в (А).

Это иллюстрирует интересный контраст между нашими тремя версиями гипотезы эффективного континуума, а именно, что они могут развалиться. В то время как крупные кардиналы исключают определимые контрпримеры первых двух видов, они не могут исключать определимые контрпримеры третьего типа. Но опять же мы должны подчеркнуть, что они не могут доказать, что существуют такие контрпримеры.

Но есть важный момент: принимая большие кардинальные аксиомы (достаточно AD ^{L (ℝ)}), хотя можно создать внешние модели, в которых δ̰13> ℵ _2, в настоящее время неизвестно, как получить внешние модели, в которых δ̰13> ℵ ₃ или даже Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₃. Таким образом, открыта возможность того, что из ZFC + AD ^{L (ℝ)} можно доказать Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₃. Если бы это был, чтобы быть случай, следовало бы, что, хотя большие кардиналы не исключают определимый отказ СНЫ они могут исключают определимый выход из строя 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂, Это может дать некоторое представление о размере континуума, подчеркивая центральное значение ℵ ₂.

Дальнейшее чтение: Подробнее о трех эффективных версиях CH см. Martin (1976); подробнее о программе «Форман-Магидор» см. «Форман и Магидор» (1995) и введение в Вудин (1999).

3. Дело за ¬CH

Вышеуказанные результаты привели Вудина к идентификации «канонической» модели, в которой CH терпит неудачу, и это послужило основанием для его аргумента, что CH ложен. В разделе 3.1 мы опишем модель, а в оставшейся части раздела мы представим случай отказа CH. В разделе 3.2 мы введем Ω-логику и другие понятия, необходимые для обоснования этого случая. В разделе 3.3 мы представим случай.

3.1 ℙ _макс

Цель состоит в том, чтобы найти модель, в которой CH ложен и который каноничен в том смысле, что его теория не может быть изменена путем принудительного набора в присутствии больших кардиналов. Фоновая мотивация такова: во-первых, мы знаем, что в присутствии больших кардинальных аксиом теория арифметики второго порядка и даже вся теория L (ℝ) инвариантны при форсировании множеств. Важность этого заключается в том, что это демонстрирует, что наши основные методы независимости не могут быть использованы для установления независимости вопросов об арифметике второго порядка (или о L (ℝ)) в присутствии больших кардиналов. Во-вторых,опыт показывает, что рассматриваемые большие кардинальные аксиомы, по-видимому, отвечают всем основным известным открытым задачам об арифметике второго порядка и L (ℝ), а теоремы о принудительной инвариантности множеств приводят к точному содержанию утверждения, что эти аксиомы «эффективно завершены»,^[5]

Отсюда следует, что если ℙ - любой однородный частичный порядок в L (ℝ), то общее расширение L (ℝ) ^ℙ наследует общую абсолютность L (ℝ). Вудин обнаружил, что существует особый частичный порядок ℙ _max, который имеет эту особенность. Кроме того, модель L (ℝ) ^{ℙ _max} удовлетворяет ZFC + ¬CH. Ключевой особенностью этой модели является то, что она является «максимальной» (или «насыщенной») по отношению к предложениям, которые имеют определенную сложность и которые могут быть показаны как согласованные с помощью принудительного набора по модели; Другими словами, если эти предложения могут выполняться (путем принудительного задания модели), то они действительно сохраняются в модели. Чтобы сформулировать это более точно, нам нужно ввести несколько довольно технических понятий.

Существует два способа стратификации вселенной множеств. Первый в терминах ⟨V _α | α ∈ На⟩, второе в терминах ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, где H (κ) - это множество всех множеств, которые имеют мощность меньше κ и члены которых имеют мощность меньше κ, а члены группы имеют мощность меньше κ и т. д. Например, H (ω) = V _ω и теории структур H (ω ₁) и V _{ω + 1}взаимно интерпретируемы. Эта последняя структура является структурой арифметики второго порядка, и, как упоминалось выше, большие кардинальные аксиомы дают нам «фактически полное» понимание этой структуры. Мы хотели бы быть в одинаковом положении в отношении больших и больших фрагментов вселенной, и вопрос заключается в том, следует ли нам действовать в терминах первого или второго расслоения.

Вторая стратификация потенциально более мелкозернистая. Предполагая, что CH имеет то, что теории H (ω ₂) и V _{ω + 2} взаимно интерпретируемы, и предполагая, что все большие и большие фрагменты GCH, это соответствие продолжается вверх. Но если CH ложно, то структура H (ω ₂) менее богата, чем структура V _{ω ₂. В этом случае последняя структура захватывает полную арифметику третьего порядка, тогда как первая захватывает только небольшой фрагмент арифметики третьего порядка, но, тем не менее, достаточно богата для выражения CH. Учитывая это, пытаясь понять вселенную множеств, прорабатывая ее уровень за уровнем, целесообразно использовать потенциально более мелкозернистую стратификацию.}

Поэтому наш следующий шаг - понять H (ω ₂). На самом деле получается, что мы сможем понять немного больше, и это несколько технически. Мы будем иметь дело со структурой ⟨H (со ₂), ∈, я _{Н. С.}, А ^О ⟩ ⊧ φ, где _NS представляет собой нестационарный идеал на & omega ₁ и A ^G является интерпретация (канонического представления) множество вещественных чисел A в L (ℝ). Детали не будут важны, и читателя просят просто подумать о H (ω ₂) вместе с некоторыми «дополнительными вещами» и не беспокоиться о деталях, касающихся дополнительных вещей. ^[6]

Теперь мы можем сформулировать основной результат:

Теорема 3.1 (Вудин, 1999).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) и φ является Π _2- предложением (в расширенном языке с двумя дополнительными предикатами) и существует расширение V [G], заставляющее множество, такое, что

⟨H (ω ₂), ∈, я _{Н. С.}, А ^О ⟩ ⊧ φ; (где A ^G - интерпретация A в V [G]). затем

L (ℝ) ^{ℙ _max} ⊧ «⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A⟩ ⊧ φ».

Есть два ключевых момента: во-первых, теория L (ℝ) ^{ℙ _max} «эффективно завершена» в том смысле, что она инвариантна при форсировании множества. Во-вторых, модель L (ℝ) ^{ℙ _max} является «максимальной» (или «насыщенной») в том смысле, что она удовлетворяет всем Π _2- представлениям (относительно соответствующей структуры), которые могут иметь место (в том смысле, что они могут быть показаны быть последовательным, устанавливая принудительное воздействие на модель).

Хотелось бы получить представление о теории этой структуры, аксиоматизируя ее. Соответствующая аксиома заключается в следующем:

Определение 3.2 (Вудин 1999).: Аксиома (∗): выполняется AD ^{L (ℝ)} и L (P (ω ₁)) является ℙ _max- родовым расширением L (ℝ).

Наконец, эта аксиома устанавливает CH:

Теорема 3.3 (Вудин, 1999).: Предположим (∗). Тогда 2 ^ω = ℵ ₂.

3.2 Ω-логика

Теперь мы приведем вышеизложенные результаты с точки зрения строгой логики. Мы будем в полной мере использовать большие кардинальные аксиомы, и в этом контексте нас интересует логика, которая «хорошо себя ведет» в том смысле, что вопрос о том, что подразумевает то, что не является радикально независимым. Например, хорошо известно, что CH выражается в полной логике второго порядка. Из этого следует, что при наличии больших кардиналов всегда можно использовать принудительное задание, чтобы перевернуть истинное значение предполагаемой логической достоверности полной логики второго порядка. Тем не менее, существуют сильные логики, такие как ω-логика и β-логика, которые не имеют этой особенности, они хорошо себя ведут в том смысле, что при наличии больших кардинальных аксиом возникает вопрос о том, что подразумевает то, что не может быть изменено множеством форсирует. Мы введем очень сильную логику, имеющую эту особенность Ω-логику. По факту,Логика, которую мы представим, может быть охарактеризована как самая сильная логика с этой особенностью (см. Koellner (2010) для дальнейшего обсуждения сильной логики и для точной формулировки этого результата).

3.2.1 Ω-логика

Определение 3.4.: Предположим, что T - счетная теория на языке теории множеств, а φ - предложение. затем; T ⊧ _Ω φ; если для всех полных булевых алгебр B и для всех ординалов α,; если VB α ⊧ T, то VB α ⊧ φ.

Мы говорим, что утверждение φ является Ω-выполнимым, если существует ординал α и полная булева алгебра B, такая что VB α ⊧ φ, и мы говорим, что φ-допустима, если ∅ ⊧ _Ω φ. Таким образом, в приведенной выше теореме говорится, что (при наших исходных предположениях) утверждение «φ является Ω-выполнимым» является в общем случае инвариантным, и с точки зрения Ω-справедливости это просто следующее:

Теорема 3.5 (Вудин, 1999).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что T - счетная теория на языке теории множеств, а φ - предложение. Тогда для всех полных булевых алгебр B; T ⊧ _Ω φ, если V ^B ⊧ «T ⊧ _Ω φ.»

Таким образом, эта логика является надежной в том, что вопрос о том, что подразумевает то, что является инвариантным при принудительном множестве.

3.2.2. Гипотеза Ω

Соответствующему семантическому отношению ⊧ _Ω существует квазисинтаксическое доказательство отношения ⊢ _Ω. «Доказательства» - это определенные устойчивые наборы вещественных чисел (универсально наборы Бэра вещественных чисел), а тестовые структуры - это модели, «замкнутые» под этими доказательствами. Точные понятия «закрытие» и «доказательство» носят технический характер, поэтому мы будем молчать об этом. ^[7]

Подобно семантическому отношению, это квазисинтаксическое доказательство является устойчивым при больших кардинальных допущениях:

Теорема 3.6 (Вудин, 1999).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что T - счетная теория на языке теории множеств, φ - предложение, а B - полная булева алгебра. затем; T ⊢ _Ω φ, если V ^B ⊧ 'T ⊢ _Ω φ'.

Таким образом, мы имеем отношение семантического следствия и отношение квазисинтаксического доказательства, оба из которых являются устойчивыми в предположении больших кардинальных аксиом. Естественно спросить, верны ли теоремы обоснованности и полноты для этих соотношений. Известно, что теорема об обоснованности имеет место:

Теорема 3.7 (Вудин 1999).: Предположим, ZFC. Предположим, что T - счетная теория на языке теории множеств, а φ - предложение. Если T ⊢ _Ω φ, то T ⊧ _Ω φ.

Открыто, справедлива ли соответствующая теорема полноты. Гипотеза Ω - это просто утверждение, что оно делает:

Гипотеза 3.8 (Гипотеза Ω).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Тогда для каждого предложения φ,; I ⊧ _Ω φ, если ∅ ⊢ _Ω φ.

Нам понадобится сильная форма этой гипотезы, которую мы будем называть гипотезой о сильном Ω. Это несколько технический вопрос, поэтому мы будем молчать об этом. ^[8]

3.2.3.-Полные теории

Напомним, что одним из ключевых достоинств больших кардинальных аксиом является то, что они «эффективно решают» теорию арифметики второго порядка (и, фактически, теорию L (ℝ) и более) в том смысле, что при наличии больших кардиналов не может использовать метод принуждения множеств для установления независимости относительно утверждений о L (ℝ). Это понятие инвариантности при форсировании множеств играло ключевую роль в разделе 3.1. Теперь мы можем перефразировать это понятие в терминах Ω-логики.

Определение 3.9.: Теория T является Ω-полной для набора предложений Γ, если для каждого φ ∈ Γ, T ⊧ _Ω φ или T ⊧ _Ω ¬φ.

Инвариантность теории L (ℝ) при форсировании множества теперь можно перефразировать следующим образом:

Теорема 3.10 (Вудин 1999).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Тогда ZFC является Ω -полным для набора предложений вида «L (ℝ) ⊧ φ».

К сожалению, из серии результатов, полученных в работе Леви и Соловая, следует, что традиционные большие кардинальные аксиомы не дают Ω-полных теорий на уровне Σ21, поскольку всегда можно использовать «небольшое» (и, следовательно, большое кардинальное сохранение) принуждение изменить истинное значение CH.

Теорема 3.11.: Предположим, что L - стандартная большая кардинальная аксиома. Тогда ZFC + L не является Ω -полным для Σ21.

3.3 Дело

Тем не менее, если дополнить большие кардинальные аксиомы, то будут получены Ω-полные теории. Это центральная часть дела против CH.

Теорема 3.12 (Вудин).

Предположим, что существует собственный класс кардиналов Вудина и что гипотеза Сильного Ω справедлива.

Существует аксиома А такая, что
1. ZFC + A является Ω-удовлетворительным и
2. ZFC + A является Ω -полным для структуры H (ω ₂).
Любая такая аксиома А имеет свойство

ZFC + A ⊧ _Ω 'H (ω ₂) ⊧ ¬CH'.

Перефразируем это следующим образом: для каждого A, удовлетворяющего (1), пусть

T _A = {φ | ZFC + A ⊧ _Ω 'H (ω ₂) ⊧ ¬φ'}.

Теорема говорит, что если существует собственный класс кардиналов Вудина и имеет место гипотеза Ω, то существуют (нетривиальные) Ω-полные теории T _A группы H (ω ₂), и все такие теории содержат ¬CH.

Естественно спросить, есть ли большее согласие между Ом-полной теории T _A. В идеале, будет только один. Недавний результат (основанный на теореме 5.5) показывает, что если существует одна такая теория, то существует много таких теорий.

Теорема 3.13 (Келлнер и Вудин 2009).: Предположим, что существует соответствующий класс кардиналов Вудина. Предположим, что A такая аксиома, что; я. ZFC + A является Ω-удовлетворительным и

ii. ZFC + A является Ω -полным для структуры H (ω ₂).; Тогда существует аксиома B такая, что; я'. ZFC + B является Ω-удовлетворительным и

ii '. ZFC + B является Ω -полным для структуры H (ω ₂); и Т ≠ Т _Б.

Как тогда выбрать из этих теорий? Работа Вудина в этой области выходит далеко за рамки теоремы 5.1. В дополнение к выделению аксиомы, которая удовлетворяет (1) из теоремы 5.1 (при условии Ω-выполнимости), он выделяет очень особую такую аксиому, а именно аксиому (∗) («звезда»), упомянутую ранее.

Эта аксиома может быть сформулирована в терминах (понятия доказуемости) Ω-логики:

Теорема 3.14 (Вудин).

Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Тогда следующие значения эквивалентны:

(∗).
Для каждого Π _2- предложения φ в языке для структуры

⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

если

ZFC + “⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ »

является Ω -согласованным, то

⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Отсюда следует, что из различных теорий T _A, включенных в теорему 5.1, выделяется одна из них: теория T _(∗), заданная формулой (∗). Эта теория максимизирует Π _2- теорию структуры ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Континуальная гипотеза не верна в этой теории. Более того, в максимальной теории T _(∗), определяемой формулой (∗), размер континуума равен ℵ ₂. ^[9]

Подводя итог: Предполагая сильную гипотезу Ω, существует «хорошая» теория H (ω ₂), и все такие теории предполагают, что CH терпит неудачу. Более того, (опять же, принимая гипотезу о сильном Ω), существует максимальная такая теория, и в этой теории 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

Дополнительная литература: по математике относительно ℙ _max см. Woodin (1999). Для введения в Ω-логику см. Bagaria, Castells & Larson (2006). Более подробную информацию о несовместимых Ω-полных теориях см. В Koellner & Woodin (2009). Подробнее о деле против CH см. Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Мультивселенная

Вышеупомянутый случай неудачи CH является самым сильным известным локальным случаем для аксиом, которые устанавливают CH. В этом и следующем разделах мы поменяем стороны и рассмотрим аргументы плюрализма о том, что у CH нет ответа (в этом разделе), и о том, что есть одинаково хороший случай для CH (в следующем разделе). В двух последних разделах мы рассмотрим оптимистичные глобальные сценарии, которые дают надежду на решение проблемы.

Плюралист утверждает, что результаты независимости эффективно решают нерешенные вопросы, показывая, что у них нет ответа. Один из способов обеспечить фундаментальную основу для такого взгляда в терминах мультивселенной. С этой точки зрения, существует не одна вселенная теории множеств, а скорее многовариантность законных кандидатов, некоторые из которых могут быть предпочтительнее других для определенных целей, но ни одна из которых не может быть названа «истинной» вселенной. Множественная концепция истины - это точка зрения, согласно которой утверждение теории множеств можно назвать истинно упрощенным, если оно истинно во всех вселенных мультивселенной. Для целей этого обсуждения мы скажем, что утверждение является неопределенным в соответствии с многовекторной концепцией, если оно не является ни истинным, ни ложным в соответствии с многовекторной концепцией. Насколько радикальна такая точка зрения, зависит от широты концепции мультивселенной.

4.1 Широкие Мультивселенные Представления

Как правило, плюралист не является плюралистом в определенных областях математики. Например, строгий финитист может быть не плюралистом в отношении PA, но плюралистом в теории множеств, а другой - не плюралистом в отношении ZFC и плюралистом в отношении больших кардинальных аксиом и утверждений типа CH.

Существует форма радикального плюрализма, который защищает плюрализм во всех областях математики. С этой точки зрения любая непротиворечивая теория является законным кандидатом, а соответствующие модели таких теорий являются законными кандидатами в области математики. Давайте назовем это самым широким многоверсионным представлением. Трудно сформулировать эту точку зрения, которая может быть сформулирована следующим образом. Для начала нужно выбрать базовую теорию, в которой обсуждаются различные модели, и это приводит к трудностям. Например, в соответствии с широкой концепцией мультивселенной, так как PA не может доказать Con (PA) (по второй теореме неполноты, предполагая, что PA согласован), существуют модели PA + ¬Con (PA), и эти модели являются законными кандидатами, что это вселенные внутри широкого мультивселенного. Теперь, чтобы прийти к такому выводу, необходимо (в фоновой теории) быть в состоянии доказать Con (PA) (поскольку это предположение требуется для применения второй теоремы о неполноте в данном конкретном случае). Таким образом, с точки зрения теории предыстории, используемой для доказательства того, что вышеупомянутые модели являются законными кандидатами, рассматриваемые модели удовлетворяют ложному Σ01-предложению, а именно ¬Con (PA). Короче говоря, существует недостаток гармонии между тем, что содержится на мета-уровне, и тем, что содержится на уровне объекта. Короче говоря, существует недостаток гармонии между тем, что содержится на мета-уровне, и тем, что содержится на уровне объекта. Короче говоря, существует недостаток гармонии между тем, что содержится на мета-уровне, и тем, что содержится на уровне объекта.

Единственный выход из этой трудности, по-видимому, состоит в том, чтобы рассматривать каждую точку зрения - каждую артикуляцию мультивселенной концепции - как предварительную и, при нажатии, охватывать плюрализм в отношении теории фона. Другими словами, нужно было бы принять мультивселенную концепцию мультивселенной, мультивселенную концепцию мультивселенной концепции мультивселенной и так далее до бесконечности. Из этого следует, что такая позиция никогда не может быть полностью сформулирована - каждый раз, когда кто-то пытается сформулировать широкую концепцию мультивселенной, необходимо использовать фоновую теорию, но, поскольку он является плюралистом в отношении этой теории фона, этот шаг при использовании широкого мультиверса для формулирования концепции делает не делать концепции полной справедливости. Таким образом, положение трудно сформулировать. Можно, конечно, занять позицию плюрализма и попытаться показать или продемонстрировать точку зрения, которую он намеревается, предварительно установив конкретную фоновую теорию, но затем отстаивать плюрализм в отношении этого при нажатии. Таким образом, вид является чем-то вроде «движущейся цели». Мы будем молчать об этом взгляде и сосредоточимся на взглядах, которые могут быть сформулированы в рамках основы.

Соответственно, мы рассмотрим взгляды, которые охватывают не плюрализм в отношении определенного отрезка математики и по соображениям пространства, и поскольку это статья в теории множеств, мы пропустим долгие дебаты о строгом финитизме, финитизме, предикативизме и начале с точки зрения, которые охватывают не плюрализм в отношении ZFC.

Пусть широкая мультивселенная (на основе ZFC) будет совокупностью всех моделей ZFC. Широкая мультивселенная концепция истины (основанная на ZFC) - это просто представление о том, что утверждение теории множеств является истинно упрощенным, если оно доказуемо в ZFC. С этой точки зрения оператор Con (ZFC) и другие неопределенные Π01-операторы классифицируются как неопределенные. Таким образом, эта точка зрения сталкивается с трудностью, параллельной вышеупомянутой, касающейся радикального плюрализма.

Это мотивирует переход к представлениям, которые сужают класс вселенных в мультивселенной, используя сильную логику. Например, можно ограничиться юниверсами, которые являются ω-моделями, β-моделями (т. Е. Хорошо обоснованными) и т. Д. В представлении, где используются ω-модели, утверждение Con (ZFC) классифицируется как истинное (хотя это чувствительно в фоновой теории), но утверждение PM (все проективные множества измеримы по Лебегу) классифицируется как неопределенное.

Для тех, кто убежден аргументами (опрошенными в статье «Большие кардиналы и детерминированность») для больших кардинальных аксиом и аксиом определимой детерминированности, даже эти мультивселенные концепции слишком слабы. Мы будем следовать по этому маршруту. В оставшейся части этой статьи мы примем не плюрализм в отношении больших кардинальных аксиом и аксиом определяемой определенности и сосредоточимся на вопросе о СН.

4.2 Универсальный Мультивселенная

Мотивация универсального мультивселенной состоит в том, чтобы обосновать большие кардинальные аксиомы и определимую определенность, но отрицать, что такие утверждения, как CH, имеют определенное значение истинности. Чтобы быть более точным в теории фона, давайте возьмем ZFC + «Существует надлежащий класс кардиналов Вудина» и напомним, что это большое кардинальное предположение обеспечивает аксиомы определимой определенности, такие как PD и AD ^{L (ℝ)}.

Пусть универсальный мультиверс ? будет результатом замыкания V при общих расширениях и общих уточнениях. Один из способов формализовать это - взять внешнюю точку зрения и начать со счетной транзитивной модели M. Общий мультиверс, основанный на M, является наименьшим множеством such _M таким, что M ∈ ? _M, и для каждой пары счетных транзитивных моделей (N, N [G]), таких, что N N ZFC и G ⊆ ℙ, является N-родовым для некоторые частичный порядок в ℙ ∈ N, если либо N или N- [G], находится в ? _M тогда как N и N [G] в ? _М.

Пусть универсальная мультивселенная концепция истины будет представлением о том, что утверждение истинно упрощенно, если оно верно во всех вселенных универсального мультивселенного. Мы будем называть такое утверждение общей универсальной правдой. Утверждение считается неопределенным в соответствии с общей концепцией мультивселенной, если оно не является ни истинным, ни ложным в соответствии с общей концепцией мультивселенной. Например, предоставляя наши большие кардинальные допущения, такая точка зрения считает PM (и PD и AD ^{L (ℝ)}) истинными, но считает CH неопределенным.

4.3. Гипотеза Ω и общий мультиверс

Является ли универсальная мультивселенная концепция истины устойчивой? Ответ на этот вопрос тесно связан с предметом Ω-логики. Основная связь между универсальной истинностью мультиверса и Ω-логикой воплощена в следующей теореме:

Теорема 4.1 (Вудин).

Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Затем, для каждой Π ₂ -statement ф следующие условия эквивалентны:

φ - общая многоверсная истина.
φ является Q-действительным.

Теперь напомним, что по теореме 3.5 при наших исходных предположениях Q-валидность является в общем случае инвариантной. Отсюда следует, что, учитывая нашу базовую теорию, понятие универсальной многовекторной истины является устойчивым по отношению к Π ₂ -отмечениям. В частности, для Π ₂ -statements, утверждение «φ неопределенна» само по себе детерминированным в соответствии с общей концепцией мультивселенной. В этом смысле концепция истины не является «самоуничтожением», и человек не отправляется в нисходящую спираль, где приходится мириться с множеством вселенных. Так что проходит первый тест. Пройдет ли он более сложный тест, зависит от гипотезы Ω.

Гипотеза Ω имеет глубокие последствия для общей многовековой концепции истины. Позволять

? _Ω = {φ | ∅ ⊧ _Ω φ}

и для любого определяемого кардинала κ пусть

? _Ω (H (κ ⁺)) = {φ | ZFC ⊧ _Ω «H (κ ⁺) ⊧ φ»},

где напомним, что H (κ ⁺) является набором множеств наследственной мощности меньше κ ⁺. Таким образом, предполагая, что ZFC и что существует собственный класс кардиналов Вудина, множество ? _Ω эквивалентно по Тьюрингу множеству Π ₂ общих множест- венных истин, а множество ? _Ω (H (κ ⁺)) является точно набором общих множителей истины Н (к ⁺).

Чтобы описать отношение гипотезы Ω к обобщенно-множественной концепции истины, мы вводим два принципа трансцендентности, которые служат ограничением для любой подходящей концепции истины в теории множеств - ограничение истинности и ограничение определимости.

Определение 4.2 (Ограничение правды).: Любая логичная мультиленная концепция истины в теории множеств должна быть такой, что Π ₂ -truths (в соответствии с этой концепцией) во вселенных множествах не является рекурсивным в истинах о H (K) (в соответствии с этой концепцией), для любых задаваема кардинал.

Это ограничение в духе тех принципов теории множеств, в частности, принципов отражения, которые направлены на то, чтобы уловить дотеоретическую идею о том, что вселенная множеств настолько богата, что ее нельзя «описать снизу»; точнее, он утверждает, что любая логичная концепция истины должна уважать идею о том, что Вселенная множеств настолько богата, что истина (или даже просто Π ₂ -truth) не может быть описан в некотором задаваем фрагменте. (Обратите внимание, что по теореме Тарского о неопределимости истины ограничение истины тривиально удовлетворяется стандартной концепцией истины в теории множеств, в которой в мультиверсе содержится один элемент, а именно V).

Есть также связанное ограничение относительно определимости истины. Для определяемого кардинала κ множество Y ⊆ ω определимо в H (κ ⁺) через мультивселенную, если Y определимо в структуре H (κ ⁺) каждой вселенной мультивселенной (возможно, по формулам, которые зависят от родительской вселенной),

Определение 4.3 (ограничение определимости).: Любая логичная мультиленная концепция истины в теории множеств должна быть такой, что Π ₂ -truths (в соответствии с этой концепцией) во вселенных множествах определимы в H (х) по всему мультивселенным вселенному, для любого задавайма кардинальных х.

Еще раз обратите внимание, что по теореме Тарского о неопределимости истины ограничение определимости тривиально удовлетворяется вырожденной многоверсионной концепцией, в которой в мультиверсе содержится единственный элемент V. (Обратите внимание также, что если кто-то изменяет ограничение определимости, добавляя требование, чтобы определение было равномерным по мультивселенной, то ограничение будет автоматически выполнено.)

Подход гипотезы Ω к прочности универсально-многовекторной концепции истины содержится в следующих двух теоремах:

Теорема 4.4 (Вудин).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что гипотеза Ω справедлива. Тогда ? _Ω является рекурсивным в ? _Ω (H (δ + 0)), где δ ₀ - наименьший кардинал Вудина.

Теорема 4.5 (Вудин).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что гипотеза Ω справедлива. Тогда ? _Ω определимо в H (δ + 0), где δ ₀ - наименьший кардинал Вудина.

Другими словами, если существует надлежащий класс кардиналов Вудина и если гипотеза Ω справедлива, то универсальная концепция истины с множеством мнений нарушает как ограничение истины (при δ ₀), так и ограничение определимости (при δ ₀).

На самом деле существуют более резкие версии приведенных выше результатов, в которых вместо H (δ + 0) используется H (c ⁺).

Теорема 4.6 (Вудин).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что гипотеза Ω справедлива. Тогда ? _Ω является рекурсивным в ? _Ω (H (c ⁺)).

Теорема 4.7 (Вудин).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что гипотеза Ω справедлива и гипотеза AD ⁺ верна. Тогда ? _Ω определимо в H (c ⁺).

Другими словами, если существует надлежащий класс кардиналов Вудина и если гипотеза Ω справедлива, то универсальная концепция истины нарушает ограничение истины на уровне арифметики третьего порядка, и если, кроме того, гипотеза AD ⁺ выполняется, тогда универсально-мультивселенная концепция истины нарушает ограничение определимости на уровне арифметики третьего порядка.

4.4 Есть ли выход?

Похоже, существует четыре способа, которыми сторонник универсального мультивселенного может противостоять приведенной выше критике.

Во-первых, можно утверждать, что гипотеза Ω так же проблематична, как и CH, и, следовательно, как и CH, она должна рассматриваться как неопределенная в соответствии с универсально-многовековой концепцией истины. Сложность этого подхода заключается в следующем:

Теорема 4.8 (Вудин).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Тогда для любой полной булевой алгебры ?; V ⊧ Ω-гипотеза, если V ? ⊧ Ω-гипотеза.

Таким образом, в отличие от CH, нельзя предположить, что гипотеза Ω не зависит от ZFC + «Существует надлежащий класс кардиналов Вудина» через форсирование. В терминах универсальной многоверсионной концепции истины мы можем сформулировать это следующим образом: хотя универсально-мультиверсальная концепция истины считает CH неопределенным, она не считает гипотезу Ω неопределенной. Таким образом, приведенный выше ответ не доступен для сторонника универсальной концепции истины. Сторонник этой концепции уже считает гипотезу Ω детерминированной.

Во-вторых, можно предположить, что гипотеза Ω определена, но утверждать, что она ложна. Есть способы, которыми можно сделать это, но это не подрывает приведенный выше аргумент. Причина заключается в следующем: для начала есть тесно связанное с _2- утверждением, которое можно заменить гипотезой Ω в приведенных выше рассуждениях. Это утверждение о том, что Ω-гипотеза (нетривиально) Ω-выполнима, т. Е. Утверждение: существует ординал α и универсум V 'мультиверса, такой что

V ' _α ⊧ ZFC + «Существует соответствующий класс кардиналов Вудина»

V ' _α ⊧ “Гипотеза Ω”.

Это Σ ₂ -statement инвариантен относительно множества форсирования и, следовательно, является одним приверженцами родового мультивселенного зрения истины должны считать детерминированными. Кроме того, ключевые аргументы выше пройти через это Σ ₂ -statement вместо Ом гипотезы. Таким образом, лицо, принимающее эту вторую строку ответа, также должно будет утверждать, что это утверждение является ложным. Но есть веские доказательства того, что это утверждение верно. Причина в том, что нет известного примера ₂- утверждение, которое является инвариантным при заданном воздействии относительно больших кардинальных аксиом и которое не может быть установлено большими кардинальными аксиомами. (Такое утверждение будет кандидатом на абсолютно неразрешимое утверждение.) Поэтому разумно ожидать, что это утверждение разрешается большими кардинальными аксиомами. Однако недавние успехи в теории внутренней модели, в частности, в работе Woodin (2010), свидетельствуют о том, что никакая большая кардинальная аксиома не может опровергнуть это утверждение. Собираем все вместе: очень вероятно, что это утверждение действительно верно; поэтому эта линия ответа не обещает.

В-третьих, можно отвергнуть либо ограничение правды, либо ограничение определимости. Беда в том, что если кто-то отвергает Ограничение Истины, то с этой точки зрения (в предположении Ω-гипотезы) истина theory ₂ в теории множеств сводится в смысле сводимости Тьюринга к истине в H (δ ₀) (или в предположении Сильной гипотезы Ω)., H (c ⁺)). И если кто-то отвергает Ограничение Определимости, то с этой точки зрения (в предположении Ω-гипотезы) истинность theory ₂ в теории множеств сводится в смысле определимости к истине в H (δ ₀) (или, если принять гипотезу Сильного Ω, H (c ⁺)). С любой точки зрения, снижение связано с принятием недопустимости плюрализма в отношении теории фона ZFC + «Существует надлежащий класс кардиналов Вудина».

В-четвертых, можно принять критику, отвергнуть универсальную мультивселенную концепцию истины и признать, что существуют некоторые утверждения о H (δ + 0) (или H (c ⁺), которые, кроме того, дают гипотезу AD ⁺), которые являются истинно упрощенный, но не истинный в смысле дженерика-мультиверса, и, тем не менее, продолжает утверждать, что СН неопределенен. Сложность состоит в том, что любое такое предложение φ качественно точно так же, как и СН, в том смысле, что его можно заставить удержать и заставить потерпеть неудачу. Задача сторонника этого подхода состоит в том, чтобы изменить универсально-многовекторную концепцию истины таким образом, чтобы она считала φ как детерминированную, а CH - как неопределенную.

Итак, есть свидетельство того, что единственным выходом является четвертый выход, и это возлагает бремя на плюрализма - плюралист должен придумать модифицированную версию универсального мультиверса.

Дальнейшее чтение: Более подробную информацию о связи между Ω-логикой и универсальным мультивселенным и приведенную выше критику универсального мультивселенного см. В Woodin (2011a). Относительно недавних результатов в теории внутренней модели о состоянии гипотезы Ω см. Woodin (2010).

5. Местный случай вновь

Давайте теперь обратимся ко второму способу, которым можно было бы противостоять местному делу о неудаче СН. Это включает параллельный случай для CH. В разделе 5.1 мы рассмотрим основные особенности случая для ¬CH, чтобы сравнить его с параллельным случаем для CH. В разделе 5.2 мы представим параллельный случай для CH. В разделе 5.3 мы оценим сравнение.

5.1 Дело за ¬CH

Напомним, что в случае, представленном в разделе 3.3, есть два основных шага. Первый этап включает в себя Q-полноту (и это дает ¬CH), а второй этап включает в себя максимальность (и это дает более сильное 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂). Для удобства сравнения мы повторим эти особенности здесь:

Первый шаг основан на следующем результате:

Теорема 5.1 (Вудин).

Предположим, что существует собственный класс кардиналов Вудина и что гипотеза Сильного Ω справедлива.

Существует аксиома А такая, что
1. ZFC + A является Ω-удовлетворительным и
2. ZFC + A является Ω -полным для структуры H (ω ₂).
Любая такая аксиома А имеет свойство

ZFC + A ⊧ _Ω «H (ω ₂) ⊧ ¬CH».

Перефразируем это следующим образом: для каждого A, удовлетворяющего (1), пусть

T _A = {φ | ZFC + A “_Ω « H (ω ₂) ⊧ ¬φ »}.

Теорема говорит, что если существует собственный класс кардиналов Вудина и имеет место гипотеза Сильного Ω, то существуют (нетривиальные) Ω-полные теории T _A группы H (ω ₂), и все такие теории содержат ¬CH. Другими словами, согласно этим предположениям, существует «хорошая» теория, и все «хорошие» теории подразумевают ¬CH.

Второй этап начинается с вопроса о том, есть больше согласия между Ом-полной теории T _A. В идеале, будет только один. Однако, это не так.

Теорема 5.2 (Koellner, Woodin, 1999).: Предположим, что существует соответствующий класс кардиналов Вудина. Предположим, что A такая аксиома, что; я. ZFC + A является Ω-удовлетворительным и

ii. ZFC + A является Ω -полным для структуры H (ω ₂).

Тогда существует аксиома B такая, что

я'. ZFC + B является Ω-удовлетворительным и

ii '. ZFC + B является Ω -полным для структуры H (ω ₂); и Т ≠ Т _Б.

Это поднимает вопрос о том, как выбрать из этих теорий? Оказывается, что среди T _A существует максимальная теория, и это определяется аксиомой (∗).

Теорема 5.3 (Вудин).

Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Тогда следующие значения эквивалентны:

(∗).
Для каждого Π _2- предложения φ в языке для структуры

⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

если

ZFC + “⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ »

является Ω -согласованным, то

⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Итак, из различных теорий T _A, включенных в теорему 5.1, выделяется одна теория: теория T _(∗), заданная формулой (∗). Эта теория максимизирует Π _2- теорию структуры ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Фундаментальный результат заключается в том, что в этой максимальной теории

2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

5.2 Параллельный случай для CH

Параллельный случай для CH также имеет два этапа: первый включает в себя Ω-полноту, а второй - максимальность.

Первый результат первого шага следующий:

Теорема 5.4 (Вудин, 1985).: Предположим, ZFC и что существует надлежащий класс измеримых кардиналов Вудина. Тогда ZFC + CH является Ω -полным для Σ21.

Более того, с точностью до Ω-эквивалентности CH является единственным Σ21-утверждением, которое является Ω-полным для Σ21; то есть, если T _A - Ω-полная теория, заданная ZFC + A, где A - Σ21, то все такие T _A Ω-эквивалентны T _CH и, следовательно, (тривиально) все такие T _A содержат CH. Другими словами, существует «хорошая» теория, и все «хорошие» теории подразумевают CH.

Для завершения первого шага мы должны определить, является ли этот результат устойчивым. Ибо может случиться так, что когда рассматривается следующий уровень, Σ22 (или дополнительные уровни, такие как арифметика третьего порядка) CH больше не является частью картины, то есть, возможно, крупные кардиналы подразумевают, что существует аксиома A такая, что ZFC + A является Ω-полным для Σ22 (или, далее, всей арифметики третьего порядка), и, тем не менее, не все такие A имеют ассоциированный T _A, который содержит CH. Мы должны исключить это, если мы хотим сделать первый шаг.

Наиболее оптимистичный сценарий в этом направлении такой: сценарий состоит в том, что существует большая кардинальная аксиома L и аксиомы A → такие, что ZFC + L + A → является Ω-полным для всей арифметики третьего порядка, и все такие теории являются Ω -эквивалентный и подразумевающий СН. В дальнейшем, возможно, для каждого определяемого фрагмента V _λ вселенной множеств существует большая кардинальная аксиома L и аксиомы A → такие, что ZFC + L + A → Ω-полна для всей теории V _λ и, кроме того, что такие теории Ω-эквивалентны и подразумевают CH. Если бы это было так, это означало бы, что для каждого такого λ существует единственная Q-полная картина V _λ.и у нас будет уникальное Q-полное понимание сколь угодно больших фрагментов вселенной множеств. Это послужило бы веским аргументом в пользу новых аксиом, дополняющих аксиомы ZFC, и больших кардинальных аксиом.

К сожалению, этот оптимистический сценарий терпит неудачу: предполагая существование одной такой теории, можно построить другую, которая отличается от CH:

Теорема 5.5 (Келлнер и Вудин 2009).: Предположим, ZFC и что есть надлежащий класс кардиналов Вудина. Предположим, что V _λ является определяемым фрагментом вселенной (достаточно большой), и предположим, что существует большая кардинальная аксиома L и аксиомы A → такие, что; ZFC + L + A → является Ω-полным для Th (V _λ).; Тогда существуют аксиомы B → такие, что; ZFC + L + B → является Ω-полным для Th (V _λ); и первая теория Ω - подразумевает CH тогда и только тогда, когда вторая теория Ω - подразумевает ¬CH.

Это все еще оставляет нас с вопросом о существовании, и ответ на этот вопрос чувствителен к гипотезе Ω и гипотезе AD ⁺:

Теорема 5.6 (Вудин).: Предположим, что существует собственный класс кардиналов Вудина и что гипотеза Ω справедлива. Тогда не существует рекурсивной теории A → такой, что ZFC + A → является Ω -полной для теории V _{δ ₀ +1}, где δ ₀ - наименьший кардинал Вудина.

На самом деле, при более строгом предположении, сценарий должен потерпеть неудачу на более раннем уровне.

Теорема 5.7 (Вудин).: Предположим, что существует собственный класс кардиналов Вудина и что гипотеза Ω справедлива. Предположим, что гипотеза AD ⁺ верна. Тогда не существует рекурсивной теории A → такой, что ZFC + A → является Ω -полным для теории Σ23.

Открыто, может ли быть такая теория на уровне Σ22. Предполагается, что ZFC + ◇ является Ω-полным (в предположении больших кардинальных аксиом) для Σ22.

Предположим, что на него дан положительный ответ, и вернемся к вопросу уникальности. Для каждой такой аксиомы A пусть T _A - это теория Σ22, вычисленная с помощью ZFC + A в Ω-логике. Вопрос уникальности просто спрашивает, является ли T _A уникальным.

Теорема 5.8 (Келлнер и Вудин 2009).: Предположим, что существует соответствующий класс кардиналов Вудина. Предположим, что A такая аксиома, что; я. ZFC + A является Ω-удовлетворительным и

ii. ZFC + A является Ω -полным для Σ22.; Тогда существует аксиома B такая, что; я'. ZFC + B является Ω-удовлетворительным и

ii '. ZFC + B является Ω -полным для Σ22; и Т ≠ Т _Б.

Это параллель теоремы 5.2.

Для завершения параллельного можно было бы необходимо, что СН среди всех Т _А. Это не известно. Но это разумная гипотеза.

Гипотеза 5.9.

Примите большие кардинальные аксиомы.

Существует Σ22 аксиома A такая, что
1. ZFC + A является Ω-удовлетворительным и
2. ZFC + A является Ω-полным для Σ22.
Любая такая аксиома A 22 имеет особенность, которая

ZFC + A ⊧ _Ω CH.

Если бы эта гипотеза верна, это дало бы истинный аналог теоремы 5.1. Это завершило бы параллель с первым шагом.

Существует также параллель со вторым этапом. Напомним, что для второго шага в предыдущем подразделе мы имели, что, хотя различные T _A не были согласны, все они содержали ¬CH, и, кроме того, среди них есть один, который выделяется, а именно теория, заданная (∗), поскольку эта теория максимизирует Π _2- теорию структуры ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. В настоящем контексте CH мы снова (предполагая гипотезу) имеем, что хотя T _Aне согласны, все они содержат СН. Оказывается, еще раз, среди них выделяется один, а именно максимальный. Ибо известно (в результате работы Вудина в 1985 году), что если существует надлежащий класс измеримых кардиналов Вудина, то существует принудительное расширение, удовлетворяющее всем Σ22 предложениям φ, такое, что ZFC + CH + φ является Ω-выполнимым (см. Кетчерсид, Larson & Zapletal (2010). Отсюда следует, что если на вопрос о существовании ответа положительно отвечает A, равная Σ22, то T _A должна быть этой максимальной теорией Σ22 и, следовательно, все T _A согласуются, когда A является Σ22. Итак, если предположить, что существует T _A, где A есть Σ22, то, хотя и не все T _A Согласитесь (когда A произвольно), есть один, который выделяется, а именно тот, который является максимальным для Σ22 предложений.

Таким образом, если приведенная выше гипотеза верна, то случай CH параллелен случаю ¬CH, только теперь Σ22 занимает место теории H (ω ₂).

5.3 Оценка

Предполагая, что гипотеза имеет место для случая, когда параллели CH совпадают с ¬CH, только теперь Σ22 заменяет теорию H (ω ₂): при исходных предположениях имеем:

1. существуют такие, что ZFC + A является Ω-полным для H (ω ₂)
2. для каждого такого A связанный T _A содержит ¬CH, и
3. существует T _A, которое является максимальным, а именно T _(∗), и эта теория содержит 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.
1. существует Σ22-аксиома A такая, что ZFC + A является Ω-полной для Σ22
2. для каждого такого A связанный T _A содержит CH, и
3. существует T _A, который является максимальным.

Две ситуации параллельны в отношении максимальности, но с точки зрения уровня Ω-полноты первая сильнее. Ибо в первом случае мы не просто получаем Ω-полноту в отношении Π _2- теории H (ω ₂) (с дополнительными предикатами), а скорее мы получаем Ω-полноту в отношении всех H (ω ₂), Это, возможно, аргумент в пользу аргумента ¬CH, даже с учетом гипотезы.

Но есть более сильный момент. Из теории внутренней модели (о которой мы поговорим в следующем разделе) есть свидетельство того, что эта гипотеза фактически неверна. Если это окажется так, это нарушит параллель, усиливая аргумент в пользу ¬CH.

Однако можно противостоять этому следующим образом: более высокая степень Ω-полноты в случае для ¬CH действительно иллюзорна, поскольку она является артефактом того факта, что при (∗) теория H (ω ₂) фактически взаимно интерпретируется с помощью H (ω ₁) (по глубокому результату Вудина). Более того, этот последний факт противоречит духу Принципов Трансцендентности, обсужденных в Разделе 4.3. Эти принципы были использованы в качестве аргумента о том, что у CH нет ответа. Таким образом, когда вся пыль оседает, реальный смысл работы Вудина над CH (так рассуждает аргумент) состоит не в том, что CH ложен, а в том, что CH, скорее всего, имеет ответ.

Представляется справедливым сказать, что на данном этапе статус локальных подходов к разрешению СН несколько неурегулирован. По этой причине в оставшейся части этой статьи мы сосредоточимся на глобальных подходах к урегулированию СН. Мы очень кратко обсудим два таких подхода - подход с помощью теории внутренней модели и подход с помощью квазибольших кардинальных аксиом.

6. Предельная Внутренняя Модель

Внутренняя теория моделей направлена на создание «L-подобных» моделей, которые содержат большие кардинальные аксиомы. Для каждой большой кардинальной аксиомы Φ, которая была достигнута теорией внутренней модели, каждый имеет аксиому вида V = L ^Φ. Эта аксиома обладает тем преимуществом, что (так же, как и в простейшем случае V = L), она обеспечивает «эффективно полное» решение относительно вопросов о L ^Φ (который, по предположению, равен V). К сожалению, оказывается, что аксиома V = L ^Ф несовместима с более сильными большими кардинальными аксиомами Ф '. По этой причине аксиомы этой формы никогда не рассматривались как возможные кандидаты в новые аксиомы.

Но последние разработки в теории внутренних моделей (благодаря Вудину) показывают, что все меняется на уровне суперкомпактного кардинала. Эти разработки показывают, что если существует внутренняя модель N, которая «наследует» суперкомпактный кардинал от V (так, как можно было бы ожидать, учитывая траекторию теории внутренней модели), то есть два замечательных следствия: во-первых, N близко к V (например, в том смысле, что для достаточно больших сингулярных кардиналов λ, N правильно вычисляет λ ⁺). Во-вторых, N наследует все известные крупные кардиналы, которые существуют в V. Таким образом, в отличие от внутренних моделей, которые были разработаны до сих пор, внутренняя модель на уровне суперкомпакта предоставила бы аксиому, которая не может быть опровергнута более сильными основными кардинальными предположениями.

Вопрос, конечно же, заключается в том, можно ли на этом уровне иметь «L-подобную» модель (модель, дающую «эффективно завершенную» аксиому). Есть основания полагать, что можно. В настоящее время существует подходящая модель L ^Ω, которая дает аксиому V = L ^Ω со следующими характеристиками: во-первых, V = L ^Ω «эффективно завершена». Во-вторых, V = L ^Ω совместимо со всеми большими кардинальными аксиомами. Таким образом, в этом сценарии окончательной теорией будет (открытая) теория ZFC + V = L ^Ω + LCA, где LCA - схема, обозначающая «большие кардинальные аксиомы». Большие кардинальные аксиомы уловят случаи независимости Геделя и аксиомы V = L ^Ωзахватит оставшиеся случаи независимости. Эта теория подразумевает CH и урегулирование оставшихся нерешенных утверждений. Независимость перестала бы быть проблемой.

Оказывается, однако, что есть другие подходящие аксиомы, которые разделяют эти особенности, и поэтому призрак плюрализма вновь появляется. Например, существуют аксиомы V = L Ω S и V = L Ω (∗). Эти аксиомы также будут «эффективно завершены» и совместимы со всеми крупными кардинальными аксиомами. И все же они решали бы различные вопросы иначе, чем аксиома V = L ^Ω. Например, аксиома V = L Ω (∗) подразумевает ¬CH. Как тогда можно судить между ними?

Дополнительная литература: введение в теорию внутренней модели см. В Mitchell (2010) и Steel (2010). Подробнее о последних разработках на уровне одного суперкомпакта и выше см. Woodin (2010).

7. Теория структуры L (V _{λ + 1})

Это подводит нас ко второму глобальному подходу, который обещает выбрать правильную аксиому из числа V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) и их вариантов. Этот подход основан на замечательной аналогии между структурной теорией L (ℝ) в предположении AD ^{L (ℝ)} и структурной теорией L (V _{λ + 1}) в предположении, что существует элементарное вложение из L (V _{λ + 1}) в себя с критической точкой ниже λ. Это предположение о встраивании является самой сильной большой кардинальной аксиомой, которая появляется в литературе.

Аналогия между L (ℝ) и L (V _{λ + 1}) основана на наблюдении, что L (ℝ) - это просто L (V _{ω + 1}). Таким образом, λ является аналогом ω, λ ⁺ является аналогом ω ₁ и т. Д. В качестве примера параллели между структурной теорией L (ℝ) в AD ^{L (ℝ)} и структурной теорией L (V _{λ + 1}) в аксиоме вложения, отметим, что в первом случае ω ₁ имеет вид измеримый кардинал в L (ℝ) и, во втором случае, аналог ω _1, а именно, λ ⁺ -измеримый кардинал в L (V _{λ + 1}). Этот результат обусловлен Вудином и является лишь одним примером из множества примеров параллели, которые содержатся в его работе.

Теперь у нас есть много информации о структурной теории L (ℝ) в AD ^{L (ℝ)}. Действительно, как мы отмечали выше, эта аксиома «эффективно завершена» в отношении вопросов о L (ℝ). Напротив, одной аксиомы вложения недостаточно для того, чтобы подразумевать, что L (V _{λ + 1}) имеет структурную теорию, которая полностью параллельна теории L (ℝ) в AD ^{L (ℝ)}. Однако существование уже богатой параллели свидетельствует о том, что параллель расширяется, и мы можем дополнить аксиому вложения, добавив некоторые ключевые компоненты. Когда это происходит, происходит нечто замечательное: дополнительные аксиомы становятся хрупкими. Это означает, что они могут стереть независимость и предоставить нетривиальную информацию о V _{λ + 1}, Например, эти дополнительные аксиомы могут урегулировать СН и многое другое.

Трудность в исследовании возможностей для теории структуры L (V _{λ + 1}) состоит в том, что у нас не было надлежащих линз, через которые можно было бы ее рассмотреть. Проблема в том, что модель L (V _{λ + 1}) содержит большую часть вселенной, а именно L (V _{λ + 1}), и теория этой структуры радикально недооценена. Результаты, описанные выше, дают нам подходящие линзы. Например, можно рассмотреть структурную теорию L (V _{λ + 1}) в контексте предельных внутренних моделей типа L ^Ω, L Ω S, L Ω (∗) и их вариантов. Дело в том, что эти модели могут учитывать аксиому вложения, и в каждой из них можно будет вычислить структурную теорию L (V _{λ + 1}).

Это дает возможность выбрать правильную аксиому из числа V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) и их вариантов. Достаточно просто посмотреть на L (V _{λ + 1}) каждой модели (где справедлива аксиома вложения) и проверить, у кого есть истинный аналог теории структур L (ℝ) в предположении AD ^{L (ℝ)}. Уже известно, что некоторые части теории структуры не могут сохраняться в L ^Ω. Но открыто, могут ли они быть в L Ω S.

Давайте рассмотрим один такой (очень оптимистичный) сценарий: истинный аналог теории структур L (ℝ) в AD ^{L (ℝ)} имеет место для L (V _{λ + 1}) L Ω S, но не для любого из его вариантов., Более того, эта теория структуры является «эффективно полной» для теории V _{λ + 1}. Предполагая, что существует собственный класс λ, в котором выполняется аксиома вложения, это дает «эффективно полную» теорию V. И, что примечательно, частью этой теории является то, что V должно быть L Ω S. Этот (по общему признанию очень оптимистичный) сценарий послужил бы очень веским аргументом для аксиом, которые разрешают все нерешенные утверждения.

Не следует придавать слишком большой вес этому конкретному сценарию. Это только один из многих. Дело в том, что теперь мы можем записать список определенных вопросов со следующими характеристиками: во-первых, вопросы в этом списке будут иметь независимость от ответов, это не проблема. Во-вторых, если ответы сходятся, то у человека будут веские доказательства того, что новые аксиомы улаживают нерешенные утверждения (и, следовательно, не плюрализм во вселенной множеств); в то время как ответы колеблются, у каждого будут доказательства того, что эти заявления «абсолютно неразрешимы», и это укрепит аргумент в пользу плюрализма. Таким образом, вопросы «абсолютной неразрешимости» и плюрализма получают математическую поддержку.

Дальнейшее чтение: Подробнее о теории структуры L (V _{λ + 1}) и параллели с определенностью см. Вудин (2011b).

Библиография

Абрахам, У. и М. Магидор, 2010, «Кардинальная арифметика», в Foreman and Kanamori 2010.
Багария, Дж., Н. Кастельс и П. Ларсон, 2006, «Q-логический праймер», в J. Bagaria и S. Todorcevic (eds), Теория множеств, Тенденции в математике, Биркхойзер, Базель, стр. 1 -28.
Коэн, П., 1963, «Независимость гипотезы континуума I», Труды Национальной академии наук США, 50: 1143–48.
Форман, М. и А. Канамори, 2010, Справочник по теории множеств, Springer-Verlag.
Форман М. и М. Магидор, 1995, «Большие кардиналы и определяемые контрпримеры к гипотезе континуума», Annals of Pure and Applied Logic 76: 47–97.
Форман М., М. Магидор и С. Шелах, 1988. «Максимум Мартина, насыщенные идеалы и нерегулярные ультрафильтры. Часть первая »Анналы математики 127: 1–47.
Гедель К., 1938а. «Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук США, 24: 556–7.
Гедель К., 1938б. «Доказательство непротиворечивости для обобщенной гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук США, 25: 220–4.
Hallett, М., 1984, Теория множеств Канториана и ограничение размера. 10 из руководств Oxford Logic, издательство Oxford University Press.
Хольц М., К. Штеффенс и Э. Вайц, 1999, Введение в кардинальную арифметику, Расширенные тексты Биркхойзера, Биркхойзер Верлаг, Базель.
Jech, TJ, 2003, Теория множеств: издание третьего тысячелетия, пересмотренное и расширенное, Springer-Verlag, Berlin.
Кетчерсид Р., Ларсон П., Дж. Заплетал, 2010, «Регулярные вложения стационарной башни и теорема Вудина о сигма-2-2 о максимальности». Журнал символической логики 75 (2): 711–727.
Koellner, P., 2010, «Сильные логики первого и второго порядка», Бюллетень символической логики 16 (1): 1–36.
Koellner, P. и WH Woodin, 2009, «Несовместимые Q-полные теории», Журнал символической логики 74 (4).
Martin, DA, 1976, «Первая проблема Гильберта: гипотеза континуума», в F. Browder (ed.), Математические разработки, возникающие из задач Гильберта, Vol. 28 Трудов Симпозиумов в Чистой Математике, Американское Математическое Общество, Провиденс, стр. 81–92.
Митчелл, В., 2010, «Начало теории внутренних моделей», в Форман и Канамори 2010.
Сталь, JR, 2010, «Контур теории внутренней модели», в Foreman и Kanamori 2010.
Вудин, WH, 1999, Аксиома детерминированности, аксиомы принуждения и нестационарный идеал, Vol. 1 из серии de Gruyter в области логики и ее приложений, de Gruyter, Берлин.
–––, 2001a, «Гипотеза о континууме, часть I», Замечания Американского математического общества 48 (6): 567–576.
–––, 2001b, «Гипотеза о континууме, часть II», Замечания Американского математического общества 48 (7): 681–690.
–––, 2005a, «Гипотеза о континууме», в R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević и C. Wood (eds), Logic Colloquium 2000, Vol. 19 лекционных заметок по логике, Ассоциация символической логики, стр. 143–197.
–––, 2005b, «Теория множеств после Рассела: путешествие назад в Эдем», в книге Г. Линка (ред.), «Сто лет парадокса Рассела: математика, логика, философия», вып. 6 из серии де Грюйтера по логике и ее приложениям, Walter De Gruyter Inc, с. 29–47.
–––, 2010, «Подходящие модели экстендеров I», журнал математической логики 10 (1–2): 101–339.
–––, 2011a, «Гипотеза континуума, общий множитель множеств и Ω-гипотеза», в J. Kennedy и R. Kossak, (eds), Теория множеств, арифметика и основания математики: теоремы, Philosophies, Vol. 36 из лекций в логике, издательство Кембриджского университета.
–––, 2011b, «Подходящие модели экстендеров II», журнал математической логики 11 (2): 115–436.

Академические инструменты

значок сеп человек	Как процитировать эту запись.
значок сеп человек	Предварительный просмотр PDF-версию этой записи в обществе друзей SEP.
значок Inpho	Посмотрите эту тему в Проекте интернет-философии онтологии (InPhO).
Фил документы	Расширенная библиография для этой записи в PhilPapers со ссылками на ее базу данных.

Другие интернет-ресурсы

[Пожалуйста, свяжитесь с автором с предложениями.]

Континуальная гипотеза

Оглавление:

Видео: Континуальная гипотеза